CHUYÊN đề BDHSG TOÁN 8

CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN CHUYÊN ĐỀ : PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG VẤN ĐỀ : PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A KIẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG: Kiến thức : A.B + A.C + … + A.Z = A(B + C + ….+ Z ) II) PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC: Kiến thức bản: a) đẳng thức đáng nhớ : 1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (Bình phương tổng) 2 2) (A - B) = A - 2.AB + B (Bình phương hiệu) 2 3) A - B = (A - B)(A + B) (Hiệu hai bình phương) 4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (Lập phương tổng) 3 2 5) (A - B) = A - 3A B + 3AB - B (Lập phương hiệu) 3 2 6) A + B = (A + B)(A - AB + B ) (Tổng hai lập phương) 3 2 7) A - B = (A - B)(A + AB + B ) (Hiệu hai lập phương) b) Các đẳng thức liên quan: • (A + B)2 = (A –B)2 + 4AB • (A – B)2 = (A +B)2 – 4AB • (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC) • A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB (A+B) • A3 - B3 = (A – B)3 + 3AB (A – B) • ( a + b2 ) = ( a + b ) + ( a − b ) • ( a + b) • 2 − ( a − b ) = 4ab 2 a + b4 = ( a + b ) ( a − b ) ( a + b ) − 2ab    • • • 2 a + b4 =  ( a + b ) − 2ab  − ( ab )   a + b3 + c − 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) a + a b + b = ( a + ab + b 2 ( • c) Các đẳng thức dạng tổng quát: • • • )(a − ab + b a + a + = a + a + 1) ( a − a + 1) ) n(n − 1) (A + B)n = An + n An-1B + 1.2 + n ABn-1 + Bn An – Bn = (A – B) (An-1 + An-2B + +ABn-2 + Bn-1) (A1 + A2 + +An)2 = A12 + A22 + + An2 + 2(A1A2 + A1A3+ +An-1An) III PHƯƠNG PHÁP NHÓM CÁC HẠNG TỬ Kiến thức bản: Tìm cách tách đa thức cho thành nhóm hạng tử thích hợp cho phân tích nhóm hạng tử thành nhân tử xuất nhân tử chung IV TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ: Kiến thức bản: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao Zalo: 0933 22 00 14 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng h ệ s ố hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + f(1) f(-1) + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác a - a + số nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự Chú ý : - Dùng máy tính nhẩm nghiệm - Tổng hệ số đa thức có nghiệm x=1 - Tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ đa thức có nghiệm x=-1 - Dạng bậc đối xứng - Đưa dạng bình phương thiếu tổng hiệu Ví dụ 1: 3x2 – 8x + Bấm máy tính thấy có nghiệm: 2/3 Do có nhân tử x – x – 2/3 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Ví dụ 2: x3 – x2 - Bấm máy tính thấy có nghiệm : nên có nhân tử x – x − 2x ) + ( x − 2x ) + ( 2x − ) = x ( x − ) + x(x − 2) + 2(x − 2) ( x –x –4= ( x − 2) ( x + x + 2) = Ví dụ 3: 3x3 – 7x2 + 17x – Bấm máy tính có nghiệm nên có nhân tử 3x – 3x3 – 7x2 + 17x – = ( ) ( ) 3x − x − 6x + 2x + 15x − = 3x − x − 6x − 2x + ( 15x − ) 2 = x (3x − 1) − 2x(3x − 1) + 5(3x − 1) = (3x − 1)(x − 2x + 5) 2 Vì x − 2x + = (x − 2x + 1) + = (x − 1) + > với x nên không phân tích thành nhân tử Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ s ố hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x - khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 Đưa dạng bình phương thiếu tổng x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) Zalo: 0933 22 00 14 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 - x + + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 Bấm máy có nghiệm -2001 2002 nên x2 - x - 2001.2002 = x2 - 2002x + 2001x - 2001.2002 = x(x – 2002) + 2001(x – 2002) = (x -2002)(x + 2001) V THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ: Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình ph ương: Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) Ví dụ 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung Ví dụ 1: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) Ví dụ 2: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) Ghi nhớ: Các đa thức có dạng x3m + + x3n + + như: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; … có nhân tử chung x2 + x + VI ĐẶT BIẾN PHỤ: Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Nhận thấy đa thức bậc không dùng máy tính đa thức khơng có hai nghiệm -1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng Nên ta làm sau: 1 + 2 2 2 x ) = x [(x + x ) + 6(x - x ) + ] x + 6x + 7x – 6x + = x ( x + 6x + – x 1 Đặt x - x = y x2 + x = y2 + 2, A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - x )2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau: Zalo: 0933 22 00 14 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 2 2 Ví dụ 3: A = (x + y + z )(x + y + z) + (xy + yz+zx) (x + y + z ) + 2(xy + yz+zx)  (x + y + z ) + (xy + yz+zx)  = 2 Đặt x + y + z = a, xy + yz + zx = b ta có 2 A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x + y + z + xy + yz + zx)2 4 2 2 2 2 Ví dụ 4: B = 2(x + y + z ) − (x + y + z ) − 2(x + y + z )(x + y + z) + (x + y + z) Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 2 2 2 Ta lại có: a – b2 = - 2( x y + y z + z x ) b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó; 2 2 2 B = - 4( x y + y z + z x ) + (xy + yz + zx)2 2 2 2 2 2 2 2 = −4x y − 4y z − 4z x + 4x y + 4y z + 4z x + 8x yz + 8xy z + 8xyz = 8xyz(x + y + z) 3 3 Ví dụ 5: (a + b + c) − 4(a + b + c ) − 12abc Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2 m2 - n a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + ) Ta có: m3 + 3mn − 4c3 − 3c(m - n ) C = (m + c) – = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) VII PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: số ± 1, ± không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun củng khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd  a + c = −6 ac + b + d = 12   ad + bc = −14  đồng đa thức với đa thức cho ta có: bd = ±1, ±3} Xét bd = với b, d ∈ Z, b ∈ { với b = d = hệ điều kiện trở thành a + c = −6 ac = −8 2c = −8 c = −4  ⇒ ⇒  a + 3c = − 14 ac =  a = −2   bd = Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Zalo: 0933 22 00 14 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TỐN Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) a − = −3 b − 2a = −7 a =   ⇒  b = −5  c − 2b = c = −4   −2c =  ⇒ = 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nahu nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Ví dụ 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – ac = 12 bc + ad = −10 a =   c = ⇒ 3c − a = bd = −12  b = −6  d = 3d − b = 12  ⇒ ⇒ 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) B BÀI TẬP : Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) - 7x4 ++ 6y4 10)x3 64x 2) 16b4 - b6 11)x3a-6 9x + a24++6x a2b+2 + 3) - x ++ y30 12)x3x-3 6x + 3xy -1 4) + 5x+ +5x32 + 2x + 13)2x4x- x+ 4x 5) - 27x 14)27x x83 + x +21+ 18x - 6) 15)x2x+8 +2xy 3x4++y42 - x - y - 12 7) + 22)(x +3)(x + 4)(x + 5)+-7y 242 +10 16)(x3x + 22xy + 11x + 37y 8) +631 17)4xx44 32x 8x + 9) 3(x + x + 1) - (x2 + x + 1)2 Bài : Zalo: 0933 22 00 14 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN Zalo: 0933 22 00 14 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN VẤN ĐỀ : ỨNG DỤNG PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO BÀI TỐN CHIA HẾT CHO MỘT SỐ NGUYÊN A KIẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI : I/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1/ a chia hết cho m, b chia hết cho m, c chia hết cho m, (a+b+c) chia hết cho m 2/ a chia hết cho b  a = bq a không chia hết cho b  a = bq + r 3/ (a,b) = a.c chia hết cho b => c chia hết cho b 4/ c chia hết cho a, c chia hết cho b, (a,b) = => c chia hết cho a.b 5/ a chia hết cho m, b chia hết cho n, a.b chia hết cho m.n II PHƯƠNG PHÁP GIẢI : 1/ Phương pháp : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư chia n cho p Ví dụ : Chứng minh : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho Giải n chia cho có số dư r =0,1,2,3,4,5 a/ Với r = n chia hết cho => A(n) chia hết cho b/ Với r = => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho c/ Với r = => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho d/ Với r = => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho e/ Với r = => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 2/ Phương pháp : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q a/ (p,q) = ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q b/ Nếu p q không nguyên tố ta phân tích A(n) = B(n).C(n) chứng minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q Ví dụ: Chứng minh a) n5 - n chia hết cho 30 với n ∈ N ; b) n4 -10n2 + chia hết cho 384 với n lẻ n∈ Z Giải: a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho (n - 1).n.