Về một lớp bài toán tối ưu ngẫu nhiên chi phí vận tải

Bài viết trình bày mô hình bài toán tối ưu chi phí vận tải trong điều kiện thông tin về dữ liệu không đầy đủ. Mô hình toán học được thiết lập có mối liên hệ với khái niệm ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ và đầy đủ.

TẠP CHÍ ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số 10 - Tháng 6/2012 VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU NGẪU NHIÊN CHI PHÍ VẬN TẢI TRẦN XUÂN SINH (*) DƯƠNG XUÂN GIÁP(**) NGUYỄN THỊ THANH HIỀN (***) TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi trình bày mơ hình tốn tối ưu chi phí vận tải điều kiện thơng tin liệu khơng đầy đủ Mơ hình tốn học thiết lập có mối liên hệ với khái niệm ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ đầy đủ Trên sở phân tích mơ hình, chúng tơi nghiên cứu cấu trúc ma trận hiệu chỉnh đầy đủ, ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ, tìm mối quan hệ chúng, đư a điều kiện cần đủ để ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ ma trận hiệu chỉnh đầy đủ Từ khoá: tốn tối ưu ngẫu nhiên, mơ hình, ma trận ABSTRACT In this paper, we present the problem model of optimal transportation cost in terms of information on incomplete data The mathematical model is established to be associated with the concept of complete recourse matrix and semicomplete recourse matrix Based on analysing the model, we study the structure of the complete recourse and semicomplete recourse matrix, find the relationships between them, provide necessary and sufficient conditions in order a semicomplete recourse matrix to be a complete recourse matrix Keywords: Random optimal problem, Model, Matrix ĐẶT VẤN ĐỀ (*) (**) Trong lĩnh vực tối ưu nay, nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu toán điều khiển tối ưu, chủ yếu toán tối ưu ngẫu nhiên Đặc biệt, nhóm nghiên cứu Chen năm gần tập trung nghiên cứu công bố nhiều bá o kết thu cải tiến phương pháp xấp xỉ giải toán tối ưu ngẫu nhiên giai đoạn chứng tỏ tầm quan trọng lí thuyết thực tiễn tính tốn, ứng dụng Trong [1], Chen cộng quy tắc định tuyến tính dẫn tới trường hợp (*) không khả thi cho toán tối ưu ngẫu nhiên với hiệu chỉnh đầy đủ Ma trận W cỡ m×n gọi ma trận hiệu chỉnh đầy đủ, với ma trận t cỡ m×1 tồn ma trận w = [w1 w2 wn]T cỡ n×1 cho wj ≥ 0, ∀j = 1, , n Ww = t [1] Ma trận W cỡ m×n gọi ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ , tồn ma trận r = [r1 r2 rn]T cỡ n×1 cho rj > 0, ∀j = 1, , n Wr = Trong nhiều toán thực tế thường dẫn tới toán tối ưu ngẫu nhiên hiệu chỉnh đầy đủ nửa đầy đủ Trong báo này, chúng tơi muốn trình bày mơ hình tốn vận tải, với thơng tin liệu có PGS.TS, Trường Đại học Vinh ThS, Trường Đại học Vinh (**) (***) VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU NGẪU NHIÊN CHI PHÍ VẬN TẢI tính ngẫu nhiên, dẫn tới tốn quy hoạch ngẫu nhiên có đặc tính nêu Chen cộng ma trận hiệu chỉnh đầy đủ ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ [1] Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung khơng Câu hỏi chúng tơi đặt là: Với điều kiện ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ ma trận hiệu chỉnh đầy đủ? Thiết lập điều kiện cần đủ để ma trận hiệu h nửa đầy đủ ma trận hiệu chỉnh đầy đủ Trả lời triệt để câu hỏi nội dung thứ hai báo Kết đem tới hai ý nghĩa quan trọng, vì: Một định nghĩa ma trận hiệu chỉnh đầy đủ khó để kiểm tra, khó để thiết lập so với định nghĩa ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ Hai là, toán quy hoạch ngẫu nhiên với hiệu chỉnh đầy đủ chấp nhận quy tắc định tuyến tính lệch Tuy nhiên, quy tắc định tuyến tính lệch chấp nhận thiếu hiệu chỉnh đầy đủ - biến hiệu chỉnh nửa đầy đủ không hiệu chỉnh đầy đủ, câu hỏi đặt điều xảy nào? Từ đó, điều kiện cần đủ để ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ không ma trận hiệu chỉnh đầy đủ BÀI TOÁN TỐI ƯU CHI PHÍ 2.1 Bài tốn Có n kho chứa hàng với sức chứa kho bi, i = 1, , n Số lượng hàng cần xác định kho thứ i xi, (xi ≥ 0, i = 1, , n) Kinh phí bảo quản lưu giữ đơn vị hàng kho thứ i si, i = 1, , n Cước phí vận tải đơn vị hàng từ kho thứ i đến kho thứ j cij, i = 1, , n, j = 1, , n Cần vận chuyển để điều chỉnh lượng hàng kho cho tổng chi phí lưu kho vận chuyển bé Biết kho i kho j ln có cung đường vận tải cij = cji, với i = 1, , n, j = 1, , n 2.2 Mơ hình tốn học Kí hiệu zij số đơn vị hàng chuyển từ i tới j, (zij ≥ 0) Khi phương án vận tải z = (zij) thực số hàng ti, i = 1, , n, có kho thứ i thời điểm là: n n ∑ zki, i = 1, , n ∑ zij + ti = xi - k =1 j =1 Chi phí vận chuyển lưu trữ tính theo cơng thức n n n ∑ sixi + ∑ ∑ cijzij → minx i =1 i =1 j =1 Vậy ta có tốn tìm x = (xi) z = (zij), cho n { ∑ sixi + i =1 n n ∑ ∑ cijzij} (1) i =1 j =1 với điều kiện n ti + n ∑ zij - ∑ zki = xi, i = 1, , n, j =1 (2) k =1 xi ≤ bi, i = 1, , n, (3) ti ≥ 0, i = 1, , n, (4) xi ≥ 0, zij ≥ 0, i = 1, , n, j = 1, , n (5) Trong thực tế, toán nêu với biến xi, i = 1, , n, có tham gia yếu tố ngẫu nhiên w Khi biến z = (zij) biến t = (ti) phụ thuộc vào yếu tố ngẫu nhiên nêu Để giải toán này, ta cần tới điều chỉnh lớp toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn [3] CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 3.1 Về tốn tối ưu chi phí Như nêu mơ hình (1)-(5), số TRẦN XN SINH - DƯƠNG XUÂN GIÁP - NGUYỄN THỊ THANH HIỀN lượng hàng có kho i xi phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên w Ta kí hiệu giá trị thay đổi, tác động w x’i(w) Do vậy, số lượng hàng có kho thứ i ti(w), thực phương án vận tải z n n ∑ zki(w) ∑ zij(w) + ti(w) = xi – x’i(w) - Định lí 3.1.1 Ma trận A tốn (6) - (9) có n hàng, n(n-1) cột, có hạng n -1 Đặc biệt, tổng vectơ cột vectơ Chứng minh Viết tường minh toán (6) - (9) ta thấy ma trận A gồm phần tử 1, -1 0, hàng gồm n-1 số -1, lại số Cũng vậy, cột gồm số số 1, cịn lại số Khi đó, cộng n hàng lại với hàng tồn số 0, tứ c n hàng A phụ thuộc tuyến tính Nhưng thấy tồn định thức cấp n-1 khác Vậy điều chứng tỏ hạng ma trận A n-1 Mặt khác, với đồ giao thông đồ thị đối xứng đầy đủ G(U, V), n(n − 1) tập đỉnh U có n đỉnh có cạnh Mỗi cạnh (i, j) có ẩn zij zji, số ẩn phải n(n-1) Từ cho thấy số cột n(n-1) Tương tự, tổng vectơ cột vectơ Định nghĩa Bài tốn (6) - (9) có ma trận A ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ ta nói tốn nửa đầy đủ Tương tự ma trận A ma trận hiệu chỉnh đầy đủ ta nói tốn đầy đủ Định lí 3.1.2 Bài tốn (6) - (9) thuộc lớp toán hiệu chỉnh nửa đầy đủ Chứng minh Trước hết, chứng minh Định lí 3.1.1, ta nhận thấy ma trận A gồm phần tử 1, -1 0, hàng, số phần tử số phần tử -1 Khi ta chọn vectơ u = (ui), với ui = 1, cho i = 1, 2, , n(n-1), thoả mãn điều kiện toán hiệu chỉnh nửa đầy đủ Bài toán (6) - (9), theo Định lí 3.1.2, hiệu chỉnh nửa đầy đủ Tuy nhiên, kiểm tra thấy tốn k =1 j =1 Thực giai đoạn hai, điều chỉnh kế hoạch với tham gia yếu tố ngẫu nhiên, ta cần giải toán quy hoạch min{(x, z) = n ∑ sixi + i =1 n n ∑ ∑ cijE(zij(w))} i =1 j =1 với điều kiện ti(w) = xi – x’i(w) - n n j =1 k =1 ∑ zij(w) + ∑ zki(w), i = 1, , n, xi ≤ bi, i = 1, , n, ti ≥ 0, i = 1, , n, xi ≥ 0, x’i(w), zij(w) ≥ 0, i = 1, , n, j = 1, , n E(w) kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên w Bài tốn nêu viết gọn lại sau min{(x, z) = sTx + cTE(z(w))} (6) với điều kiện x – t(w) + Az(w) = x’(w) , (7) x ≤ b, (8) x ≥ 0, t(w), x’(w), z(w) ≥ 0, (9) x = (xi), t(w) = (ti(w)), x’(w) = (x’i(w)), b = (bi) sT, cT tương ứng ma trận chuyển vị ma trận s = (si), c = (cij), A ma trận gồm phần tử tương ứng hệ số z = ( zij ) VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU NGẪU NHIÊN CHI PHÍ VẬN TẢI chưa hiệu chỉnh đầy đủ Chúng ta xét riêng mơ hình thường gặp toán vận tải nêu sau: Ta giả thiết số lượng hàng có kho i bi Đặt xi số hàng vận chuyển đến kho i , tức xi = H(w) = H0 + ∑ j =1 zij Khi ta có tốn n n min{f(x, z) = B, T ma trận hệ số, D kí hiệu khác nêu trên, H(w) h(w) hàm affine wi , nghĩa n zji(w), i = 1, , n, ui – vj = ti, j:( i , j )∈V vj = xi ≤ bi, i = 1, , n, Kí hiệu D = (I A*), I ma trận đơn vị, tư ơng ứng với hệ số xi, i = 1, , n, A* ma trận hệ số zij toán nêu (chú ý ma trận A* trường hợp khác với ma trận A Định lí 3.1.1, xóa phần tử 1, cịn lại phần tử -1 0) Như vậy, ma trận D có n hàng 2n cột Lúc tốn nêu viết lại t(w) = t0 + T x ≤ b, x ≥ 0, t(w), z(w) ≥ sau: Tìm x ∈ ℝn z ∈ ℝ2n cho với điều kiện T min{f(x, z) = s x + E(d t(w)) + E(g E(z(w))} (10) Bx = b, k ∑ zi w i i =1 (14) Bx = b, (15) Hix +Tti + Dzi = hi, i = 0, 1, , k (16) x, t(w), z(w) ≥ (11) (17) Định lí 3.1.4 Mỗi phương án toán (14)-(17) phương án toán (10)-(13) Đồng thời minf ≤ minF H(w)x +Tt(w) + D[x, z(w)] = h(w), (12) x ≥ 0, t(w), z(w) ≥ ∑ tiwi; z(w) = z0 + min{F(x, z) = sTx + dTt0 + gTz0} Bài tốn vừa nêu viết khái qt với điều kiện k (Chú ý mơ hình (10) -(13), biểu diễn dạng affine U(w), h(w) t(w) thực tế) Khi ta xấp xỉ toán (10)-(13) toán sau t(w) – D(x, z(w)) = b, T ∑ j∈J uj, với J tập hợp gồm i =1 min{f(x, z) = s x + c E(z(w))} T (*) n-1 số tương ứng phần tử -1 D Rõ ràng phương trình (*) tồn nghiệm ui, vj ≥ với ti Từ vj ta phân tích để có vectơ u = (ui) ≥ 0, thoả mãn Du = t, với cách chọn vectơ t Đó điều cần chứng minh Từ trở đi, ta xét toán vận tải dạng tổng quát (10) - (13) Ta giả thiết thêm t(w), z(w) hàm affine wi, nghĩa xi ≥ 0, ti(w), zij(w) ≥ 0, i = 1, , n, j = 1, , n với điều kiện i =1 với vectơ t = (ti) thuộc ℝn, phương trình Du = t, ứng với ti có dạng với điều kiện ti(w) = bi + xi – x’i(w) - T k ∑ hi w i Định lí 3.1.3 Bài toán (10)-(13) với ma trận D nêu hiệu chỉnh đầy đủ Chứng minh Như thấy D(I, A*), nên n i =1 j =1 ∑ h(w) = h0 + i =1 ∑ sixi + ∑ ∑ cijE(zij(w))} i =1 k ∑ Hiwi; (13) TRẦN XUÂN SINH - DƯƠNG XUÂN GIÁP - NGUYỄN THỊ THANH HIỀN Chứng minh Xem [2] 3.2 Về mối quan hệ tính đầy đủ nửa đầy đủ Như nêu mục 1, bàn tới mối quan hệ hai khái niệm "hiệu chỉnh đầy đủ" "hiệu chỉnh nửa đầy đủ" Trong mục 1, có xét: "ma trận hiệu chỉnh đầy đủ ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ Để kiểm tra ma trận W có phải ma trận hiệu chỉnh đầy đủ hay không, thiết lập ma tr ận hiệu chỉnh đầy đủ khó Những kết thu sau giải khó khăn Định lí 3.2.1 Nếu ma trận W cấp mn ma trận hiệu chỉnh đầy đủ m < n ma trận W có hạng m Chứng minh Gọi W1, W2, , Wn vectơ cột ma trận W, chỉnh đầy đủ, ta suy W ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ, nghĩa tồn vectơ cột r = [r1 r2 rn]T cấp n×1 cho rj > 0, ∀j = 1, , n Wr = hay r1W1 + r2W2 + + rnWn = Điều mâu thuẫn với hệ {W1, W2, , Wn} sở Bây ta chứng minh W có hạng m Giả sử ngược lại, ma trận W có hạng bé m, nghĩa rank {W1, W2, , Wn} < m Lập luận giống trường hợp 1, ta dẫn đến mâu thuẫn Điều chứng tỏ hạng W m Định lí chứng minh xong Định lí 3.2.2 Cho trước hai số tự nhiên m, n Khi đó, ln tồn ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ W có cấp m×n Hơn nữa, n > với số tự nhiên k cho k ≤ min{m, n-1}, tồn ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ W có cấp m ×n có rank{W} = k Chứng minh Nếu n = ta chọn ma trận W ma trận cột khơng (chính vectơ vectơ không gian vectơ ℝm Trước tiên, ta chứng minh m < n Thật vậy, giả sử ngược lại, ta xét trường hợp: Trường hợp 1: m > n Khi đó, rank{W1, W2, , Wn} < m Theo đại số không không gian vectơ ℝm) Khi đó, ma trận W thoả mãn điều kiện ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ Nếu n > ta chọn tuỳ ý vectơ tuyến tính, tồn vectơ cột t ∈ ℝm để rank{W1, W2, , Wn, t} = rank{W1, W2, , Wn} + 1, cột W1, W2, , Wn-1 ∈ ℝm có hạng k số thực dương tuỳ ý rj, ∀j = 1, , n Ta đặt nghĩa t không thuộc không gian vectơ 〈W1, W2, , Wn〉 sinh hệ {W1, W2, , Wn} Từ suy khơng tồn vectơ cột w để Ww = t Nói riêng, W không ma trận hiệu chỉnh đầy đủ, ta gặp mâu thuẫn Trường hợp 2: m = n rank(W) < m Lập luận tương tự trường hợp Trường hợp 3: m = n rank(W) = m Khi đó, ma trận W khả nghịch, suy hệ {W1, W2, , Wn} sở không gian Wn = − r r1 r W1 − W2 − − n −1 Wn −1 ∈ ℝm (18) rn rn rn Từ suy r1W1 + r2 W2 + + rnWn = (19) Gọi W ma trận gồm cột W1, W2, , Wn Khi đó, cơng thức (19) cho ta Wr = Rõ ràng ma trận W có cấp m×n Do hệ vectơ ℝm Theo giả thiết, W ma trận hiệu VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU NGẪU NHIÊN CHI PHÍ VẬN TẢI vectơ cột W1, W2, , Wn-1∈ ℝm có hạng k vectơ cột Wn biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ W1, W2, , Wn-1 nên suy rank(W) = k Như vậy, ma trận W xây dựng ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ có cấp m×n có hạng k Định lí 3.2.3 Giả sử ma trận W có cấp m×n, (m < n), có hạng m, thoả mãn điều kiện tồn vectơ cột r = [r1r2 rn]T cấp n×1, với r j ≥ 0, j = 1, , n, cho Wr = tập