Trờng THCS An Hoà Năm học 2008 - 2009 Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ. A.Lí thuyết: 1. các hằng đẳng thức đáng nhớ: (A+B) 2 = A 2 +2AB+B 2 (A-B) 2 = A 2 -2AB+B 2 A 2 -B 2 = (A+B)(A-B) (A+B) 3 = A 3 +3A 2 B +3AB 2 +B 3 (A-B) 3 = A 3 -3A 2 B +3AB 2 -B 3 A 3 +B 3 =(A+B)(A 2 -AB+B 2 ) A 3 -B 3 =(A-B)(A 2 +AB+B 2 ) 2. Một số hằng đẳng thức khác: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ( . ) . 2 2 n n A A A A A A A A A A+ + + = + + + + + 1 2 3 2 . 2 2 . 2 n n A A A A A A+ + + + + 1 . 2 n n A A + + VD: (A+B+C) 2 =A 2 +B 2 +C 2 +2AB+2AC+2BC (A-B+C) 2 =A 2 +B 2 +C 2 -2AB+2AC-2BC 1 2 2 1 ( )( . . . ) n n n n n n x y x y x x y x y y = + + + + , 0n N n > 1 2 3 2 2 1 ( )( . . . . ) n n n n n n n x y x y x x y x y x y y = + + + , 0n N n > , n lẻ B. Một số ví dụ minh hoạ: Hằng đẳng thức đáng nhớ đợc học trong chơng trình cho ta kết quả cuối cùng của các phép nhân đa thức với đa thức: Bài toán 1 : Cho đa thức 2x 2 -5x+3 . Viết đa thức trên dới dạng một đa thức của biến y trong đó y= x+1. HD : Thay x = y-1 ta đợc : 2x 2 -5x+3 = 2.( y-1) 2 -5.( y-1)+3 = 2.( y 2 -2y+1)-5y+5+3 = 2.y 2 -9.y+10. Bài toán 2 : Số nào lớn hơn trong hai số A và B ? A = (2+1).(2 2 +1).(2 4 +1).(2 8 +1).(2 16 +1) B = 2 32 . HD : Nhân hai vế của A với (2-1) ta đợc: A = (2-1). (2+1).(2 2 +1).(2 4 +1).(2 8 +1).(2 16 +1). áp dụng hằng đẳng thức A 2 -B 2 = (A+B)(A-B) nhiều lần ta đợc : A= 2 32 -1. Vậy A <B . Bài toán 3 : Rút gọn biểu thức : C = (a+b+c) 3 +(a-b-c) 3 -6.a.(b+c) 2 . HD : C = [a+(b+c)] 3 +[a-(b-c)] 3 - 6.a.(b+c) 2 = a 3 +3.a 2 .(b+c)+3.a.(b+c) 2 +(b+c) 3 +a 3 -3.a 2 +3.a.(b+c) 2 -(b+c) 3 - 6.a.(b+c) 2 = 2.a Chuyên đề bồi dỡng học sinh Toán 8- Nguyễn Đức Huy 1 Trờng THCS An Hoà Năm học 2008 - 2009 Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ. Bài toán 4 : Tính a). ( 2.x+3) 2 ; ( 2.x- 3) 2 b). ( x+ 4 1 ) 2 ; ( x - 4 1 ) 2 c). ( 3.x+ 5.y) 2 ; ( 3.x- 5.y) 2 d). ( 2.x 2 .y+ 3 1 .x.y 2 ) 2 ; ( 2.x 2 .y- 3 1 .x.y 2 ) 2 HD : a). Ta có ( 2.x+3) 2 = 4.x 2 + 12.x +9 ; ( 2.x-3) 2 = 4.x 2 - 12.x +9. b). Ta có ( x+ 4 1 ) 2 = x 2 + 2 1 x+ 16 1 ; ( x- 4 1 ) 2 = x 2 - 2 1 x+ 16 1 . c). Ta có ( 3.x+ 5.y) 2 =9.x 2 +30.x.y+25y 2 ; ( 3.x- 5.y) 2 =9.x 2 -30.x.y+25y 2 . d). Ta có ( 2.x 2 .y+ 3 1 .x.y 2 ) 2 = 4.x 4 .y 2 + 3 4 x 3 .y 3 + 9 1 x 2 .y 4 ( 2.x 2 .y- 3 1 .x.y 2 ) 2 = 4.x 4 .y 2 - 3 4 x 3 .y 3 + 9 1 x 2 .y 4 Bài toán 5 : Tính a). ( 2.x+3) 3 ; ( 2.x- 3) 3 b). ( x+ 4 1 ) 3 ; ( x - 4 1 ) 3 c). ( 3.x+ 5.y) 3 ; ( 3.x- 5.y) 3 d). ( 2.x 2 .y+ 3 1 .x.y 2 ) 3 ; ( 2.x 2 .y- 3 1 .x.y 2 ) 3 HD : a). Ta có ( 2.x+3) 3 = 8.x 3 +36.x 2 .y+54.x.y 2 +27. Ta có ( 2.x-3) 3 = 8.x 3 -36.x 2 .y+54.x.y 2 -27. b). Ta có ( x+ 4 1 ) 3 = x 3 + 4 3 x 2 + 16 3 x + 64 1 . Ta có ( x- 4 1 ) 3 = x 3 - 4 3 x 2 + 16 3 x - 64 1 . c). Ta có ( 3.x+ 5.y) 3 =27.x 3 +135.x 2 y+225.xy 2 +125.y 3 Ta có ( 3.x- 5.y) 3 =27.x 3 -135.x 2 y+225.xy 2 -125.y 3 d). Ta có ( 2.x 2 .y+ 3 1 .x.y 2 ) 3 = 8.x 6 .y 3 +4.x 5 .y 4 + 3 2 x 4 .y 5 + 27 1 x 3 .y 6 Ta có ( 2.x 2 .y- 3 1 .x.y 2 ) 3 = 8.x 6 .y 3 - 4.x 5 .y 4 + 3 2 x 4 .y 5 - 27 1 x 3 .y 6 Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ. c. Một số bài tập áp dụng: Chuyên đề bồi dỡng học sinh Toán 8- Nguyễn Đức Huy 2 Trờng THCS An Hoà Năm học 2008 - 2009 Bài toán 1 : Tính nhanh kết quả các biểu thức sau a). 127 2 +146.127+73 2 b). 9 8 .2 8 - (18 4 -1).(18 4 -1). c). 100 2 -99 2 +98 2 -97 2 + +2 2 -1 2 d).( 20 2 +18 2 + +4 2 +2 2 )-(19 2 +17 2 + +1 2 ) e). 22 22 75125.150125 220780 ++ f).34 2 +66 2 +68.66 Bài toán 2 : Tính a). (x+2y) 2 ; (x-2y) 2 ; (x+2y) 3 ; (x-2y) 3 ; b). (3x+y) 2 ; (3x-y) 2 ; (3x+y) 3 ; (3x-y) 3 c).(x 2 - 3 1 ).(x 4 + 3 1 .x 2 + 9 1 ) d). (0,1x+y 2 ).(0,01x 2 -0,1x.y 2 +y 4 ) e).3x n-2 (x n+2 -y n+2 ) + y n+2 (3x n-2 -y n-2 ). f).(a+b- c) 2 - (a+b+c) 2 Bài toán 3 : Rút gọn biểu thức a).(x 2 +2) 2 -(x+2).(x 2 +4) b). 5(x+2).(x-2)- 2 1 (6-8x) 2 +17. c).(x 2 -1) 3 -(x 4 +x 2 +1).(x 2 -1) d).(x 4 -3x 2 +9)(x 2 +3)- (3+x 2 ) 3 . Bài toán 4 : Tìm x biết a).(x+2).(x 2 -2x+4)-x(x 2 +2)=15 b). (x-2) 3 -(x-3)(x 2 +3x+9)+6(x+1) 2 =15. c).6x 2 -(2x+5)(3x-2)=7 d).0,6x(x-0,5)-0,3x(2x+1,3)=0,138. Bài toán 5 : So sánh các số sau. a). A=2005.2007 và B = 2006 2 b).C = yx yx + và D = 22 22 yx yx + d).M = (3+1)(3 2 +1)(3 4 +1)(3 8 +1)(3 16 +1) và N = 3 32 -1. Bài toán 6 : Tính giá trị các biểu thức a). a 3 +1+3a+3a 2 với a=9. b).x 3 +3x 2 +3x với x= 19. c). a 3 +6+3a+3a 2 với a=29. d). a 3 +1+3a-3a 2 với a=101. Bài toán 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a).x 2 - 4x+1 b).4x 2 +4x+11 c).3x 2 - 6x-1 d).5x 2 - 4x+7 Bài toán 8: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức a).5-8x-x 2 b). 4x-x 2 +1 Bài toán 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a).(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) b).x 2 -2x+y 2 -4y+6. Bài toán 10: Chứng minh các hằng đẳng thức a).a 3 +b 3 =(a+b) 3 -3ab(a+b) b).(a+b+c) 3 = a 3 +b 3 +c 3 +3(a+b)(b+c)(c+a) c).(a 2 -b 2 ) 2 +(2ab) 2 =(a 2 +b 2 ) d). (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )=(ac+bd) 2 +(ad-bc) 2 Bài toán 11:Hiệu các bình phơng của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36 tìm hai số ấy. Bài toán 12: Hiệu các bình phơng của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40 tìm hai số ấy. Bài toán 13:Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích của hai số trong ba số ấy bằng 74. Chuyên đề bồi dỡng học sinh Toán 8- Nguyễn Đức Huy 3 . +146. 127 +73 2 b). 9 8 .2 8 - ( 18 4 -1).( 18 4 -1). c). 100 2 -99 2 + 98 2 -97 2 + +2 2 -1 2 d).( 20 2 + 18 2 + +4 2 +2 2 )-(19 2 +17 2 + +1 2 ) e). 22 22 75 125 .150 125 . 22 22 75 125 .150 125 22 0 780 ++ f).34 2 +66 2 + 68. 66 Bài toán 2 : Tính a). (x+2y) 2 ; (x-2y) 2 ; (x+2y) 3 ; (x-2y) 3 ; b). (3x+y) 2 ; (3x-y) 2 ; (3x+y) 3 ;