sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học sinh tìm lời giải cho bài toán

Đứng trước nhiệm vụ nặng nề đó những người làm nghề Sư phạm cần phải không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy sao cho phù hợp với sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật.Dạy học không những gi

PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC SINH TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN

A PHẦN MỞ ĐẦU :

I.Đặt vấn đề :

Đất nước ta đang ngày càng phát triển nhanh chóng trở thành một nước tiên tiến trên thế giới Để sự phát triển tiến xa hơn nữa thì cần phải coi “ Giáo dục - Đào tạo là quốc sách hàng đầu” vì Giáo dục & Đào tạo thế hệ trẻ,thế hệ tương lai của đất nước phải được dặt lên hàng đầu

Hiện nay sự nghiệp Giáo dục - Đào tạo đang đổi mới trước yêu cầu phát triển của nền Kinh tế – Xã hội theo hướng CNH – HĐH đất nước.Chính vì vậy,mục tiêu của Giáo dục - Đào tạo là đào tạo nên những con người có tri thức khoa học mới,năng động vận dụng những tri thức khoa học mới đó để sáng tạo ra những cái mới để thích ứng với những nhu cầu của sự phát triển của Khoa học – Kỹ thuật trong XH hiện đại ngày nay và mai sau

Đứng trước nhiệm vụ nặng nề đó những người làm nghề Sư phạm cần phải không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy sao cho phù hợp với sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật.Dạy học không những giúp cho người học có

hệ thống kiến thức KH,kỹ năng,kỹ xảo mà còn phát triển năng lực tư duy,sáng tạo,vận dụng kiến vào thực tiễn để cải tạo thực tiễn

Trong những tri thức khoa học đó thì môn Toán là một môn khoa học tự nhiên có vai trò rất quan trọng trong cuộc sống và trong các lĩnh vực khoa

học khác,nó là chìa khoá của sự hình thành và phát triển năng lực tư duy,phẩm chất trí tuệ.Để học tốt các môn khoa học khác thì HS cần phải học tốt môn Toán

Muốn vậy,người GV không những phải đổi mới phương pháp dạy học,phải biết vận dụng sáng tạo,linh hoạt các phương pháp,hình thức tổ chức dạy học phù hợp với nội dung đơn vị kiến thức để HS lĩnh hội và phát hiện kiến thức một cách chủ động sáng tạo mà còn phải hướng dẫn cho HS cách học sao cho có hiệu quả và có phương pháp tìm lời giải cho một bài toán

II Lý do chọn đề tài :

Có thể nói giải Toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy bởi lẽ việc giải Toán là một việc mà cả người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm.Đặc biệt đối với HS,đó là mục tiêu của việc học Toán

Từ việc giải Toán,có thể vận dụng kiến thức đã biết vào các vấn đề cụ thể trong cuộc sống hàng ngày

Giải Toán là một hình thức tốt nhất để rèn luyện kỹ năng như kỹ năng tính toán,kỹ năng biến đổi,kỹ năng suy luận và từ đó có kỹ năng Toán học hóc các môn khoa học khác như : Lý,Sinh,Hoá,

Việc tìm lời giải cho một bài toán là một hình thức rất tốt để kiểm tra về năng lực,mức độ tiếp thu kiến thức và việc vận dụng kiến thức của HS.Thông

suy nghĩ,trong suy luận,trong giải quyết các vấn đề, qua đó để rèn luyện trí thông minh sáng tạo,phát triển các năng lực trí tuệ cho HS Ngoài ra việc giải toán còn rèn luyện cho HS nhiều đức tính tốt như tính cần cù,tính kỷ luật,tính năng động sáng tạo

Việc tìm ra lòi giải của một bài toán khó,phương pháp giải mới,độc đáo

sẽ gây lên sự phấn trấn,hào hứng và lòng say mê học Toán

Chính vì những lý do trên,để đào tạo nên những HS giỏi Toán,phát hiện

ra những HS có năng khiếu về Toán thì người GV không chỉ đổi mới phương pháp dạy học ở trên lớp học sao cho HS lĩnh hội tri thức một cách chủ động thông qua các hình thức tổ chức dạy học như dạy học theo nhóm,dạy học theo lớp để HS có điều kiện trao đổi kiến thức,học hỏi lẫn nhau và có tinh thần đoàn kết trong tập thể Khi ở trên lớp GV chỉ là người cố vấn,hướng dẫn,suy nghĩ đặt câu hỏi một cách có hệ thống,phù hợp với từng loại bài,từng đối tượng, kích thích HS phát huy hết khả năng tư duy,khao khát tiến tới thắc mắc để tìm ra vấn