vectơ cột tương ứng với hệ số r j > ma trận W tồn hệ vectơ cột tạo thành sở khơng Định lí 3.2.4 Ma trận W cấp m×n ma trận hiệu chỉnh đầy đủ với số thực  vectơ cột t cấp m ×1 tồn vectơ cột w = [w1 wn]T với biến bị chặn , tức j ≥ , j = 1, , n, thoả mãn Wr = t Chứng minh Giả sử W ma trận hiệu chỉnh đầy đủ Khi đó, với số thực  với vectơ cột t cấp m×1, ta đặt t* = t W*,  ∗ = [   ]T vectơ cột cấp m×1 gồm phần tử  Theo định nghĩ a ma trận hiệu chỉnh đầy đủ, tồn vectơ cột y = [y1 yn]T cho yj ≥ 0, j = 1, , n, thoả mãn Wy = t*, hay Wy = t W*, điều tương đương với W(y + *) = t Đặt w = y + * = [w1 wn]T, với wj = yj +  ≥  ta có Ww = t thoả mãn bi ến bị chặn  Ngược lại, ta dễ dàng có điều phải chứng minh với việc chọn  = Đó điều phải chứng minh Định lí 3.2.5 Ma trận W cấp m×n ma trận hiệu chỉnh đầy đủ với số thực  bất kỳ, với vectơ cột t cấp m ×1 tồn vectơ cột w = [w1 wn]T, với biến bị chặn , tức w j ≤ , j = 1, , n, thoả mãn Ww = t Chứng minh Việc chứng minh hoàn toàn tương tự chứng minh Định lí 3.2.4, khác chỗ để có w bị chặn ta đặt t* = - t + W*, * = [ ]T vectơ cột cấp n×1 gian vectơ ℝm Khi W ma trận hiệu chỉnh đầy đủ Chứng minh Xem [4] Hệ Ma trận W cấp m×n, (m < n), có hạng m Khi W ma trận hiệu chỉnh đầy đủ W ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ Chứng mi nh Suy trực tiếp từ nhận xét phần I Định lí 3.2.3 Hệ Cho ma trận W cấp m×n ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ Khi đó, ma trận W ma trận hiệu chỉnh đầy đủ m < n ma trận W có hạ ng m Chứng minh Suy trực tiếp từ Hệ Định lí 3.2.1 Nhận xét Từ Hệ 2, ta thiết lập ma trận hiệu chỉnh đầy đủ qua việc thiết lập ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ cách sử dụng Định lí 3.2.2 với việc chọn k = m TÀI LIỆU THAM KHẢO Xin Chen, Melvyn Sim, Peng Sun and Jiawei Zhang (2008), A Linear Decision-Based Approximation - Approach to Stochastic Programming, Operations Research, Vol 56, No 2, March-April 2008, pp 344-357 Xin Chen, Melvyn Sim and Peng Sun (2005), A robust optimization perspective of stochastic programming, Working paper, National University of Singapore Shapiro, D Dentcheva and A Ruszczyński (2010), Lectures on Stochastic Programming Modeling and Theory, Mathematical Programming, Society Philadelphia Dương Xuân Giáp (2009), Một số kết hiệu chỉnh đầy đủ hiệu chỉnh nửa đầy đủ phương pháp xấp xỉ giải toán quy hoạ ch ngẫu nhiên, Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Vinh, Tập 38, Số 3A(2009), ISSN 1859-2228, 26-34 * Nhận ngày 1/12/2011 Sữa chữa xong 10/6/2012 Duyệt đăng 15/6/2012 ...VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU NGẪU NHIÊN CHI PHÍ VẬN TẢI tính ngẫu nhiên, dẫn tới tốn quy hoạch ngẫu nhiên có đặc tính nêu Chen cộng ma trận hiệu chỉnh... VỀ MỘT LỚP BÀI TỐN TỐI ƯU NGẪU NHIÊN CHI PHÍ VẬN TẢI chưa hiệu chỉnh đầy đủ Chúng ta xét riêng mơ hình thường gặp tốn vận tải nêu sau: Ta giả thiết số lượng hàng có kho i bi Đặt xi số hàng vận. .. ràng ma trận W có cấp m×n Do hệ vectơ ℝm Theo giả thiết, W ma trận hiệu VỀ MỘT LỚP BÀI TỐN TỐI ƯU NGẪU NHIÊN CHI PHÍ VẬN TẢI vectơ cột W1, W2, , Wn-1∈ ℝm có hạng k vectơ cột Wn biểu thị tuyến