Đang tải... (xem toàn văn)
Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị có một phần là đường parabol có đỉnh là I 2;9 và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian c[r]
(1)NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài NGUYÊN HÀM
I. Lý thuyết
1 Nguyên hàm f x dx F x C Tính chất
- f x dx ' f x f x dx f x C
- k f x dx k f x dx k 0
- f x g x dx f x dx g x dx
3 Bảng nguyên hàm
kdxkx C k const
1 x
x dx C
u dx u 11 C
ln
dx x C
x
1dx lnu C
u
x x
e dx e C
u u
e dxe C
ln
x
x a
a dx C
a
u lnau
a dx C
a
cosxdxsinx C
cosudxsinu C
sinxdx cosx C
sinudx cosu C
2
1
tan cos xdx x C
1
tan cos udx uC
2
1
cot sin xdx x C
1
cot sin udx uC
2 2
2
arcsin
2
a x x a x
a x dx C
a
2
1
arcsin x C a a x 2 ln
dx a x
C
a x a a x
2
1 arctan
dx x
C
a x a a
2 2 2
ln
2
x a
x a dx x a x x a C
2 ln
dx
x x k C
x k
(2)4 Các phương pháp tìm nguyên hàm a Phương pháp đổi biến số
Nếu f x dx F x C f u x u x ' dxF u x C Đặt tu x dtu x dx' Khi f t dt F t C F u x C
Cách đặt biến:
Dạng 1: Đặt biến thường
f ax b dx
đặt tax b
f x
dx x
đặt t x 1
n
f x xdx
đặt n
tx
sin cos
f x xdx
đặt tsinx
cos sin
f x xdx
đặt tcosx
tan
f x dx
đặt ttanx
cot
f x dx
đặt tcotx
ln
f x
dx x
đặt tlnx
x x
f e e dx
đặt tex
Dạng 2: Đặt lượng giác:
2
2
2
tant
cot
a x
x a
x a t
a x
a x
2
2
sin
cos
a x
x a t
x a t
a x
2
2
sin
cos
a
x a x
t a x
x a t
(3)Cho hai hàm số uu x vv x liên tục có đạo hàm đoạn a b; ta có
udvuv vdu
Cách làm: đặt theo quy tắc: “nhất loga – nhì đa – thức tam – lượng tứ mũ”
c Dạng nguyên hàm hữu tỉ
- Nguyên hàm dạng: dx 1ln ax b C
ax b a
- Nguyên hàm dạng:
2
1 2
d
ln x x
x
C
ax bx c a x x x x
với 0
- Nguyên hàm dạng: d
P x x G x
Nếu Q x tích nghiệm đơn Q x xx1xx2 xxn ta tách
1 2
d n
n
P x A A A
x
G x x x x x x x
dx
Nếu Q x tích nghiệm đơn nghiệm bội giả sử 1 2 3
n
Q x xx xx xx ta tách
2 1
1 3 3 3
d n n d
n n
P x A A B B B B
x x
G x x x x x x x x x x x x x
Nếu Q x tích nghiệm đơn một tam thức bậc hai vô nghiệm giả sử
1 ,
xx xx x px q p q ta tách 2
1
d d
P x A A Bx C
x x
G x x x x x x px q
d Dạng nguyên hàm vô tỉ
- Nguyên hàm dạng 2
,
R x a x đặt sin
cos
x a t
x a t
- Nguyên hàm dạng 2
,
R x a x đặt xatant
- Nguyên hàm dạng 2
,
R x x a đặt
cos
a x
t
- Nguyên hàm dạng R x, a x
a x
đặt xacos 2t - Nguyên hàm dạng R x,n ax b
cx d
đặt
n ax b
t
cx d
(4)- Nguyên hàm dạng
1 n
R
ax b x x
đặt
1
t
ax b
e Dạng nguyên hàm lượng giác
- Nguyên hàm dạng sinn cos md ,
x x x m n
m n, chẵn dùng cơng thức hạ bậc mlẻ đặt usinx,nlẻ đặt ucosx f Một số dạng tích phân đặc biệt
- Cho hàm số f x liên tục hàm chẵn a a; ta có
0
2
a a
a
f x dx f x dx
- Cho hàm số f x liên tục hàm lẻ a a; ta có a
a
f x dx
- Cho hàm số f x liên tục hàm chẵn ; ta có
0
1 a
x
f x
dx f x dx a
- Cho hàm số f x liên tục 0;
ta có
2
0
sin cos
f x dx f x dx
II Sử dụng máy tính cầm tay
Bấm máy tính sau: x X
d
DA DB
dx
1 Tích phân hữu tỉ
Dạng
P x Q x
bậc P x Q x Ta thực hiện phép chia đa thức Áp dụng phương pháp r100
Ta giả sử Q x xx1xx2xx3 (nhiều hay ít làm tương tự):
P x A B C
R x
Q x xx xx xx R x biểu thức dư phép chia
Tìm 3 P x d A x x
dx x x x x
P x d
B
x x
dx x x x x
P x d
C
x x
dx x x x x
(5)Tìm
1 2 3 100
P x
d A B C
R x
x
dx x x x x x x x x x x x x
sử dụng cách tách 100
Dạng
1
ax b f x
x x x x
cần tách đưa dạng
A B
xx xx
Cách Bấm:
1 2 x X
aX b
d
X x X x
dx
rX x1 A
r X x2 B
Cách Bấm:
1
1
aX b
