Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 5 - ĐH Kinh tế Quốc dân

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 5: Biến ngẫu nhiên hai chiều cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm biến ngẫu nhiên nhiều chiều, bảng phân phối xác suất hai chiều, tham số đặc trưng. Mời các bạn cùng tham khảo.

BÀI – BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU ▪ 5.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên nhiều chiều ▪ 5.2 Bảng phân phối xác suất hai chiều ▪ 5.3 Tham số đặc trưng LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 115 5.1 KHÁI NIỆM BNN NHIỀU CHIỀU Chiều cao nữ sinh viên VN (m): 𝑋 biến ngẫu nhiên chiều 𝑃 𝑋 = 1,5 = 0,25 ▪ Điểm 10%, 20%, 70% môn LT Xác suất &TKT: (𝑋, 𝑌, 𝑍) biến ngẫu nhiên chiều 𝑃 𝑋 = 9, 𝑌 = 9, 𝑍 = = 0,01 𝑃 𝑋 = = 0,3 Hệ 𝑛 biến ngẫu nhiên chiều xét cách đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên 𝑛 chiều Kí hiệu: (𝑋1, 𝑋2, … 𝑋𝑛) ▪ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 116 Biến ngẫu nhiên hai chiều ▪ Hệ hai biến ngẫu nhiên chiều xét cách đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên chiều ▪ Kí hiệu: (𝑋, 𝑌) ▪ Ví dụ: Thu nhập tiêu dùng hộ gia đình; chiều dài chiều rộng sản phẩm ▪ Phân loại • BNN chiều rời rạc: 𝑋, 𝑌 rời rạc • BNN chiều liên tục: 𝑋, 𝑌 liên tục LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 117 Ví dụ ▪ Ví dụ 5.1 Cho biến ngẫu nhiên: ▪ 𝑋: Doanh thu (triệu), 𝑌: Chi quảng cáo (triệu) 𝑌 0,02 0,12 0,17 0.01 0,08 ? 𝑋 100 0,1 200 0,16 300 0,2 a) 𝑃(𝑋 = 200, 𝑌 = 6) = b) 𝑃 𝑋 = 300 𝑌 = 9) = LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 118 5.2 BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Y X x1 x2 … xn y1 y2 … ym p11 p21 … pn1 p12 p22 … pn2 … … … … p1m p2m … pnm LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 119 Bảng phân phối xác suất đồng thời Y y1 y2 … ym P(X) x1 x2 … xn p11 p21 … pn1 p12 p22 … pn2 … … … … p1m p2m … pnm P(x1) P(x2) … P(xn) P(Y) P(y1) P(y2) … P(ym) X LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 120 Bảng phân phối xác suất biên ▪ Bảng phân phối xác suất biên 𝑋 𝑋 𝑃 𝑥1 𝑃(𝑥1) … … 𝑥𝑖 𝑃(𝑥𝑖) … … 𝑥𝑛 𝑃(𝑥𝑛) … … 𝑦𝑚 𝑃(𝑦𝑚) ▪ Bảng phân phối xác suất biên 𝑌 𝑌 𝑃 𝑦1 𝑃(𝑦1) … … 𝑦𝑗 𝑃(𝑦𝑗) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 121 Bảng phân phối xác suất có điều kiện ▪ Bảng phân phối (𝑋 | 𝑌 = 𝑦𝑗): P ( xi , y j ) P ( xi | y j ) = P( y j ) (𝑋 | 𝑌 = 𝑦𝑗) 𝑃 𝑥1 𝑃(𝑥1 | 𝑦𝑗 ) 𝑥2 𝑃(𝑥2| 𝑦𝑗) … 𝑥𝑛 𝑃(𝑥𝑛 | 𝑦𝑗) … ▪ Bảng phân phối (𝑌 | 𝑋 = 𝑥𝑖 ) (𝑌 | 𝑋 = 𝑥𝑖) 𝑦1 𝑦2 … 𝑦𝑚 𝑃 𝑃(𝑦1 | 𝑥𝑖) 𝑃(𝑦2| 𝑥𝑖) … 𝑃(𝑦𝑚 | 𝑥𝑖) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 122 5.3 THAM SỐ ĐẶC TRƯNG ▪ 5.3.1 Kì vọng n n m E ( X ) =  xi P( xi ) =  xi P( xi , y j ) i =1 i =1 j =1 m m n j =1 j =1 i =1 E (Y ) =  y j P( y j ) =  y j P( xi , y j ) ▪ 5.3.2 Phương sai n m V ( X ) =  xi2 P( xi , y j ) − [E ( X )]2 i =1 j =1 m n V (Y ) =  y 2j P( xi , y j ) − [E (Y )]2 j =1 i =1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 123 Kì vọng có điều kiện tính độc lập BNN ▪ Từ bảng phân phối có điều kiện, ta có E (Y / X = xi ) =  y j P( y j / xi ) j E ( X / Y = y j ) =  xi P( xi / y j ) i ▪ Tính độc lập: 𝑋, 𝑌 độc lập P (Y = y j / X = xi ) = P (Y = y j ) i, j 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 ) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗 )∀𝑖, 𝑗 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 124 Hiệp phương sai hệ số tương quan ▪ Hiệp phương sai (covariance): 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) Cov ( X ,Y ) = E ( X − E ( X ) Y − E (Y ) ) n m =  xi y j P ( x i , y j ) − E ( X ).E (Y ) i =1 j =1 ▪ Hệ số tương quan (correlation) 𝑋 𝑌: X,Y ρX ,Y Cov ( X ,Y ) = σ X σY LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 125 Hiệp phương sai ▪ Tính chất hiệp phương sai • 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑋) • 𝑋, 𝑌 độc lập  𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = • 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) > 𝑋, 𝑌 có “tương quan dương” • 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) < 𝑋, 𝑌 có “tương quan âm” ▪ Phương sai tổng hiệu tổng quát • 𝑉(𝑎𝑋  𝑏𝑌) = 𝑎2 𝑉(𝑋) + 𝑏2 𝑉(𝑌)  2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 126 Hệ số tương quan Tính chất hệ số tương quan ▪ X,Y = Y,X ▪ –1  X,Y  ▪ X,Y > 0: tương quan chiều, X,Y < 0: ngược chiều ▪ X,Y = 0: không tương quan ▪ 𝑋, 𝑌 độc lập  X,Y = ▪ X,Y =  1: 𝑋, 𝑌 có quan hệ hàm số bậc với LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 127 ... = LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 118 5. 2 BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Y X x1 x2 … xn y1 y2 … ym p11 p21 … pn1 p12 p22 … pn2 … … … … p1m p2m … pnm LÝ THUYẾT... P(xn) P(Y) P(y1) P(y2) … P(ym) X LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 120 Bảng phân phối xác suất biên ▪ Bảng phân phối xác suất biên