Ạng 2 Các bài toán về số nguyên, hợp số.

Ví dụ 4. Tìm số nguyên tố p, sao cho p+2 và p+4 cũng là các số nguyên tố.

Giải

− Nếu p=2 thì p+ =2 4 và p+ =4 6 đều không phải là số nguyên tố. − Nếu p=3 thì p+ =2 5 và p+ =4 7 đều là số nguyên tố.

− Nếu p>3 thì số nguyên tố p có một trong hai dạng: 3k+1, 3k+2 với *

k∈ . + Nếu p=3k+1 thì p+ =2 3k+ =3 3(k+1) (p 2 3) ⇒ +  , mà p+ >2 3 nên p+2 là hợp số. + Nếu p=3k+2 thì p+ =4 3k+ =6 3(k+2) (p 4 3) ⇒ +  , mà p+ >4 3 nên p+4 là hợp số

Vậy chỉ có duy nhất một số nguyên tố p thỏa mãn là p=3.

Nhận xét:

Trong cách giải trên ta đã sử dụng tính chất sau đây: “Nếu a> >m 1 và a m thì a là hợp số”.

Đây là một tính chất thường dùng trong các bài toán về số nguyên.

Ví dụ 5. Cho p và 2p+1 là các số nguyên tố (p>5). Hỏi 4p+1 là số nguyên tố hay hợp số?

Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p3⇒4p3. Do 2p+1 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 2p+13

( )

2 2p 1

⇒ + 3 hay 4p+23 .

Mặt khác, trong ba số tự nhiên liên tiếp 4 ;4p p+1; 4p+2 luôn có một số chia hết cho 3, do đó 4p+1 3 . Mà 4p+ >1 3, nên 4p+1 là hợp số.

Ví dụ 6. Tìm số nguyên tố biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và cũng bằng hiệu của hai số nguyên tố khác.

Giải

Gọi p là số nguyên tố cần tìm và p= + = −a b c d, với , ,a b c là các số nguyên tố,

c>d.

Vì p= + >a b 2 nên p là số lẻ.

a b

⇒ + và c−d là các số lẻ.

• Vì a+b là số lẻ nên một trong hai số ,a b là số chẵn, giả sử b chẵn. Vì b là số nguyên tố nên b=2.

• Vì c−d là số lẻ nên một trong hai số ,c d là số chẵn. Vì ,c d là các số nguyên tố và c>d nên dlà số chẵn ⇒ =d 2.

Do vậy p= +a 2 = −c 2⇒ = +c a 4

Ta cần tìm số nguyên tố ađể p= +a 2 và c= +a 4 cũng là số nguyên tố. Theo ví dụ 4, ta cóa=3.

Vậy số nguyên tố cần tìm là 5, với 5 = 3 + 2 = 7 – 2.