X x
X x X x
r X x1 0, 0000001A
r X x20, 0000001B
Cách 3: Bấm
2
d ax b A
x x dx x x
d ax b B
x x dx x x
Cả ba cách tìm nguyên hàm cho dạng: Aln xx1 Bln xx2 C
VD Tách
2
3
2 14
x x
F x
x x x
thành phân thức tối giản
2 2
2 6
7 14
x x x x A B C
F x
x x x x x x x x x
Bấm:
2
2
1 x X
X X
d
X X X
dx
r X 1 hệ số A3
(6)r X 4 hệ số C5
Vậy
2
3
2
7 14
x x
F x
x x x x x x
VD Tính
3
d
1
x x
Đặt
1 d d
t x t t x
2
3 d
t t t
Thực hiện phép chia máy tính:
2
3
t t
Ta nhẩm lấy hệ số cao tử chia cho mẫu ta
2
3
t t
t
Nhập hình: r X 100 ta
Ta để ý bậc tử chia bậc mẫu bậc nên ta tách 300 101
hệ số tự 3 Sửa hình:
Ta 3 101t1 Vậy
2 2
3 3
3 3 3ln
1 1
t t t
t t t C
(7) 2
3
3
3 3ln 1
x
x x C
VD Tính nguyên hàm sin3 4 d sin cos cos
x
x
x x x
Ta biến đổi: sin3 4 d sin cos3 4 d sin cos 14 d sin cos cos sin cos cos tan cos
x x x x x
x x x
x x x x x x x x
2
2
1
2 tan
1 tan tan
cos . d d tan
2 tan cos tan
x
x x
x x x
x x x
Ta thực hiện phép chia đa thức tử chia cho mẫu:
Đặt
2
2 tan
2
X X
X x
X
Ta chia bậc cao tử cho mẫu ta
2
1
2
X
X
X
Nhập hình: r X 100
Vì thương phép chia bậc 1, mà hạng tử chứa bậc
2X nên ta 150
2014
Sửa hình: r X 100
Tách 1 804 4 2X 1
Vậy ta thương 1 1tan 1 X 4 2X 12 x 4 tanx1
Suy 1
tan d tan tan tan ln tan x 4 tanx x x x x C
(8) Tách phân thức ax b a K
cx d c cx d
Nhập máy tính: aX b a cX d CALC X 10 K
cX d c
Khi đó: ax bdx a K dx ax Kclncx d
cx d c cx d c
VD Tách 2
x F x
x
2 1
2
x K
x x
Bấm 1 2 1
x
x x
r x10 K
Vậy 1
2
x F x
x x
Tách phân thức dạng:
2 1
1 3 3
d n n d
n n
P x A A B B B B
x x
G x x x x x x x x x x x x x
VD Phân tích hàm số
2
1
x F x
x x
thành phân thức tối giản Ta có
2 2
1
1 1
x A B C
x x
x x x
Ta tìm A C, dễ tìm B
Bấm:
2 1 x X
x d
x x
dx
Tìm A r X 1 ta
A
Để tìm C ta bấm
2
2
1
x
x
x x
r X 1, 00001 ta
(9)Để tìm B ta bấm:
2
2
1
x
x
x x
r X 1, 00001 ta sau trừ
đem chia cho x1 xấp xỉ
4
vậy
1
B
Vậy
2 2
1 1
4
1
x F x
x x
x x x
Bài phức tạp tìm B khơng r bình thường Các bạn ý theo dõi kỹ chỗ tìm B: r kết trừ cho phần nguyên số Rồi đem chia cho mẫu phân thức ta cần tìm hệ số
VD Tách 31
F x x
thành phân thức tối giản
1
1 1
A Bx C
F x
x x x x
Tìm hệ số A bấm
3
1
1
3 x
d x
dx
Tìm Bx C ta có:
2
2
3
1
1
1 3
1 1
1 1
x x Bx C x
Bx C
x x Bx C x
x x x x x
1
3
x x
Bx C
x
Đến để tìm B C, ta vào hệ w2 nhập hàm bên r xi
Vậy
3
(10)Vậy 3 2
1
1 3 3
1 3( 1)
x F x
x x x x
III Ví dụ
VD Tìm nguyên hàm hàm số
2
f x x x
A
2
F x x x x C B
3
F x x x x C
C F x 2x 2 C
D
2
F x x x x C
Ta có:
3
2 2
2
3
x
f x dx x x dx x dx xdx dx x x C
Chọn B
VD Nguyên hàm hàm số f x 12
x x
A
lnxlnx C
B lnx C x
C ln x C
x
D ln x C
x
Ta có: f x dx 12 dx 1dx 12 dx ln x C
x x x x x
VD Nguyên hàm hàm số
f x x
A 1ln 5 x C
B ln 5x 1 C
C 1ln
5 x C
D. ln 5x 1 C
Ta có: dx 1ln ax b C
ax b a
Áp dụng: 1ln 5x1dx5 x C
VD Tìm nguyên hàm f x 3 x4là:
A
5
3
x C
B
5
3
x C
C 3 x5C D 4 3 x5C
Ta có:
1
1
u
u dx C
(11)Áp dụng: 3 x
x dx C
VD Biết F x một nguyên hàm hàm số 2
f x
x x
thỏa mãn
3
F
Tính
3
F
A F 3 ln B F 3 2 ln C F 3 2 ln D F 3 ln Ta có:
2
1
3 2
A B
f x
x x x x x x
Đồng thức ta
2
1 2
A B x A B
A B
x x x x x x
0
2 1
A B A
A B B
Ta có 1 ln ln
1dx 2dx x x C
x x 0
f C
Vậy f 3 ln
Qua ví dụ ta lưu ý:
Có thể nhớ nhanh cơng thức:
x a1x bdx b a1 ln x bx a C
hay tổng quát cho trường
hợp 1 dx ln ax b C
ax b cx d ad bc cx d
VD Xét 3 5
4
I x x dx Bằng cách đặt
4
u x Khẳng định sau đâu đúng?
