Giới hạn dãy số trong các đề thi học sinh giỏi

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm nghiên cứu lí luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT; rèn luyện kỹ năng giải các bài tóan về giới hạn dãy số; tìm hiểu thực trạng của việc học dãy số trong chương trình môn tóan của trường THPT.

Nguyễn Văn Giáp ­ THPT Nguyễn Trung Ngạn: Giới hạn dãy số trong   các đề thi HS giỏi MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Dãy số  là một lĩnh vực khó và rất rộng, trong các đề  thi học sinh giỏi  quốc gia, quốc tế  cũng thường xuất hiện các bài tốn về  dãy số. Để  giải  được các bài tốn về  dãy số  địi hỏi người làm tốn phải có kiến thức tổng  hợp về số học, đại số, giải tích. Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa  dạng và cũng có nhiều tài liệu viết về  vấn đề  này, các tài liệu này cũng   thường viết khá rộng về  các vấn đề  của dãy số, các vấn đề  được quan tâm  nhiều hơn là các tính chất số học và tính chất giải tích của dãy số Tính chất số  học của dãy số  thể  hiện như  tính chia hết, tính nguyên,   tính chính phương… , tính chất giải tích có nhiều dạng nhưng quan trọng là   các bài tốn tìm giới hạn dãy số. Các bài tốn về dãy số thường là các bài tốn   hay và khó, tác giả đã sưu tầm, chọn lọc và phân loại theo từng chủ đề Sáng kiến kinh nghiệm với đề  tài “Giới hạn dãy số  trong các đề  thi  học sinh giỏi” có mục đích trình bày một cách hệ thống, chi tiết giới hạn dãy  số. Đề tài được trình bày với 2 chương Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này hệ thống lại kiến  thức cơ bản nhất về dãy số, số học, phương pháp sai phân sẽ  được dùng để  giải quyết các bài tốn trong chương 2 Chương 2. Giới hạn của dãy số. Chương này đề  cập đến một số  bài  tốn về giới hạn dãy số như: Giới hạn của tổng, dãy con và sự hội tụ của dãy  s,dóys xỏcnhbiphngtrỡnhcựngviphngphỏpgiic th cho tngdngtoỏn 2.Mục đích nhiệm vơ nghiªn cøu  Nghiªn cøu lÝ ln vỊ kü năng, kỹ giải toán số biện pháp rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh THPT Rèn luyện kỹ giicỏcbitoỏnvgiihndóys Tìm hiểu thực trạng vichcdóys trongchngtrỡnhmụn toỏncatrngTHPT Tìm hiểu toán khó về giới hạn dãy số  trong các đề  thi học sinh   giỏi  X©y dùng hƯ thèng tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ tnghpkinthcivihcsinhgii Gợi ý cách vận dụng hệ thống tập điển hình việc rèn luyện kỹ giải toán nói chung, góp phần phát triển trí tuệ cho hc sinh Phơng pháp nghiên cứu a) Phơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu số giáo trình phơng pháp dạy học môn toán, SGK phổ thông, Sách bồi dng giáo viên THPT, sách tham khảo, tạp chí giáo dục liên quan đến đề tài b) Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, qua trao đổi kinh nghiệm với số giáo viên giỏi môn Toán trng THPT Từ xây dựng đợc hệ thống tập điển hình gợi ý dạy học nhằm rèn luyện kỹ tỡmgiihnhms c) Phơng pháp quan sát, điều tra: Quan sát điều tra thực trạng dạy học giải toán vdóys học sinh lớp 11 v 12, qua nắm bắt đc nhu cầu việc rèn luyện kỹ giitoỏnvdóyscahcsinh 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài được nghiên cứu đối với học sinh các lớp 11A1, 11A2, 11A3 và  học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi toán lớp 12 trường THPT Nguyễn  Trung Ngạn 5. Thời gian nghiên cứu Đề tài được nghiên cứu trong các năm học 2009 – 2010, 2010 – 2011,  2011­ 2012 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.DÃY SỐ  1.1.1.Định nghĩa Mỗi hàm số u xác định trên tập các số ngun dương N* được gọi là  một dãy số vơ hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:  u: N*   R      n    a  u(n) Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u1, u2, u3,…, un, … Trong đó un = u(n) và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng  tổng quát của dãy số  Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…, m} với m N* được gọi  là một dãy số hữu hạn Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3,…,um trong đó u1 là số hạng đầu, um  là số hạng cuối Dãy số (un)  được gọi là: ­ Dãy đơn điệu tăng nếu un+1 > un, với mọi n = 1, 2, … ­ Dãy đơn không giảm nếu un+1  un, với moi n = 1, 2, … ­ Dãy đơn điệu giảm nếu un+1   0 ln tồn tại N0 sao cho với mọi n N0,  Vì  nlim + ta có  un +1 − u n < ε  Khi đó, với mọi n > N0 ta có un n 1 ε u N + u N +1 − u N + + un − un −1 < u N + ( n − N ) n n n ( 0 ) 0 Giữ N0 cố định, ta có thể tìm được N1>N0 sao cho     N1 ta sẽ có  Định lý 7: Cho f: D un u < 2ε   Vậy nên  lim n = n + n n D là hàm liên tục. Khi đó 1) Phương trình f(x) = x có nghiệm  phương trình fn(x) = x có nghiệm [f ( x) − x]  và  2) Gọi  α , β  là các mút trái, mút phải của D. Biết  xlim α+ lim− [f ( x) − x]  cùng dương hoặc cùng âm. Khi đó phương trình f(x) =  x β x có nghiệm duy nhất  phương trình fn(x) = x có nghiệm duy nhất f ( f ( ( f ( x) ) Trong đó fn(x) =  4 4 n lân Chứng minh 1) a) Nếu x0 là nghiệm của phương trình f(x) = x thì x0 cũng là nghiệm  của phương trình fn(x) = x  b) Nếu phương trình f(x) = x vơ nghiệm thì f(x) – x > 0 hoặc f(x) – x   0 hoặc fn(x) – x  0 trong  Nếu  xlim x β α + − khoảng (x0;  β ) và  ( α ; x0 ) suy ra f(x) > x với mọi x D\{x0} Xét x1 D\{x0} suy ra f(x1) > x1   f(f(x1)) > f(x1)> x1. Từ đó fn(x1) > x1  nên x1 khơnglà nghiệm của phương trình fn(x) = x. Vậy phương trình fn(x) = x  có nghiệm duy nhất x = x0 [f ( x) − x]  và  lim [f ( x) − x]  cùng âm chứng minh tương tự Nếu  xlim x β α + − b)Ta thấy mọi nghiệm của phương trình f(x) = x đều là nghiệm của  phương trình fn(x) = x, do đó nếu phương trình fn(x) = x có nghiệm duy nhất  thì phương trình f(x) = x có nghiệm duy nhất Định lý 8. Cho hàm f: D D  là hàm đồng biến, dãy (xn) thỏa mãn  xn+1 = f(xn),  ∀x N *  Khi đó: a) Nếu x1 x2 thì dãy (xn) giảm Chứng minh a) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp Với n = 1 ta có x1  a− a+ a + a 1� 1� � � = a− a − a = � a − �− a > � − �− > 0,12 > 0,3 2� 2� � � Thay vai trò của x bởi  a − a + x  chứng minh tương tự ta có        a− a+ a− a+x a + a − a + x > 0,3 Suy ra F’(x)  xn −  vì  f n' ( yn )  > 1 với yn > 0 n 4.3 3 �3 � Mặt khác  lim 2n + = � limx n = n 4.3 Qua các bài tốn trên, chúng ta thấy cơng cụ cơ bản để khảo sát các dãy   số  cho bởi dãy các phương trình là các định lý cơ  bản của giải tích (về  hàm   liên tục, hàm đơn điệu, định lý về sự  hội tụ của dãy số đơn điệu và bị  chặn,   định lý Lagrange) và mối liên hệ mang tính truy hồi giữa các phương trình BÀI TẬP Bài 1. Chứng minh rằng với mỗi số ngun dương n cho trước thì  phương trình x2n+1 = x + 1 có đúng một nghiệm thực. Gọi nghiệm đó là xn.  Tính   nlim x n   Bài 2 Cho dãy số (xn) được xác định như sau: x1 , xn xn 2(2n 1) x n   n   N*.  Tính  nlim n i xi   Bài 3. (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực {xn} xác định  bởi: x1 = a và xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008  với mọi n = 1, 2, 3, … Chứng minh rằng dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn khi n tiến đến dương vơ  Bài 4. Cho dãy  { xn } n =1  thỏa mãn  x1 = 1; x2 = x3 = 9; x4 =  và  xn + = xn xn +1 xn + xn +3 , ∀n  Chứng minh rằng tồn tại  lim xn  và tính giới hạn đó Bài 5.Cho phương trình với n là tham số ngun dương =   (1) a) Chứng minh phương trình thên có 1 nghiệm duy nhất lớn hơn 1 với mọi  x + ( x − 1) + ( x − 1) + + n ( x − 1) − n n nguyên dương ký hiệu là  xn b) Chứng minh dãy  { xn }  có giới hạn hữu hạn khi  n +  Tính giới hạn  Bài 6. Cho dãy số (un) được xác định như sau : u1 = un +1 = + u1.u2 un Tìm  lim n i =1 ∀n = 1, 2,3 ui Bài 7.Cho dãy số (un) thỏa mãn  u1 = 2009 un +1 = un Tìm  lim n i =1 ( ) un + ∀n = 1, 2,3 u1 + Bài 8. Cho dãy số (xn) xác định bởi : x1 = 2,1 xn − + xn2 + xn − xn +1 = (n = 1, 2, ) Với mỗi số nguyên dương n đặt  yn = n i =1  Tìm limyn x −4 i +1 Bài 9. Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = un +1 = un2 + un 1996 �u �u2 u � u2 + n � u3 un +1 � Tìm  lim � + n = 1, Bài 10. Cho dãy số (un) được xác định bởi : u0 = un +1 = un + 2008 −un + 2010 n = 0,1, a)Chứng minh rằng (un) có giới hạn hữu hạn. Tìm limun b)Đặt   Tn = Tn  Tìm  lim n + 2009 k = uk − 2008 n KẾT LUẬN 1.Kết quả đạt được Dãy số là một lĩnh vực khá rộng và khó, các bài tốn dãy số rất đa dạng   Trong đề tài này chỉ đề cập giới hạn của dãy số Đề  tài này đã trình bày một số  dạng tốn về giới hạn dãy số  như  giới   hạn của tổng, dãy con và sự  hội tụ  của dãy số, dãy số  xác định bởi phương   trình. Các bài tốn dạng này đều có phương pháp giải cụ  thể  vận dụng các   kiến thức về dãy số, các định lý về giới hạn Đề tài đã chọn lọc được các bài tốn điển hình cho mỗi dạng tốn, đặc   biệt có nhiều bài tốn là đề  thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế  những năm  gần đây qua đó thấy vai trị quan trọng của bài tốn về dãy số trong các đề thi   Qua q trình áp dụng đề  tài vào thực tế  giảng dạy, đặc biệt là trong   q trình tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi tơi nhận thấy học sinh hiểu rõ  được bản chất của nhiều bài tốn khó về dãy số, học sinh có hứng thú và chủ  động trong học tập Kết quả  đạt được khá rõ ràng khi tơi tham gia dạy đội tuyển học sinh   giỏi có nhiều học sinh đạt giải cấp tỉnh. Từ năm học 2009 ­2010 đến nay năm   học nào cũng có 2 học sinh đạt giải, đặc biệt các em thường giải tốt các bài  tốn về  dãy số  trong các đề  thi trong khi các năm trước đó học sinh thường  khơng giải được bài tốn này Khi thực hiện đề tài này tơi nhận thấy năng lực tư duy và kĩ năng thực   hiện các thao tác tư duy cũng tăng lên rõ rệt từ đó học sinh có tư duy học tập   tốt hơn các phần khác và các bộ mơn khác, học sinh có tư duy phân tích, tơng  hợp tốt hơn, nâng cao năng lực tự học cho học sinh 2. Bài học kinh nghiệm Qua qua trình trình thực hiện đề tài này tơi nhận thấy để nâng cao chất  lượng trong dạy học, đặc biệt là trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần phát  huy tính tích cực chủ động cho học sinh, học sinh phải có hứng thú trong học  tập và phải có năng lực tự  học. Chính vì lẽ  đó mà giáo viên cũng cần có sự  say mê trong chun mơn, ln có sự hướng dẫn học sinh khơng chỉ kiến thức  mà cịn cả các kĩ năng tư duy, hướng dẫn học sinh cách tự học, biết tổng hợp   kiến thức. Các giáo viên trong tổ  chun mơn cũng cần kết hợp nghiên cứu  các chun đề  và phân cơng bồi dưỡng học sinh giỏi để  các bài giảng được  chun sâu hơn. Việc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cũng rất cần sự quan  tâm chỉ đạo chung của nhà trường, nhà trường cần có kế hoạch ngay từ  đầu   năm học giao cho các giáo viên chịu trách nhiệm bồi dưỡng học sinh, đội   tuyển học sinh giỏi cũng cần được bồi dưỡng ngay khi các em học lớp 10   chứ khơng phải chỉ đến lớp 12 mới tập trung rèn luyện cho các em. Các giáo   viên dạy đội tuyển cũng cần biết kết hợp các kiến thức thi học sinh giỏi và   thi đại học để tạo hứng thú học tập cho học sinh 3. Hướng tiếp tục nghiên cứu mở rộng đề tài Các bài tốn về dãy số thường khó và nhiều dạng khác nhau, đề tài này  mới chỉ đề cập đến bài tốn tìm giới hạn dãy số. Để nâng cao chất lượng học  tập cho học sinh và để các dạng tốn được đầy đủ hơn tơi sẽ nghiên cứu tiếp   các bài tốn về  dãy số  thường gặp trong các đề  thi học sinh giỏi như  tìm số  hạng tổng qt của dãy số, nghiên cứu các tính chất số học của dãy số TÀI LIỆU THAM KHẢO [1].Phan Huy Khải  Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn thpt các bài tốn  về dãy sồ . NXB Giáo dục 2007 [2].Phan Huy Khải 10.000 bài tốn sơ cấp dãy số và giới hạn. NXB Hà Nội  1997 [3] Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Nguyễn Lưu Sơn, Nguyễn Ngọc Thắng,  Phạm Văn Hùng. Các bài giảng về số học. NXB Đại học Quốc gia Hà nội  2006 [4] Nguyễn Văn Mậu. Kỷ yếu trại hè Hùng Vương năm 2010 [5] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Nguyễn Văn Tiến.Một số chun đề giải  tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thơng NXB Giáo dục Việt Nam  2009 [6] Nguyễn Sinh Tiến, Nguyễn Văn Nho, Lê Hồnh Phị. Tuyển tập các bài  dự tuyển Olympic Tốn học quốc tế 1991 – 2001. NXB Giáo dục 2003 [7] Nguyễn Đễ, Nguyễn Khánh Ngun (dịch). Các đề thi vơ địch Tốn 19  nước – trong đó có Việt Nam. NXB Giáo dục 1996 [8] Lê Đình Thịnh (chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp.  Phương trình sai phân và một số ứng dụng. NXB Giáo dục 2001 [9]. Các bài tốn chọn lọc 45 năm tạp chí tốn học tuổi trẻ [10] Tuyển tập THTT tập 3. (sách mạng) [11] Tủ sách tốn học và tuổi trẻ. Các bài thi Olympic tốn Trung học phổ  thơng Việt Nam (1990 – 2006). NXB Giáo dục 2007 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dãy số 1.2 Sơ lược về phương pháp sai phân Chương 2 7 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 2.1 Giới hạn của tổng 2.2 Dãy con và sự hội tụ của dãy số 2.3 Dãy số xác định bởi phương trình KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 10 10 14 22 30 32 ... 1.Kết quả đạt được Dãy? ?số? ?là một lĩnh vực khá rộng và khó,? ?các? ?bài tốn? ?dãy? ?số? ?rất đa dạng   Trong? ?đề? ?tài này chỉ? ?đề? ?cập? ?giới? ?hạn? ?của? ?dãy? ?số Đề  tài này đã trình bày một? ?số  dạng tốn về? ?giới? ?hạn? ?dãy? ?số  như ? ?giới. ..  thường gặp? ?trong? ?các? ?đề ? ?thi? ?học? ?sinh? ?giỏi? ?như  tìm? ?số? ? hạng tổng qt của? ?dãy? ?số,  nghiên cứu? ?các? ?tính chất? ?số? ?học? ?của? ?dãy? ?số TÀI LIỆU THAM KHẢO [1].Phan Huy Khải  Chun? ?đề? ?bồi dưỡng? ?học? ?sinh? ?giỏi? ?tốn thpt? ?các? ?bài tốn ... viên dạy đội tuyển cũng cần biết kết hợp? ?các? ?kiến? ?thức? ?thi? ?học? ?sinh? ?giỏi? ?và   thi? ?đại? ?học? ?để tạo hứng thú? ?học? ?tập cho? ?học? ?sinh 3. Hướng tiếp tục nghiên cứu mở rộng? ?đề? ?tài Các? ?bài tốn về? ?dãy? ?số? ?thường khó và nhiều dạng khác nhau,? ?đề? ?tài này