Đang tải... (xem toàn văn)
• Phân tích m ột số ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên t ố với số mũ của nó. • Khi phân tích ra th ừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừ[r]
(1)Chuyên đề 1: TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Tập hợp Tập hợp con
- Tập hợp khái niệm Toán học Để kí hiệu tập hợp, ta dung chữ in hoa A, B, … để viết tập hợp, ta sử dụng hai cách:
• Liệt kê phần tử tập hợp
• Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp
- Một tập hợp có phần tử, nhiều phần tử,vơ số phần tử khơng có phần tử Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng, kí hiệu ∅ Để minh họa tập hợp phần tử nó, người ta dùng biểu đồ Ven
- Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B ta nói A tập hợp B kí hiệu: A ⊂ B
- Hai tập hợp A B gọi phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B ngược lại Kí hiệu: A = B
- Một số tính chất:
• Với tập hợp A, ta có: ∅ ⊂ A A ⊂ A • Nếu A ⊂ B B ⊂ A A = B
• Nếu A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C ( tính chất bắc cầu)
2 Tập hợp số tự nhiên
- Tập hợp số tự nhiên kí hiệu N N = {0; 1; 2; 3; 4;…}
Tập hợp số tự nhiên khác kí hiệu N* N* = {1; 2; 3; 4;…}
- Tia số tự nhiên:
9 8 7 6 5 4 3
0 1 2
CHUYE�N ĐE� CHỌN LỌC TOA�N
(2)Mỗi số tự nhiên biểu diễn điểm tia số Điểm biểu diễn số tự nhiên a tia số gọi điểm a
-Để ghi số tự nhiên hệ thập phân, ta dùng 10 chữ số là: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;
Trong hệ La Mã, ta dùng bảy kí hiệu: I, V, X, L, C, D, M với giá trị tương ứng hệ thập phân là: 1; 5; 10; 50; 100; 500; 1000
- Thứ tự tập hợp số tự nhiên: Với hai số tự nhiên a b bất kì, xảy ba khả năng sau: a < b; a = b; a > b.
Nếu a < b tia số tự nhiên, điểm a nằm bên trái điểm b II MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng Viết tập hợp, tập hợp sử dụng kí hiệu ∈ ∉ ⊂, ,
Ví dụ 1: Cho hai tập hợp A = {1; 2; 4; 5; 7; 9} B = {2; 3; 5; 6; 7}
a) Viết tập hợp C gồm phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B b)Viết tập hợp D gồm phần tử thuộc tập hợp B mà không thuộc tập hợp A c) Viết tập hợp E gồm phần tử thuộc hai tập hợp A B
d) Viết tập hợp G gồm phần tử thuộc tập hợp A thuộc tập hợp B Giải
a) Ta thấy phần tử ∈ A mà ∉ B, ∈ C Tương tự, ta có: 4; ∈ C Vậy C = {1; 4; 9}
b) Làm tương tự câu a), ta có: D = {3; 6}
c) Ta thấy phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B nên ∈ E Tương tự, ta có: 5; ∈ E Vậy E = {2; 5; 7}
d) Ta thấy phần tử ∈ A nên 1∈ G; ∈ B nên ∈ G; … Vậy G = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9}
Nhận xét:
(3)Tương tự, tập hợp D có minh họa miền chấm D = B \ A (đọc là: D hiệu B A)
Tập hợp E gồm phần tử chung hai tập hợp A B Trên biểu đồ Ven, E có minh họa miền kẻ carơ Kí hiệu: E = A ∩ B (đọc là: E giao A B)
Tập hợp G gồm phần tử thuộc A, thuộc B nên có minh họa hai vịng kín Kí hiệu: G = A ∪ B (đọc là: G hợp A B)
Ví dụ Cho tập hợp A = {a, b, c} Hỏi tập hợp A có tất tập hợp con?
Giải
Tập hợp A khơng có phần tử là: ∅
Các tập hợp A có phần tử là: {a}, {b}, {c} Cấc tập hợp A có hai phần tử: {a, b}, {b, c}, {c, a} Tập hợp A có ba phần tử là: {a, b, c}
Vậy A có tất tám tập hợp Nhận xét:
Để tìm tập hợp tập hợp có n phần tử (n ∈ N), ta tìm tập hợp có 0; 1; 2; 3; …; n phần tử tập hợp
Tập hợp A Các tập hợp A Số tập hợp A ∅
(n = 0)
∅
{a} (n = 1)
∅; {a}
2 =
{a, b} (n = 2)
∅; {a}; {b}; {a, b}
4 = 2.2
{a, b, c} (n =
∅; {a}; {b}; {c}; {a, b};
{b, c}; {c, a}; {a, b, c}
8 = 2.2.2
…
Từ ta rút kết luận sau:
(4)- Tập hợp có n phần tử (n≥1)thì có
ô 2.2
n thua s
tập hợp
Dạng 2: Tính số phần tử tập hợp
Ví dụ Cho A tập hợp số tự nhiên lẻ có ba chữ số Hỏi A có phần tử?
Giải
Khi liệt kê phần tử tập hợp A theo giá trị tăng dần ta dãy số cách có khoảng cách 2:
101; 103; 105; …; 999
Từ đó, số phần tử tập hợp A số số hạng dãy số cách đều: (999 – 101):2 + = 898:2 + = 450
Vậy tập hợp A có 450 phần tử
Ví dụ Cho A tập hợp số tự nhiên lẻ lớn không lớn 79
a) Viết tập hợp A cách tính chất đặc trưng phần tử
b) Giả sử phần tử A viết theo giá trị tăng dần Tìm phần tử thứ 12 A Giải
a) Số tự nhiên n lớn không lớn 79 số thỏa mãn điều kiện: < n ≤ 79 Vậy ta có: A = {n ∈ N| n lẻ < n ≤ 79}
b) Khi giá trị n tăng dần giá trị phần tử A tạo thành dãy số cách tăng dần (bắt đầu từ số 7, khoảng cách hai số lien tiếp 2) Giả sử phần tử thứ 12 A x ta có:
(x – 7): + = 12
⇒ (x – 7): = 11
⇒ (x – 7) = 11.2 = 22
⇒ x = 22 + = 29 Vậy phần tử thứ 12 cần tìm A 29 Nhận xét:
Số phần tử tập hợp A là: (79 – 7): + = 37 nên A có phần tử thứ mười hai
(5)tử cần tìm Vậy với cách làm này, tốn u cầu tìm phần tử vị trí lớn khó khăn
Dạng Đếm số chữ số
Ví dụ Cần số để đánh số trang (bắt đầu từ trang 1) sách có 1031 trang?
Giải
Ta chia số trang sách thành nhóm:
- Nhóm số có chữ số (từ trang đến trang 9): Số chữ số cần dùng - Nhóm số có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99): Số trang sách là: (99 – 10) : + = 90 số Số chữ số cần dùng 90.2 = 180
- Nhóm sốc số có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999): Số trang sách là: (999-100):1+1 = 900 Số chữ số cần dùng để đánh số trang nhóm là: 900.3 = 2700
- Nhóm số có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 1031): Số trang sách là: (1031 – 1000) : + = 32 Số chữ số cần dung là: 32.4 = 128
Vậy tổng số chữ số cần dùng để đánh số trang sách là: + 180 + 2700 + 128 = 3017
Nhận xét:
Việc chia số trang thành nhóm giúp dễ dàng tính số chữ số cần dùng nhóm, từ tính tổng số chữ số cần dùng Một câu hỏi ngược lại là: Nếu ta biết số chữ số cần dùng để đánh số trang sáchthì ta tìm số trang cuốn sách hay khơng? Ta có tốn ngược ví dụ
Ví dụ Tính số trang sách sách biết để đánh số trang sách (bắt đầu từ trang 1) cần dung 3897 chữ số
Giải
Để đánh số trang có chữ số (từ trang đến trang 9), cần chữ số
Để đánh số trang có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99, gồm 90 trang), cần 90.2 = 180 chữ số
Để đánh số trang có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999, gồm 900 trang), cần 900.3 = 2700 chữ số
(6)Vì để đánh tất số trang có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 9999, gồm 9000 trang), cần 9000.4 = 36000 chữ số (vượt 1008 chữ số), nên số trang sách số có bốn chữ số
Giả sử sách có n trang mà số trang có bón chữ số Số chữ số cần dùng để đánh n trang này 4.n Ta có: 4.n = 1008, suy n = 1008 : = 252 Vì trang bắt đầu từ trang 1000 nên trang cuối 252 + 999 = 1251
Vậy sách có 1251 trang Nhận xét:
Trong cách giải trên, ta xét nhóm số trang có chữ số, hai chữ số, … dùng hết chữ số mà cho Vậy làm để biết số trang sách có chữ số?
Sau số gợi ý:
Số chữ số dùng để đánh số trang Số trang sách (n)
Từ đến 99 (kí hiệu: 1→9) n≤9
10→189 10≤ ≤n 99
190→2889 100≤ ≤n 999
2890→38889 1000≤ ≤n 9999
38889→488889 10000≤ ≤n 99999
…
Với gợi ý trên, từ quy luật phạm vi số chữ số cho ta suy phạm vi số trang sách Chẳng hạn, số chữ số cho 16789432, nằm phạm vi từ 5888890 đến 68888889, số trang cuối sách số có bảy chữ số
Dạng Các toán cầu tạo số
Ví dụ Tìm số có hai chữ số biết viết thêm chữ số vào hai chữ số số số gấp lần số cho
Giải
Gọi số có hai chữ số cần tìm ab (0< ≤a 9; 0≤ ≤b 9)
Khi viết thêm chữ số vào hai chữ số ta số a b0 Theo ra, ta có:
0
100 7.(10 ) 100 70
30 a b ab
a b a b
a b a b
a b
a b =
+ = +
+ = +
(7)Vì a, b chữ số a≠0 nên suy a = 1; b = Vậy số cần tìm 15
Nhận xét:
Trong ví dụ ta sử dụng phương pháp tách cấu tạo số theo chữ số hệ thập phân Sauk tìm mối quan hệ chữ số, ta xác định cụ thể chữ số
Ví dụ Tím số có ba chữ số biết viết thêm chữ số vào trước số số gâó lần số ban đầu
Giải
Gọi số có ba chữ số cần tìm x=abc (0< ≤a 9; 0≤ ≤b 9)
Khi viết thêm số trước số x ta số 1abc Theo ra, ta có: 1abc=9.abc
1000+abc=9.abc hay 1000 + x = 9.x 1000 = 8.x
Suy ra: x = 1000 : = 125 Vậy số cần tìm 125
Nhận xét:
Ở ví dụ ta khơng tách cấu tạo số cần tìm theo chữ số mà tách theo cụm chữ số Ta thấy số viết thêm không làm thay đổi cụm chữ số abc nên ta giữ nguyên cụm chữ số trình tách cấu tạo số
Ví dụ Tìm tất số tự nhiên khác 0, cho viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị số gấp lên lần
(Đề thi HSG tỉnh Yên Bái, 2005)
Nhận xét:
Ta chưa biết số phải tìm có chữ số, từ đề ta thấy có hai chữ số Từ ta gọi phận số đứng trước chữ số hàng chục x (x 0), sử dụng phương pháp tách cấu tạo số theo chữ số cụm chữ số, ta có lời giải sau:
Giải
(8)Khi viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ta số
xa b
Theo đề bài, ta có:
0
1000 100 9.(100 10 ) 1000 100 900 90
100 10 50 5
xa b xab
x a b x a b
x a b x a b
x a b
x a b
=
+ + = + +
+ + = + +
+ =
+ =
Vì b≤9 nên 4.b≤4.9=36, đó: 50.x+5.a≤36⇒ =x Khi số cần tìm ab, với 5.a = 4.b
Vì a ≠0 a, b chữ số nên ta có a = Từ suy b = Vậy số cần tìm 45
III BÀI TẬP.
1.1 Cho tập hợp A = {1; 2;3; 4} Trong cách viết sau, cách viết đúng? Cách viết sai? Nếu sai, sửa lại cho
{ } { }
) ) ) ) 2;3
a ∈A b ∈A c ⊂ A d ⊂A
1.2 Cho hai tập hợp: A = {2;3; 7;8}, B = {1;3;5; 7;9} a) Mỗi tập hợp có phần tử?
b) Viết tất tập hợp vừa tập A , vừa tập B 1.3 Viết tập hợp sau cho biết tập hợp có phần tử?
a) Tập hợp A số tự nhiên x mà 15 – x = 7; b) Tập hợp B số tự nhiên y mà 19 – y – 21. 1.4 Tính số phần tử tập hợp sau:
a) A = {10;12;14; ;98} b) B = {10;13;16;19; ; 70} 1.5 Cho dãy số 2;7;12;17;22;…
a) Nêu quy luật dãy số
b) Viết tập hợp B gồm số hạng liên tiếp dãy số đó, số hạng thứ năm c) Tính tổng 100 số hạng dãy số
1.6 Hãy viết lại tập hợp sau cách liệt kê phần tử: A = {x∈N; x lẻ 30 < x< 50 }
B = {x∈ ; x 5; x2;x<90}
1.7 Mẹ mua cho Hà sổ tay 256 trang Để tiện theo dõi Hà đánh số trang từ đến 256 Hỏi hà phải viết chữ số để đánh số trang hết sổ ta đó?
(9)a) Hỏi chữ số đơn vị số 53; 328; 1587 đứng hang thứ bao nhiêu? b) Chữ số viết hang thứ 427 chữ số nào?
1.9 Cho bốn chữ số a, b, c, d đôi khác khác Tập hợp số tự nhiên có chữ số gồm bốn chữ số a, b, c, d có phần tử?
1.10 Có số tự nhiên có hai chữ số mà: a) Trong số có chữ số 5?
b) Trong số chữ số hàng chục bé chữ số hàng đơn vị? c) Trong số chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị?
1.11 Với hai chữ số I, V viết số La mã (theo cách viết thông thường)? Số nhỏ số nào? Số lớn số nào?
1.12 Mỗi tập hợp sau có phần tử?
a) Tập hợp số có hai chữ số lập nên từ hai số khác
b) Tập hợp số có ba chữ số lập nên từ ba chữ số đôi khác
1.13 Tổng kết đợt thi đua lớp 6A có 45 bạn điểm 10 trở lên, 41 bạn từ điểm 10 trở lên, 15 bạn từ điểm 10 trở lên, bạn điểm 10 trở lên Biết đạt điểm 10, hỏi đợt thi đua lớp 6A có điểm 10?
