Tải Sáng kiến kinh nghiệm - Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong môn hình học lớp 7 - Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 7

Trong chương trình hình học THCS các bài tập yêu cầu chứng minh chiếm tỉ lệ lớn nên yêu cầu giáo viên giảng dạy cần hướng dẫn học sinh tìm cách chứng minh bài toán chứ không đơn thuần [r]

ĐỀ TÀI:

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TỐN CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NGƯỢC

TRONG MƠN HÌNH HỌC LỚP 7 I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý chọn chuyên đề:

Trong chương trình hình học THCS tập yêu cầu chứng minh chiếm tỉ lệ lớn nên yêu cầu giáo viên giảng dạy cần hướng dẫn học sinh tìm cách chứng minh tốn khơng đơn giúp học sinh có lời giải tốn Thơng qua việc hướng dẫn giáo viên giúp học sinh tự đúc kết phương pháp chứng minh, tiến tới có phương pháp học tập mơn hình học

Với chương trình hình học 6, học sinh làm quen với khái niệm mở đầu hình học Học sinh tiếp cận kiến thức đường quy nạp khơng hồn tồn, từ quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để dần đến kiến thức Học sinh nhận thức hình mối liên hệ chúng mô tả trực quan với hỗ trợ trực giác, tưởng tượng chủ yếu Lên lớp học sinh bước đầu làm quen với mối quan hệ vng góc, song song, nhau… Với yêu cầu kĩ từ thấp đến cao địi hỏi phải có suy luận lơgíc hợp lý, khả sử dụng ngơn ngữ xác thơng qua tập chứng minh Việc làm quen tiếp cận với toán chứng minh học sinh lớp mẻ nên đại đa số học sinh chưa biết chứng minh đâu

Nếu vấn đề khơng khắc phục từ lớp HS khơng thể tiếp thu kiến thức hình học lớp Do vai trò giáo viên giảng dạy lúc quan trọng Giáo viên người hướng dẫn, phân tích giúp học sinh tìm cách chứng minh tốn hình học từ hình thành kĩ phân tích, tổng hợp kiến thức kĩ trình bày lời giải Từ hình thành phương pháp học toán cho HS

Với lý nên chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài tốn chứng minh phương pháp phân tích ngược mơn hình học lớp 7”.

Trong trường THCS mơn tốn coi mơn khoa học ln trọng mơn có nhiều khái niệm trừu tượng Đặc biệt phải khẳng định phân mơn hình học có nhiều khỏi niệm trừu tượng nhất, kiến thức tập lại phong phú, nhiều so với nội dung lý thuyết học Bên cạnh yêu cầu tập lại cao, nhiều tốn dạng chứng minh địi hỏi phải suy diễn chặt chẽ lơ gíc có trình tự

SGK hình học 7, kiến thức trình bày theo đường kết hợp trực quan suy diễn, lập luận Bằng đo dạc, vẽ hình, gấp hình, quan sát …học sinh dự đốn kết luận hình học tiếp cận định lý Nhờ giúp HS có hứng thú học tập, chịu khó tìm tịi khám phá kiến thức

Sách giáo khoa hình học tiếp tục bổ sung kiến thức mở đầu hình học phẳng lớp làm quen với khái niệm mới: Hai đường thẳng vng góc, hai đường thẳng song song, quan hệ hai tam giác, tam giác cân, tam giác đều, định lí Pitago, quan hệ yếu tố tam giác, đường đồng quy tam giác Chương trình hình học bước chuyển tiếp quan trọng tư để giúp HS học tốt chương trình hình học

Hệ thống tập đa dạng phong phú thể nhiều hình thức, phần lớn tập chứng minh, từ địi hỏi HS phải có phương pháp phân tích hợp lí để tìm lời giải cho tốn Vì việc hướng dẫn học sinh cách phân tích tìm lời giải cho toán quan trọng để khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học toán nhẹ nhàng hào hứng, đạt kết tốt