A
4
I u du B
12
I u du C
16
I u du D
5
I u du
Đặt
4
u x 16 3
16
du
du x dx x dx
thay vào I x34x435dx.ta 16u du VD Giả sử x
F x ax bx c e một nguyên hàm hàm số x
f x x e Tính S a b c
A S1 B S0 C S5 D S2
Ta có
' x x x x
F x ax b e e ax bx c e ax a b x b c e x
1
2
0
a a
a b b
b c c
(12)Hoặc một cách khác: dựa vào chất nguyên hàm phần mà ta có:
Tạm ký hiệu sau: u u u', '', ''', đạo hàm lần 1, 2, … Của u x v v v1, 2, , nguyên hàm
lần 1,2,3… v x
Ta có được: uv1u v' 2u v'' 3
Áp dụng:
' , ''
ux u x u ;vex v1 e vx, 2e vx, 3ex
2
x x x x 2
x e x e e e x x vậy ta xác định a b c, , nhanh chóng Vậy S a b c 2
Bấm máy tính sau: y
Tách:
9802 10000 200 2 x 2x 2 F x 1 2 Chọn A VD Tìm nguyên hàm hàm số f x cos 2x
A 1sin
2 x C B
1 sin
2 x C
C 2sin 2x C D 2sin 2x C
Đặt 2
2
dt
t xdt dxdx thay vào cos cos 1sin 2
dt
xdx t tC
Thay ngược lại ta 1sin 2 x C
Ta có cơng thức nhanh: cosax b dx 1sinax b C a
; sinax b dx 1sinax b C
a
VD Cho a b, hai số thực thỏa mãn F x acosx b sinx e x nguyên hàm hàm số xcos
f x e x Tính P a b
A B C D
Đây dạng nguyên hàm lặp lại, ta nguyên hàm hai lần quay lại đề ban đầu
Đặt
1
' sin , '' cos cos
x x
u x u x
u x
v e dx dv e dx
(13)Ta có cos sin cos cos sin 1cos 1sin
2
x x x x x
I x e x e e xdx I e x x I e x x
Vậy 1
2
a b S a b
Ta có cơng thức giải nhanh:
2
cos cos sin
ax
ax e
e bxdx a bx b bx C
a b
2
sin sin cos
ax
ax e
e bxdx a bx b bx C
a b
VD Biết xe dx2x axe2xbe2xC a b , .Tính ab
A
4
ab B
4
ab C
8
ab D
8
ab
Đặt 2 2
2 x x
du dx u x
v e
dv e dx
Ta có: 2 2
2 2
x x x x
x x
e e dx e e C
1
1
1
4
a
ab b
Bấm máy tính sau:
Tách: 199 200 1
4 4 4
x x
a b
VD Cho 13
F x x
một nguyên hàm hàm số f x
x Tìm nguyên hàm hàm số
' ln
f x x
A ln3 12
x
C
x x B
ln
x
C
x x
C ln3 12
x
C
x x D
ln
x
C
x x
(14)
1
' f x
F x f x
x x x
Xét nguyên hàm f ' x lnxdx đặt
ln
'
u x du dx
x
dv f x dx
v f x
3
ln ' ln ln
3
f x
f x xdx x f x dx C
x x x
VD Cho F x một nguyên hàm hàm số f x ex2x thỏa mãn 0
F Tìm F x
A
( )
2 x
F x e x B
( )
2 x
F x e x
C
( )
2 x
F x e x D
( )
2 x
F x e x
Ta có:
2
x x
e x dx e x C
3
0
2 2
F e C C Vậy
( )
2 x
F x e x
VD Cho hàm số y f x thỏa mãn f ' x x1ex x
f x dx ax b e C
với a b,
Tính a b
A B C D
Ta có x
F x ax b e C nguyên hàm f x và f ' x x1ex
Đặt F'' x f ' x
' x x
f x dx x e dxxe C f x
x 1 x
f x dx xe dx x e C
Vậy a1,b 1 a b
VD Tìm nguyên hàm hàm số
3
2 1
x
dx x x
A
ln x C x
B
ln x C x
C ln x 12 C
x
D ln x 12 C
x
(15)Sử dụng phương pháp tách 3 1
x A Bx
x x
x x
r X 0, 000001 hệ số A 1
r X 1, 0000001 hệ số B3 Suy ra:
3
3
2 1
1 x x x x x x Khi đó: 3 3
2 1
1
1
d x
x x
dx dx dx
x x x x
x x
3
ln x ln x C ln x C ln x C
x x
Bấm máy trực tiếp: qy
VD Tìm nguyên hàm f x hàm số
2
cos ' sin x f x x A
2
sin sin x C x B
2 cos xC C
1 sinx C
D sin sin x C x Ta có:
2 2
2 sin
cos
2 sin sin sin
d x x dx C x x x
Chọn C
VD Giả sử một nguyên hàm hàm số
2 1 1 x f x
x x x
có dạng
3 1 b a x x
Tính a b
A 2 B.