1.14 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng đơn vị Nếu chuyển chữ số hàng đơn vị lên đầu số nhỏ số cho 2889 đơn vị
1.15 Hiệu hai số tự nhiên 57 Chữ số hàng đơn vị số bị trừ Nếu bỏ chữ số hàng đơn vị số bị trừ ta số trừ Tìm hai số
1.16 Tìm số có ba chữ số, biết viết chữ số theo thứ tự ngược lại số lớn số ban đầu 792 đơn vị
1.17 Cho một số có hai chữ số Nếu viết thêm chữ số vào bên trái bên phải số ta số gấp 23 lần số cho Tìm số cho
1.18 Tìm một số có năm chữ số biết viết chữ số đằng trước số số lớn gấp lần số có cách viết thêm chữ số vào đằng sau chữ số
1.19 Một số gồm ba chữ số có tận chữ số 7, chuyển chữ số lên đầu số mà chia cho số cũ thương dư 21 Tìm số
1.20 (Đề thi HSG Hà Nội, 2005)
a) Có số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số hàng đơn vị 4?
(10)Chuyên đề PHÉP TOÁN TRONG TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Các tính chất phép cộng phép nhân
• Tính chất gia hốn: a+ = +b b a; a.b=b.a
• Tính chất kết hợp: (a+b)+ = +c a (b c ; a.b c+ ) ( ) =a b.c( )
• Cộng với số 0: a+ = + =0 a a
Nhân với số 1: a.1 1.a= =a
• Tính chất phân phối: a b c( + =) a.b a.c+
2. Điều kiện để thực phép trừ a−b a≥b Tính chất phân phối phép nhân phép trừ:
( )
a b c− =a.b a.c−
3. Điều kiện để số a chia hết cho số b≠0 tồn số q cho: a=b.q
4. Phép chia có dư:
Chia số a cho số b≠0 ta có: a=b.q+r, số dư r thỏa mãn điều kiện 0≤ <r b ∗ Nhận xét:
• r∈{0;1; 2; ; b ,− } suy có b khả số dư chia số cho b
• a− r b
• Nếu a c b c (a±b : c) =a : c b : c±
• Quan hệ chia hết có tính chất bắc cầu, tức a b b c a c.
5. Lũy thừa với số mũ tự nhiên
a) Định nghĩa: n
a = a a a (n thừa số a) (n∈ ∗) một lũy thừa a; a gọi số, n gọi số mũ
Quy ước:
a =a; a =1 (với a≠0),
0 nghĩa
b) Một số tính chất
(11)( )
m n m n
a a =a + m, n∈
m n m n
a : a =a − (m, n∈; m≥n)
• Lũy thừa lũy thừa: ( )m n m.n ( ) a =a m, n∈
• Lũy thừa tích: ( )n n n ( )
a.b =a b n∈
• Lũy thừa tầng: n ( )mn ( )
m
a =a m, n∈
c) Số phương số viết dạng bình phương số tự nhiên.
Ví dụ: 2 2
0=0 ; 1 ; 4= =2 ; 25=5 ; 121 11 ; = số phương 6 Thứ tự thực phép tính
• Thứ tự thực phép tính biểu thức khơng có dấu ngoặc: Lũy thừa ⇒ Nhân, chia ⇒ Cộng, trừ
• Thứ tự thực phép tính biểu thức có dấu ngoặc: ( )⇒[ ]⇒{ }
II MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng Thực phép tính
Ví dụ Thực phép tính sau cách hợp lí
a) 12.53 53.172 53.84+ − b) 35.13 35.17 65.75 65.45+ + − c) ( 16) (2 13 11 9)
3.4.2 : 11.2 −16
Giải
a) Ta có: 12.53 53.172 53.84+ − =53.(12 172 84)+ −
53.100 5300
= =
b) 35.13 35.17 65.75 65.45+ + − =(35.13 35.17) (65.75 65.45)+ + − 35.(13 17) 65.(75 45)
= + + −
35.30 65.30
= +
30.(35 65)
(12)30.100 3000
= =
c) Ta có: ( 16) (2 16) (2 18)2 2( )18 2 36 3.4.2 = 3.2 = 3.2 =3 =3
( ) ( )11
13 11 13 13 22 36 35 36
11.2 −16 =11.2 − =11.2 −2 =11.2 −2
( )
35 35 35
2 11 2
= − = =
Suy ra: ( ) ( )
36 2
16 13 11
35 2 3.4.2 : 11.2 16
2
− = =
Nhận xét:
Trong câu a) câu b), ta sử dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng phép trừ để tính hợp lí Tuy nhiên, cơng thức thể tính chất viết lại là:
a.b a.c a.d+ − =a.(b c d)+ −
Quy tắc gọi quy tắc đặt thừa số chung Dạng So sánh
Ví dụ So sánh:
a) 2011.2013
2012
b)
(3 4)+ 2
3 +4
c) 300
2 200
Giải
a) Ta có: 2013=2012 1+ 2012=2011 1+
Suy ra: 2011.2013=2011.(2012 1)+ =2011.2012 2011+
2
2012 =2012.(2011 1)+ =2012.2011 2012+
Vì 2011<2012 nên
2011.2013<2012 b) Ta có: 2
(3 4)+ =7 =49 2
3 +4 = +9 16=25
Vậy 2
(3 4)+ >3 +4
Chú ý: Nói chung n n n (a+b) ≠a +b
c) Ta có: 300 3.100 100 100
2 =2 =(2 ) =8 200 2.100 100 100 =3 =(3 ) =9
Vì 100 100
8 <9 nên 300 200
(13)Nhận xét:
Khi so sánh hai lũy thừa, ta thường sử dụng quy tắc để biến đổi hai lũy thừa số số mũ sử dụng quy tắc:
• Nếu n<mthì n m
a <a (a>1; m, n∈ )
• Nếu a<b n n
a <b (a, b∈; n∈∗)
Dạng Tìm số chưa biết
Ví dụ Tìm x, biết: 165 (35 : x− +3).19 13= Giải
Ta có: 165 (35 : x− +3).19 13= (35 : x+3).19 165 13= −
(35 : x+3).19 152=
35 : x+ =3 152 :19 35 : x+ =3 35 : x= −8 35 : x=5 x=35 : x=7 Vậy x=7
Nhận xét:
Trong cách giải trên, ta thấy x nằm số trừ (35 : x+30).19, trước hết ta tìm số trừ cách lấy số bị trừ 165 trừ hiệu 13 Suy luận tương tự cho bước sau đến tìm x Ngồi ra, ta áp dụng tính chất phân phối để bỏ dấu ngoặc:
(35 : x+3).19=(35 : x).19 3.19+ =35.19 : x+57
665 : x 57
= +
Ví dụ Tìm x, biết:
a)
(2x 1)+ =9.81
b) x x
(14)Giải
a) Ta có:
9.81 9.9= =9
Do đó: 3
(2x 1)+ =9
2x 9+ = 2x= −9 2x=8
x=4 Vậy x=4
b) Vì x x x
5 + =5 =25.5 nên ta có: x x +25.5 =650 x
(1 25).5+ =650 x
26.5 =650
x
5 =25=5 x=2 Vậy x=2
Nhận xét:
Để tìm x nằm lũy thừa thỏa mãn đẳng thức, ta biến đổi để đưa so sánh hai lũy thừa số (như câu a), số mũ (như câu b)
Ví dụ Tìm số mũ n cho lũy thừa n
3 thỏa mãn điều kiện n
25<3 <250
Giải
Ta có: 3 n
3 = <9 25<27=3 ⇒3 ≤3 (1)
5 n
3 =243<250<729=3 ⇒3 ≤3 (2) Từ (1) (2) suy ra: n
3 ≤3 ≤3 3≤ ≤n Vậy n∈{3; 4;5}
(15)So sánh
3 = <9 25<27=3
3 lũy thừa nhỏ lớn 25 Vì
n
25<3 nên n
3 ≤3 Tương tự, so sánh 35 =243<250<729=36
3 lũy thừa lớn nhỏ 250 Vì n
3 <250 nên n
3 ≤3
Ví dụ Chia số tự nhiên cho 60 ta số dư 31 Nếu đem chia số cho 12 thương 17 cịn dư Tìm số
Giải
Gọi số tự nhiên cần tìm a, thương chia a cho 60 q Theo đề ra, ta có: a=60.q 31+
Suy ra: a=125.q 12.2 7+ + =12.(5.q+ +2)
Tức a chia cho 12 thương 5.q+2 số dư Từ ta suy ra:
5.q+ =2 17 ⇒5.q=15⇒ =q
Vậy a=60.3 31+ =211
Nhận xét: Cơ sở cách giải 60 chia hết cho 12 Ta cần ý thêm số dư khơng lớn số chia, từ a=12.(5q) 31+ suy a chia cho 12 thương 5q dư 31
III. BÀI TẬP
1.21 Tính hợp lí:
a) 28.(231 69) 72.(231 69)+ + +
b) 299 300 301 302+ − − + + − − + − − + + 1.22 Tính hợp lí:
a)
6 12 11 120 10
8 +
−
b) 99 100
1 2+ + +2 +2 + + +2
c) 97 99
5 5+ + + +5 +5
1.23 Tính giá trị biểu thức:
3 b P 3a b d
c
= − + với a=5; b=2; c=4; d=6
1.24 So sánh:
a)
243
3.27
b) 12
15
81 125
c) 12 11
78 −78 11 10
(16)1.25 Cho 1999 2000
A= + + + + +1 3 +3 Chứng minh A chia hết cho 13 1.26 Tìm x∈ , biết:
a) (4x+5) : 121:11− =4
b) x+ + + + =1600 (x số tự nhiên lẻ) 1.27 Tìm x∈ , biết:
a)
(2x 1)+ =125 b)
(4x 1)− =25.9 1.28 Tìm x∈ , biết:
a) x x
2 +2 + =144 b) 2x x
3 + =9 +
1.29 Tìm x∈ , biết:
a)
(x 5)− =(x 5)− , (với x≥5) b) 15 x =x
1.30 Tìm số mũ x, biết lũy thừa 2x
5 − thỏa mãn điều kiện: 2x 100<5 − ≤5
1.31 Cho ba số 6; 7; Tìm tổng tất số khác viết ba số đó, chữ số dùng lần
1.32 Tích của hai số 276 Nếu thêm 19 đơn vị vào số tích hai số 713 Tìm hai số
1.33 Hiệu hai số Nếu tăng số bị trừ lên lần, giữ nguyên số trừ hiệu chúng 54 Tìm hai số
1.34 Tìm hai số tự nhiên có thương 29 Nếu tăng số bị chia lên 325 đơn vị thương chúng 54
1.35 Trong một phép chia số bị chia 59, số dư Tìm số chia thương
1.36 Tổng ba số 122 Nếu lấy số thứ chia cho số thứ hai lấy số thứ hai chia cho số thứ ba thương dư Tìm ba số
1.37 Khi chia một số cho 48 số dư 41 Nếu chia số cho 16 thương thay đổi nào?
1.38 Tìm số bị chia số chia nhỏ để thương dư 45
1.39 Tổng hai số 38570 Chia số lớn cho số nhỏ ta thương cịn dư 922 Tìm hai số
(17)(18)Chuyên đề TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG, HIỆU, TÍCH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
- Tính chất 1: Nếu a m b m (a+b) m, (a −b) m (a ≥b)
- Tính chất 2: Nếu a m b m/ (a+b) m, (a/ −b) m (a/ ≥b)
- Tính chất 3: Nếu a m k.a m (k∈ )
- Tính chất 4: Nếu a m b m a.b m.n Đặc biệt: Nếu a m n n
a m * (n∈ )
* Mở rộng:
- Nếu a m b m (k.a+l.b) m (k, l ∈)
- Nếu a m (a+ b) m b m - Nếu a m (a+ b) m/ b m/ III MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng Chứng minh quan hệ chia hết
Ví dụ Xét xem tổng (hiệu) chia hết cho
a) 400 144− b) 80 25 48+ + c) 32 47 33+ +
Giải
a) Vì 400 8 144 8 nên (400 144) 8− (tính chất 1) b) Vì 80 8 ; 48 8 25 8/ nên (80 25 48) 8+ + / (tính chất 2) c) Ta có: 32 47 33+ + =32 (47 33)+ +
Vì 32 8 (47 33) 8+ nên (32 47 33) 8+ + (tính chất 1) Nhận xét:
Một số sai lầm thường gặp câu c:
(19)Nguyên nhân sai lầm vận dụng sai tính chất Tính chất khẳng định rằng: Nếu tổng có số hạng khơng chia hết cho m (mọi số hạng khác chia hết cho m) tổng khơng chia hết cho m
Ví dụ Chứng tỏ ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho
Giải
Gọi ba số tự nhiên lien tiếp là: a; a 1; a+ +2
Ta có ba trường hợp sau:
• Nếu 3a tốn giải
• Nếu a chia cho dư 1, tức là: a=3k+ , a+2= 3k( + 3 3) • Nếu a chia cho dư 2, tức là: a=3k+ , a+ =1 (3k+ 3 ) Vậy ba số ; +1; +2a a a ln có số chia hết cho
Nhận xét:
Kết trường hợp tổng quát: Trong nsố tự nhiên liên tiếp ln có số chia hết cho n
Ví dụ 3: Chứng tỏ tổng ba số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho Giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: ; 1; 2a a+ a+ Tổng ba số bằng: số chia hết cho (tính chất 3)
Nhận xét:
Ta có kết tương tự phép nhân: Tích nsố tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Từ tính chất ví dụ 2, ta có kết “mạnh hơn”: Tích nsố tự nhiên liên tiếp chia hết cho
! n
(Trong đó: ! 1.2.3 ,n = n đọc ngiai thừa)
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng:
a) (ab ba− ) 9 (với a > b)
b) Nếu (ab+cd) 111 abcd 11.