đề mới.Từ đó HS hình thành và khắc xâu kiến thức mới một cách chủ động dễ nhớ và khó có thể phai mờ Không những vậy,GV cần phải có phương

pháp để hướng dẫn HS tự học ở nhà để tái hiện lại những tri thức đã rút ra trên lớp bằng cách giaỉ bài tập và tìm lời giải,phát triển và mở rộng cho bài toán.Buộc HS không những hoạt động tích cực ở trên lớp mà còn tích cực,ham

mê giải toán ở nhà.Từ đó HS sẽ đạt kết quả cao trong học tập

B NỘI DUNG : I.Thực trạng :

Trong quá trình giảng dạy và sát sao kiểm tra kỹ năng giải toán của HS tôi thấy có rất nhiều HS còn mắc phải những thiếu sót khi giải toán dẫn đến những lời giải sai lầm không có hiệu quả

Sau đây là một số thiếu sót của HS thường mắc phải trong phương pháp giải toán như sau :

- Một số HS chưa có sự ham mê học toán,vẫn còn lười học,coi việc giải toán là một gắng lặng do đó chưa biết cách giải toán nhưng bên cạnh đó cũng có một số

HS mặc dù chăm học,nắm được kiến thức bài học nhưng nắm kiến thức một cách mờ nhạt nên không biết cách làm bài tập hoặc có làm được thì laị làm sai

- Chưa đọc kỹ đề bài,chưa hiểu rõ bài toán đã lao ngay vào giải.Bởi vậy,khi làm thì không biết bắt đầu từ đâu,khi gặp khó khăn thì không biết làm cách nào để tháo gỡ

- Không chịu đề cập bài toán theo nhiều cách khác nhau,không chịu nghiên cứu,khảo sát kỹ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết của bài toán theo nhiều cách,không sử dụng hết các dữ kiện bài toán

- Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy luận trong giải Toán,vận dụng một cách máy móc thiếu linh hoạt

- Không chịu kiểm tra lại lơì giải tìm được,bởi vậy có thể tính toán nhầm hay vận dụng kiến thức một cách nhầm lẫn,không biết cách sửa lại

- Không chịu suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hay mở rộng bài Toán.Do đó HS luôn bị hạn chế trong việc rèn luyện năng lực giải Toán

Ví dụ 1 : Một HS TB yếu ở lớp 7 có thể thực hiện phép Rút gọn như sau :

y x b

a

by

ax









(sai) Còn đối với HS khá - Giỏi có thể gặp những sai lầm khi giải dạng như sau :

Ví dụ 2 :

Tìm GTNN của biểu thức

A = x2 – 3x + 5 với x  2

Lời giải ( của HS )

Ta có : A = x2 – 3x + 5 = ( x2 – 3x +

4

9

) + 5 -

4 9

= ( x -

2

3

) 2 +

4

11



4 11

Vậy GTNN của biểu thức A là 114 khi x = 23

Nhận xét : Lời giải của HS trên là sai vì em HS đó đã không chú ý đến

ĐK x  2

Ta thấy ngay nếu x =

2

3

không thoả mãn điều kiện x  2

Vì vơí x  2 thì ( x - 23 ) 2  41  x = 2

Lời giải đúng của bài toán trên như sau :

Ta có thể tìm GTNN của biểu thức A bằng cách biến đổi khác như sau :

Ta có : A = x2 – 3x + 5 = ( x2 –3x + 2 ) + 3

= ( x – 1 ) ( x – 2 ) + 3

Vì x  2 nên x – 1 > 0 và x – 2  0

 ( x – 1 ) ( x – 2 )  0  A  3

Vậy GTNN của biểu thức A là 3 khi ( x – 1 ) ( x – 2 ) = 0

 x – 2 = 0  x = 2

Ví dụ 3 : Bài toán

a/ Cho a ; b ; c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện

b

b a c a

a c b c

c b













Hãy tính giá trị của biểu thức













































c

a b

c a

b

Lời giải của HS như sau

Từ ac b c ba c a cb a b

2 2

2        









b

b a c a

a c b c

c

b

a

b

b a c a

a c b

c

c

b















c

b

a 



   

8

1 1

1

1

1

1

1 1

1























































c

a a

c a

b

P

b/ CMR nếu abc  0 và   111  0

c b a c b a

c b a

c b a











3 3 3

6 6 6

Lời giải

Ta có : a3 + b3 +c3 – 3abc

= ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 - ab – bc – ac ) = 0 ( vì a + b + c = 0 )

 a3 + b3 +c3 = 3abc (1)

Từ 111 0  abbcac 0

c b

a

 ac bca b b ( vì a + c = - b )

 ac = b2 Tương tự có bc = a2

ab = c2

Mặt khác : a6 + b6 + c6 = ( a3 + b3 + c3 )2 - 2 ( a3b3 + b3c3 + c3a3 )

= ( 3abc )2 – 2 ( c6 + a6 + b6 )

 a6 + b6 + c6 = 3a2b2c2 (2)

Từ (1) & (2) suy ra abc

c b a

c b a











3 3 3

6 6 6

( Đpcm )

Nhận xét : ở ví dụ a ; b trên lời giải rất gọn; rất đẹp nhưng sai lầm Khi hỏi HS

thì HS không biết sai ở đâu và sửa như thế nào cho đúng

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong các ví dụ trên là HS đã quên không xác định các giá trị tương ứng của các biến để đẳng thức trở thành đẳng thức Đặc biệt,trong trường hợp giá trị của biến tồn tại thì chúng có thoả mãn các điều kiện cho trước hay không Gặp sai lầm khi giải toán là điều khó tránh khỏi nhưng tìm ra sai lầm và sửa chữa sai lầm cũng không phải dễ chút nào đối với HS trường THCS

Đó chính là nội dung chính của đề tài này mà tôi muốn trình bày một một phương pháp dạy vừa phát huy được tính tích cực,chủ động,sáng tạo của HS khi trên lớp mà còn giúp cho HS có một phương pháp học toán , một phương pháp giải Toán sao cho han chế được những sai lầm mà HS thường mắc phải như trên

Những sai sót của HS như trên không phải là hoàn toàn do HS mà theo tôi thì phần nào do lỗi của người thầy.Sau đây là một số thiếu sót của thầy khi dạy HS giải Toán như sau :

1 Chưa tạo cho HS thói quen tiến hành đầy đủ các bước cần thiết khi giải một bài toán nhất là những bài toán mới lạ, nhữngbài toán khó

2 Bắt HS giải nhiều bài tập nhưng it hiệu quả làm cho HS coi việc giải toán

là một gánh nặng HS chưa nắm được một hệ thống bài tập đa dạng, đầy

đủ mà còn đơn điệu lặp lại khiến HS nhàm chán không có hưng thú giải toán

3 Thông thường người thầy chỉ chú trọng trình bày lời giải đã tìm ra mà không chú ý đến việc hướng dẫn HS tự mình đến lời giải.Do đó HS

4 cùng lắm chỉ hiểu được lời giải cụ thể của bài Toán mà thầy đã giải chứ chưa biết qua đó học tập cách suy nghĩ để giải các bài toán khác ngay cả các bài toán tương tự

5 Chưa chú trọng đến việc phân tích các bài toán theo nhiều khía cạnh để tạo ra phương pháp và các lời giải khác nhau

6 Chưa phát triển những bài toán cụ thể thành những bài toán tổng hợp,khái quát hay sử dụng những phương pháp cua rbài toán đã giải, kết quả của bài toán đã giải để phục vụ cho các bài toán khác

7 Chưa chú trọng đến việc rèn luyện cho HS kỹ năng thực hành,kỹ năng giải toán,kỹ năng biến đổi,suy luận

II Giải pháp thực hiện :

- Sau đây là một số cách thực hiện của tôi khi hướng dẫn cho HS một phong cách học toán và cách tìm lời giải cho những bài toán

- Trước tiên tôi sử dụng phối hợp các hình thức tổ chức dạy học trong một giờ lên lớp

Bài dạy:

Tiết 11 Bài 8: TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU

 Mục tiêu của bài là HS nắm vững tính chất của dãy tỷ số bằng nhau

và có kĩ năng vận dụng tính chất này vào giải bài toán chia theo tỷ

lệ và một số dạng toán có liên quan

.Để đạt được mục tiêu trên tôi đã tổ chức hoạt dộng dạy học như sau.

- Dạy học theo lớp để kiểm tra bài cũ và đặt vấn đề vào bài nhằm đánh giá việc nắm kiến thức về tỷ số và tỷ lệ thức của HS nêu tình huống có vấn

đề kích thích tính tò mò và sự thắc mắc của HS

1 Kiểm tra bài cũ:

HS1: Tỷ lệ thức là gì?

HS2: Tỷ số của 2 số a và b là gì?

2 Đặt vấn đề vào bài:

Vậy từ tỷ lệ thức b a d c có thể suy ra b a b a d c





 được không?

- Sau đó tôi tổ chức cho cá nhân HS làm bài tập sau:

Cho tỷ lệ thức : 42 63

Hãy so sánh các tỷ số 42 63





và 42 63





với tỷ số 42 ?

Đáp án của HS là: Từ 42 63 suy ra 42 63 42 63 42 63













- Trên cơ sở đó tôi cho HS thảo luận theo nhóm câu hỏi: “ Nếu có tỷ lệ

thức b a d c thì suy ra điều gì?

- Tiếp theo yêu cầu đại diện HS một số nhóm trình bày ý kiến để các nhóm khác đối chiếu

+ Từ đó HS rút ra tính chất của dãy tỷ số bằng nhau

+ Để HS hiểu rõ tính chất tôi cho HS đọc phần chứng minh trong SGK và yêu cầu HS tự chứng minh

a,

6

2

3

1





9

12 6

8

3

4







Bài 2: Khẳng định nào sau đây là đúng? Vì sao?

a, b a d c e f b a d c e f b a d c b a e f d c e f b ad c

































b, b a d c b a d c









c, 31 62 124 31 62 124 13 62 124 31 62 124



































(Các tỷ số đều có nghĩa)

Qua bài 1, bài 2 HS sẽ rút ra nhận xét:

+Các tỷ số trong dãy tỷ số bằng nhau đều có nghĩa

+ Khi cộng hay trừ các số hạng của tỷ lệ thức thì phải cùng số hạng

- Tiếp theo tôi cho HS đọc phần “chú ý” trong SGK để HS hiểu ý nghĩa

của cách viết 2a 3b 5c ( hoặc a : b : c = 2 : 3 : 5 )Đó là: Các số a; b; c tỷ

lệ với 2; 3; 5

+ Tiếp theo tôi đưa thêm ví dụ để HS diễn đạt

a, Viết 3a 4b em hiểu như thế nào?

b, Nói x; y; z tỷ lệ với 8; 9; 10 em viết như thế nào?

+ HS làm bài ?2 (SGK)

Bổ sung thêm điều kiện: Cho biết tổng số HS của 3 lớp là 108 Tính số HS của mỗi lớp?

+ HS trả lới câu hỏi

Để tính được số HS của mỗi lớp em áp dụng kiến thức nào?

- Từ đó tôi sẽ tổng kết lại kiến thức của bài, điều chú ý và ứng dụng

- Tôi cho HS làm bài tập 54; 57; 58 (SGK/30)

- 3 HS lên bảng, các HS khác làm vào vở

+ Kết thúc tôi hướng dẫn HS học ở nhà và chuẩn bị cho tiết học sau

 Để một giờ lên lớp có hiệu quả, người thầy không chỉ đầu tư thời gian để làm chủ kiến thức mà cần có biện pháp, kỹ năng sư phạm

và vận dụng các phương pháp dạy học mới phù hợp với từng loại bài, từng đối tượng HS

- Khi HS nắm được tính chất của dãy tỷ số bằng nhau tôi cho Hs làm bài toán sau:

Ví dụ 1: Bài 78(SGK 7/140)

So sánh các số a; b ; c biết rằng b a b c a c và a+b+c  0

- Tôi cho HS hoạt động theo nhóm Sau đó gọi đại diện các nhóm trình bày lời giải

- Tôi thấy đa số HS làm theo 2 cách sau:

Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau

  1

b

a

 a = b

 1

c

b

 b = c

 1

a

c

 c = a

Vậy a = b = c

Cách 2: Đặt

a

c c

b b

a



Ta có: a = b.m; b = c.m; c = a.m

 a = m.b = m.( c.m) = m.((a.m).m) = m.(a.m2)

 a = m3.a( vì a  0)

 m = 1

Vậy b a b c a c = 1  a = b = c

Tôi cho Hs suy nghĩ làm cách khác

Cách 3: Đặt b a b c a c = m

Ta có: a = b.m; b = c.m; c = a.m

 a.b.c = (m.a)(m.b)(m.c) = m3.abc

Vì abc  0  m3 = 1  m = 1

Vậy

a

c c

b

b

a



 = 1  a = b = c

Cách 4: Ta có b a b c a c  b a b a.b a.b a

3













 = b a.c b.a c



3













b

a = 1   1

b

a  a = b

Tương tự  1

c

b

 b = c

 1

a

c

 c = a

Vậy a = b = c

- Sau khi đưa ra các cách giải khác nhau tôi hỏi: theo em cách nào dễ hiểu nhất, thuận tiện nhất?

- Đa số HS đều cho rằng cách 1 là dễ hiểu và thuận tiện nhất

Như vậy điều đầu tiên tôi nghĩ đến là sau khi giải bài toán này là phải mở rộng bài toán, đưa bài toán về dạng tổng quát hơn

- Vì vậy tôi cho HS ra đề bài toán tương tự bài toán trên như sau:

ví dụ a So sánh các số a; b; c; d biết rằng

d

c

c

b

b

a



 và a+b+c+d  0

b, Cho a+b+c+d  0 và

d

c c

b b

a



 CMR: a = b = c = d (Cách giải hoàn toàn tương tự bài toán trên)

- Để HS không nhàm chán, tạo tình huống có vấn đề cho HS tôi đã phát triển bài toán trên như sau:

Bài toán 1: Cho a1 +a2 + a3 + +an  0 và

a1 a2 a n 1 a n







- Với kết quả bài toán ở trên, HS dễ dàng có thể CM được bài toán mà không gặp khó khăn gì Nhưng nếu HS gặp bài toán 1 mà chưa làm quen với bài toán ở trên thì việc giải không mấy dễ dàng và HS cảm thấy sợ ( Tôi đã thử nghiệm 2 cách ở 2 lớp tôi dạy và thấy nếu HS giải theo phương pháp tren thì HS có hứng thú và ham mê giải toán hơn, không những trên lớp

mà trong giờ giải lao, về nhà HS cũng tìm tòi và say mê giải toán.)

- Từ đó tôi đưa ra các bài toán “ lạ” sau và thấy HS giải một cách dễ dàng

Bài toán 2 : Cho

a

c c

b b

a



 ; a+b+c  0 và a = - 2010 Tính b ; c ?

Bài toán 3 : Cho

a

c c

b b

a



 ; a+b+c  0

Tính giá trị của M = 3. 22005. 2000

a

c b a

Bài toán 4 : Cho b a c b a c ; a+b+c  0

CMR : 12a 7b 1873c2005 1992 2005 a2004 b







Bài tán 5 : Cho a1 + a2 + a3 + + an – 1 + an  0 và

1 3

2 2

1

a

a a

a a

a a

n

n n







Hãy tính : a)

1 2

1

2 2 1

2 2

2 1

n n

n n

a a a

a

a a a

a





















1

2 3

2 2

2 1

2 1 2

1

1

3 2

n n

n n

na a

n a

a a

a a a

a

























Bài toán 6 : Cho 2005 số dương a1 ; a2 ; ; a2005 thoả mãn

1 2005 4

3 2

2005 2004

3 2