(n+1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho (*) Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - + 5) = n(n2 - 1).(n2 - ) + 5n(n2 - 1) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5n(n2 - 1) chia hết cho Zalo: 0933 22 00 14 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN Suy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho (**) Từ (*) (**) suy đpcm b) Đặt A = n4 -10n2 + = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3) Vì n lẻ nên đặt n = 2k + (k ∈ Z) A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) => A chia hết cho 16 (1) Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) tích số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội 2, 3, nên A bội 24 hay A chia hết cho 24 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 16 24 = 384 3/ Phương pháp : Để chứng minh A(n)  m biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tữ chia hết cho n Ví dụ: Chứng minh : 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n∈ N ; Giải : 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27) + Ta có: 27n - 27 M27 (1) B BÀI TẬP : Bài : Chứng minh rằng: a) a3 - a 3 b) a7 - a 7 c) a5 – a 5 e) a2 – 24, a số nguyên tố lớn d) n3 + 6n2 + 8n 48, ∀ n chẵn f) Nếu a + b + c 6 a3 + b3 + c3 6 g) n2 + 7n + 22 M9 Bài : Chứng minh a) n(n2 + 1)( n2 + 4) 5 b) n3 – 13n 6 c) m3 + 20m 48; ∀ n ∈ N*, n chẵn d) Tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp chia hết cho e) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24; ∀ n ∈ N f) ( n2 + n – 1)2 – 24; ∀ n ∈ Z g) n3 + 6n2 + 8n 48; ∀ n chẵn h) n4 - 10n2 + 384; ∀ n lẻ Zalo: 0933 22 00 14 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN Bài : Chứng minh a) 24n – 15 ∀ n ∈ N* b) 2.7n + 3; c) 5.72(n+1) + 23n 41; ∀ n ∈ N* d) 16n – 17 n ∈ N n chẵn VẤN ĐỀ : TÌM CẶP SỐ x, y THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC A KIẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI : Phương pháp : Phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ : Tìm số ngun x, y thỏa mãn: x(y + 3) + 2y(x + 2) = -15 Giải: Ta có: x(y + 3) + 2y(x + 2) = -15 xy + 3x + 2xy + 2y = -15 3xy + 3x + 2y = -15 3x(y + 1) + 2(y + 1) – = -15 (y + 1)(3x + 2) = -15 + = -13 Ta có bảng sau: 3x + -13 13 -1 y+1 -13 -1 13 x -5 -1/3(Loại) 11/3(Loại) -1 y 12 Phương pháp : Sử dụng HĐT 1, Ví dụ : Tìm x, y thỏa mãn: x2 + 5y2 - 2xy + 4y + = 2 (x – 2xy +y ) +(4y + 4y + 1) = 2 (x – y) + (2y + 1) = x − y = −1 ⇒x=y=  2y + = B BÀI TẬP Bài : Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn: a) xy2+3x = 16+3y2 b) x + y = xy c) 12xy - 9y + 20x = 2835 d) xy - 2x + y = e) 3x - xy – y = f) x - xy = 6x - 5y – g) x2y – x + xy = h) xy – 4x = 35 – 5y Bài : Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn: a) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) x2 + x + = y2 c) y2 +2xy – 3x – = 2 d) x − x + y − y + = e) 12 = – x2 + 2x – 4y2 – 4y f) x2 + 9y2 + 6x – 6y + = VẤN ĐỀ : TÌM GIÁ TRỊ LƠN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT ĐA THỨC A KIẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI : Phương pháp : 2 Áp dụng đẳng thức: A ±2AB+ B = (A±B) để biến đổi biểu thức dạng: Zalo: 0933 22 00 14 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN * A = a + [f(x)] ≥ a suy minA = a f(x) = * B = b - [f(x)] ≤ b suy maxB = b f(x) = Ví dụ : Tìm GTNN biểu thức : P = 2x − 7x + 12 Giải : 2    7 7 7 47  2 P = 2x − 7x + 12 = 2(x − x + 6) =  x − 2.x +  ÷ −  ÷ +  =  x − ÷ +  4 4  16     7 47 47  = 2 x − ÷ + ≥ 4 8  Phương pháp : ⇒ MinP = 47 khi:x − 7 = 0⇒ x = 4 a + b ≥ a+b - Áp dụng tính chất : ; Dấu “=” xảy ab ≥ - Áp dụng tính chất : | x | - | y | ≤ | x – y | để tìm GTLN Dấu ‘ = ‘ xảy x ≥ y ≥ x ≤ y ≤ Ví dụ : Tìm GTNN của: Giải: M = x −1 + x − + x − + x − M = x −1 + x − + x − + x − Ta có: x −1 + x − = x −1 + − x ≥ x −1 + − x = Dấu “=” xảy (x – 1)(4 – x) ≥ hay ≤ x ≤ x − + x −3 = x − + 3− x ≥ x − + 3− x =1 Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x) ≥ hay ≤ x ≤ Vậy Min M = + = ≤ x ≤ B BÀI TẬP Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x2 – 2x + h) H = x2 – 2x + y2 – 4y + b) B = x2 + x + i) I = x2 – 4x + y2 – 8y + c) C = 4x2 + 4x + 11 j) J = (2x – 1)2 + (x + 2)2 d) D = 2x2 – 8x + k) K = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + e) E = 2x2 + 3x + l) L = 2x2+ 2y2 + 2xy + 2y – 2x + 2008 f) F = x2 – 3x + m) M = x2 – xy + y2 – 2x – 2y g) G=(x – 3)(x+5)+4 n) N = x2 + xy + y2 – 3x – 3y Bài : Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = 2x – x2 + d) D = 4x – x2 – b) B = – x2 – 4x e) E = – x2 + 2x – 4y2 – 4y c) C = – 9x2 + 24x – 18 Bài : Cho M = ax2 + bx + c a) Tìm giá trị nhỏ M a > b) Tìm giá trị lớn M a < Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) b) B = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) 2 c) C = (x + x + 1) d) D = | 2x – | + | 2x + | e) E = | x – 1| + | x – | + | x – | f) C = | x - 1| + | x – | + | x – | + | x – | Bài : Chứng minh với x, y: 1) x2 + x + > 4) x2 + xy + y2 + > Zalo: 0933 22 00 14 10 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN 2) – 4x2 – 4x – < 3) x2+ 4xy + 4y2+ > Zalo: 0933 22 00 14 5) x2+ 5y2+ 2x – 4xy – 10y + 14 > 6) 5x2+ 10y2– 6xy – 4x – 2y + > 11 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN CHUYÊN ĐỀ : PHÉP CHIA ĐA THỨC VẤN ĐỀ : TÌM DƯ CỦA PHÉP CHIA A KIẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương pháp : Dùng cơng thức phép chia có dư : f(x) = g(x) Q(x) + r(x) Trong : f(x) đa thức bị chia, g(x) đa thức chia, Q(x) thương, r(x) đa thức dư Đa thức chia có bậc a) Định lý Bơ-zu: f(x) chia hết cho x – a ⇔ f(a) = b) f(x) có tổng hệ số chia hết cho x – c) f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ chia hết cho x + Ví dụ : Khơng làm phép chia, xét xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia hết cho B = x + 1, C = x – không Kết : A chia hết cho B, không chia hết cho C Giải : Theo định lí Bơ – zu dư A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia cho B = x + 1là A(-1) = (-1)3 – 9(-1)2 + 6(-1) +16 = Vậy A chia hết cho B Đa thức chia có bậc hai trở lên Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia dư Cách 2: Xét giá trị riêng: gọi thương phép chia Q(x), dư ax + b f(x) = g(x) Q(x) + ax + b Ví dụ : Tìm dư phép chia x7 + x5 + x3 + cho x2 – Cách 1: Ta biết x2n – chia hết cho x2 – nên ta tách: x7 + x5 + x3 + = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + = x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + chia cho x2 – dư 3x + Cách 2: Gọi thương phép chia Q(x), dư ax + b, Ta có: x7 + x5 + x3 + = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b với x Đẳng thức với x nên : với x = 1, ta có = a + b (1) với x = - ta có - = - a + b (2) Từ (1) (2) suy a = 3, b =1 nên ta dư 3x + Ghi nhớ: an – bn chia hết cho a – b (a ≠ -b) an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a ≠ -b) Ví dụ: Tìm dư phép chia a) x41 chia cho x2 + b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – c) x99 + x55 + x11 + x + cho x2 + Giải a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x4 – dư x nên chia cho x2 + dư x b) x27 + x9 + x3 + x = (x27 – x) + (x9 – x) + (x3 – x) + 4x = x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – dư 4x c) x99 + x55 + x11 + x + = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + chia cho x2 + dư – 2x + Zalo: 0933 22 00 14 12 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN Phương pháp : dùng Sơ đồ HORNƠ ( pp đầu rơi) Sơ Hệsố thứ 1đathức bị chia a + Hệsố thứ2 củađ athức bịchia Hệsố củađ a thức chia tỡm kết phép chia f(x) cho x – a (a số), ta sử dụng sơ đồ hornơ Nếu đa thức bị chia a0x3 + a1x2 + a2x + a3, đa thức chia x – a ta thương b0x2 + b1x + b2, dư r ta có a0 a1 a2 a3 a b0 =a0 b1=ab0+a1 b2 =ab1+a2 r =ab2 +a3 Ví dụ : Đa thức bị chia: x3 -5x2 + 8x – 4, đa thức chia x – Ta có sơ đồ -5 2 + (- 5) = -3 2.(- 3) + = Vậy: x3 -5x2 + 8x – = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + phép chia hết -4 r = 2 +(- 4) = VẤN ĐỀ : CHỨNG MINH MỘT ĐA THỨC CHIA HẾT CHO MỘT ĐA THỨC KHÁC Phương pháp: Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số đa thức chia Cách 2: biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Cách 3: Biến đổi tương đương f(x) Mg(x) ⇔ f(x) ± g(x) Mg(x) Cách 4: Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia Ví dụ 1:Chứng minh rằng: x8n + x4n + chia hết cho x2n + xn + Ta có: x8n + x4n + = x8n + 2x4n + - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1) Ta lại có: x4n + x2n + = x4n + 2x2n + – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1) chia hết cho x2n + xn + Vậy: x8n + x4n + chia hết cho x2n + xn + Ví dụ 2:Chứng minh rằng: x3m + + x3n + + chia hết cho x2 + x + với m, n ∈ N Ta có: x3m + + x3n + + = x3m + - x + x3n + – x2 + x2 + x + = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1) Vì