Giải
a) Ta có: ab ba− =(10a+b) (− 10.b+a)=9.a−9.b=9.(a b− )
Mà 9.(a b− ) 9 (tính chất 3), nên ab ba− 9.
b) Ta có: abcd =100.ab+cd =99.ab+(ab+cd)
(20)Dạng Tìm điều kiện cho quan hệ chia hết
Ví dụ 5: Cho A=12 15 36+ + + , với x ∈ Ν Tìm điều kiện x để: x
a) A 3 b) A9
Giải a) Vì 12 3; 15 3 36 3 nên để 3A 3x b) Ta có: A=12 15 36+ + +x
Vì 12+15 = 27 9 36 9 nên để A 9.9 x
Ví dụ 6: Tìm số tự nhiên n để:
a) (n+3 3) b) (7n+8 ) n c) (35 12− n) n (với n < 3) Giải
a) Vì n nên để n (n+3 ) nn Từ suy ra: n∈{ }1;
b) Vì n nên để n (7n+8 ) nn Từ suy ra: n∈{1; 2; 4; } c) Vì 12 n nên để n (35 12− n) 35 nn Từ suy ra: n∈{1; 5; 7; 35 } Vì n < nên n=1 Vậy n =
Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên n để: a) (n+8 ) ( n+3)
b) (7n+8 ) (với n < 6)n
c) (5n+2 2) ( − n) (với n < 5)
Giải
a) Vì (n+3 ) ( n+3) nên theo tính chất để (n+8 +3) ( n ) thì:
(n 8) (n 3) +3(n )
+ − +
hay (n+3)
Suy ra: n+ ∈3 { }1;5 Vì Suy ra: n+ ≥ nên3 n+ = ⇒3 =2.n Vậy n =
b) Vì 3(n+4 ) ( n+4) nên theo tính chất để (16 3− n) ( +4 n ) thì:
(16n 3n) (3 n 3) +4(n )
− + +
hay 28 (n+4)
Suy ra: n+ ∈4 {1; 2; 4; 7; 14; 28 } Vì Suy ra: 0≤ < nên 4n ≤ + <n 10 Từ ta có: n+4∈{ }4; hay n∈{ }0;
c) Vì 2( − n) ( 2− n) nên(5n+2 2) ( − n) thì: 5( n+2 2) ( − n) Suy ra: 5 9( −2n) (+2 5n+ 2) 9( −2n) hay 49 9 ( −2n)
{ }
9 2n 1; 7; 49
⇒ − ∈ Vì 2− n≤ nên 9 2− n∈{ }1;
(21)Chú ý:
Trong câu c, sau tìm n ta phải thử lại, từ 5 9( −2n) (+2 5n+ 2) (9−2n) ta suy 5( n+2 2) ( − n), nên chưa có (5n+2 2) ( − n)
III BÀI TẬP
1.41 Cho A = 2, 5, 7, 9, 13 + 78 Hỏi A có chia hết cho 3, cho 6, cho 9, cho 13 khơng? Vì sao?
1.42 Chứng tỏ tổng bốn số tự nhiên liên tiếp số số không chia hết cho 1.43 Khi chia số số tự nhiên a cho 24 số dư 10 Hỏi số a có chia hết cho 2, cho khơng? Vì sao?
1.44 Chứng tỏ số tự nhiên có ba chữ số giống chia hết cho 37 1.45 Chứng tỏ rằng:
a)1 4+ +42 +43+ + 42012chia hết cho 21 b)1 7+ +72 +73+ + 7101chia hết cho
c) 2+22 +23+ + 2100vừa chia hết cho 31, vừa chia hết cho 1.46 Chứng tỏ rằng:
a) Nếu (abc−deg 13) abcdeg 13. b) Nếu abc (2a+3b+ c)
1.47 Tìm chữ số a, biết rằng: 20 20 20 7.a a a
1.48 Tìm số tự nhiên n cho: a) (n+12 .) n
b) (15 4− n) n (với n < 4) c) (6n−9 ) n (với n ≥ 4)
1.49 Tìm số tự nhiên n cho:
a) (n+13 ) ( n−5) (với n > 5) b) (15 2− n) ( +1 n ) (với n ≤ 4) c) (6n+9 4) ( n−1) (với n ≥ 1)
1.50 Cho , a b∈ Ν Chứng tỏ 5a+3bvà 13a+8bcùng chia hết cho 2012 a b chia hết cho 2012
Chuyên đề DẤU HIỆU CHIA HẾT I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
(22)• a 2 a có chữ số tận 0; 2; 4; 6; • a 5 a có chữ số tận 0;
• a 3 tổng chữ số a chia hết cho • a 9 tổng chữ số a chia hết cho 2 Nâng cao
• a 4 (hoặc 25a ) hai chữ số tận a tạo thành số chia hết cho (hoặc 25)
• a 8 (hoặc 125a ) ba chữ số tận a tạo thành số chia hết cho (hoặc 125)
• a 11 tổng chữ số hàng lẻ a trừ tổng chữ số hàng chẵn a (hoặc ngược lại) chia hết cho 11
Ví dụ: Số 908347 11 , (9 8+ +4) (− + +0 7)=11 11. II MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng Chứng minh quan hệ chia hết
Ví dụ Chứng tỏ với số tự nhiên n ta có:
( 2013)( 2012)
2012 2013
n+ n+
Giải Ta có 2012 số chẵn nên 2013
2012 số chẵn Tương tự, ta có 20132012 số lẻ Từ đó: 2012 2012
2012 +2013 số lẻ
Ta có: (n+20122013) (+ n+20132012)=2n+(20122013+20132012)là số lẻ, 2n số chẵn Suy hai số ( 2013)
2012
n+ (n+20132012)phải có số chẵn Do tích chúng (n+20122013)(n+20132012)là số chẵn
Vậy ( 2013)( 2012)
2012 2013
n+ n+
Nhận xét:
Trong cách giải ta sử dụng tính chất: Nếu a b+ là số lẻ hai số a ,b phải có số chẵn, số lẻ
Thật vậy, a ,b cùng số chẵn số lẻ a b+ số chẵn: Trái với giả thiết a b+ số lẻ
Ta chứng minh qua việc xét hai trường hợp: nchẵn nlẻ
Ví dụ Chứng tỏ hiệu số tổng chữ số chia hết cho
Giải
Ký hiệus n( )là tổng chữ số tự nhiên n Bài toán trở thành: Chứng tỏ n−s n( ) Thật vậy, giả sử n=a am m−1 a a1 (n có m+ chữ số),
( ) m m
(23)Ta có: n=am.10m +am−1.10m−1+ + a1.10+a0
1 1 1 1 0
so 9
99 m 99 9m ( m m )
m m so
a − a a a − a a
−
= + + + + + + + +
Vì 1 1
so 9
99 m 99 9m 9
m m so
a − a
−
= + + +
nên ta đặt .k (k∈ Ν)
Suy ra: n=9k+s n( )⇒ n −s n( )=9k Nhận xét:
Từ kết toán ta thấy nvà s n( )ln có số dư chia cho Ta có kết tương tự thay
Ví dụ Hãy thay dấu phép toán cộng ( )+ trừ ( )− vào chỗ đánh dấu ( )* dãy tính sau để kết số chia hết cho 2:
10 * *8 * * * * * 3* *1 Giải
Bước 1: Thay tất dấu “*” dấu “+” ta được:
10 7+ + + + + + + + + =6 55 (là số lẻ) Bước 1: Thay tất dấu “+” dấu “-”
Khi thay dấu “+” a b+ bằng dấu “-”, ta a b− Giá trị biểu thức giảm
(a+b) (− a b− )=2b (là số chẵn)
Do đó, sau lần thay dấu “+” dấu “-” kết giảm số chẵn nên kết tính ln số lẻ
Vậy khơng có cách thay để kết tính chia hết cho Nhận xét:
Trong cách giải ta sử dụng phương pháp giả thiết tạm: Thay tất dấu “*” dấu “+”, thay dần dấu “+” dấu “-” Kết hợp với tính bất biến (Kết phép tính ln số lẻ), ta có lời giả tốn
Ta giải thích sau: Vì dãy tính có số lẻ nên điền dấu “+” hay dấu “-” vào chỗ có dấu “*” để số chẵn
Ví dụ 4: Viết số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta số A Hỏi A có chia hết cho khơng? Vì sao?
Giải Ta có: A=10111213 9899
Xét 90 số tự nhiên liến tiếp: 10,11,12, ,98,99
(24)• Tổng chữ số hàng đơn vị: (0 9+ + + + + ) =45.9=405 Tổng chữ số A là: 450 405 855.+ =
Mà 855 9 nên 9.A
Dạng Tìm điều kiện cho quan hệ chia hết, chia dư
Ví dụ 5: Biết số tự nhiên n chia hết cho ( )
5
n − Tìm chữ số tận nn Giải
Vì n chia hết chữ số tận n số chẵn 2
Vì n2 − =n n n( − nên 51 5) n (n− Do n có chữ số tận 0,5 1 5)
n− có chữ số tận 0,5 Tức n có chữ số tận 0,5,1,6 Kết hợp hai kết suy ncó chữ số tận Ví dụ 6: Tìm chữ số ,x y biết rằng:
a) 23 2; 5x y b) 144xy 3 Giải
a) Vì 23 5x ychia hết cho nên y=
Ta có: 23 50 9x nên (2 + + + ) hay (10+) ⇒ x = Vậy x=8; 0.y=
b) Vì 144xy 5 nên y∈{ }0;
• Nếu y= ta có 144 30 x
(1 4 x hay 9) ( x) x {0; 3; 6; }
⇒ + + + + + ⇒ ∈
• Nếu y= ta có 144 35 x
(1 4 x hay 14) ( x) x {1; 4; }
⇒ + + + + + ⇒ ∈
Vậy có bẩy cặp số ( )x y, thỏa mãn:
x
y 0 0 5
(25)Vì 3x ychia hết cho nên y=
Ta có: 30x chia hết cho dư 2+ + + chi hết cho dư (xem ví dụ 2) x hay x+ chia hết cho dư
10x x
⇒ + = ⇒ =
Vậy x=5; 0.y=
Ví dụ 8: Tìm chữ số a b biết rằng:
a) 25 36a b b) a378 72b Giải
a) Vì 25acb 36 nên 25 4a b Vì 25 4a b nên 4b ⇒ ∈b {0; 4; }
• Nếu b= ta có 25 20 90 a
(2 a hay ) (a 9 ) a { }0;
⇒ + + + + + ⇒ ∈
• Nếu b= ta có 25 24 94 a
(2 a hay ) (a 13 ) a
⇒ + + + + + ⇒ =
• Nếu b= ta có 25 28 98 a
(2 a hay ) (a 17 ) a
⇒ + + + + + ⇒ =
Thử lại, ta có cặp số ( )a b; thỏa mãn:
a
b 0
b) Vì 378 72a b nên 378 8a b
• Vì 378 8a b nên 78 8b ⇒ b=4
• Vì 3784 9a nên (a+ + + +3 4) hay (a+22 9) ⇒ =a Vậy a= b=
Ví dụ 9: Tìm chữ số a cho 76 23 11.a Giải
(26)Vậy a= Nhận xét:
Để giải toán tìm chữ số chưa biết số, biết số chia hết (hoặc chia dư) cho vài số cho trước, ta sử dụng dấu hiệu chia hết, ưu tiên dấu hiệu cho biết (hoặc 2, 3) chữ số tận (dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 4, 25, 8, 125)
III BÀI TẬP
1.51 Từ ba bốn chữ số 5, 6, 3, 0, ghép thành số có ba chữ số khác thỏa mãn điều kiện:
a) số lớn chia hết cho b) số nhỏ chia hết cho c) số nhỏ chia hết cho d) số lớn chia hết cho
1.52 Dùng ba bốn số 5, 4, 3, viết tất số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho ba số 2,
1.53 Chứng tỏ rằng:
a)1033 + chia hết cho 18.8 b)1010 + chia hết cho 9.14 1.54 Chứng tỏ với số tự nhiên n, tích (n+7)(n+ chia hết cho 8) 1.55 Chứng tỏ tích ba số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 48
1.56 Cho n∈ Ν * Chứng tỏ rằng:
a) (5n −1 4.) b) (10n+18n−1 27.)
1.57 Tìm số tự nhiên có năm chữ số, chữ số giống nhau, biết số chia cho dư chia hết cho
1.58 Tìm chữ số ,x y biết rằng:
a) 85x y chia hết cho 2; 3; 5.
b) 10xy5 45.
c) 26 5.x y 18
1.59 Tìm chữ số ,a b cho:
(27)1.60 Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có hai chữ số biết số chia hết cho 4, số chia hết cho 25
1.61 Tìm chữ số a để aaaaa96 chia hết cho 1.62 Tìm chữ số a để 1aaa chia hết cho 11 1
1.63 Biết 1978a+2012b 78a+10b chia hết cho 11 Chứng minh a b chia hết cho 11
1.64 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân số với ta số gồm các chữ số số viết theo thứ tự ngược lại
1.65 Tìm số tự nhiên có ba chữ số abc cho: abc=n2− cba=(n−2)2, với ,
n∈ n>
(Đề thi HSG Vũng Tàu, 2009 )
(28)Chuyên đề SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Kiến thức bản
• Ước bội a b ⇔ a bội b⇔ b là ước a
• Tập hợp ước số tự nhiên a kí hiệu Ư( )a Tập hợp bội số tự nhiên a kí hiệu B( )a
Ví dụ Ư( ) {6 = 1; 2;3;6}, B( ) {6 = 0;6;12;18;}
• Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ước • Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều hai ước
• Phân tích số thừa số nguyên tố viết số dạng tích thừa số nguyên tố với số mũ Thơng thường, ước ngun tố viết theo thứ tự từ nhỏ đến lớn
Ví dụ 72=2 33 2. Nâng cao
• Để kiểm tra số a có số ngun tố hay khơng, ta chia a cho số nguyên tố 2;3; ; p , với p số nguyên tố lớn thỏa mãn p2 ≤ Na ếu khơng có phép chia hết a số nguyên tố, trái lại a hợp số.
Ví dụ Để xét số 103 có số nguyên tố hay không ta xác định số nguyên tố lớn thỏa mãn 72≤103 ( số nguyên tố 11 có 112 =121 103> ) Ta chia 103 cho 2;3;5;7 thấy khơng có phép chia hết Vậy 103 số nguyên tố
• Tập hợp số ngun tố có vơ hạn phần tử Do vậy, khơng có số ngun tố lớn
• Nếu số tự nhiên a phân tích thừa số nguyên tố được:
1
1
k
n
n n
k
a= p p p , p p1, 2,,pk số nguyên tố khác nhau, số ước a (n1+1 ) (n2+1) ( nk +1)
• Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Từ ta suy số phương có số ước số lẻ
(29)• Nếu ,p q hai số nguyên tố mà a p a q a p q
II MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng Các tốn ước bội.
