Hướng dẫn giải đề thi học sinh giỏi môn Sinh học lớp 12

Hướng dẫn giải đề thi học sinh giỏi môn Sinh học lớp 12 cung cấp đến các bạn học sinh các bước hướng dẫn giải chi tiết bài tập trong đề thi tuyển chọn học sinh giỏi của tỉnh Điện Biên năm học 2018-2019. Mời các bạn cùng tham khảo!

ĐỀ VÀ HDG HỌC SINH GIỎI 12 ĐIỆN BIÊN 2018-2019 Câu 1: (6,0 điểm) 2x − (C ) đường thẳng d : x − y −1 = Viết phương trình tiếp tuyến x −1 đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với d Cho hàm số y = Tìm m để hàm số y = x − 3mx + 3(m −1) x + m + đồng biến khoảng (2;+∞) Câu 2: (4,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = sin x x x sin + cos 2 2   x − y − 3(2 x − y + y ) + 15 x −10 = Giải hệ phương trình  ( x; y ∈ ℝ )  − y + − x = x −  Câu 3: (4,0 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số khác chọn từ số 0;1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9 Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chẵn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(0;9) , B (3;6) Gọi D miền nghiệm hệ 2 x − y + a ≤ phương trình  Tìm tất giá trị a để AB ⊂ D 6 x + y + 5a ≥ Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình chóp SABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm A ', B ', C ' khác với điểm S Chứng minh rằng: VS ABC SA SB SC = VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có AB = a, SA = a Gọi O giao điểm AC BD , G trọng tâm tam giác SCD a) Tính thể tích khối chóp S OGC b) Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( SBC ) c) Tính cosin góc hai đường thẳng SA BG Câu 5: (2,0 điểm) Cho phương trình (m + 2) x ( x +1) − x + (m − 6) x −1 = (1) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm thực Cho đa thức a + b − 4b + > f ( x) = x + ax3 + bx + ax +1 có nghiệm thực Chứng minh HDG Câu 1: (6,0 điểm) 2x − (C ) đường thẳng d : x − y −1 = Viết phương trình tiếp tuyến x −1 đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với d Cho hàm số y = Tìm m để hàm số y = x − 3mx + 3(m −1) x + m + đồng biến khoảng (2;+∞) Tập xác định: ℝ Lời giải d : x − y −1 = ⇒ d : y = x −1 ⇒ d có hệ số góc kd = Xét hàm số y = f ( x) = 2x − : x −1 + Tập xác định D = ℝ \ {1} + f / ( x) = ( x −1) , ∀x ≠  x − 3 2x −3  ∆ : y = f / ( x0 )( x − x0 ) + Gọi ∆ tiếp tuyến (C ) M  x ;  x0 −1  x0 −1 + Giả sử ∆ / / d ta f / ( x0 ) = kd ⇔  x0 = =1⇔   x0 = ( x0 −1)  + Thử lại: i x0 = ⇒ ∆ : y = x + thỏa mãn ∆ / / d i x0 = ⇒ ∆ : y = x −1 ⇒ ∆ ≡ d Trường hợp khơng thỏa mãn Vậy có tiếp tuyến (C ) thỏa đề, ∆ : y = x + y / = 3x − 6mx + 3( m −1), ∀x ∈ ℝ  x = m −1 : Hai nghiệm phân biệt với m y/ = ⇔   x = m −1 Bảng biến thiên m-1 -∞ x y' + m+1 _ +∞ + +∞ y1 y y2 -∞ Hàm số đồng biến (2; +∞) ⇔ (2; +∞) ⊂ (m +1; +∞) ⇔ m +1 ≤ ⇔ m ≤ Vậy m cần tìm m ≤ Câu 2: (4,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = sin x x x sin + cos 2 2   x − y − 3(2 x − y + y ) + 15 x −10 = Giải hệ phương trình  ( x; y ∈ ℝ )  − y + − x = x −  Lời giải Ta có sin x x x x − sin x + cos = 1− 2sin cos = 1− sin x = ≠ 0, ∀x 2 2 2 Cách 1: 4sin x Khi f ( x) = = −4 2 − sin x − sin x Vì ≤ sin x ≤ ⇒ ≤ − sin x ≤ nên ≤ ≤ Do ≤ f ( x) ≤ − sin x Ta có f ( x) = ⇔ sin x = ⇔ sin x = ⇔ x = k π (k ∈ ℤ) , π f ( x) = ⇔ sin x = ⇔ sin x = ±1 ⇔ x = ± + 2k π (k ∈ ℤ ) Vậy giá trị nhỏ f ( x) đạt x = k π (k ∈ ℤ) , giá trị lớn f ( x) đạt x = ± π + 2k π ( k ∈ ℤ ) Cách 2: Đặt sin x = t , Điều kiện t ∈ [0;1]  x ≤ Điều kiện:   y ≤ Phương trình thứ hệ tương đương với: 3 ( x − 2) + 3( x − 2) = ( y −1) + 3( y −1) (1) Xét hàm số f (t ) = t + 3t , t ∈ ℝ Khi ta có f ' (t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ℝ Do f (t ) hàm đồng biến ℝ Nên phương trình (1) trở thành f ( x − 2) = f ( y −1) ⇔ x − = y −1 ⇔ y = x −1 Thay y = x −1 vào phương trình thứ hai ta được: − x = x − ⇔ − x = x −1  x ≥   x ≥  x = ⇔ x = ⇔ ⇔   3 − x = x − x +   x = −1  Với x = y = (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = (2;1) Câu 3: (4,0 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số khác chọn từ số 0;1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9 Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chẵn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(0;9) , B (3;6) Gọi D miền nghiệm hệ 2 x − y + a ≤ phương trình  Tìm tất giá trị a để AB ⊂ D 6 x + y + 5a ≥ Lời giải Số phần tử tập S n ( S ) = 9.9.8.7.6 = 27216 Gọi số chẵn thuộc tập S có dạng abcde (a ≠ 0) Nếu e ∈ {2; 4; 6;8} , trường hợp ta có: 8.8.7.6.4 = 10752 số Nếu e = , trường hợp ta có: 9.8.7.6 = 3024 số 10752 + 3024 13776 41 Vậy xác suất cần tìm là: P = = = 27216 27216 81 Phương trình đường thẳng AB : x + y − = Trường hợp 1: Nếu AB đường thẳng a ≤ −2 x + y Xét hệ  5a ≥ −6 x − y a ≤ −12 a ≤ −12  Dễ thấy điểm C (2; 7) ∈ AB C ∉ D  ⇔  ⇔ a ∈ φ 5a ≥ − 33 a ≥ − 33  10  a ≤ −2 x + y Trường hợp 2: Nếu AB đoạn thẳng Ta thay y = − x ( x ∈ [0;3]) vào hệ  5a ≥ −6 x − y Câu 4: a ≤ − 3x −3 x − 27 ta  ≤ a ≤ − x (*) −3 x − 27 ⇒ a ≥ 5  27 (*) với ∀x ∈ [0;3] ⇔ − ≤ a ≤ 27 Vậy − ≤ a ≤ thỏa mãn u cầu tốn (4,0 điểm) Cho hình chóp SABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm A ', B ', C ' khác với điểm S Chứng minh rằng: VS ABC SA SB SC = VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có AB = a, SA = a Gọi O giao điểm AC BD , G trọng tâm tam giác SCD a) Tính thể tích khối chóp S OGC b) Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( SBC ) c) Tính cosin góc hai đường thẳng SA BG Lời giải Gọi H , H ' hình chiếu vng góc A, A ' ( SBC ) AH SA = AH ' SA ' 1 S SBC = SB.SC sin BSC ; S SB ' C ' = SB '.SC '.sin BSC 2 1 Khi VS ABC = VA.SBC = AH S SBC = AH SB.SC sin BSC 1 VS A ' B 'C ' = VA '.SB 'C ' = A ' H '.S SB 'C ' = A ' H '.SB '.SC '.sin BSC Ta có Vậy VS ABC AH SB SC SA SB SC = = VS A ' B 'C ' A ' H ' SB ' SC ' SA ' SB ' SC ' a) Ta có AC = a ; SO = SA2 − OA2 = a 10 Gọi M trung điểm CD a 10 SO.OM MC = 48 SG = = SM Khi VS OCM = VS OCG VS OCM a 10 S OMC = 72 2 b) Ta có d (G , ( SBC )) = d ( M , ( SBC )) = d (O, ( SBC )) 3 Gọi H trung điểm BC , K hình chiếu vng góc O SH 1 4 22 Ta có = + = 2+ = 2 2 OK OH OH a 10a 5a Suy S OGC = d (O, ( SBC )) = OK = a 110 22 a 110 d (G , ( SBC )) = d (O, ( SBC )) = 33 c) Gọi I giao điểm BD AM , I tam tam giác ADC Suy IG / / SA nên góc hai đường thẳng SA BG góc hai đường thẳng IG BG a 2a a 11 Ta có IG = SA = ; BI = ; BG = 3 3 BG + IG − BI 33 cos IGB = = 2.BG.IG 11 Ta tọa độ hóa Câu 5: (2,0 điểm) Cho phương trình (m + 2) x ( x +1) − x + (m − 6) x −1 = (1) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm thực Cho đa thức f ( x) = x + ax + bx + ax +1 có nghiệm thực Chứng minh a + b − 4b + > Lời giải Điều kiện: x ≥ - Với x = phương trình vơ nghiệm - Với x > , phương trình (1) ⇔ ( m + ) Đặt t = x2 + x2 + − +m−6 = x x t ≥ x2 +  ⇒ x2 + ; x t = x  Ta phương trình theo ẩn phụ: ( m + ) t − t + m − = ⇔ t − 2t + = m ( 2) t +1 ) Yêu cầu tốn ⇔ ( ) có nghiệm  2; +∞ Xét hàm số f ( t ) = t = −4 ( l ) t − 2t + t + 2t − ⇒ f ′ (t ) = =0⇔ t +1 ( t + 1) t = Bảng biến thiên x y' –∞ -4 + +∞ – – + +∞ y Vậy phương trình có nghiệm ⇔ m ≥ Giả sử đa thức cho có nghiệm trường hợp a + b − 4b +1 ≤ a + b − 4b + ≤ ⇔ a + (b − 2) ≤ (1) Vì x = khơng phải nghiệm phương trình f ( x) = nên     1 1 1 1 x + ax + bx + ax + = ⇔  x +  + a  x +  + b = ⇔  x +  + a  x +  + b − =        x  x x x Đặt t = x + phương trình có nghiệm t + at + b − = có nghiệm x thoả mãn t ≥ Xét hàm số g (t ) = t + at + b − g ′ (t ) = 2t + a ; g ′ (t ) = ⇔ t = −a −a Như (1) ∉ (−2; 2) 2 Do ta có bảng biến thiên: −2a + b + ≤ (2) Phương trình có nghiệm   2a + b + ≤ (3) Những điểm M (a; b) thoả (1) nằm bên biên đường trịn tâm I (0; 2) bán kính Những điểm N ( a; b) thoả mãn (2) (3) điểm thuộc phần không chứa gốc tạo độ −2 x + y + = đường thẳng   x + y + = Những phần theo hình vẽ khơng có điểm chung, ta có mâu thuẫn Ta có điều phải chứng minh: Nếu thức cho có nghiệm a + b − 4b + > Chú ý: Bài giải nhanh sau: 2 t + at + b − = ⇔ t = −at + − b ⇒ t = (−at + − b) ≤  a + (b − 2)  (1 + t )   t −1 ⇒ a + (b − 2) > = t −1 ≥ ⇒ a + b − 4b + > t +1 ... thỏa mãn Vậy có tiếp tuyến (C ) thỏa đề, ∆ : y = x + y / = 3x − 6mx + 3( m −1), ∀x ∈ ℝ  x = m −1 : Hai nghiệm phân biệt với m y/ = ⇔   x = m −1 Bảng biến thi? ?n m-1 -∞ x y' + m+1 _ +∞ + +∞ y1... x x x sin + cos 2 2   x − y − 3(2 x − y + y ) + 15 x −10 = Giải hệ phương trình  ( x; y ∈ ℝ )  − y + − x = x −  Lời giải Ta có sin x x x x − sin x + cos = 1− 2sin cos = 1− sin x =... y − = Trường hợp 1: Nếu AB đường thẳng a ≤ −2 x + y Xét hệ  5a ≥ −6 x − y a ≤ ? ?12 a ≤ ? ?12  Dễ thấy điểm C (2; 7) ∈ AB C ∉ D  ⇔  ⇔ a ∈ φ 5a ≥ − 33 a ≥ − 33  10  a ≤