x3m – x3n – chia hết cho x3 – nên chia hết cho x2 + x + Vậy: x3m + + x3n + + chia hết cho x2 + x + với m, n ∈ N Zalo: 0933 22 00 14 13 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN Ví dụ 3: Chứng minh f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + + x11 – x + – = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + + x(x10 – 1) chia hết cho x10 – Mà x10 – = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + + x + 1) chia hết cho x9 + x8 + x7 + + x + Suy f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Nên f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Ví dụ 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – chia hết cho g(x) = x2 – x Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có nghiệm x = x = Ta có f(0) = (-1)10 + 110 – = ⇒ x = nghiệm f(x) ⇒ f(x) chứa thừa số x f(1) = (12 + – 1)10 + (12 – + 1)10 – = ⇒ x = nghiệm f(x) f(x) chứa thừa số x – 1, mà thừa số x x – khơng có nhân tử chung, f(x) chia hết cho x(x – 1) hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – chia hết cho g(x) = x2 – x Ví dụ 5: Chứng minh a) A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + b) C = 8x9 – 9x8 + chia hết cho D = (x – 1)2 c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – chia hết cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1) Giải a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x) Ta có: x2 – x + chia hết cho B = x2 – x + x9 + chia hết cho x3 + nên chia hết cho B = x2 – x + x1945 – x = x(x1944 – 1) chia hết cho x3 + (cùng có nghiệm x = - 1) nên chia hết cho B = x2 – x + Vậy A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + b) C = 8x9 – 9x8 + = 8x9 – - 9x8 + = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1) = 8(x – 1)(x8 + x7 + + 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + + 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) (8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho x – có tổng hệ số suy (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho (x – 1)2 c) Đa thức chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) có ba nghiệm x = 0, x = - 1, x = - Ta có: C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – = ⇒ x = nghiệm C(x) C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – = ⇒ x = - nghiệm C(x) 1 1 C(- ) = (- + 1)2n – (- )2n – 2.(- ) – = ⇒ x = - nghiệm C(x) Mọi nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia ⇒ đpcm B BÀI TẬP : Bài 1: Tìm số dư a) x43 chia cho x2 + b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + cho x2 + Bài 2: Tính giá trị đa thức x4 + 3x3 – x = 2009 Bài 3: Chứng minh Zalo: 0933 22 00 14 14 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN a) x50 + x10 + chia hết cho x20 + x10 + b) x10 – 10x + chia hết cho x2 – 2x + c) x4n + + 2x2n + + chia hết cho x2 + 2x + d) (x + 1)4n + + (x – 1)4n + chia hết cho x2 + e) (xn – 1)(xn + – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)2 VẤN ĐỀ : TÌM HỆ SỐ a,b,c, … ĐỂ ĐA THỨC A(x) CHIA HẾT CHO B(x) Phương pháp : Cách : Làm tính chia sau cho phần dư Cách : Sử dụng cơng thức phép chia có dư A(x) = B(x) Q(x) + R(x) Ví dụ : Tìm a,b để đa thức f (x) chia hết cho đa thức g(x) , với: f (x) = x4 − 9x3 + 21x2 + ax + b , g(x) = x2 − x − Giải g(x) = ⇔ x2 − x − ⇔ x = −1; x = Ta có : f (x) = x − 9x + 21x + ax + b = g(x).Q(x) + Đẳng thức nên : với x = -1, 31 – a + b = (1) Với x = 2, 28 + 2a + b = (2) Từ (1) (2) suy : a = 1, b = -30 2 Ví dụ : Tìm hế số a để: x − x + x − x + a Mx − x + Hạ phép chia đồng nhất, ta có: x − x + x − x + a = ( x − x + ) ( x + 1) + a − Để phép chia phép chia hết a - = hay a = BÀI TẬP : Bài : Tìm a,b để đa thức f (x) chia hết cho đa thức g(x) , với: 2 a) f(x) = x + ax + 2x + b , g(x) = x + x + 2 b) f (x) = x − x + 6x − x + a , g(x) = x − x + c) f (x) = 3x + 10x − 5+ a , g(x) = 3x + d) f (x) = x – 3x + a , g(x) = (x – 1) 2 e) f (x) = x − 9x + 21x + x + a , g(x) = x − x − 2 f) f (x) = x − 3x + 3x + ax + b , g(x) = x − 3x + Bài : Tìm a,b để a) x3 + ax2 + 5x + chia hết cho x2 + 2x + b) x2 + ax + 5a2 − 14 chia hết cho x + 2a c) x3 + ax + b chia hết cho x2 – x – d) 2x3 − x2 + ax + b chia hết cho x2 + e)x4 + ax3 + bx − 1chia hết cho x2 + Bài : Với giá trị a b đa thức f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 dư Zalo: 0933 22 00 14 15 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN Bài : Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x-3 dư 7; chia cho x-2 dư 5; chia cho (x-3)(x-2) thương 3x dư Bài : Tìm x để a) Đa thức 10x2 - 7x - chia hết cho đa thức 2x - b) Đa thức x3 - 4x2 + 5x - chia hết cho x – CHUYÊN ĐỀ : PHÂN THỨC HỮU TỈ VẤN ĐỀ : RÚT GỌN PHÂN THỨC A KIẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1) Các bước rút gọn biểu thức hửu tỉ Bước : Tìm ĐKXĐ: Phân tích mẫu thành nhân tử, cho tất nhân tử khác Bước : Phân tích tử thành nhân tử , rút gọn phân thức ( có) Bước : Quy đồng mẫu thức phân thức Bước : Thu gon phân thức A 2) Tìm x để phân thức B nhận giá trị nguyên A m - Ta phân tích B = C + B (m số nguyên) A m - Để B nguyên B nguyên => B = Ư(m) ={ …} - Giải tìm m Ví dụ : x − 5x + 4 Bài 1: Cho biểu thức A = x − 10x + 2x − = a) Rút gọn A b) tìm x để A = c) Tìm giá trị A Giải a)Đkxđ : x4 – 10x2 + ≠ ⇔ [(x2)2 – x2] – (9x2 – 9) ≠ ⇔ x2(x2 – 1) – 9(x2 – 1) ≠ x ≠  x ≠ −1  x ≠ ±1  ⇔ ⇔  x ≠ ±3 x ≠  x ≠ −3 ⇔ (x2 – 1)(x2 – 9) ≠ ⇔ (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3) ≠ Tử : x4 – 5x2 + = [(x2)2 – x2] – (x2 – 4) = x2(x2 – 1) – 4(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) Với x ≠ ± 1; x ≠ ± (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2) = (x 1)(x + 1)(x 3)(x + 3) (x - 3)(x + 3) A= (x - 2)(x + 2) b) A = ⇔ (x - 3)(x + 3) = ⇔ (x – 2)(x + 2) = ⇔ x = ± Zalo: 0933 22 00 14 16 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN  2x − =  2x = x = ⇔ ⇔  2x − = ⇔  2x − = −7  2x = −6  x = −3 c) (x - 2)(x + 2) (4 - 2)(4 + 2) 12 = = (x 3)(x + 3) (4 3)(4 + 3) * Với x = A = * Với x = - A khơng xác định − x  − 2x  + − :  2÷ − x x + 1 − x x −1   Bài : Cho biểu thức C = a) Rút gọn biểu thức C Giải a) Đkxđ: x ≠ ± b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B số nguyên − x  − 2x 1 + x + 2(1 − x) −  (x − 1)(x + 1) −2  + − = =  ÷:  − 2x 2x − C =  − x x + 1 − x  x −  (1 − x)(1 + x)  −2 b) B có giá trị ngun x số ngun 2x − có giá trị nguyên  2x − = x =  2x − = −1 x =  ⇔  2x − =  x = 1,5    x = −1 ⇔ 2x – Ư(2) ⇔  2x − = −2 Đối chiếu Đkxđ có x = thoả mãn x + x − 2x Bài : Cho biểu thức D = x x + − x + a) Rút gọn biểu thức D b) Tìm x ngun để D có giá trị ngun c) Tìm giá trị D x = Giải x+2 a) Nếu x + > = x + nên x + x − 2x x + x − 2x x + x − 2x x + x − 2x x(x − 1)(x + 2) x2 − x = = 2 x(x + 2) − (x − 2)(x + 2) x x + − x + x(x + 2) − x + D= = x+2 Nếu x + < = - (x + 2) nên 2 = x(x − 1)(x + 2) −x = − x(x + 2) − (x − 2)(x + 2) D = x x + − x + = − x(x + 2) − x + Nếu x + = ⇔ x = -2 biểu thức D khơng xác định x2 − x −x có giá trị ngun b) Để D có giá trị ngun   x(x - 1) M2  x - x M2 x2 − x ⇔  x > - +) có giá trị nguyên ⇔  x > - Vì x(x – 1) tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho với x > - Zalo: 0933 22 00 14 17 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN  x M2  x = 2k ⇔ ⇔ x = 2k (k ∈ Z; k < - 1)  x < x <   −x +) có giá trị nguyên ⇔ x2 − x 6(6 − 1) = 15 c) Khia x = ⇒ x > - nên D = = B BÀI TẬP : 2−x   x   2− x 3− x − + ÷  ÷: 1 −  x + x + x + 5x +   x −  Bài 1: Cho biểu thức A = 6x - - 9x a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 0; A > 3y3 − 7y + 5y − Bài 2: Cho biểu thức B = 2y − y − 4y + a) Rút gọn B ≥ 2D b) Tìm số nguyên y để 2y + có giá trị ngun c) Tìm số ngun y để B x+2 − + Bài 3: Cho biểu thức A = x + x + x − − x a.Tìm điều kiện x để A có nghĩa = b.Rút gọn A −3 c.Tìm x để A d.Tìm x để biểu thức A nguyên e.Tính giá trị biểu thức A x2 – = (a + 3) 6a − 18 ×(1 − ) a −9 Bài 4: Cho biểu thức B = 2a + 6a a.Tìm ĐKXĐ B c.Với giá trị a B = b.Rút gọn biểu thức B d.Khi B = a nhận giá trị ? x −  2x − x  x S = − + ÷:  x − 36 x + x  x + x − x Bài 5: Cho a) Rút gọn biểu thức S b)Tìm x để giá trị S = -1 2+ x 4x − x  x − 3x P= + − ÷: − x x − + x  x − x3  Bài 6: Cho a) Tìm điều kiện x để giá trị S xác định b) Tính giá trị S với x−5 = B)Rút gọn P d)Tìm x để giá trị x để P < x +  4x −  x +1 B= + −   2x − x − 2x +  Bài 7: Cho biểu thức: a) Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức xác định? b) CMR: giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến x? VẤN ĐỀ : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA PHÂN THỨC A KIẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai Biểu thức dạng đạt GTNN mẫu đạt GTLN Zalo: 0933 22 00 14 18 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN -2 −2 = 2 Ví dụ : Tìm