Ví dụ Cho phép chia có số bị chia 200 số dư 13 Tìm số chia thương
Giải
Gọi số chia b , thương q Vì số dư ln nhỏ số chia nên b> 13 Khi ta có phép chia: 200=b q + 13
200 13 187 b q
⇒ = − =
b
⇒ ∈Ư( )187
Vì 187=11.17 b> nên ho13 ặc b=17 b=187
− Nếu b=17 q= ta có phép chia 200 17.11 1311 = + − Nếu b=187 q= ta có phép chia 200 187.1 131 = +
Ví dụ Biết số tự nhiên aaa có ba ước khác 1, tìm chữ số a
Giải
Ta có aaa=111.a=3.37.a 3;37;3.37
⇒ là ước (khác 1) aaa
Để aaa có ba ước khác (như trên) a= Vậy số phải tìm 111
Nhận xét:
Một số có ba ước khác số ước ( tính thêm ước 1) Sử dụng cơng thức tính số ước, số phân tích thừa số ngun tố phải có dạng p ho3 ặc
p q , với p q số nguyên tố khác Vì aaa=111.a=3.37.a 3;37 số nguyên tố khác nên suy aaa có dạng a=
(30)Vì 2x+ ước 14 nên 2x+ ∈3 {1; 2;7;14}
Vì 2x+ s3 ố lẻ, lớn nên 2x+ = hay 23 x= − = 4 : 2
x
⇒ = =
Vậy x= Nhận xét:
Khi giải tốn ước bội, ta thường xét tính chẵn - lẻ phạm vi giá trị số Trong ví dụ trên, 2x+ số lẻ, x≥ nên 20 x+ ≥ Việc giúp số trường hợp 3 toán giảm đáng kể
Dạng Các toán số ngun, hợp số
Ví dụ Tìm số nguyên tố p , cho p+ p+ số nguyên tố Giải
− Nếu p= p+ = p+ = số nguyên tố − Nếu p= p+ = p+ = số nguyên tố
− Nếu p> s3 ố nguyên tố p có hai dạng: 3k+1, 3k+ v2 ới k∈ * + Nếu p=3k+ p+ =2 3k+ =3 3(k+1)
(p 3)
⇒ + , mà p+ > nên p+ h2 ợp số
+ Nếu p=3k+ p+ =4 3k+ =6 3(k+2)
(p 3)
⇒ + , mà p+ > nên p+ hợp số4
Vậy có số nguyên tố p thỏa mãn p= Nhận xét:
Trong cách giải ta sử dụng tính chất sau đây: “Nếu a> > a mm a hợp số”
Đây tính chất thường dùng tốn số ngun
Ví dụ Cho p 2p+ s1 ố nguyên tố (p> Hỏi 45) p+ s1 ố nguyên tố hay hợp số?
(31)Do p số nguyên tố lớn nên p3⇒4 p3
Do 2p+ s1 ố nguyên tố lớn nên 2p+ 3
( )
2 2p
⇒ + 3 hay 4p+ 3.2
Mặt khác, ba số tự nhiên liên tiếp ;4p p+1; 4p+ ln có m2 ột số chia hết cho 3, 4p+ Mà 41 p+ > , nên 41 p+ h1 ợp số
Ví dụ Tìm số ngun tố biết số tổng hai số nguyên tố hiệu hai số nguyên tố khác
Giải
Gọi p số nguyên tố cần tìm p a b c d= + = − , với , ,a b c số nguyên tố, c> d
Vì p= + > nên p sa b ố lẻ a b
⇒ + c d− số lẻ
• Vì a b+ số lẻ nên hai số ,a b số chẵn, giả sử b chẵn Vì b số nguyên tố nên b=
• Vì c d− số lẻ nên hai số ,c d số chẵn Vì ,c d số nguyên tố c d> nên d số chẵn ⇒ = d
Do p= +a = −c 2⇒ = +c a
Ta cần tìm số nguyên tố a để p= +a c= +a số ngun tố Theo ví dụ 4, ta cóa=3
Vậy số nguyên tố cần tìm 5, với = + = –
Dạng Các tốn phân tích số thừa số nguyên tố Ví dụ Phân tích số sau thừa số nguyên tố:
a) 2012
2001 b) 2.9.2012
Giải
a) Phân tích số 2001 thừa số nguyên tố ta được: 2001 = 3.23.29 Từ suy ra: 2012
2001 = (3.23.29)2012 = 2012 2012 2012 23 29
b) Phân tích số 2012 thừa số nguyên tố ta được: 2012 =
2 503
Từ suy ra: 2.9.2012 = 2.32.22.503 = 23.32.503 Ví dụ Tìm n∈N*biết: + + + … + (2n) = 756
Giải
Số số hạng vế trái là: (2n−2 : 1) + =(n− + =1) n
(32)Phân tích số 756 thành tích hai số tự nhiên liên tiếp: 756 =
2 = 27.28
Theo đề ra, ta có: n n( + =1) 27.28 ⇒ =n 27 Vậy n=27
Ví dụ Tìm số tự nhiên n cho p = ( )( )
2
n− n + −n số nguyên tố Giải
Từ p = ( )( )
2
n− n + −n suy n−2
5
n + −n là ước p.
Vì p số nguyên tố nên n− =2
5
n + − =n Nếu n – = n =
Khi ( )
1 3
p= + − = số nguyên tố (thỏa mãn) Nếu
5
n + − =n ⇔n2+ =n ⇔n n( + =1) 2.3 ⇒ =n Khi p=(2 0− ) = không số nguyên tố
Vậy n = III BÀI TẬP
1.67 Tìm tập hợp số tự nhiên vừa bội 4, vừa ước 60 1.68 Tìm số tự nhiên x, y cho (2x−1)(y+ =3) 12
1.69 Chứng tỏ plà số nguyên tố lớn (p−1)(p+1) chia hết cho 24
(Đề HSG tỉnh Phú Thọ, 2004)
1.70 Tìm chữ số a để 23a số nguyên tố 1.71 Tìm số tự nhiên nhỏ có 12 ước số
1.72 Chứng tỏ rằng: Nếu số tự nhiên có ba chữ số tận 104 số có ước số
1.73 Tìm hai số nguyên tố có tổng 309
1.74 Tìm số nguyên tố p,sao cho p+4;p+8 số nguyên tố
(Đề HSG Hà Nội, 2008)
1.75 Tìm số nguyên tố p, cho p+6;p+8;p+12;p+14 số nguyên tố
1.76 Cho p p+ s4 ố nguyên tố (p>3) Chứng tỏ rằng: p+8 hợp số 1.77 Số 2012
3 +3 +3 + + số nguyên tố hay hợp số
1.78 Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố hai số lẻ liên tiếp (chẳng hạn như: 5, 11 13,…) Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số nguyên tố sinh đôi chia hết cho
1.79 Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp số nguyên tố 1.80 Tìm n∈N*, biết: + + + +(2n+ =1) 144
1.81 Tìm số abc phân tích thừa số ngun tố có thừa số thừa số Chứng tỏ số a+19b+4c có tính chất
(33)Chun đề ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Kiến thức bản
a) Ước chung ước chung lớn nhất
•Ước chung hai hay nhiều số ước tất số
Tập hợp ước chung hai số avà b kí hiệu ƯC(a, b) xác định bởi: ƯC(a, b) = Ư(a) ∩Ư(b)
• Ước chung lớn a b số lớn tập hợp ước chung a b Kí hiệu ƯCLN(a, b) gọn (a, b).
Cách tìm ƯCLN số cho trước:
Bước Phân tích số thừa số nguyên tố Bước Chọn thừa số nguyên tố chung
Bước Lập tích thừa số nguyên tố chọn, thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN cần tìm
• Chú ý:
+ Nếu a b ( )a b, =b
+ a b nguyên tố ⇔(a b; )=1
+ Ba số a, b, c gọi đôi nguyên tố ( ) ( ) ( )a b, = b c, = c a, =1
+ Muốn tìm ước chung số cho, ta tìm ước ƯCLN tất số b) Bội chung bội chung nhỏ nhất
• Bội chung hai hay nhiều số (khác 0) bội tất số
Tập hợp bội chung hia số a b kí hiệu BC( )a b, xác định ( ), ( ) ( )
BC a b =B a ∩B b
• Bội chung nhỏ avà b số nhỏ khác tập hợp bội chung
avà b, kí hiệu BCNN a b( ); rút gọn [ ]a b, Cách tìm BCNN số cho trước:
Bước Phân tích số thừa số nguyên tố
Bước Chọn thừa số nguyên tố chung riêng
Bước Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ lớn nó, tích BCNN phải tìm
• Chú ý:
+ Nếu a b với (a≠0) [ ]a b, =a + ( )a b, =1 [ ]a b, =a b
+ Muốn tìm bội chung số cho, ta tìm bội BCNN số 2 Nâng cao
(34)• Nếu ab m (a m, )=1 b m
• Nếu a m a n a b m n [ ], đặc biệt a m a n mà (m n, )=1 a mn
Tích hai số tích BCNN ƯCLN chúng: a b =( )a b, ,[ ]a b
II MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng Các toán ước chung bội chung. Ví dụ Tìm ƯC(28, 70); BC(4; 14)
Giải + Ta có Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}
Ư(70) = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70}
Từ suy ƯC(28; 70) = Ư(28) ∩Ư(70) = {1; 2; 7; 14} + Ta có: B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; }
B(14) = {0; 14; 28; 42; 56; }
Từ suy ra: BC(4, 14) = B(4) ∩ B(14) = {0; 28; 56; } Nhận xét:
Dựa vào ý phần I, ta giải tốn theo cách khác sau đây: + Ta có:
28 ; 70 2.5.7= = ⇒ ƯCLN(28,70) = 2.7 = 14 Vậy ƯC(28,70) = Ư(ƯCLN(28,70)) = Ư(14) = {1; 2; 7; 14} + Ta có: = 22 14 = 2.7 ⇒ BCNN(4,14) = 22 = 28 Vậy BC(4,14) = B(BCNN(4,14)) = B(28) = {0; 28; 58; }
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên a, biết 332 chia cho a dư 17, cịn chia 555 cho a dư 15
Giải:
Vì 332 chia cho a dư 17 nên 332 – 17 = 315 a a > 17 Vì 555 chia cho a dư 15 nên 555 – 15 = 540 a a > 15
⇒ a ∈ƯC(315,540)và a > 17.
Ta có: 315 = 32 5.7 540 = 22 33 ⇒ ƯCLN(315,540) = 32
= 45
Do : a∈ ƯC(315, 540) = Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}
(35)Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên nhỏ có bốn chữ số, biết chia số cho 18; 24 ; 30 có số dư 13; 19; 25
Giải:
Gọi số cần tìm a, 1000≤ ≤a 9999
Vì a chia cho 18 dư 13 nên ta có a = 18 q + 13 ⇒ a + = (18.q + 18) 18
Tương tự, ta có : a + chia hết cho 24 30
Do a + ∈ BC(18,24, 30) ⇒ (a + 5) BCNN(18, 24, 30) Ta có: BCNN(18, 24, 30) = BCNN(2.32, 23.3, 2.3.5) = 23 32.5 = 360
⇒ a + 360 hay a + = 360.k với k ∈N* ⇒ a = 360.k –
Ta thấy k lớn a lớn,vì để a số nhỏ k phải nhỏ Với k =1 a = 355 < 1000: không thỏa mãn
Với k =2 a = 715 < 1000: khơng thỏa mãn Với k = a = 1075 < 1000: thỏa mãn Vậy số cần tìm 1075
Nhận xét: Ta dùng cách suy luận khác sau:
Vì 1000≤ ≤a 9999 nên ta có 1000 ≤360.k− ≤5 9999
Cộng ba số với ta được: 10005≤360.k ≤10004
Chia ba số cho 360, ta được: 1005 10004 67 2501
360 ≤ ≤k 360 ⇔ 24 ≤ ≤k 90
Vì k∈N* nên 3≤ ≤k 27
Vậy giá trị nhỏ k Tương ứng cho giá trị nhỏ a 1075 Ngoài ra, giá trị lớn k 27 Tương ứng cho giá trị nhỏ a 360 27 – = 9715
Ví dụ 4: Tìm hai số tự nhiên a, b biết a + b = 128 (a, b) = 16
Giải:
(36)Vì a + b = 128 nên 16m + 16 n = 128 ⇒ + =m n
Vì (m, n) = m + n = nên ta có bốn trường hợp sau: • m = n = ⇒a = 16 = 16 b = 16 = 112 • m = n = ⇒a = 16 = 48 b = 16 = 80 • m= n= ⇒ =a 16.5=80 b=16.3=48. • m= n= ⇒ =a 16.7=112 b=16.1 16=
Vậy tốn có đáp số là:
a 16 48 80 112
b 112 80 48 16
Nhận xét:
Trong ví dụ ta thấy rằng: tốn có đáp số a=48; b=80 có đáp số a=80; b=48 Điều có vai trị a b trong đề Với toán vậy, ta thường giửa sử a b≤ để làm giảm số trường hợp phải xét Khi giải xong ta cần đổi vai trò a b để có đáp số cịn lại
Ví dụ Tìm hai số tự nhiên a, b biết rằng: ( )a b, = [ ]a b, =36 Giải
Vì vai trị a b nhau, nên khơng tính tổng qt, ta giẩ sử a b≤ Áp dụng công thức: a b =[ ]a b, ( )a b, , ta có: a b=36.6=216
Vì ( )a b, = nên a=6.m b=6.n, với m n≤ (m n, )= Thay vào a b=216 ta được: 6m n=216
36mn=216 216 : 36
mn= =
Vì m≤ ; n mn= (m n, )= nên ta có hai trường hợp sau: • m= n= ⇒ =a 6.1= b=6.6=36
• m= n= ⇒ =a 6.2=12 vaf b=6.3 18=
Đổi vai trò a b, ta có hai đáp số khác là: a=36 b= ; a=18 b=12 Vậy tốn có đáp số:
a 12 18
b 36 18 12 36
Dạng Các tốn chứng minh
Ví dụ Cho n∈ * Chứng tỏ rằng: (2n+3;3n+4)= Giải
(37)( )
3 2n d
⇒ + 2 3( n+ hay 4) d (6n+ 8) d (6n 9) (6n 8) d
⇒ + − + hay d
d ⇒ =
Vậy (2n+3;3n+4)=1
Ví dụ Cho a, b∈ *; a> b ( )a b, =
Chứng tỏ (a+b a, − 1, b) Giải
Đặt d =(a+b a b, − thì: ) (a+ b d) (a b d− ) Tức là: a+ =b d m ; a b− =d n (với m,n∈; m>n) Suy ra: 2a=d m +d n ⇒2a d
Và: 2b=d m −d n ⇒2b d
Do d ∈ ƯC(2 , 2a b ) ⇒(2 , 2a b d)
Mà (2 , 2a b) ( )=2 a b, = nên 22 d⇒ =d d = Vậy (a+b a, − hoặc b)
Nhận xét:
Trong lời giải ta dùng kết toán quen thuộc: “tìm hai số biết tổng hiệu” Khi đó, lần số lớn tổng cộng hiệu, lần số nhỏ tổng trừ hiệu Dạng Các toán thực tế
Ví dụ Một khu đất hình chữ nhật dài 54 m, rộng 48 m Người ta muốn chia khu đất thành mảnh hình vng để trồng loại rau Hỏi chia cách? Với cách chia cạnh mảnh đất hình vng lớn bao nhiêu?
Giải
Gọi n là độ dài cạnh mảnh đất hình vng chia Ta có: 54 n 48 n
n
⇒ ∈ ƯC(54, 48 )
Lại có: 54=2.33 48=2 34
Nên suy ra: ƯCLN(54, 48) =Ư( )6 ={1; 2;3;6}
Vậy ta chia khu đất theo cách cạnh mảnh đất hình vng lớn m
Nhận xét:
Ta tính số mảnh đất hình vng tạo thành cách chia sau: Cách Độ dài cạnh mảnh
đất hình vng
Số mảnh đất hình vng tạo thành
1 m 54.48=2592
2 m 27.24=648
3 m 18.16=288
(38)Ví dụ Một trường tổ chức cho 64 học sinh thi đấu thể thao số xe ô tô thuộc hai loại: loại xe 12 chỗ ngồi loại xe chỗ ngồi (không kể người lái xe) Biết số học sinh xếp vừa đủ số ghế ngồi xe Hỏi loại xe có chiếc?