3 Cơ sở thực tiễn chuyên đề a) Đối với giáo viên:

Cơ có tinh thần tự bồi dưỡng thường xuyên, liên tục để nâng cao trỡnh độ chun mơn nghệp vụ Có trách nhiệm học sinh, trường lớp

Phương pháp giảng dạy có đổi theo hướng tích cực hóa hoạt động người học, bước áp dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy

HS tiếp thu cách thụ động, thiếu tự nhiên, thiếu tính sáng tạo, dẫn đến kết học tập thấp

b) Đối với học sinh:

Một phận học sinh, khoảng 20% tích cực học tập, rèn luyện, có động học tập đắn nên c kết học tập tốt

Một phận lớn học sinh, khoảng 35% cú kết học tập trung bình, số có khoảng 15% có phương pháp học phù hợp đạt mức

Số lại (45%) học yếu, lớp không tiếp thu học, phần lớn em khơng có phương pháp học tốn phù hợp, khơng có kĩ phân tích, tìm lời giải cho tốn

Qua tìm hiểu tơi thấy ngun nhân q trình dạy học thầy giáo chưa hướng dẫn học sinh phương pháp học tập đắn, hình thức tổ chức hoạt động dạy học học chưa phong phú nên chưa kích thích học sinh hứng thú học tập

II Mục tiêu, phạm vi đối tượng chuyên đề: 1.

Mục tiêu

Thông qua chuyên đề muốn trao đổi thêm phương pháp giảng dạy hình học để có hiệu giảng dạy cao

Giúp cho học sinh có hướng suy nghĩ tìm tịi lời giải cho tốn chứng minh hình học, nhằm dần hình thành kĩ phân tích, tổng hợp kiến thức, Giúp phát triển tư rèn khả tự học cho HS, đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục

2.

Phạm vi

Có nhiều đường, nhiều phương pháp để tìm lời giải cho tốn hình học, điều kiện thời gian chuyên đề đề cập đến phương

pháp quan trọng phổ biến việc tìm cách chứng minh tốn hình học:

Phương pháp phân tích ngược mơn hình học 7.

3 Đối tượng

HS khối 7, mơn hình học

III NỘI DUNG

- Chứng minh nhau: Đoạn thẳng nhau, góc nhau, tam giác nhau…ứng dụng để: So sánh góc, đoạn thẳng, CM trung điểm đoạn thẳng, tia phân giác góc…

- Chứng minh song song:

- Chứng minh vng góc

- Chứng minh thẳng hàng

- Chứng minh đường thẳng đồng quy

- Chứng minh yếu tố cố định,

2 Phương pháp chung để tìm lời giải tốn a) Tìm hiểu nội dung tốn

+ Giả thiết gì? Kết luận gì? Hình vẽ minh họa sao? Sử dụng kí hiệu nào?

+ Phát biểu toán dạng khác để hiểu rõ toán

+ Dạng toán nào?

+ Kiến thức cần có gì?

b) Xây dựng chương trình giải: Chỉ rõ bước giải theo trình tự thích hợp

c) Thực chương trình giải: Trình bày làm theo bước được Chú ý sai lầm thường gặp tính tốn, biến đổi

d) Kiểm tra nghiên cứu lời giải

+ Xem xét có sai lầm khơng, có phải biện luận kết khơng

+ Nghiên cứu tốn tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn để,

Phương pháp chứng minh tốn hình học theo hướng phân tích

lên

* Ngoài việc tuân thủ theo bốn bước chung, ta sâu vào hai bước: Tìm hiểu

xây dựng chương trình giải

- Bài tốn u cầu phải chứng minh điều gì? (Kết luận A)

- Đề chứng kết luận A ta phải chứng minh điều gì? (Kết Luận X)

(Kết luân Y)…

- Q trình phân tích dừng lại sử dụng giả thiết toán kiến thức học trước

Sơ đồ phân tích toán sau:

Để chứng minh A Phải cm X Phải cm Y Phải cm Phải cm Z (CM từ GT)

Lưu ý: Khi trình bày lời giải, học sinh phải tiến hành theo hướng ngược lại

Kết đạt sau thực chuyên đề

Trước xây dựng chuyên đề tiến hành khảo sát học sinh khối chứng minh toán hình học, kết là:

Số lượng học sinh kiểm tra

Tỉ lệ học sinh biết chứng minh (mức độ chuẩn KTKN)

67 35 HS chiếm 52,2%

Sau thực chuyên đề kết đạt sau:

Số lượng học sinh kiểm tra

Tỉ lệ học sinh biết chứng minh (mức độ chuẩn KTKN)

67 47 HS chiếm 70,1%

5 Các ví dụ cụ thể: Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh

a) AB = CE

b) AC // BE

Hướng dẫn tìm lời giải:

Sau hướng dẫn học sinh vẽ hình ghi gt, kl

giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi sau:

a) Để chứng minh AB = CE ta phải chứng minh điều gì? (GV gợi ý: Dựa vào tam giác có chứa hai cạnh hai đoạn thẳng trên)

ABM ECM

- Từ GT ta CM hai tam giác chưa? Tại sao?

ABM ECM

  ( (c – g – c))

- Sau giáo viên cho học sinh trình bày theo hướng ngược lại

b) Để chứng minh hai đường thẳng song song ta dựa vào dấu hiệu nào? (Học sinh nêu dấu hiệu – giáo viên hướng cho học sinh nên sử dụng cặp góc so le nhau)

Để chứng minh AC//BE: Ta chứng minh cặp góc nhau? (góc CAE góc BEA góc ACB góc CBE)

- AMCEMBMuốn chứng minh góc ACB góc CBE ta chứng minh hai tam giác nhau? ()

- AMCEMBTừ GT ta CM hai tam giác chưa? Tại sao? ( (c – g - c))

Sau học sinh trình bày cách chứng minh theo hướng ngược lại

AMC EMB

  Sơ đồ phân tích: AC // BE  c/m góc ACB góc CBEc/m

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, K trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ

AC không chứa điểm B kẻ Ax vng góc với AC lấy M Ax cho AM = AC Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB không chứa điểm C kẻ Ay vng góc với AB lấy N thuộc Ay cho AN = AB Lấy P tia đối tia KA cho AK = KP CMR:

a) AC//BP

b) AMN BPA

c) AK MN

Hướng dẫn tìm lời giải.

Giáo viên cho học sinh vẽ hình ghi GT, KL

a) Hướng dẫn VD 1:

b) GV: Hai tam giác có yếu tố

nhau? (c-c)

 

- Góc MAN góc BAC có quan hệ với nhau? (bù nhau)

 

MAN ABP Vậy để CM: ta phải CM gì?

(Góc ABP góc BAC bù nhau)

- Ta CM góc ABP góc BAC bù dựa vào yếu tố nào? (AC//BP)

- Sơ đồ phân tích:

Để CM MAN=BPA

     

ta cm MAP ABP ta cm MAN BAC ABP BAC

        (CM từ AC//BP

c) Giáo viên hướng dân học sinh chứng minh hệ thống câu hỏi sau:

- Muốn chứng minh hai đường thẳng vng góc ta dựa vào dấu hiệu

(Học sinh nhớ lại dấu hiệu học)

- Giáo viên hướng cho học sinh sử dụng dấu hiệu hai đường thẳng cắt tạo thành góc vng)

 - Nếu gọi H giao điểm AK MN để chứng minh AK MN ta phải

chỉ điều gì?

AHM 900 AHN 900

( )

- AHN 900 AHM AHN A1HNA 900Hãy cách chứng minh (HS

nêu: hoăc )

 

1 90

A HNA – Giáo viên hướng cho học sinh chứng minh

- A1A2Tính ( = 900)

-  

0

1 90

A N  AMN BPAVậy để chứng tỏ ta phải góc N góc

A2 cos quan hệ gí với nhau? (bằng nhau) CM vì:

- Sơ đồ phân tích:

    

1

90 90

ta cm AHN ta cm N A ta cm N A

          AMN BPAĐể CM

AKMN(CM )

Ví dụ Cho tam giác ABC, điểm D, E trung điểm cạnh AB, AC Trên đường thẳng DE

lấy điểm F cho E trung điểm DF CMR:

a) BD=CF

b) DE//BC

Sơ đồ phân tích

cm CF AD cm ADE CFE

       a) Để CM BD=CF (CM từ GT)

   

cm CDF BCD cm BDC FCD cm BDC DCF

          b) Cách1: Để CM DE//BC

   

cm DFB FBC cm BDF FCD cm DBF BFC

          Cách 2: Để CM DE//BC

(CM từ GT phần a.)

Ví dụ 4: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt trung điểm O đoạn. Trên cạnh AC BD lấy điểm E, F cho AE=BF CMR điểm E, O, F thẳng hàng

Sơ đồ phân tích:

CM: E, O, F thẳng hàng

    

1 180

ta cm O O O ta cm O O ta cm AOE BOF               

(CM GT)

Ví dụ 5:

Tam giác ABC cân A Phân giác góc A cắt

cạnh BC D M điểm nằm A, D

CMR: BMD = CMD

Sơ đồ phân tích:

 1  2 ,

ta cm MB MC M M ta cm ABM ACM

          Để CM BMD=CMD

(CM từ GT)

ABD ACE 900

  tam giác tam giác vuông cân ABD, ACE () Qua điểm C vã

đường thẳng vng góc với BE, cắt đường thẳng

HA K CMR đường thẳng AH, BE, CD đồng quy

Sơ đồ phân tích

Để CM: AH, BE, CD đồng quy taCM:

CD chứa đường cao BKC

   

 

0

1

1 90

ta cm ta cm ta cm cm

cm cm cm

BK DC KBC C C K BAK DBC

KA BC KAC BCE KAC BCE

                       

Ví dụ Tam giác ABC có góc A 900 AB=AC

Qua A kẻ đường thẳng xy cho xy không cắt đoạn

Thẳng BC Kẻ BD CE vng góc với xy

CMR: DE=BD+CE

Sơ đồ phân tích

Để CM: DE=BD+CE Ta CM:

 1    2  1  2

, cm cm cm

DA BD AE EC    ABDCAE  A ACE  ACE A A A

(CM từ GT)

Bằng cách làm tương tự giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh nhiều tập chứng minh khác cách phân tích ngược Các ví dụ cụ thể

được minh hoa tiết dạy sau:

TIẾT 33: LUYỆN TẬP

D C B

A

Nội dung dạy thể sau:

Dạng : Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau Bài

Cho ABC có AB=AC Chứng minh góc B góc C

Giáo viên cho học sinh vẽ hình ghi GT,KL tìm hướng chứng minh tốn

Theo hệ thống câu hỏi

- Góc B Góc C tam gíac, lại chưa biết số đo

 

B C Vậy muốn c/m ta nên làm nào?

(HS Tạo hai tam giác chứa hai góc cách kẻ thêm đường phụ)

- GV: Yêu cầu học sinh chứng minh hai tam giác theo nhóm Bài Cho góc xOy khác góc bẹt Ot tia phân giác góc xOy, tia Ot lấy điểm H Kẻ đường thẳng vuông góc với Ot

H, đường thẳng cắt tia Ox, Oy A B

a) CMR: OA = OB

b) Trên tia Ot lấy điểm C Chứmg minh Ot đường phângiác góc ACB

GV: cho học sinh ghi GT; KL chứng minh phân phần a b) GV: Hướng dẫn hệ thống câu hỏi:

- Để C/m Ot đường phân giác góc ACB ta phải chứng điều gì? (HS: góc ACH góc BCH) -Muốn góc ACH góc BCH Ta làm nào?

AOC BOC

  AHCBHCHS:

Hai tam giác chưa? tai sao? GV: Trình chiếu lời giải chi tiết tốn

Giáo viên chốt lại sơ đồ tìm hướng chứng minh phần b) sau:

ACO BCO AOCBOC AHCBHC

Ot phân giác góc ACB - 

 Dạng2 : Chứng minh quan hệ vuông góc, song song hai đường thẳng.

2

t H

y x

O

C

Bài Cho hình vẽ,

Biết AB=CD, BC=AD Chứng minh AB//CD

Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm cách chứng minh tương tự ví du 1: chuyên đề

Bài Cho ABC nhọn có AB=AC, D trung điểm BC a) CMR: ADBC

b) Kẻ BMAC, CNAB (MAC, NAB) Chứng minh

b1) AN=AM b2) MN//BC

c)BM cắt CN H, chứng minh ba điểm A, H, D thuộc đườngthẳng

- GV: Đưa hình vẽ lên hình - HS: Ghi GT, KL bảng

Hướng dẫn học sinh chứng minh phần a, b a) GV: Nếu ADBC, so sánh hai góc ADB ADC

- HS: Hai góc ADB ADC

- GV: Khi Hai tam giác ADB ADC có quan hệ với ntn? - HS: hai tam giác (c-g-c)

- GV cho HS trình bày bảng theo hướng ngược lại b) GV: AM=AN Khi

- HS: Khi BN=CM - GV: BN=CM nào?

- HS: Hai tam giác BNC CMB

- GV: Hai tam giác BNC CMB theo trường hợp nào? - HS: Hai tam giác BNC CMB (cạnh huyền- góc nhọn) (Sử dụng kết 1)

- GV: MN//BC nào?

- GV yêu cầu HS nhà trình bày làm vào phát triển phần c theo hướng sau:

-  Ở phần a ta chứng minh AD BC nên cần chứng minh AH BC

 -Mà theo b) MN // BC nên cần chứng minh AH MN AH BC Vì qua H

chỉ có đường thẳng vng góc với BC nên A, H, D thuộc đường thẳng

6 Các toán áp dụng

Bài Cho đoạn thẳng AB 4cm Vẽ đường trịn tâm A, bán kính 2cm và đường trịn tâm B bán kính 3cm Chúng cắt C D CMR: AB tia phân giác góc CAD

Bài Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF cắt taị H Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, EF, AH CMR điểm M, N, P thẳng hàng

Bài Tam giác ABC có tia phân giác góc B C cắt O Từ A vẽ đường thẳng vng góc với OA, cắt tia BO, CD M N

CMR: BMBN, CMCN

Bài M điểm thuộc đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tam giác AMC, BMD E, F trung điểm AD, BC CMR tam giác MEF

Bài Cho tam giác ABC tia BA lấy điểm M, tia CA lấy điểm N, sao cho BM + CN = BC CMR đường trung trực MN qua điểm cố định

Bài Tam giác ABC cân A, đường cao BE, trung tuyến AM Trên tia BA lấy điểm F cho BF = CE CMR đường thẳng BE, CF, AM đồng quy

Bài Cho tam giác ABC, cạnh AB, BC, CA lấy điểm M, N, P cho AM = BN = CP

a) CMR tam giác MNP

b) Gọi O giao điểm đường trung trực tan giác ABC CMR: O giao điểm ba đường trung trực tam giác MNP

đường thẳng vng góc với tia Oy cắt tia Ox F, AE BF cắt I CMR:

a) AFI = BEI

b) OI tia phân giác góc AOB

IV KẾT LUẬN

1 Biện pháp thực hiện

Giáo viên phải thấy tầm quan trọng việc hướng dẫn HS phân tích, tìm lời giải tốn chứng minh hình học phương pháp phân tích ngược Từ tn thủ áp dụng phương pháp vào giảng dạy tiết học môn hình học 7, để HS biết cách học tốn, từ tự đọc tự học

Nghiên cứu nội dung, chương trình Tốn THCS, xác định rõ chuẩn kiến thức kĩ môn học để từ áp dụng chuyên đề mức độ yêu cầu phù hợp với đơn vị kiến thức

Cung cấp cho HS sơ đồ phân tích ngược tốn chứng minh hình học, hướng dẫn tỉ mỉ để em biết cách lập sơ đồ cho toán Bằng toán cụ thể giúp HS thấy ý nghĩa tác dụng phương pháp phân tích ngược

Phân loại đối tượng học sinh thành nhiều nhóm (Chia theo lực nhận thức)

Nhóm giỏi: Tăng cường bồi dưỡng, phân công em phụ trách giúp

đỡ em yếu vươn lên học tập

Nhóm khá: Tơi khuyến khích em tự học, tự bồi dưỡng, làm thêm các

bài tốn khó ỏ sách tham khảo GD Tăng tính chủ động cho em học tập

Nhóm TB, yếu: Tổ chức dạy phụ đạo thêm, trú trọng dạy phương pháp học

toán, dạy hướng suy nghĩ để tìm lời giải cho tốn, tạo cho cacc em niềm tin vào thân, xây dựng cho em động phấn đấu học tập mơn tốn Tổ chức phong trào thi đua học tập lớp, trường như: Hành quân điểm số, thi đạt nhiều hoa điểm tốt chào mừng ngày lễ lớn

Lập hồ sơ theo dõi mức độ tiến học sinh để có kế hoạch điều chỉnh cách dạy cho phù hợp

Việc tìm lời giải tốn chứng minh hình học khơng phải đơn giản khơng có quy trình sẵn có nên địi hỏi q trình dạy học giáo viên phải thường xuyên ý đến phương pháp hướng dẫn học sinh tìm tịi cách chứng minh tốn

Qua rèn kĩ phân tích tổng hợp, tư lơgíc kĩ trình bày giải Đối với học sinh lớp kĩ bước hoàn thiện dần sau lớp

Giáo viên áp dụng chuyên đề chương trình hình học lớp 8,9

Giáo viên tăng thêm hệ thống tập khó đa dạng để làm chuyên đề bồi dưỡng HS khá, giỏi

Khi viết chuyên đề cố gắng nghiên cứu lí luận, nội dung chương trình thực trạng thầy trị trường THCS An Nơng, có thành cơng áp dụng thực tế, song khơng tránh khỏi thiếu sót kinh nghiệm lực hạn chế Rất mong qúy thầy góp ý để đề tài hồn thiện

Giao Thủy, ngày 15/ 03/2013 Người viết chuyên đề

PHỤ LỤC 1 Tài liệu tham khảo

- Tài liệu đổi phương pháp dạy học, đổi cách kiểm tra đánh giá - NXBGD

- Sách giáo viên toán 7, sách giáo khoa tóan 7, sách tập tốn 7, sách nâng cao phát triển toán7, sách tập nâng cao số chuyên đề toán số loại sách tham khảo khác

2 Các từ viết tắt - Giáo viên: “GV” - Học sinh: “HS” - Chứng minh: “CM” -Trung học sở: “THCS”

MỤC LỤC

Trang

I Đặt vấn đề

Lí chọn chuyên đề

Cơ sở lí luận

Cơ sở thực tiễn

II Mục tiêu, phạm vi đối tượng chuyên đề:

Mục tiêu

Phạm vi

Đối tượng

III Nội dung

Các tốn chứng minh hình học thường gồm Phương pháp chung để tìm lời giải toán Phương pháp chứng minh tốn hình học theo hướng phân

tích lên

Kết đạt sau thực chuyên đề

Các ví dụ cụ thể

Các toán áp dụng 14

IV Kết luận

Biện pháp thực 15

Kết luận 15