GTNN A = 6x - - 9x = 9x - 6x + (3x - 1) + 1 −2 −2 ≤ ⇒ ≥ 2 ≥ (3x 1) + 4 (3x 1) + 4 ⇒A≥ - Vì (3x – 1) ⇒ (3x – 1) + ≥ ⇒ 1 A = - ⇔ 3x – = ⇔ x = Phân thức có mẫu bình phương nhị thức 3x - 8x + a) Ví dụ 1: Tìm GTNN A = x - 2x + +) Cách 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu 3x - 8x + 3(x - 2x + 1) - 2(x - 1) + 1 = = 3− + 2 x 2x + (x 1) x (x 1) A= Đặt y = x - Thì 2 A = – 2y + y = (y – 1) + ≥ ⇒ A = ⇔ y = ⇔ x - = ⇔ x = +) Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm 3x - 8x + 2(x - 2x + 1) + (x - 4x + 4) (x - 2) = = + ≥2 2 x 2x + (x 1) (x 1) A= ⇒ A = ⇔ x – = ⇔ x = x b) Ví dụ 2: Tìm GTLN B = x + 20x + 100 x x 1 = − 10 2 x + 20x + 100 (x + 10) y ⇒ x + 10 Ta có B = Đặt y = x= 2 1  1 1 − 10 y ÷ B=(y ).y2 = - 10y2 + y = - 10(y2 – 2.y 20 y + 400 ) + 40 = - 10  10  + 40 ≤ 40 1 y10 = ⇔ y = 10 ⇔ x = 10 Max B = 40 ⇔ x + y2 2 c) Ví dụ 3: Tìm GTNN C = x + 2xy + y (x + y) + (x - y)  2 x +y 1 (x - y) 1 = = + ≥ 2 2 (x + y) 2 (x + y) ⇒ A = ⇔ x = y Ta có: C = x + 2xy + y Các phân thức có dạng khác - 4x a)Ví dụ : Tìm GTNN, GTLN (Cực trị) A = x + - 4x (4x − 4x + 4) − (x + 1) (x - 2) = = − ≥ −1 ⇒ A = - ⇔ x = x2 +1 x +1 Ta có: A = x + - 4x (4x + 4) − (4x + 4x + 1) (2x + 1) = = − ≤4 − 2 ⇒ max A = ⇔ x = x +1 x +1 Ta lại có: A = x + B BÀI TẬP Zalo: 0933 22 00 14 19 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN 8) Tìm GTNN, GTLN A= E= C= 8x + 4x2 + x ( x + 2010 ) B= với x>0 5x − x + x2 với x≠0 3x + x + x2 + C= x2 − 2x + x2 + x + F= x2 x4 + x2 + D= x2 − x + m * x2 với m ∈ N A= D= x2 + x2 + x + x − x + 2010 x2 B= D= 4x + x2 + 3x + x x2 + VẤN ĐỀ : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN A KIẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1: Cho x + y = Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy Ta có A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1) a) Cách 1: Biểu thị ẩn qua ẩn kia, đưa tam thức bậc hai Từ x + y = ⇒ x = – y nên A = (1 – y)2 + y2 = 2(y2 – y) + 1 1  1 1 y- ÷ + ≥  2 2 Vậy A = ⇔ x = y = A = 2(y2 – 2.y + ) + =  b) Cách 2: Sử dụng đk cho, làm xuất biểu thức có chứa A Từ x + y = ⇒ x2 + 2xy + y2 = 1(1) Mặt khác (x – y)2 ≥ ⇒ x2 – 2xy + y2 ≥ (2) 1 Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có: 2(x + y ) ≥ ⇒ x +y ≥ ⇒ A= ⇔ x= y = 2 2 Ví dụ 2: Cho x + y + z = a) Tìm GTNN A = x2 + y2 + z2 b) Tìm GTLN B = xy + yz + xz Giải: Từ Cho x + y + z = ⇒ Cho (x + y + z)2 = ⇔ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = (1) 2 Ta có x + y + z - xy – yz – zx = Zalo: 0933 22 00 14 2 ( x + y + z - xy – yz – zx) 20 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN ( x − y ) + ( x −z ) + ( y − z )  ≥ ⇒ x + y + z ≥ xy+ yz + zx (2) =2  Đẳng thức xẩy x = y = z a) Từ (1) (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) ≤ x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2) ⇒ x2 + y2 + z2 ≥ ⇒ A = ⇔ x = y = z = b) Từ (1) (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) ≥ xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx) ⇒ xy+ yz + zx ≤ ⇒ max B = ⇔ x = y = z = B BÀI TẬP : Bài : Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = Tìm GTLN GTNN biểu thức x2 + y2 Bài : Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy biết x + y = Bài : Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức: A = x2 + y2 VẤN ĐỀ : DÃY PHÂN THỨC VIẾT THEO QUY LUẬT A KIẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương pháp : Xuất phát từ hạng tử cuối để tìm quy luật 2n + + + + (1.2)2 (2.3) [ n(n + 1)] Ví dụ : Rút gọn biểu thức : A = Giải : 2n + 2n + 1 = 2− 2 n(n + 1)] n (n + 1) Ta có [ = n (n + 1) 1 1 1 1 1 n(n + 1) − + − + − − + − = − = 2 (n + 1) 3 n n (n + 1) (n + 1) Nên A = B BÀI TẬP Rút gọn biểu thức sau: 12 32 52 n2 1 + + + (n - 1)n a) 1.2 2.3 1 + + + n(n + 1)(n +2) c) 1.2.3 2.3.4 2 − −1 −1 (n + 1)2 − b)        − ÷.1 − ÷.1 − ÷ 1 − ÷  n  d) B =       150 150 150 150 + + + + 47.50 e) C = 5.8 8.11 11.14 e) D = 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n − 1)n(n + 1) n −1 n − 2 1 1 A + + + + + + + + n − n −1 ; B = n Tính B f) Cho A = Zalo: 0933 22 00 14 21 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN 1 1 1 + + + + + + (2n - 3).3 (2n - 1).1 ; B = + 2n - Tính A : B g) A = 1.(2n - 1) 3.(2n - 3) VẤN ĐỀ 5: RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CỦA BIẾN A KIẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG : RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Phương pháp : - Biến đổi biểu thức cần tính theo diều kiện cho - Thay điều kiện cho vào Phương pháp : - Giải pt điều kiện để tìm giá trị biến - Thay giá trị biến vào biểu thức cần tính 1 A = x2 + x+ =3 x x Ví dụ : Cho Tính giá trị biểu thức sau : Giải 1  A = x + =x + ÷ −2 =9−2 = x x  ; Ví dụ 2: a b c x y z + + =2 + + =2 y z b c Cho a (1); x (2) Tính giá trị biểu thức D = 2 2 2 b a c  ÷ + ÷ + ÷ x z  y Giải : Từ (1) suy bcx + acy + abz = (3) Từ (2) suy 2 2 b  ab ac bc  b  ab ac bc  a c a c + + ÷ = ⇒  ÷ +  ÷ +  ÷ = −  + + ÷  ÷ +  ÷ +  ÷ +  x z x z  y  xy xz yz  y  xy xz yz  (4) Thay (3) vào (4) ta có D = – 2.0 = DẠNG : CHỨNG MINH BIỂU THỨC Phương pháp : - Biến đổi biểu thức điều kiện ( giải biểu thức điều kiện) để đưa biểu thức cần chứng minh - Biến đổi biểu thức điều kiện vả biểu thức cần chứng minh 1 1 1 + + =2 + + =2 b c b c Ví dụ : Cho a (1); a (2) Chứng minh rằng: a + b + c = abc Từ (1) suy a + b + 1  +  + + ÷ = ⇒ c  ab bc ac  Zalo: 0933 22 00 14 1 1    + +  ÷= −  + + ÷ b c   ab bc ac  a 22 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN 1 a+b+c + + =1⇔ =1⇔ ⇒ ab bc ac abc a + b + c = abc B BÀI TẬP x+ =3 x Bài : Cho Tính giá trị biểu thức sau : a) B = x3 + x ; b) C = x4 + x ; c) D = x5 + x5 yz xz xy 1 + + + + =0 y z y z Bài : Cho x Tính giá trị biểu thức A = x a  b  c  + 1÷ + 1÷ + 1÷   c  a  Bài : Cho a3 + b3 + c3 = 3abc ; Tính giá trị biểu thức A =  b y+z x+z x+y + + +3=0 x y z Bài : Cho x + y + z = 0; chứng minh rằng: a b c = = 2 x y z Chứng minh xy + yz + xz = Bài : Cho a + b + c = a + b + c = 1; a b 2c + + Bài : Cho abc = 2; rút gọn biểu thức A = ab + a + bc + b + ac + 2c + a2 + b2 + c2 2 b2 - c2 - a c2 - b2 - a Bài : Cho a + b + c = 0; rút gọn biểu thức B = a - b - c Bài : Cho a, b, c đôi khác thoả mãn: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 a2 Rút gọn biểu thức C = a + 2bc + b2 b + 2ac + c2 c + 2ab 1 1 + + = Bài : Cho a, b, c ≠ a + b + c ≠ thỏa mãn điều kiện a b c a + b + c Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối 1 1 + + = 2009 b 2009 c2009 a 2009 + b 2009 + c 2009 Từ suy : a a b c b c a + + = + + c a a b c (1) Bài 10 : Cho b chứng minh : ba số a, b, c tồn hai số Bài 11 : Cho (a2 – bc)(b – abc) = (b2 – ac)(a – abc); abc ≠ a ≠ b 1 + + =a+b+c b c Chứng minh rằng: a a b c + + =0 y z Bài 12 : Cho a + b + c = x + y + z = x ; Chứng minh rằng: ax2 + by2 + cz2 = a b c a b c + + =0 + + =0 2 (b c) (c a) (a b) b c c a a b Bài 13 : Cho ; chứng minh: Zalo: 0933 22 00 14 23 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN b - c c - a  c a b  a-b + + + +  ÷ ÷ a b  a - b b-c c-a  =9 Bài 14 : Cho a + b + c = 0; chứng minh:  c Zalo: 0933 22 00 14 24 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN CHUYÊN ĐỀ : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Giải phương trình:   1   + + + 2005.2006.2007   3 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2006.2007) Tìm x , biết : x·−1 x − 10 x − 19 + + =3 2006 1997 1988 x + x + x +6 x +8 + = + 96 94 92 Giải phương trình: 98 Giải phương trình : a) x2 - 2005x - 2006 = b) x−2 x−3 2x − + + Giải phương trình: =9 1 1 + + + = x − 5x + x − 7x + 12 x − 9x + 20 x − 11x + 30 Giải phương trình x +1 x + x + x + x + x + + + + + + +6 = 1000 999 998 997 996 995 2− x 1− x x −1 = − 2004 2005 2006 Giải phương trình: Giải phương trình: 1) (x+1)4 + (x+3)4 = 16 2) x − 1001 x − 1003 x − 1005 x − 1007 + + + =4 1006 1004 1002 1000 b, x + 43 57 + x + 46 54 = x + 49 x + 52 + 51 48 6y = + y − 10 y + y − 1 − y ( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) = 19 2 ( 2009 − x ) − ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) 49 Zalo: 0933 22 00 14 25 facebook : Đường Hồng Phúc ... x2 – x + b) C = 8x9 – 9x8 + = 8x9 – - 9x8 + = 8( x9 – 1) – 9(x8 – 1) = 8( x – 1)(x8 + x7 + + 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + + 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) (8x8 – x7 – x6 – x5... facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN Zalo: 0933 22 00 14 facebook : Đường Hồng Phúc CHUYÊN ĐỀ : BD HSG TOÁN VẤN ĐỀ : ỨNG DỤNG PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO BÀI TOÁN CHIA HẾT CHO MỘT... Đường Hồng Phúc CHUN ĐỀ : BD HSG TỐN Ví dụ 3: Chứng minh f(x) = x99 + x 88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x 88 – x8 + x77 – x7 + + x11