Giải
Gọi x số xe 12 chỗ y số xe chỗ ngồi (x, y∈*) Số học sinh xe loại 12 chỗ ngồi 12x
Số học sinh xe loại chỗ ngồi 7y Theo đề ta có: 12x+7y=64 (*) Ta có: 12x 64 44 nên 7y4 Vì ƯCLN( )7, = nên y4 Từ (*) ta suy ra: 7y<64⇒ ≤ y Mà y4 nên y∈{ }4;8
+ y= thay vào (*) ta được: 12x+7.4=64 12x=64−28=36
Suy x=36 :12=3
+ y= thay vào (*) ta 12x+7.8=64 Suy 12x=64 7.8− =8
Suy x∉ *
Vậy có xe 12 chỗ ngồi xe chỗ ngồi III. BÀI TẬP
1.83 Tìm ƯC(48,120,150 ; BC) (26, 78 )
1.84 Cho a, b hai số tự nhiên không nguyên tố thỏa mãn: a=4n+ ;3
5
b= n+ ( n ∈ ) Tìm ( )a b , 1.85 Tìm hai số tự nhiên a, b biết:
a) 7a=11b ( )a b, =45 b)[ ]a b, =300 a b=4500 c) a+ =b 30 [ ]a b, =6.( )a b,
1.86 Tìm hai số tự nhiên a, b biết: a+2b=48 ( )a b, +3[ ]a b, =114 1.87 Tìm hai số tự nhiên a, b biết: ƯCLN( )a b , + BCNN( )a b =15 ,
1.88 Một số chia cho 21 dư chia cho 12 dư Hỏi số chia cho 84 dư bao nhiêu? 1.89 Cho một số tự nhiên a thỏa mãn: 7a a chia cho dư Tìm a biết
rằng a<400
1.90 Tìm số tự nhiên lớn có ba chữ số cho chia cho 2, cho 3, cho 4, cho ,cho ta số dư theo thứ tự 1, 2, 3, 4,
(39)1.92 Cho n∈ Chứng tỏ rằng:
a) (2n+1, 2n+3)=1 b) (2n+5,3n+7)=1
1.93 Cho hai số nguyên tố a b Chứng tỏ hai số 11a+2b 18a+5b ngun tố có mơt ước chung 19
1.94 Một lớp học có 24 học sinh nam 18 học sinh nữ Có cách chia lớp thành tổ cho số học sinh nam số học sinh nữ chia vào tổ? Biết số tổ lớn
1.95 Một đơn vị đội xếp hàng, hàng có 20 người, 25 người, 30 người thừa 15 người Nếu xếp hàng 41 người vừa đủ (khơng có hàng thiếu, khơng có ngồi hàng) Hỏi đơn vị có người, biết số người đơn vị chưa đến 1000?
1.96 Tổng số học sinh khối trường có khoảng 235 đến 250 em, chia cho dư , chia cho dư 3, chia cho dư 4, chia cho dư , chia 10 dư Tìm số học sinh khối
1.97 Một trường tôt chức cho học sinh tham quan ô tô Nếu xếp 35 hay 40 học sinh lên tơ thấy thừa chỗ trống Tính số học sinh tham quan, biết số học sinh có khoảng từ 200 đến 300 em
1.98 Cho a=123456789 b=987654321 Tìm ( )a b ,
1.99 Hãy tìm chữ số a, b , c, d cho số a, ad, cd, abcd số
(40)Chuyên đề nâng cao SỐ CHÍNH PHƯƠNG I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
Số phương bình phương số tự nhiên Tức là, A số phương A=k2 ( k∈ ) 2 Tính chất
• Số phương có chữ số tận số ; 1; 4; ; ; , khơng có chữ số tận 2; 3; ;
• Khi phân tích thừa số ngun tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ
Chứng minh
Giả sử A=k2 với k ∈
Phân tích k thừa số nguyên tố ta có: k =a b cx .y z (trong đó: a, b , c, số nguyên tố đôi khác x, y , z, ∈ *)
Khi đó: ( )2 2 2 2
x y z x y z
A= a b c =a b c (đpcm) Từ tính chất ta có hệ quả:
a) Nếu A số phương, p số nguyên tố A p A p b) Tích số phương số phương
c) A=a b số phương a=m p 2, b=m q Đặc biệt, a số phương b số phương.
• Số ước số phương (khác ) số lẻ Ngược lại, số có số ước lẻ số số phương
Chứng minh Gọi A số tự nhiên khác
- Nếu A= A s1 ố phương có ước
- Nếu A> A có d1 ạng phân tích thừa số nguyên tố là:
x y z
A=a b c (a, b , c, số nguyên tố đôi khác nhau) ⇒ Số lượng ước A S =(x+1)(y+1)(z+ .1)
a) Nếu A số phương x, y , z, số chẵn, nên x+ , y+ , z+ ,1 số lẻ, S số lẻ.
b) Đảo lại, S số lẻ (x+1)(y+1)(z+ số lẻ 1) ⇒ thừa số x+ ,1
y+ , z+1, số lẻ ⇒ x, y , z, số chẵn
Đặt x=2 'x , y=2 'y , z=2 'z , ( 'x , 'y , 'z , ∈ ) A=(a b cx' y' z')2 nên A số phương (đpcm)
• Nếu số A nẵm bình phương hai số tự nhiên liên tiếp A khơng thể số phương Nghĩa là: 2 ( )2
1
n < <A n+ A khơng số phương. • Hai đẳng thức thường dùng: 2 2 ( )2
2
(41)( )2
2
2
a − ab b+ = a b− (2)
Chứng minh
Chứng minh đẳng thức (1) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2
2 2
2
a + ab+b = a +ab + ab+b =a a+b +b a+b = a+b a+b = a+b
Chứng minh tương tự ta có đẳng thức (2) II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG
Dạng Kiểm tra số có phải số phương hay khơng
Ví dụ Các số sau có phải số phương hay khơng? Vì sao? a) A= + + + +3 32 33 320
b)B=1010+8
c)C=100! 7+ d)D=1010+5
e) E=10100 +1050 +1
Giải
a) Ta có 9n với n≥ nên (32+ + +33 320)9
2 20
3 3
A
⇒ = + + + + chia hết cho chia cho dư
Vì A chia hết cho khơng chia hết A số chính phương
b) Ta có 1010 +8 có chữ số tận nên B số phương. c) Ta có 100! 7+ có chữ số tận nên C số phương. d) Ta có 1010 +5 có chữ số tận chia hết cho khơng chia hết cho
25 (vì có hai chữ số tận 05) nên D số phương
e) Ta có 10100+1050 +1 có tổng chữ số chia hết cho không chia hết cho nên E không phải số phương
Ví dụ Cho F = + + + +31 32 33 3100 Chứng minh 2F+ khơng s3 ố phương Giải
Ta có: F = + + + +31 32 33 3100
Nên 3F =32+ + + +33 34 3101⇒3F − =F 3101−3
Do 101 101 100 ( )50
2F + =3 − + =3 3 =3 3= 3 khơng số phương, khơng phải số phương
Ví dụ Viết liên tiếp từ đến 12 số H =1234 1112 Số H có 81 ước khơng?
(42)Vì số lượng ước H 81 (là số lẻ) nên H số phương (1) mặt khác, tổng chữ số H là:
( ) ( ) ( )
1 9+ + + + + +1 + + + +1 1 =51
Vì 51 3 ; 9 nên H chia hết cho không hica hết cho , H khơng số phương: mâu thuẫn với (1) !
Vậy H khơng thể có 81 ước
Ví dụ Chứng minh không tồn hai số tự nhiên x y khác cho x2+ y
2
x+ sy ố phương
Giải
Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử x y≥
Khi đó, ta có: 2 2 2 ( ) ( )2
1
x <x + ≤y x + =x x x+ < x+
2
x y
⇒ + khơng thể số phương
(nếu x y≤ chứng minh tương tự ta có x+ khơng sy2 ố phương)
Vậy khơng tồn hai số tự nhiên x y cho x2+ y x+ sy2 ố phương
Nhận xét: để chứng minh số A không số phương ta thường sử dụng một cách sau:
Cách 1: chứng minh chữ số tận A số 2; 3;7 ; 8. Cách 2: chứng minh A p (với p số nguyên tố) A p
Cách 3: chứng minh n2 < <A (n+1)2 Dạng Lập số phương từ chữ số cho
Ví dụ Tìm số phương có bốn chữ số 3, , 8, Giải
Gọi A số phương phải tìm
Vì số phương khơng tận 3, nên A phải tận ⇒ hai chữ số tận A 86 36.
- Nếu A có hai chữ số tận 86 A chia hết cho không chia hết cho nên A khơng phải số phương (loại)
- Nếu A có hai chữ số tận 36 A=8836 Thử lại, ta có: 8836=942 số phương Vậy số cần tìm 8836
Ví dụ Một số tự nhiên gồm chữ số sáu chữ số số phương khơng?
(43)Gọi A số gồm chữ số sáu chữ số
- Nếu A có chữ số tận A có hai chữ số tận 60 A
⇒ chia hết cho A không chia hết cho
5 =25 (vì 60 25 ) A
⇒ khơng số phương
- Nếu A có chữ số tận ⇒ có hai chA ữ số tận 06 66 A
⇒ chia hết cho không chia hết cho 4, A khơng phải số phương
Vậy A khơng phải số phương.
Ví dụ Tìm số có hai chữ số, biết nhân với 135 số phương Giải
Gọi số phải tìm n, ta có 135n =a2 ( a∈ ) hay 3 5.n3 =a2
Vì số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n=3.5.k2 ( k∈ )
Vì n số có hai chữ số nên 10≤3.5.k2 ⇒k2∈{ }1; - Nếu k2 =1 n=15
- Nếu k2 =4 n=60
Vậy số cần tìm 15 60
Ví dụ Tìm số phương có bốn chữ số cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống
Giải
Gọi số phương cần tìm n2 =aabb (a, b∈ 1≤ ≤ , 0a ≤ ≤ ) b Ta có n2 =aabb=1100a+11b=11 100( a+b)=11 99( a+ +a b) (1)
(99a a b)11 (a b) 11 a b 11
⇒ + + ⇒ + ⇒ + =
Thay a+ =b 11 vào (1) ta n2 =11 99( a+11)=11 92( a+ 1) 9a
⇒ + phải số phương
a
9a+ 10 19 28 37 46 55 64 73 82
Ta thấy có a= 9a+ =1 64=82 số phương Vậy a= ⇒ = s7 b ố cần tìm là: 7744 11 8= 2 =882 Dạng Tốn chứng minh
Ví dụ Chứng minh tích bốn chữ số tự nhiên liên tiếp cộng số phương
Chứng minh
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a, a+ , a+ , a+ ( a ∈ ) 3 Xét T =a a( +1)(a+2)(a+ + 3)
( 3) ( 1)( 2)
a a a a
= + + + +
( )( )
3
a a a a
(44)Đặt
3
x=a + a, ta có:
( ) 2 ( )2
2 1
T =x x+ + =x + x+ = x+ hay T =(a2+3a+1)2 Vậy T số phương (đpcm)
Nhận xét:
- Trong ví dụ ta khơng biết T số phương mà cịn biết cịn bình phương số
Chẳng hạn:
a) 1.2.3.4 1+ =25=52
b) 2.3.4.5 121 11+ = =
c) 3.4.5.6 361 19+ = =
d) 4.5.6.7 841+ = =292
Thay a b+ =11vào (1) ta n2 =11(99a+11)=11 (92 a+1) 9a
⇒ + số phương
a
9a+1 10 19 28 37 46 55 64 73 82
Ta thấy có a=7 9a+ =1 64=82 số phương Vậy a= ⇒ =7 b số cần tìm : 7744 11 8= 2 =882 Dạng 3.Toán chứng minh
Ví dụ Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng số phương
Chứng minh
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a a, +1,a+2,a+3 (a∈ ) Xét T =a a( +1)(a+2)(a+ +3)
2
[ ( 3)][( 1)( 2)] ( )(a 2)
a a a a
a a a
= + + + +
= + + + +
Đặt x=a2+3a , ta có :
T =x x( + + =2) x2+2x+ =1 (x+1)2 hay T =(a2+3a+1)2 Vậy T số phương (đpcm)
Nhận xét :
(45)Chẳng hạn :
a) 1.2.3.4 1+ =25=52
2
2
2
2.3.4.5 121 11
3.4.5.6 361 19
4.5.6.7 841 29
+ = =
+ = =
+ = =
b) Biểu thức sau bình phương số tự nhiên nào? • 10.11.12.13 ?+ =
Vì a=10 nên a2+3a+ =1 102+3.10 131.+ =
Do 10.11.12.13 131+ = • 15.16.17.18 ?+ =
Vì a=15 nên a2+3a+ =1 152+3.15 1+ =271 Do 10.11.12.13 1+ =2712
- Cũng từ ví dụ ta suy hai kết sau:
1) Tích bốn số tự nhiên chẵn liên tiếp cộng 16 số phương 2) Tích bốn số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng 16 số phương
Ví dụ 10 Chứng minh tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng số phương
Giải
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a a; +1;a+2;a+3 (với a∈ ) Ta xét : S= +a (a+ +1) (a+2)+(a+3)=4a+6
Vì 4a2 2 nên S2 Mặt khác 4a4 khơng chia hết S không chia hết cho
→S chia hết cho S không chia hết cho , S khơng số phương
?Có thể em chưa biết ?