3
C D.
3
(16)Ta có
2
2
1
1 1
x
f x dx dx dx
x x x
Tính
2
1
x dx x
đặt
1
t x tdt x dx
2
3
3
2 2
1
3 3
1
x
dx dt t C x A
x
Tính
2 2
1
2
1
1
dx d x C B
x
x x x
Vậy
3
a b
VD Gọi F x một nguyên hàm hàm số f x 2x, thỏa mãn 0 ln
F Tính giá trị biểu thức T F 0 F 1 F 2 F2017
A
2017
2
1009 ln
T B
2017.2018
2
T
C
2017
2
ln
T D
2018
2
ln
T
Ta có 2
ln x x
F x dx C
Mà 0
ln ln
x
F C F x
20 21 22017 1 22018 22018
0 2017
ln ln ln ln ln ln
T F F F F
Bấm máy: ta biến đổi để ln
x
F x
Bấm: qi
ta bấm gán vào A, lấy A trừ
đáp án rút gọn
(17)Bài TÍCH PHÂN I. Lý thuyết
1 Tích phân
b
a
f x dxF b F a
Tính chất
Tích phân tổng tổng tích phân:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Có thể đưa số ngồi tích phân:
b b
a a
kf x dxk f x dx
Tích phân mợt điểm 0: a
a
f x dx
Chèn điểm c a b; vào cận ta có:
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
Tính bất biến tích phân:
b b b
a a a
f x dx f t dt f y dy
II Sử dụng máy tính cầm tay
Sử dụng chức y để tính tích phân III Ví dụ
1 Tích phân dạng hàm
VD Cho hàm số f x có đạo hàm 1; thỏa mãn f 1 1,
4
1
'
f x dx
Giá trị f 4
A B C D
Ta có:
4
1
' 4
f x dx f x f f f
VD Cho hàm số f x liên tục F x nguyên hàm f x , biết
9
0
d
f x x
0
(18)A – B – 12 C 12 D
Ta có d b
a
f x xF b F a
từ ta tính mợt yếu tố biết hai yếu tố lại
9
0
d 9 9
f x x F F F
Chọn D
VD Cho hàm số f x liên tục 1; 4,
4
1
4 2017, ' d 2016
f f x x
Tính f 1
A f 1 B f 1 C f 1 D f 1
Ta có:
4
1
' d 2017 2016 1
f x x f f f f
Chọn B
VD Cho hàm số f x liên tục 1; 2 F x nguyên hàm f x , biết
2
1
d
f x x
1
F Tính F 2
A B C D
Chọn A
VD Cho hàm số f x thỏa mãn
5
2
10
f x dx
Tính
2
5
2
I f x dx
A I 32 B I 34 C I 36 D I40
Từ
2 2
5
5 5
2 4 40 34
I f x dx dx f x x f x
Hoặc
Mẹo:
b
a
K f x dx K f x
b a
Áp dụng:
5
2
10 10
3
f x dx f x
2
5
10
2 4 34
3
I f x dx
VD Cho hàm số f x thỏa mãn
10
0
7
f x dx
6
2
3
f x dx
Tính
2 10
0
(19)A I 10 B I 4 C I 7 D I 4
Áp dụng tính chất
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
Ta có:
10 10 10 10
0 6
7
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
VD Cho
2
2
1,
f x dx f t dt
Tính
4
2
I f y dy
A – B – C D
4 4
2 2 2
1
f y dy f y dy f y dy f x dx f t dt
VD Tính F' 0 hàm số
2
0
0 cos x
F tdt x0
A B – C D
Đặt y t 2ydydt
Đổi cận tích phân: t 02 y
y x t x
Ta được:
2
0
cos cos
x x
F x tdt y ydy
Đặt 2
cos sin
u y du dy
dv ydy v y
Ta có:
0 0
2 sin sin sin cos sin cos x
x x x
y y ydy y y y x x x F x
Ta có f ' x 2 cosx x f 0 0
VD Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn
4
2
2
f x dx
Khẳng đinh sau sai?
A
2
1
2
f x dx
B
3
3
1
f x
C
2
1
2
f x dx
D
6
0
1
2
(20)Ta có:
4
2
2
4
f x dx f x
Bấm:
Đáp án A
Đáp án B
Đáp án D
Chọn C câu A ta loại C
VD Cho f x liên tục 0; thỏa mãn f x 2f 2x2 x Tính
2
0
d
f x x
A
3 B
2
3 C
4
D. 2
Cách 1:
Từ
2 2
0 0
2 2 d 2 d d
f x f x x f x x f x x x x
2
0
4
3 d d
3
f x x f x x
Cách 2:
Chọn x1 thay vào f x 2f 2x2x f 1 2f 1 2
2
0 0
2 4
3 1 d d d
3 3
f f f x x f x x
VD Cho
1
1
d 2x
f x x
y f x hàm số chẵn 1;1 Khi
1
1
d
f x x
bằng
A B 16 C D
(21)Ta thấy tích phân sau gấp đôi tích phân trước, suy
1
1
d 4.2
f x x
VD Cho f x hàm số chẵn, liên tục
5
0
1 2 f x dx15
Tính
5
5
d
I f x x
A 10 B C 30 D 15
2
Ta có:
5 5 5
0 0
1 2f x dx dx f x xd 15 f x dx f x dx 5.2 10
Bấm máy tính:
VD Cho hàm số y f x liên tục nhận giá trị dương 0; thỏa mãn f 1 1, '
f x f x x , với x0 Mệnh đề sau đúng?
A 4 f 5 5 B 2 f 5 3 C 3 f 5 4 D 1 f 5 2
Từ
' '
1
' d d
3
f x f x
f x f x x x x
f x f x
x x
2 3
d 2 2
3 ln
3
x C
f x
x C f x x C f x e
f x
Ta có
2 4 3
4
1 3, 794
3
f C f e
Chọn C
Cách khác:
5
1
' '
d d d d
3
3
f x f x
x x x x
f x x f x x
(22)
5
3
1
d
ln ln
3
f x f
f x f e
f x f
VD Cho hàm số f x thỏa mãn
1
0
' d
x f x x f
Tính
1
0
d
I f x x
A I 0 B. I 1 C I 1 D I 2
Từ
1 1
0 0
' d ' d d ' d 1
x f x x f x f x x x x f x f x x f
Xét
1
0
' d
x f x x
Đặt
1
0
d d
d ' d
u x u x
xf x f x x
dv f x x v f x
0
1 d 1 d
f f x x f f x x
Chọn B
VD Cho hàm số y f x thỏa mãn
1
0
1 ' d 10
x f x x
2f 1 f 0 2 Tính
1
0
d
I f x x
A I 12 B I 8 C I 12 D I 8
Đặt
1
0
1 d d
1 d 10
d ' d
u x u x
x f x f x x
v f x x v f x
0
2f f f x dx 10 f x dx
2 Tích phân bình thường
Sau tìm nguyên hàm phương pháp Ta áp dụng công thức tích phân để tính giá trị tích phân
Bấm máy trực tiếp y
3 Tích phân chống máy tính cầm tay
(23)Về nguyên tắc bản: cần lưu trước tích phân vào biến nhớ Thường ẩn số nguyên hữu tỉ
VD Cho
1
2
4 ln
ln ln ,
x
dx a b a b
x
Tính 4a b
A B C D
Gán
1
2
4 lnx
dx A
x
Giải hệ phương trình
2
ln ln
a b A
a b K
với K đáp án
Lần lượt thử với đáp án, đề nói a b, nên máy tính báo số nguyên mới nhận Với
K ta
Vậy a2,b 1 4a b
VD Cho
4
0
cos
ln
sin cos
x
dx a b
x x
0 a 1,1 b 3, ,a b Tính tích ab A
2 B
1
4 C
1
6 D
1 Gán tích phân vào A
Từ
4
1 ln
cos 4
ln
sin cos
A b
x
dx a b a
x x
(24)Vào w7 Coi hàm ta
1 ln
A x
y
, 1 b nên ta chọn START END STEP 0,25
Ta thấy
Ta 2, 0,125
x y hay 2, 1
8
b a ab
VD Biết
4
ln ln ln , ,
dx
a b c a b c
x x
Tính S a b c
A B – C D
Gán
4
dx A x x
Khi Aaln 2bln 3cln 5ln 2aln 3bln 5c Sử dụng tính chất ln
ln
a a
ae e ta có: ln A ln 5 a b c A 5a b c
e e
Bấm:
tách
4
4
16
2 15 3.5
(Sử dụng chức FACT) Vậy a4,b c S a b c
VD Biết
5
3
1
d ln
1
x x b
x a x
với a b, số nguyên Tính a2b
A – B C D 10
(25)Ta có: ln ln
2 2
A a A a
b b b
A a A a e e b
Sử dụng w7 nhập hàm số START – 9, END 9, STEP
Vậy a8,b 3 a 2b2 Chọn C VD Biết
1
ln e
x
dx a e b
x
với a b, Tính Pa b
A P4 B P 8 C. P 4 D P8
Lưu tích phân vào A
Ta có Aa e b A a eb Sử dụng w7 nhập hàm số START – 9, END 9, STEP
Vậy a 2;b 4 P a b 8 Chọn B
VD Cho tích phân:
5
4
4
2
ln ln ln ln , , ,
x
I dx a b c d a b c d
x x
(26)(bài sử dụng máy tính VINACAL máy tính casio khơng xử lý được)
Lưu tích phân vào A
Ta có eA 2 7a b c d
Ở ta tách dạng tích thừa số ngun tố (vì điều kiện cho hữu tỉ nên số mũ ta không nguyên)
Ta sử dụng phương pháp w7 nhập hàm số AX
F X e X (vì a b c d, , , nên ta nhân cho số làm cho hệ số phân tích thừa số nguyên tố)
Tại
6 13
4287 4287 250047
6,
40960 40960 40960
X F X
13 1
, 1, ,
6
a b c d
VD Tính tích phân
2017
2019
2
x
I dx
x
A
2018 2018
3
2018
B
2018 2018
3
4036
C
2017 2018
3
40342017 D
2021 2021
3
4040
Mẹo: Bấm máy số mũ to vậy máy không xử lý ta thu gọn biểu thức lại toán
của ta thu lại
17
19
2
x
I dx
x
A
18 18
3 18
B
18 18
3 36
C
17 18
3
3417 D
21 21
3 40
Bấm tích phân
(27)Chọn B
VD Cho
4
0
1
I x xdx u 2x1 Mệnh đề dưới sai?
A
3 2
1
1
I x x dx B
3 2
1
1
I u u du
C
3
5
1
1
2
u u
I
D
3 2
1
I u u du
Ta có
2
2
2
2
u
u x u x x ududx
Đổi cận:
4
x u
x u
4 3
2
0 1
1
1
2
u
I x xdx udu u u du
Bấm máy: ta bấm
4
0
1
I x xdx
Sau bấm đáp án, thấy đán án có cùng kết
Loại câu A, chưa đổi biến
Đáp án B
VD Biết
5
3
1
ln
1
x x b
dx a x
(28)A S 2 B S5 C S2 D S10 Ta biến đổi
5 5
2
3
3
1 1
ln ln
1 2
x x
dx x dx x x
x x
Bấm máy: Gán
5
3
1
ln ln
1 2
x x b b
dx A A a a A
x
w7
ta b3,a8 Vậy a2b 8 2.32
VD Kết tích phân
2
0
1 2x sinx dx
a b
a b, Khẳng định sau sai?
A a2b8 B a b 5 C 2a3b2 D a b 2
Gán: 1
1
A a
A a b
b
(29)ợc b2,a4 Suy khẳng định B sai VD Biết
1
ln e
x
dx a e b
x
với a b, Tính ab
A ab4 B ab 8 C ab 4 D ab8
Gán Aa e b b A a e
w7:
2,
a b
Vậy ab 8
VD Biết
3
1
ln ln e
a e b c
x x
với a b c, , số hữu tỉ Tính S a b c
A S1 B S 1 C S0 D S2
(30)
3 2
1 1 1
1
1 1
1
e e e e e e d x
A B x
dx dx dx dx dx
x x x x x x x x
1
1 1
ln ln ln ln
2 2
e
x x e
1
a b c
VD Giả sử
2 d
x x
e x x x x ax bx cx d e C
Khi a b c d
A – B C D
Bấm sau:
tách
1009803x x 2x3 Vậy a b c d 3 Chọn C
VD Cho
2
2 ln
d ln ln
e
x b
I x a
c
x x
với a b c, , Z, b
c
tối giản Tính S a b c
A S3 B S5 C S0 D S7
Gán tích phân vào A
ln b b ln
A a a A
c c
Ta w7
Ta thấy 2, 1,
2
b
a a b c a b c
c
Chọn B
VD Cho
1
4
0
d ln ln , , ,
3
x
I x a b c a b c
x x
(31)A B C D –
Gán tích phân vào A
Ta có AlnablnceA a c b
Vì a b c, , nên ta chọn hàm sau Ax x bx
e a c Ta nhân thêm x vào mũ ta nhận kết đẹp
Vào w7
Ta
Khi 2 3
3 3, , 2
8
b
a c a b c S a b c
VD Cho d ln 4
2
x
I a x b x C
x
Tính a b
A – 2 B – C D
Ta gán cận cho nguyên hàm:
1
1
d
ln ln ln ln
2
x
a b b a b A
x
(32)Đến đây, ta chọn phương trình a b ĐÁ rồi giải hệ chọn tiếp một cặp cận nữa thay vào
Ở xin phép dựa vào đáp án chọn đáp án cho hệ số a b, đẹp
Vậy a1,b 4 Vậy a b 3
Bài ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I. Lý thuyết
1 Tính diện tích hình phẳng
Cho hàm số y f x liên tục không âm đoạn a b; Khi diện tịch hình thang cong giới hạn y f x ,y0,xa x, b
b
a
f x dx
Diện tích S hình phẳng D giới hạn y f x ,y0,xa x, b b
a
S f x dx
Diện tích S hình phẳng D giới hạn y f x ,yg x x , a x, b b
a
S f x g x dx
Tính f x g x có nghiệm x x x1, 2, 3, a b; Khi tốn khơng cho cận cận
hai nghiệm x1 xn
2 Tính thể tích vật trịn xoay
Thể tích trịn xoay tạo mặt phẳng tròn xoay giới hạn đường y f x ,y0,xa x, b
quay quanh trục Ox 2
b
a
V f x dx
Thể tích trịn xoay tạo mặt phẳng tròn xoay giới hạn đường y f x ,yg x ,xa x, b quay quanh trục Ox 2 2
b
a
V f x g x dx
(33)Cho phương trình vận tốc V f t quãng đường nguyên hàm vận tốc b
a
S f t dt
4 Mợt số ứng dụng khác
Tính diện tích chỏm cầu có bán kính R đường cao h : 2
2 R
R h
S R h
Thể tích hình cầu hình trịn 2
:
C x y R quay quanh trục Ox:
2 2
0 R R R R
V R x dx R x dx
Thể tích hình elip
2
:x y
E
a b quay quanh trục Oy
2 2 2
2 2 b b b
a y a y a b
V a d y a dy
b b
I. Ví dụ
VD Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị
2
yx y3x
A B
C
2 D
1
2
3
2 x x x x
Diện tích cần tính 2 1
x x dx
VD Tính diện tích hình phẳng S giới hạn
yx x
y x x
A 37
12
S B
4
S C 81
12
S D S13
3
0
x
x x x x x
x Bấm 2 37 12
x x x dx
VD Cho đồ thị y f x hình vẽ sau Diện tích S hình phẳng (phần gạch chéo) xác định
A
2
2
S f x dx
B
1
2
S f x dx f x dx
(34)C
2
1
S f x dx f x dx
D
1
2
S f x dx f x dx
Diện tích có giá trị dương nên
1
2 2
S f x dx f x dx f x dx f x dx
Chọn C
VD Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng
1, 0, 0,
yx y x x A
2 B
7
C
D
Bấm
2
7
2
x dx
VD Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng
3
yx x y x
A
3
S B 37
14
S C 799
300
S D S2
Phương trình hồnh độ giao điểm
3 1,
x x x x x
Ta có
3
4 3d
3
S x x x Chọn A
VD Diện tích hình phẳng giới hạn đường
1
y x y x 5là A 73
6
B 12 C. 73
3
D 14
PTHĐGĐ:
1
x x x
Bấm
3
73
1
3
x x
(35)VD Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn parabol P , tiếp tuyến A1; 1 đường thẳng x2 Tính diện tích S
A S1
B
3
S C
3
S D
3
S
Phương trình parabol
yx (vì qua 0.0 , 1; , 1; 1) Phương trình tiếp tuyển P A y 2x
Vậy diện tích giới hạn
2
2
1
1
2 d d
3
S x x x x x x
VD Cho hình phẳng giới hạn đường yxln ,x y0,xe quay xung quanh trục Ox tạo thành khối trịn xoay tích
2
be a
Tìm a b,
A a27,b5 B a26,b6 C a24,b5 D a27;b6 ĐK: x0
Phương trình hồnh đợ giao điểm xlnx 0 x
2
1
ln
27 e
V x xdx e suy a27,b5
VD Thể tích khối trịn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường y 2x, ,
yx y quanh trục Ox tính theo công thức sau đây?
A
1
2
0
2
V x dxx dx B
2
0
2
(36)C
1
0
2
V xdx xdx D
1
2
0
2
V x dx x dx
Phương trình hồnh đợ giao điểm
2
0
2
x x x
x
x x
;
Vậy ta có:
1
2
0
2
V x dx x dx
VD Gọi H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
yx đường thẳng x1 trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay H quanh trục Ox
A
3
V B
3
V C
5
V D
5
V
Ta bấm:
VD Gọi H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 2
x y
x
, trục Ox đường thẳng x1 Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình H quanh Ox
A ln4
B 1ln4
2 C
3 ln
D ln4
Ta có phương trình hồnh đợ giao điểm: 2 0
x
x x
Thể tích giới hạn:
2
2
4
d ln
4
x
V x
x
Chọn A
VD Gọi H hình phẳng giới hạn hai trục đồ thị, đường thẳng x1 đồ thị hàm số
3
1
y x Tính thể tích khối trịn xoay H sinh quay quanh trục Ox
A
3 B
23
14 C
9 14
(37)Bấm máy tính: Chọn B
VD Gọi H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x2,y x 2,x1 Tính thể tích V
của vật thể trịn xoay quay hình phẳng H quanh trục hồnh
A 27
2
V B
2
V C V 9 D 55
6
V
Vì đồ thị y x2 nằm dưới Ox nên bị âm Ta lấy đối xứng lên Ox
Phương trình hồnh đợ giao điểm: 2
x
x x
x
Ta có:
1 2
2
2
55
1 d d
6
V x x x x
Chọn D
VD Mợt đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N t Biết ' 4000 0,5
N t
t
lúc đầu
đám vi trùng có 250000 Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng bao nhiêu?
A 258.959 B 253.584 C 257.167 D 264.334
Ta có số lượng vi trùng số lượng ban đầu cộng với số lượng tăng 10 ngày tính
như sau:
10
0
4000
250000 d
1 0,5t t
Chọn D
VD Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện xã lũ 40 phút với lưu lượng nước thời điểm t giây
10 500 /
v t t m s Hỏi sau xã lũ hồ mợt lượng nước bao nhiêu?
A 4 3
5.10 m B 6 3
4.10 m C 7 3
3.10 m D 6 3
(38)Ta có lượng nước thoát là:
2400
7
10t500 3.10 m
VD Một ô tô chuyển động với vận tốc 15 m/s người lái đạp phanh Kể từ thời điểm đó, tơ chuyển đợng chậm dần với vận tốc v t 5t 15 m s/ Trong t khoảng thời gian tính giây Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh xe dừng hẳn cịn di chuyển m?
A 22, m B 45 m C 2, 25 m D 4, m
Quãng đường nguyên hàm vận tốc Ta có, thời điểm xe dừng hẳn vận tốc 0, suy
ra t3 Vậy quãng đường
3
0
5t 15 dt 22,5 m
VD Mợt mảnh vườn tốn học có dạng hình chữ nhật, chiều dài 16 m chiều rộng m Các nhà toán học dung hai đường parabol, parabol có đỉnh trung điểm mợt cạnh dài qua hai đầu mút cạnh dài đối diện Phần mảnh vườn nằm miền giới hạn hai parabol trồng hoa hồng Biết chi phí trồng hoa hồng 45.000VND m/ Hỏi nhà toán học tiền để trồng hoa mảnh vườn đó?
A 3322000 VND B 3476000 VND C 2715000 VND D 2159000 VND
Ta gán hệ trục tọa đợ cho mảnh vườn hình vẽ
Ta cần phải xác định phương trình hai đường parabol sau tính diện tích mới tìm số tiền
Cách viết phương trình parabol máy tính cầm tay:
(39)Để bắt đầu sử dụng ta ấn w3=
Ta viết phương trình parabol úp trước Nhìn đồ thị ta thấy, parabol úp qua ba điểm 0; , 8; , 8; 4
Bấm máy tính w33 Ta thấy có hai cợt x nhập hồnh đợ ba điểm parabol qua ynhập tung độ tương ứng ba điểm cột x Ta nhập sau:
Nhập xong ấn nút AC Lưu ý: Phương trình parabol ta thường
y Ax Bx C , máy tính ngược
lại
yCx BxA Chúng ta hiểu theo máy tính
Ấn q15
để tìm hệ số C B A, ,
Chọn 3 C
Chọn 2 B
Chọn 1 A
Vậy phương trình parabol úp
1
y x
Phương trình parabol ngữa viết tương tự, nhiên hai đồ thị đối xứng qua
2
1
Oxy x
(40)Tìm giao điểm hai parabol:
2 2
1 2
1
0 4
8 8
y y y y x x x x
Ta tính diện tích nửa sau nhân ta diện tích phần giới hạn hai parabol
Sau ta nhân với số tiền trồng hoa
Vậy số tiền nhà toán học phải trả 2715000 VND Chọn C VD Ơng B có mợt khu vườn giới hạn mợt đường parabol một đường thẳng Nếu đặt hệ trục tọa đợ Oxy hình vẽ parabol có phương trình
yx đường thẳng y25 Ơng B dự định dung một mảnh vườn nhỏ chia từ vườn một đường thẳng qua O điểm M parabol để trồng hoa Hãy giúp ông Bxác định điểm M cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ
2
A OM 2 B OM 15 C OM 10 D OM 3 10
Gọi H điểm có hồnh đợ a hình chiểu điểm M lên Ox Suy phương trình : tanOM
OM y x ax
OH
Ta có
2 3
2
0
0
a a
ax x a
axx dx
Ta có
3
9
3 10
6
a
a OM
VD Người ta dựng mợt lều vải H có dạng chóp lục giác cong hình vẽ Đáy mợt hình lục giác có cạnh 3m Chiều cao SO6m SO vng góc đáy Các sợi dây c c c c c c1, 2, ,3 4, 5,
nằm đường hình parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến H
(41)A 135 3 2
5 m
B 96 3 2
5 m
C 135 3 2
4 m
D 135 3 2
8 m
Ta xét một mặt phẳng qua SO c1 Ta thấy c1đi qua ba điểm A 0;6 ,B 1;3 ,C 3;0
1
1
:
2
c y x x
Rút :
2
x y x y Thể tích lều:
2
0
6 135
2
4
V y dy
(42)VD Một chất điểm chuyển động với vận tốc v0 15 /m s tăng tốc với gia tốc
2
4 /
a t t t m s Tính quãng đường chất điểm khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc
A 70, 25 m B 68, 25 m C 67, 25 m D 69, 75 m
2
t
v t a t dt t C mà
3
0 15 15
3
t
v C t
Bấm
VD Cho hàm số y f x Đồ thị hàm số
y f x hình bên Đặt
2
h x f x x Mệnh đề dưới đúng?
A h 4 h 2 h B h 4 h 2 h C h 2 h h 2 D h 2 h 2 h
Ta có h x' 2f ' x xh x' 0 f ' x x
Đường thẳng yx qua ba điểm 2; ; 2; ; 4; 4 trên đồ thị Gọi S S1, diện tích phần bên bên dưới
đường thẳng yx
2
2
0 ' 2 2
S h x dx h h h h
4
2
0 ' 4
S h x dx h h h h
Mà S1S2 h 2 h h h h 4 h 2
(43)VD Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ tḥc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển đợng, đồ thị có mợt phần đường parabol có đỉnh I 2;9 trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian cịn lại đồ thị mợt đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phần trăm)
A s23, 25 km
B s21,58 km
C s15,50 km
(44)Phương trình parabol chuyển đợng
5 4
y x x
Ta có 1 31
v phương trình đường thẳng chuyển đợng 31
y
Ta có qng đường vật chuyển đợng tính theo
1
2
0
5 31
5 21,58
4 x x dx 4dx
Đọc thêm: công thức Walliss
2
0
1 !! !!
cos sin
1 !!
!!
n n
n n
xdx xdx
n n
lẻ dùng 1 , chẵn dùng 2
!!
n đọc n Walliss hiểu dựa vào n chẵn hay lẻ VD 0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5
VD
2 11
10!! 2.4.7.8.10 256 cos
11!! 1.3.5.7.9.11 693
xdx
VD
2 10
9!! 63
sin
10!! 512
xdx