1.Sự tuần hồn số phương
Quan sát chữ số tận bình phương số từ đến ta thấy xuất dãy số 1,4,9,6 ,5,6,9,4,1 Bình phương 10 100, có chữ số tận 0.Bình phương số có chữ số tận lập thành dãy số 1,4,9,6,5,6,9,4,1 ( gọi vòng tuần hồn ) Tất bình phương số tự nhiên có chữ số tận lặp lặp lại vịng tuần hồn ( ranh giới lặp lại số )
(46)chữ số có số,nếu tổng lớn lại tính tổng chữ số tổng lặp lại tổng có nhỏ 9.Chữ số lại gọi “số gốc “ số xét ( hiểu theo cách khác lấy tổng chữ số số đem chia cho 9,số dư phép chia gọi số gốc).Như “số gốc”chính
là kết phép tính cộng dồn chữ số có số , lấy số làm điểm dừng Ví dụ : “số gốc “ 135 , “ số gốc “ 246 3…
Ứng dụng tính chất vừa nêu ta nhận biết số có phải số phương hay khơng
Ví dụ : Xét xem số 98765432123456789 có phải số phương hay khơng ? Ta tìm số gốc số trên:
Cách :
9 2 9 (8 1) 2(7 2) 2(6 3) 2(5 4)
+ + + + + + + + + + + + + + + +
= + + + + + + + + + +
⇒số gốc
Cách :
9 2 (9 1) (2 9) 45 44 89
+ + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + +
= + =
Vì 17+ = ; 7+ =8 ⇒số gốc (Hoặc 89 chia cho dư ⇒số gốc )
Vì số gốc khác 1,4,7,9 nên số A không số phương
Số gốc số phương cịn lập thành dãy số tuần hồn 1,4,9,7,7,9,4,1 Ở chữ số ranh giới chữ số khơng phải chữ số tính chất
(47)289 (bình phương 17 ) có số gốc
324(bình phương 18 ) có số gốc (ranh giới chu kì ) 361( bình phương 19 ) có số gốc (bắt đầu lặp lại ) ………
2.Sự kì lạ số lẻ
Ta có : 3+ = =4 22
2
2
2
2
2
1
1 16
1 25 5 11 26
1 11 13 49 + + = =
+ + + = = + + + + = = + + + + + = = + + + + + + = =
………
⇒ Tổng n số lẻ số phương:
2
1 (2+ + + + n+ =1) (n+1) 3.Tổng lập phương lại số phương
Khẳng định sau hay sai : “ Tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp từ số phương “?
Ta dễ dàng kiểm tra máy tính sau :
3
3 3
3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
1
1 36
1 100 10
1 225 15
1 441 21
1 784 28
+ = =
+ + = =
+ + + = =
+ + + + = =
+ + + + + = =
+ + + + + + = =
(48)1 3 10 15 21 28
+ = + + = + + + = + + + + = + + + + + = + + + + + + =
………
Đến ta tìm quy luật : 13+23+ +n3= + +(1 +n)2
III.BÀI TẬP
1.100.Chứng tỏ số sau khơng số phương :
a) abab b)abcabc
1.101.Cho A=22+23+24+ 2+ 20 Chứng minh A+4 khơng số phương 1.102.Chứng tỏ tổng sau khơng số phương : S =abc bca cab+ +
1.103.Cho bốn chữ số 0,2,3,4.Tìm số phương có bốn chữ số gồm bốn số
1.104.a) Cho một số tự nhiên gồm 15 chữ số Có cách viết thêm chữ số vào vị trí tùy ý để số tạo thành số phương hay khơng?
b)Một số tự nhiên gồm chữ số1, hai chữ số 2, ba chữ số 3, bốn chữ số , số phương hay không ?
1.105.Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 101 thành số A a) A có hợp số hay khơng ?
b) A có số phương hay khơng ? c) A có 35 ước hay khơng ?
1.106.Từ năm chữ số 1,2,3,4,5, lập tất số có năm chữ số gồm năm chữ số Trong số lập , có số số phương hay khơng ?
1.107.Tìm số tự nhiên n có hai chữ số ,biết 2n+1 3n+1 số phương
1.108.Tìm số tự nhiên n có hai chữ số , biết nhân với 45 ta số phương
(49)1.110.a) Các số tự nhiên nvà 2n có tổng chữ số nhau.Chứng minh nchia hết cho
b) Tìm số phương n có ba chữ số , biết n chia hết cho nhân n với tổng chữ số khơng đổi
1.111 Tìm số tự nhiên có hai chữ số ,sao cho cộng với số có hai chữ số viết theo chiều ngược lại ta số phương
1.112.Tìm số phương có bốn chữ số,biết :các chữ số hàng trăm ,hàng nghìn, hàng chục, hàng đơn vị theo thứ tự làm thành bốn số tự nhiên liên tiếp tăng dần
1.113 Tìm số phương có bốn chữ số , biết chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị số phương viết dạng (5n+4)2 , với n∈
1.114.Cho số tự nhiên Agồm 100 chữ số , số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2.Chứng minh A-B số phương
1.115.Có hay khơng có một số phương mà số gồm 1995 chữ số chữ số lại chữ số 0?
1.116.Tìm số tự nhiên n cho tổng sau số phương : 1! 2! 3! !
(50)Chuyên đề nâng cao NGUYÊN LÍ DIRICHLET
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Nội dung nguyên lí
Nếu nhốt n m r + (trong m n r, , ∈ * ) thỏ vào n chuồng phải có chuồng chứa khơng m+1 thỏ
Chứng minh
Giả sử ngược lại chuồng chứa không m thỏ tổng số thỏ nhốt n
chuồng không m n thỏ :Mâu thuẫn với giả thiết số thỏ m n r + Vậy phải có í t chuồng chứa khơng m+1 thỏ
2.Nhận xét
Bản thân nguyên li Dirichlet đơn giản dễ hiểu , nhiên việc ứng dụng nguyên lí lại khơng đơn giản Vấn đề phát “chất Dirichlet “ tốn , dạng tốn sau xác định đâu chuồng đâu thỏ Có trường hợp chuồng thỏ gần có sẵn, có trường hợp phải “xây chuồng, tạo thỏ”
II.MỘT SỐ DẠNG TỐN ỨNG DỤNG
1.Tốn chia hết
Khi chia số a cho số m≠0 ln có m khả số dư 0,1,….,m - (“m chuồng “) Do , chia m+1 số khác a a1, 2, ,am+1 cho m ta có m+1 số dư (“m+1 thỏ”) ln có hai phép chia có số dư Giả sử hai số bị chia hai phép chia
i
a aj (với 1≤ < ≤ +j i m ).Ta có (ai−aj)m
Ví dụ Chứng minh tìm đượcmột số có dạng19781978 197800 0chia hết cho 2012
Giải
Xét dãy số :
2013 1978
1978,19781978, ,19781978 1978
so
Khi chia số hạng dãy cho 2012
có hai phép chia có số dư Giả sử hai số hạng dãy hai phép chia
1978
19781978 1978
m so
a=
1978
19781978 1978
n so
b= ( với 1≤ < ≤n m 2013)
(51)
4
1978
19781978 1978 00 2012
n so m n so
a b
−
− = (đpcm)
Nhận xét : Phương pháp để giải dạng toán tạo dãy số ( theo cấu tạo số ) từ yêu cầu toán (“tạo thỏ” ) Sau áp dụng ngun lí Dirichlet cho số hạng dãy số (mỗi số hạng thay cho “thỏ”, 2012 số “chuồng “)
Ví dụ Cho dãy m số tự nhiên a a1, 2, ,am Chứng minh tồn số hạng chia hết cho m tổng số hạng liên tiếp dãy chia hết cho m m( ∈ *)
Giải
Xét dãy số b1=a b1 2, =a1+a2, ,bm =a1+a2+ +am
Khi chia số hạng dãy cho m xảy hai trường hợp sau :
• Có phép chia hết , chẳng hạn : bkm , ta có điều phải chứng minh :
1
(a +a + +ak)m
• Khơng có phép chia hết Khi tồn hai phép chia có số dư,chẳng hạn b bi, j chia cho m ( vơi 1≤ < ≤j i m )
1
(bi bj) m hay (aj+ aj+ ai) m
⇒ − + + + , ta có điều phải chứng minh
Nhận xét : Phương pháp “tạo thỏ “ ví dụ dựa vào phép tốn cộng u cầu tính liên tiếp số hạng dãy ban đầu đề
Ví dụ Cho bốn số tự nhiên phân biệt a> > >b c d
Chứng minh : P=(a b a c a d b c b d c d− )( − )( − )( − )( − )( − ) 12
Giải
Chia bốn số phân biệt a b c d, , , cho ln có hai phép chia có số dư
⇒ Hiệu hai số bị chia chia hết cho ⇒ tồn hiệu hai số bốn số a b c d, , , chia hết cho
Do P chia hết cho (1)
Trong bốn số a b c d, , , có hai số có số dư chia cho P chia hết cho 4;trái lại, chia bốn số cho có đủ bốn trường hợp số dư 0,1,2,3 ⇒ bốn số a b c d, , ,
có hai số chẵn , hai số lẻ , giả sử a c, chẵn b d, lẻ⇒ (a c− ) (b d− )
Do P chia hết cho (2)
(52)Ví dụ Chứng minh trong19 số tự nhiên liên tiếp ta ln tìm số có tổng chữ số chia hết cho 10
Giải
Trong 19 số tự nhiên liên tiếp tồn 10 số tự nhiên liên tiếp có chữ số hàng chục giống kí hiệu chữ số hàng chục làa(các chữ số hàng trăm ,hàng nghìn , ….(nếu có )cũng giống nhau) chữ số hàng đơn vị dãy 0;1;2;3;…;9.Do tổng chữ số số dãy 10 số tự nhiên liên tiếp , tồn số có tổng chữ số chia hết cho 10 2.Toán suy luận
Ví dụ 5.Có 10 đội bóng thi đấu với vòng tròn lượt , đội phải đấu trận với đội khác Chứng minh vào lúc có hai đội đấu số trận
Giải
Rõ ràng 10 đội bóng có đội chưa đấu trận đội cịn lại khơng có đội thi đấu trận Như đội có số trận đấu từ đến từ đến Vậy theo ngun lí Dirichlet phải có hai đội có số trận đấu
Ví dụ Trong 45 học sinh làm kiểm tra khơng có bị điểm có học sinh điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra ( điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10 )
Giải
Số học sinh có điểm kiểm tra từ đến : 45 – =43 Ta có : 43 = 8.5 +
Như , phân chia 43 học sinh vào loại điểm kiểm tra ( từ đến ) theo ngun lí Dirichlet ln tồn + = học sinh có điểm kiểm tra giống (đpcm ) Ví dụ Có 17 nhà Tốn học viết thư cho trao đổi vấn đề khoa học , người trao đổi với 16 người lại cặp người trao đổi với vấn đề Chứng minh có nhà Tốn học trao đổi với vấn đề
Giải
Gọi A nhà Toán học 17 nhà Tốn học A phải trao đổi với 16 người lại vấn đề khoa học ( kí hiệu vấn đề I,II,III)
(53)Gọi nhà Toán học trao đổi với A vấn đề (chẳng hạn vấn đề 1)
1, 2, ,
A A A .Ta thấy nhà Toán học lại trao đổi với vấn đề nên có hai khả xảy ra:
1) Nếu có nhà Tốn học trao đổi với vấn đề I với A có nhà Tốn học trao đổi vấn đề I
2) Nếu khơng có nhà Toán học trao đổi với vấn đề I , nhà Tốn học trao đổi với vấn đề II III.Theo ngun lí Dirichlet , có nhà Toán học trao đổi với vấn đề ( II III)
Vậy ln có nhà Toán học trao đổi với vấn đề
Nhận xét : Trong ví dụ ta phải phân chia toán thành hai lớp sử dụng hai lần nguyên lí Dirichlet : Lần thứ với 16 thỏ chuồng ; lần thứ hai với thỏ chuồng III.BÀI TẬP
1.117 Chứng minh tồn số tự nhiên gồm toàn chữ số chia hết cho 2013 1.118 Cho số tự nhiên phân biệt a1>a2 >a3 >a4 >a5 Xét tích :
1 5 5
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
P= a −a a −a a −a a −a a −a a −a a −a a −a a −a a −a
Chứng minh P228
1.119 Chứng minh n+1 số thuộc tập hợp {1; 2;3; ; 2n} ln tìm hai số mà Số bội số
1.120 Xét 100 số tự nhiên 0<a a1, 2, ,a100 ≤100 có tổng 200 Chứng minh 100 số ln tồn vài số có tổng 100
1.121 Cho 69 số tự nhiên khác phân biệt không vượt 100 Chứng minh chọn số 69 số thỏa mãn tổng ba số số lại
1.122 Chứng minh 39 số tự nhiên liên tiếp ln có số có tổng chữ số chia hết cho 11
1.123 Cho 15 số tự nhiên phân biệt, khác 0, không lớn 28 Chứng minh 15 số ln tìm số mà số tổng hai số lại cặp số mà số gấp đôi số
1.124 Chọn n + số 2n số tự nhiên từ đến 2n n 1 Chứng minh số chọn có số tổng số chọn (kể trường hợp số hạng tổng nhau)
(54)1.126 Chứng minh n người ( n 2 ), tồn hai người có số người quen (kể trường hợp quen người)
1.127 Có đội bóng thi đấu với vịng trịn lượt, đội đấu trận với đội khác Chứng minh vào thời điểm có ba đội cặp đấu với chưa đấu với trận
(55)HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ CHUYE�N ĐE� CHỌN LỌC TOA�N 6 ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN
Chuyên đề
1.1 Tập hợp A1; 2;3
Các cách viết là: a) I A d) 2;3 A
Các cách viết sai là: b) I A c) 3A
Sửa lại là: b) I A c) 3A
1.2 A2;3;7;8 , B1;3;5;7;9
a) Tập hợp A có phần tử, tập hợp B có phần tử b) , 3;7 , , 7
1.3 a) A 8 A có phần tử b) B khơng có phần tử nàoB
1.4 a) Số phần tử A là: 98 10 : 2 1 45
b) Số phần tử B là: 70 10 : 3 1 21 1.5 Xét dãy số 2;7;12;17;22;
a) Quy luật: Dãy số cách với khoảng cách b) 22; 27;32;37; 42
c) Gọi số hạng thứ 100 dãy x, ta có: x2 : 5 1 100 497
x
Do tổng 100 số hạng đầu dãy là: 2497 100 : 2 24950
1.6 A31;33;35;37;39; 41; 43; 45; 47; 49 0;10; 20;30; 40;50;60;70;80
(56)1.7 660 chữ số
1.8 Viết liền số tự nhiên 123456… a) chữ số đầu tiên: 1, 2, …,
44 số có hai chữ số tiếp theo: 10, 11, …, 53
Chữ số hàng đơn vị số 53 hàng số: 44.2 97
Tương tự, chữ số hàng đơn vị số 328 hàng số 876; chữ số hàng đơn vị số 1587 hàng số 5241
b) Chữ số viết hàng thứ 427 chữ số (chữ số hàng trăm số 179) 1.9 Có 24 phần tử
Các số có chữ số a vị trí hàng nghìn là:
, , , , ,
abcd abdc acbd acdb adbc adcb (có số)
Vì vai trị , , ,a b c d như nên đặt , ,b c d lần lượt chữ số hàng nghìn ta kết tương tự Vậy số số tạo thành là: 6.4 24
1.10 a) 17 số Trong đó:
- Có 16 số với chữ số 5: 15;25;35;45;65;75;85;95 51;52;53;54;56;57;58;59 - Có số với hai chữ số: 55
b) 36 số
- Từ số 12 đến số 19: có số - Từ số 23 đến số 29: có số …
- Từ số 78 đến số 79: có số - Số 89: có số
Vậy có tất 1 2 1 8 : 2 36 số thoả mãn c) 45 số
Có 90 số có hai chữ số, số có hai chữ số 11, 22, ,99 , 36 s ố có chữ số hàng chục nhỏ hàng đơn vị Suy số số có chữ số hàng chục lớn hàng đơn vị là:
(57)Chú ý: Có thể giải thích tương tự câu b
1.11 số: , , , , , ,I II III IV V VI VII VIII , - Số nhỏ số I (có giá trị 1) - Số lớn số VIII (có giá trị 8) 1.12 a) 81 phần tử
Có 90 số có hai chữ số, số có hai chữ số giống có 90 81 số thoả mãn
b) 648 phần tử 1.13 106 điểm 10
• bạn điểm 10 có 5.4 20 (điểm 10)
• 15 10 bạn điểm 10 có 10.3 30 (điểm 10) • 41 15 26 bạn điểm 10 có 26.2 52 (điểm 10) • 45 41 4 bạn điểm 10 có 4.1 4 (điểm 10) Vậy tất có : 20 30 52 106 (điểm 10)
1.14 4321
Gọi số cần tìm abc1 0 a b c, , 9;a 0 Theo đề ta có: abc11abc2889
10 1000 2889
9 3888 432
abc abc
abc abc
Vậy số cần tìm 4321 1.15 63
Gọi số trừ x x N* Theo đề ta có : 3x x 57
10 57
9 54
x x
x x
(58)1.16 Có 10 đáp số: 109; 119; 129; …; 199 Gọi số cần tìm abc0a c, 9;0 b 9 Theo đề ta có: cba792abc
100 10 792 100 10
8 9;
c b a a b c
c a c a
Vậy số cần tìm 9b với b0;1; 2; ;9 1.17 77
Gọi số cần tìm ab0a b, 9;a 0 Theo đề ta có: 1 23.ab ab
1000 10 23
13 1001 77
ab ab
ab ab
Vậy số cần tìm 77 1.18 14285
Gọi số cần tìm xabcde0a b c d e, , , , 9;a 0 Theo đề ta có: 7abcde5.abcde7
700000 abcde 10.abcde
Hay 700000 x 10. x 7 49.x 699965 x 14285
Vậy số cần tìm 14285 1.19 35
Gọi số cần tìm ab0a b, 9;a 0 Theo đề ta có: 7abab7.221
700 10 21
700 20 14 21
19 665 35
ab ab
ab ab
ab ab
(59)Vậy số cần tìm 35
1.20 a) 9000 số b) 3000 số
Chú ý : Trong ba số tự nhiên có chữ số tận liên tiếp (chẳng hạn: 14, 24, 34), có số chia hết cho
-
Chuyên đề
1.21 a) 30000 b) 303
1.22 a)
b) 21011
Đặt 99 100
1 2 2 2
A
2 99 100 101
101
2 2 2 2
2
A
A A
Vậy A2101 c) 101
5 5 : 24
Đặt 97 99
5 5 5
B
2 97 99 101
101
5 5 5
25 5
B
B B
Vậy 101
5 : 24
B
1.23 154
1.24 a) 24353.278 b)151281 1253
c) 7812781178117810
1.25 A 1 32 33 34 35 319983199932000
3 1998
1.13 13 13 13
(60)1.28 a) x b) x
1.29 a) x 5;6 b) x 0;1
1.30 x 2;3 1.31 4662
Chú ý: Mỗi chữ số xuất hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị hai lần, nên tổng số tạo thành là: 666 7778884662
1.32 23 12
Thêm 19 đơn vị vào số thứ tích tăng thêm 19 lần số thứ hai, ứng với 713 276 437 Số thứ hai 437 :19 23 số thứ 276 : 23 12
Chú ý: Có thể giải cách gọi hai số a b 1.33 Số bị trừ 16; số trừ 10
1.34 Số bị chia 377; số chia 13 1.35 Có đáp số
Số chia 54 27 18
Thương
Chú ý: Số chia lớn số dư
1.36 85; 28;
1.37 Thương lần thương cũ cộng
Gọi số bị chia x thương phép chia x cho 48 q
Theo đề ta có: x48.q4116 3 q 16.2 9 16 3 q 2
x
chia cho 16 thương 3q dư
1.38 Số bị chia nhỏ 413, số chia nhỏ 46 1.39 29158 9412
1.40 12
(61)Chuyên đề
1.41 A chia hết cho 3, cho 6, cho 13 A không chia hết cho
1.42 Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp ;a a1;a2;a T3 bốn số 4a , khơng chia hết cho 4a 4
1.43 a chia hết cho không chia hết cho 1.44 aaaa.1113.37 37a
1.45 a) 2012 2010
1 4 4 21 1 4 21
b) 101 100
1 7 7 8 17 7 8
c) 222 23 2100 2 1 2 22 23 242 16 2 22 23 24
96 96
2 2 31 2 31
Mặt khác 222 23 2100 223 2224 297 299 2982100
97 98
2.5 5 5
1.46 a) Vì abcdeg 13 abcdeg13kabcdeg13k (với k N )
Do vậy: abcdeg1000.abcdeg1000 deg 13kdeg
1001.deg 1000.13.k13
b) abc100a10b c 98a7b2a3bc
Vậy abc 2a3bc 1.47 a
20 20 20a a a20 1000000a 20 1000a 20a20 1001001 7a 20a
(vì 1001001 7 )
200 a 196 a 7 a 7
, 196 7
3 a
(62)b) n 1;3
c) n 3;9
1.49 a) n6;7;8;11;14; 23 b) n c) n2
1.50 5 13 a8b13 5 a3bb2012 Tương tự: 5 a3b3 13 a8ba2012
-
Chuyên đề
1.51 a) 650 b) 305 c) 306 d) 630 1.52 324; 234; 342; 432
1.53 a) 10338 2 1033 22
Mặt khác 1033 10 00 có tổng chữ số
33
10 100 08
có tổng chữ số 33
10
Vậy 1033 số chẵn chia hết chia hết cho 18 b) Tương tự câu a), ta có: 10
10 14 2
1.54 Dù n số chẵn hay số lẻ hai số tự nhiên liên tiếp n n có số số chẵn nên tích n7n m8 ột số chẵn
n 7n 8
chia hết cho
1.55 Gọi ba số chẵn liên tiếp 2a2; ; 2a a (với aN*) Tích ba số: 2a2 2 a a 2 8a1 a a 1
Vì a1 a a1 3! a1 a a1 6 nên 2a2 2 a a 2 8a1 a a1 8.6
(63)a) Nếu n 51 n có hai chữ số tận 25 có hai chữ số tận 24, chia5n hết cho Vậy 5n1 4
b) Ta có: 10n 1 99 (n chữ số 9)
10n 18n 99 18n 11 2n
(n chữ số 1)
Ta có: 11 12n (vì 11 2n3 có tổng chữ số 3n )
10n 18n 9.3
hay 10n18n1 27
1.57 66666
1.58 a) 85x y chia hết cho nên y=0
Vì 85x y nên (1+ + + hay x 3) (x+14 3) ⇒ =x Vậy x=4; y=0
b) có 11 đáp số:
x 3
y
c) x= y=0
1.59 a) 52ab chia cho dư ⇒ ∈b {4; }
Lại 52ab2 nên b=
Vì 52ab9 nên a+11 9 ⇒ =a Vậy a=7;b=
b) a= b=2 1.60 24
1.61 a=
Vì aaaaa96 8 nên a96 8 (5a+15 3.)
{3;6;9}
3
6
96 96
a a
a
a a
∈
⇒ ⇒ ⇒ =
(64)Vì 1aaa1 11 nên +(a a) (− + + 1 a 1) hay 11 (a−2 11) ⇒ =a
1.63 Ta có: (1978a+2012b) (− 78a+10b) (= 1900a+2002b) 11 Mà 2002 11 nên 2002 11b ⇒1900 11a ⇒a 11
Vì 78a+10 11b 78 11a ⇒10 11b ⇒b 11 1.64 1089
Gọi số cần tìm abcd ta có: , 9.abcd =dcba
Suy ra: a d
= =
(b+ +c 9) ⇒ + ∈b c {8; 17 }
Vì 9.1 9bc =9 1cb nên 9b<10⇒ ∈b { }0;
• Nếu b= c= Thử lại ta thấy 9.1179≠9711: loại • Nếu b= c= Thử lại ta thấy 9.1089=9801: thỏa mãn Vậy số cần tìm 1089
1.65 675
Ta có: abc−cba =(n2− −1) (n−2)2
( )
99 a c 4n
⇔ − = −
(4n : 99)
⇒ − ( )1
Vì n2 =abc+ ⇒1 101<n2<1000⇒10< <n 32
35 4n 123
⇒ < − < ( )2
Từ ( )1 ( )2 suy ra: 4n− =5 99⇒4n=104⇒ =n 26
Do vậy: abc=675 Thử lại, ta có cba=567=(26 2− )2
Vậy abc=675 1.66 n=83
Vì n+s n( )=94⇒ sn ố có hai chữ số
(65)( ) ( ) 11 94 n+s n =ab+ a+b = a+ b=
{ }
2
8 7; 8;
76 11 94 a a
a a
a
⇒ ⇒ ∈ ⇒ =
≤ ≤
Từ đó: 11.8 2+ b=94⇒ = b Vậy n=83
-
Chuyên đề
1.67 {4; 12; 20; 60 }
1.68 Vì (2x−1 ) (y+3)=12 nên 2x−1; y+ ∈3 Ư( )12 Lại 2x− s1 ố lẻ nên ta có:
2x− 1
3
y+ 12
x
y
1.69
- Vì ba số tự nhiên liên tiếp p−1; p; p+1 có số chia hết cho 3, mà p
là số nguyên tố lớn nên hai số p−1; p+1 có số chia hết cho (p 1)(p 3)
⇒ − + ( )1
- Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ ⇒ −p p+1 hai số chẵn liên
tiếp ⇒(p−1)(p+ 8) ( )2
Từ ( )1 ,( )2 ( )3,8 = nên (p−1)(p+ 1 3.8) hay (p−1)(p+ 1 24.)
1.70 a∈{ }3;
Vì 23a≤239 152 <239 16< nên để 23a số ngun tố phải không chia hết cho số nguyên tố 2; 3; 5; 7; 11;13
Vì 23a nên a∈{1; 3; 5; 7; }
Vì 23a nên a∈{1; 3; 7; }
(66)Thử lại ta có 233 239 thỏa mãn 1.71 60
Ta có: 12=12.1=6.2=4.3=3.2.2
Do vậy, ta cần tìm số nhỏ số: ;11 3;5 ;3 2 3.5 Đáp số:
2 3.5=60
1.72 Số có ba chữ số tần 104 chia hết cho 8, 104 8
⇒ Số có ước 23⇒ có ước 1; 2; 4;8
1.73 307
Vì tổng hai số 309 nên hai số có số chẵn, số lẻ Vì hai số số nguyên tố nên số chẵn 2, suy số lẻ 307 Kiểm tra lại ta có 307 số nguyên tố
1.74 p=3 1.75 p=5
1.76 Vì p số nguyên tố lớn nên p chia dư dư • Nếu p=3k+ p+ =4 3k+ ⇒6 loại
• Nếu p=3k+ p+ =7 3k+ 8
( )
2 p
⇒ + hay 2p+ 14
Trong ba số tự nhiên liên tiếp 2p+14;2p+15;2p+16 ln có số chia hết cho 3,
mà 2p+ 214 p+ nên 15 (2p+16 3) hay 2(p+ 8 3)
(p 3,)
⇒ + ( )2,3 = ⇒ +1 p hợp số
1.77 Số 32+ + + +34 36 32012 hợp số, lớn chia hết cho
1.78 Giả sử a số tự nhiên lớn nằm hai số nguyên tố sinh đôi ⇒a số chẵn
a ⇒
Mặt khác, ba số tự nhiên liên tiếp ln có số chia hết 3a (vì số liền trước liền sau số nguyên tố lớn nên không chia hết cho 3) Vậy 2.3a hay a6
1.79 3; 5;7
Giả sử ba số lẻ liên tiếp số nguyên tố ;p p+2; p+4
(67)- Nếu p>3 p chia dư dư • Nếu p=3k+1( *)
k∈ p+ =2 3k+3 3 ⇒ loại • Nếu p=3k+2(k∈ *) p+ =4 3k+6 3 ⇒ loại
Vậy có ba số nguyên tố lẻ liên tiếp 3; 5;7 1.80 n=11
1.81 Theo đề ra: abc chia hết cho
( ) ( )
100 10 99 19
abc= a+ b c+ = a− b− c + a+ b+ c
(a 19b 4c)
⇒ + +
( ) ( )
100 10 98 28 19
abc= a+ b c+ = a− b− c + a+ b+ c
(a 19b 4c)
⇒ + +
1.82 a=
Ta có: ( 1) 3.37 ( 1) 2.3 .37
n n
n aaa + a n n a
+ + + = ⇔ = ⇔ + =
Vì 6≤2.3.a≤54 nên để 2.3 .37a tích hai số tự nhiên liên tiếp 2.3.a=38 (loại) 2.3.a=36⇒ = Khi a n=36
Thử lại, ta có: 36 666+ + + = Vậy a=
-
Chuyên đề
1.83 ƯC(48, 120, 150)= ƯC( 3)
2 3, 3.5, 2.3.5 = ƯC( ) {6 = 1; 2; 3; }
BC(26, 78)= BC(2.13, 2.3.13)=B 78( ) {= 0; 78; 156; }={78k k∈ }
1.84 Gọi d =(a b, )⇒ a d b d ⇒(5a−4b d)
( ) ( ) ( ) ( )
5 4n 5n 20n 15 20n 11 d
⇔ + − + = + − + =
11 d
(68)Vì ( )a b, =45 nên 45 , 45 a m b n = =
với (m n, )=1
Thay vào 7a=11 ,b ta có: 7.45m=11.45n⇔7m=11 n Vì ( )m n, =1 nên m= 11 n=7
Vậy a=45.11=495 b=45.7=315
b) Vì [ ]a b, =300 [ ]a b, ( )a b, =ab⇒( )a b, =15
15 , 15 a m b n = ⇒ =
với (m n, )=1
Thay vào ab=4500, ta được: 152mn=4500⇒mn=20
Vì ( )m n, =1 nên ta có:
m 20
n 20
a 300 15 75 60
b 15 300 60 75
c) Gọi d ( )a b, a dm, b dn
=
= ⇒
=
với (m n, )=1 Khi [ ], ab
a b mnd
d
= =
Vì [ ]a b, =6( )a b, a+ =b 30 nên
( ) 6 30 30 mn mnd d
d m n md nd = = ⇒ + = + =
Vì ( )m n, =1 m n+ ∈Ư( )30 , nên ta có:
m
n
d 6
a 18 12
b 12 18
1.86 Gọi d ( )a b, a dm, b dn
=
= ⇒
=
với (m n, )=1 Khi [ ], ab
a b mnd
d = = Ta có: ( ) [ ] (( )) 48 48
, , 114 114
d m n a b
a b a b d mn
+ = + = ⇔ + = + =
(69)• Nếu d = 48 48:
3 114 113
m n m n
mn mn
+ = + =
⇒
+ = =
loại
• Nếu d = 2 24 24:
3 57 56
m n m n
mn mn
+ = + =
⇒
+ = =
loại
• Nếu d = 16 16:
3 38 37
m n m n
mn mn
+ = + =
⇒
+ = =
loại
• Nếu d = 8
3 19
m n m n
mn mn + = + = ⇒ + = =
Vì ( )m n, =1 nên ta có:
m
n
a 36 12
b 18
1.87 đáp số
Gọi d ( )a b, a dm, b dn
=
= ⇒
=
với (m n, )= Khi [ ], ab
a b mnd
d
= =
Ta có: ƯCLN( )a b + BCNN, ( )a b, =15⇔ +d mnd =15
( 1) 15
d mn d
⇔ + = ⇒ ∈Ư( ) {15 = 1; 3; 5; 15 }
• Nếu d = mn=14 Vì (m n, )= nên ta có:1
m 14
n 14
a 14
b 14
• Nếu d = mn= Vì (m n, )= nên ta có:1
m
n
a 12
b 12
• Nếu d = mn= Vì (m n, )= nên ta có:1
m
n
a 10
(70)• Nếu d =15 mn= loại.0 :
1.88 65
Gọi số cho a Vì a chia cho 21 dư nên (a+19 21) ( )1 Vì a chia cho 12 dư nên (a+19 12) ( )2
Từ ( )1 ( )2 suy ra: (a+19)[21,12] hay (a+19 84.) Vậy a chia cho 84 dư 84 19 65.− =
1.89 a∈{49; 133; 217; 301; 385 }
1.90 959
Gọi số cần tìm a (5≤ <a 1000 ) Theo đề ta có: a+ chia h1 ết cho 2; 3; 4; 5;6 60 ,
a k
⇒ + = với k ∈
60
a k
⇒ = −
Vì a<1000 nên 60k− <1 1000⇒60k<1001⇒ lk ớn 16
⇒ Giá trị lớn a 60.16 1− =959
1.91 a) Gọi d =(a a, −b)⇒ a d (a−b d) ⇒b d
( )a b d,
⇒ hay 1d ⇒ =d
b) Chứng minh tương tự câu a
1.92 a) Gọi d =(2n+1, 2n+3) (⇒ 2n+ 1) d (2n+ 3) d
(2n 3) (2n 1) d
⇒ + − + hay 2d ⇒ ∈d { }1;
Mà 2n+ số lẻ nên d lẻ Vậy 1 d =
b) Gọi ( ) ( )
( )
2
2 5,3
3
n d
d n n
n d + = + + ⇒ + ( ) ( )
3 2n 3n d d d
⇒ + − + ⇒ ⇒ =
1.93 Gọi (11 ,18 ) 11 18
a b d
d a b a b
a b d + = + + ⇒ + ( ) ( )
11 18a 5b 18 11a 2b d
(71)và 5 11( a+2b) (−2 18a+5b) hay 19d a d (19 ,19a b d)
⇒ hay 19( )a b d, ⇒19 d
Vậy d = ho1 ặc d =19, tương ứng hai số 11a+2b 18a+5b nguyên tố có ước chung 19
1.94 Có cách chia lớp thành 2;3 tổ
1.95 615 người 1.96 239 học sinh 1.97 275
Gọi số học sinh trường tham quan a(200< <a 300 )
Theo đề ta có: Nếu thêm học sinh xếp vừa đủ 35 40 học sinh lên xe, tức a+ chia hết cho 35 40
5 a
⇒ + ∈ BC(35, 40) (⇒ a+ 5 BCNN 35, 40) ( )
Ta có: BCNN 35, 40( )=BCNN 5.7, 5.8( )=5.7.8=280 Do đó: (a+ 5 280) hay a+ =5 280 ,k với k∈ *
280
a k
⇒ = −
Vì 200< <a 300 nên 200<280k− <5 300⇔205<280k<305
1 k k
⇒ ≤ < ⇒ = Do a=275
1 98 (a b, 9.)= Đặt d =(a b, .)
Vì a b đều chia hết 9d ( )1
Ta có:
10
10
10 10
1111111110 9 10 10
9
a+ =b = − ⇒ a+ b= −
Mặt khác: 10b+ =a 9999999999 10= 10 −
Suy ra: ( ) ( ) ( 10 ) ( 10 )
10b+a − 9a+9b = 10 − −1 10 −10
8 9
b a d
(72)Từ ( )1 ( )2 suy d =
1.99 Vì a số phương khác nên a∈{1; 4; }
Vì 9b khơng số phương, với b nên a∈{ }1;
Mặt khác, ad số phương nên ad∈{16; 49}⇒ ∈d { }6;
Vì cd số phương d∈{ }6; nên cd∈{16; 36; 49}
{1; 3; }
c ⇒ ∈
- Nếu a= d = ⇒ ∈c { }1; Khi abcd 16b 36,b nên abcd
2
4
x x6 Thử lại ta thấy 1936=442 thỏa mãn
- Nếu a= d = ⇒ = c Khi abcd =4 49b x32 x7 Thử lại ta thấy khơng có số thỏa mãn
Vậy chữ số cần tìm là: a=1,b=9,c=3,d =
-
Chuyên đề nâng cao
1.100.a) Giả sử abab số phương, tức là:
101 n =abab= ab
=> ab101:vơ lí Vậy abab khơng số phương b) Giả sử abcabclà số phương, tức là:
n =abcabc
=>
1001 7.143 1001: n = abc= abc=>abc vơ lí 1.101 Ta có 20
2 2
A= + + + +
Nên 21
2A=2 +2 + + +2
=> 21
2A− =A −2
Do 21 21 10
4 2 (2 )
A+ = − + = = không số phương khơng phải số phương
1.102 S =abc bca cab+ + =111a+111b+111c=3.37(a b c+ + ) Để S số phương
3.37 ( )
(73)Vậy S khơng số phương
1.103
2304=48
1.104 a) Không phải số phương số tạo thành chia hết cho không chia hết cho
b) Không phải số phương số tạo thành chia hết cho không chia hết cho
1.105 a) Tổng chữa số A 903 nên A:3, hợp số
b) A chia hết cho không chia hết A khơng số phương ( Hoặc A có số gốc nên khơng phải số phương)
c) A khơng số phương nến số ước khơng thể lẻ Vì A khơng thể có 35 ước
1.106 Tổng chữ số số lập 15 chia hết cho không chia hết số lập khơng phải số phương:
1.107 Vì n có hai chữ số nên 10≤ ≤n 99⇒21≤2n+ ≤1 199 Các số phương lẻ khoảng là: 25, 49, 81, 121, 169
2n+1 25 49 81 121 169
n 12 24 40 60 84
3n+1 37 73 121 181 253
Ta thấy có trường hợp 3n+1 =121 số phương Vậy n=40
1.108 20;45;80
1.109 Ta có
(10 ) (10 ) 9 9( ) ( )
ab ba− = a b+ − b a+ = a− b= a b− = a b−
=> Để ab ba− số phương a-b phải số phương
Ta thấy 1≤ − ≤a b nên a b− ∈{ }1:
1 Nếu a b− =1 ab∈{21;32; 43;54; 65; 76;87;98}
Loại hợp số 21;32;54;65;76;87;98, lại 43 số nguyên tố
2 Nếu a b− =4 ab∈{51; 62; 73;84;95} Loại hợp số 51;62;84;95, cịn lại 73 số nguyên tố
(74)1.110 a) Gọi tổng chữ số n số 2n k => ta có (n− k) (2n− k) 9;
(2n k) (n k)
− −
− hay n9
b) Số phương phải tìm 5 ; 9 có ba chữ số nên có đáp số 225 900 1.111
;
n =ab ba+ có đáp số 29; 38;47;56;65;74;83;92
1.112
50 50 50
50
11 00 11 11
A
C
= +
= chữ số tận số phương a+3 4;5;6;9
Tương ứng ta có
n 2134;3245;4356;7689
Chỉ có
4356=66 cịn trường hợp lại loại
1.113, Số 5n+4 tận Ta xét hai trường hợp Trường hợp 1: Số 5n+4 tận
(5n+4) tận Cần tìm số có dạng **6
là bình phương số tận Khơng có số thỏa mãn
2
74 =5476<6 **6<7056=84
Trường hợp 2: Số 5n+4 tận
(5n+4) tận Cần tìm số dạng 1**1 bình phương số tận
Ta thấy 2
29 =841 1**1< <2401=49 cịn 392 =1521 Vậy số cần tìm 1521
1.114 Ta có = + 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè A 11 00 11
Đặt C= 50 ch÷ sè
11 B=2C
Suy A=C.1050+C
Do 50 50
.10 (10 1)
A B− =C + −C C=C −
Ta có 50
50
10 − =1 99 9=9C
Vậy 2
50 9 (3 ) 99
A B− =C C= C = C = số phương
1.115 Giả sử 1995
11 100
(75)Tổng chữ số A bằng:
50
1 0 1995+ + + + + + + = số chia hết cho không chia hết A khơng số phương
1.116 Với n=1 1! 1= =
Với n=2 1! 2! 3+ = khơng số phương Với n=3 1! 2! 3! 9+ + = =32 số phương
Với n≥4 1! 2! + + +n! tận nên khơng số phương ( Thật 1! 2! 3! 4! 33+ + + = , 5! 6! + tận
Vậy n=1 hay n=3
-
Chuyên đề nâng cao 1.117 Xét 2014 có dạng 1,11,111,….,
2014sè1
11 Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho 2013 Giả sử hai số =
nsè1
a 11 1, = k sè1
b 11 với n>k
Khi
−
− = k
n k sè1
a b 11 1.10 2013
Vì (2007,10 )k =1 nên số
− =
n k sè1
c 11 chia hết cho 2013
1.118 Ta có 288=3 Chứng minh
3
P
Xét số a a a a1, 2, 3, 4,: Ta thấy tồn hai số có số dư chia cho 3, giả sử a1 a2 =>
(a −a ) 3
Lại xét a a a a2, 3, 4, 5trong số lại tồn số có số dư chia cho 3, giả sử a4 a5
=> (a4−a5) 3 Do P9 (1) Chứng minh
2
P
Trong số cho có số tính chẵn lẻ
• Nếu có số chẵn, số lẻ, chẳng hạn : a1 =2k1, a2 =2k2, a3 =2k3, a4 =2k4+1, 5
(76)Khi đó: P=16(k1−k2)(k1−k3)(k2−k3)(k4−k5).M
Trong số k k k1, 2, có số tính chẵn lẻ, chẳng hạn k1 k2, (k1−k2) 2 Vậy P32 • Nếu có số lẻ, số chẵn chứng minh tương tự ta có P32
Vậy trường hợp ta có P32 (2)
Từ (1), (2) (9,32)=1 suy P9, 32 hay P288 (đpcm) 1.119 Viết n+1 số lấy dạng
1
1
1 1, 2 2, ,
n k
k k
n n
a b a b a + b
+ +
= = = trong b b1, 2, ,bn+1 số lẻ,
Ta có: 1≤b b1, 2, ,bn+1≤2n−1 Mặt khác khoảng từ đến 2n-1 có n số lẻ nên tồn hai số m, n cho bn =bm Khi đó, hai số an am có số bội số (đpcm)
1.120
1 Nếu a1=a2 = = a100 =2 ta chọn 50 số có tổng 100 Nếu a1≠a2 ta lập dãy sau
1, 2, 2, 99
a a a +a a +a + + + +a a a + +a ( số hạng có giá trị từ đến 199) • Nếu tồn số hang dãy chia hết cho 100 số hạng 100
• Nếu khơng có số hạng chia hết cho 100 100 số chia cho 100 có hai số hạng có số dư Hiệu chúng cho ta tổng cần tìm
1.121 Giả sử 69 số cho 1≤ +a1 a3 < +a1 a4 < < + a1 a69 ≤100 Khi a1≤32 Xét hai dãy sau:
1 3 69
1< +a a < +a a < < + a a ≤132(1)
3 69
1≤a −a <a −a < < a −a ≤132(2)
Từ (1) (2) ta có 134 số hạng có giá trị từ đến 132, suy có số số thuộc dãy, chẳng hạn: a1+am =an− (va2 ới 3≤ < ≤m n 69)tức ta tìm số a a a a1; 2; n; m
với a1<a2 <ammà a1+a2+am =an(đpcm)
1.122 Giả sử 39 số tự nhiên liên tiếp a1<a2 < < a39
Trong 20 số hạng dãy có hai số tận có số (trong hai số này) có chữ số đứng trước số tận khác Gọi số N
(77)( ) ( )
S N+ =i S N +i với i=1, 2, ,9 S N( +19)=S N( ) 10+ (kí hiệu S(a) tổng chữ số a)
Trong 11 số tự nhiên liên tiếp S N S N( ), ( ) 1, , ( ) 9, ( ) 10+ S N + S N + ln có số chia hết cho 11, chẳng hạn: S N( +m) 11 với m∈{1; 2; ;9;19}
Vậy N m+ số thỏa mãn
1.123 Gọi 15 số tự nhiên xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : a a1, 2, ,a 15
Xét dãy số: b1 =a2−a b1, 2 =a3−a1, ,b14 =a15 − Các số hạng dãy số có giá trị từ a1 đến 27 đôi khác
⇒ Dãy số a a1, 2, ,a15; ,b b1 2, ,b có 29 s14 ố hạng nhận 28 giá trị khác (từ đến
28) Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai số nhau, chẳng hạn:
(1 14,1 15)
m n
b =a ≤ ≤m ≤ ≤n
Hay am+1− =a1 an ⇔am+1= + a1 an - Nếu n = am+1 =2a1
- Nếu n≠ s1 ố a a a1, n, m+1 phân biệt am+1= + a1 an
Vậy ta việc chọn số a a a1, n, m+1hoặc số a a1, m+1 thỏa mãn yêu cầu đề
1.124 Là tổng quát 1.123
1.125 Mỗi người số người có khả số người quen (từ đến 4) Ta xét hai trường hợp sau:
1 Nếu có người khơng quen số người cịn lại rõ ràng khơng có quen người Như vậy, người mà có khả số người quen (từ đến 3) nên theo ngun lí Dirichlet có hai người có số người quen
2 Nếu người có người quen Khi người mà có khả số người quen (từ đến 4), theo nguyên lí Dirichlet có hai người có số người quen
1.126 Là toán tổng quát 1.125
1.127 Giả sử đội bóng đá A, B, C, D, E, F Xét đội A, Vì A phải đấu từ đến trận nên theo nguyên lí Dirichlet ta suy Hoặc A đấu A chưa đấu với đội khác Khơng tính tổng qt, giả sử A đấu với B, C, D
- Nếu B, C, D cặp chưa đấu với tốn chứng minh
(78)Như lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận