Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình lớp 8,9 trung học cơ sở : Luận văn ThS. Giáo dục học: 60 14 10

đại học quốc gia hà nội tr-ờng đại học giáo dục hoàng trung thành Vận dụng số ph-ơng pháp dạy học tích cực để rèn luyện kỹ giải toán cực trị hình học thuộc ch-ơng trình lớp 8, Trung học sở luận văn thạc sĩ s- phạm toán Hà Nội 2011 Mục lục Trang Mở đầu 1 LÝ chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Phạm vi nghiên cứu 4 Mẫu khảo sát VÊn ®Ị nghiªn cøu Giả thuyết nghiên cứu Ph-ơng pháp nghiên cứu CÊu trúc luận văn Ch-¬ng 1: mét sè vấn đề lý luận thực tiễn ph-ơng pháp dạy học tích cực kỹ giải toán 1.1 Ph-ơng pháp dạy học tích cực 1.1.1 Tính tích cực nhận thức người học 1.1.2 Mét sè nguyên tắc dạy học nhằm phát huy tính tích cực nhËn thøc cña häc sinh 13 1.1.3 Mét số ph-ơng pháp dạy học tích cực tr-ờng trung học sở 15 1.1.4 Khó khăn thuận lợi ph-ơng pháp dạy học tích cực 33 1.2 Các kỹ giải toán 34 1.2.1 Khái niệm kỹ 34 1.2.2 Phân loại kỹ mơn tốn 35 1.3 Cỏc kỹ th-ờng dùng để giải toán cực trị hình học phẳng 37 1.4 Thực trạng áp dụng số ph-ơng pháp dạy học tích cực trình giảng dạy toán cực trị hình học 40 1.5 KÕt luËn ch-¬ng 42 Ch-¬ng 2: mét sè biƯn pháp s- phạm nhằm rèn luyện kỹ giải toán cực trị hình học thuộc ch-ơng trình lớp 8, theo h-ớng tích cực hoá hoạt động nhận thøc cña häc sinh 44 2.1 BiƯn ph¸p 1: Giúp học sinh nhận dạng tốn cực trị hình học thuộc chương trình lớp 8, 44 2.2 Biện pháp 2: Sử dụng ph-ơng pháp phát giải vấn đề để rèn luyện kỹ giải toán cực trị hình học 71 2.3 BiƯn ph¸p 3: Sử dụng hệ thống câu hỏi để rèn luyện kỹ giải toán cực trị hình học 76 2.4 Biện pháp 4: Sử dụng ph-ơng pháp học hợp tác để rèn luyện kỹ giải toán cực trị hình học 80 2.5 Một số lưu ý sử dụng phương pháp dạy học 84 2.6 KÕt luËn ch-¬ng 89 Ch-¬ng 3: Thùc nghiƯm s- ph¹m 90 3.1 Mục đích 90 3.2 Nội dung thực nghiệm 90 3.3 Tổ chức thực nghiệm 90 3.4 Kết luận chương 99 KÕt luËn 100 danh mục Tài liệu tham khảo 101 phô lôc mở đầu Lớ chn ti Trờn th giới, từ kỉ XX xuất nhiều phương pháp dạy học tích cực Cụm từ "phương pháp dạy học tích cực" sử dụng để phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo người học Bằng kinh nghiệm, vốn tri thức sẵn có mình, người học tích cực, chủ động vận dụng để giải tình mới, qua hình thành tri thức Trong phạm vi đề tài này, tác giả dùng cụm từ "Phương pháp dạy học tích cực" để phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo người học nhằm hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức người học, hay nói cách khác vận dụng số phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực nhận thức người học Nghị hội nghị lần thứ II, Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam (Khoá VIII 1997) đề ra: “,…đổi phương pháp giáo dục, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, phương tiện đại vào trình dạy học, bảo đảm điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh ” Lt Gi¸o dơc, điều 24.2: "Ph-ơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi d-ỡng ph-ơng pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, høng thó häc tËp cho häc sinh" “Giáo dục khơng nhằm mục tiêu nhồi nhét kiến thức mà thắp sáng niềm tin” (Education is not the filling of a pail, but the lighting of a fire W B Yeats) Dạy học trình đem lại kiến thức cách sinh động hệ trước truyền lại cho hệ sau Khi vai trị người thầy quan trọng việc truyền đạt, người học đóng vai trị người tiếp thu cách sáng tạo kiến thức Do phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phối hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, tự nghiên cứu, rèn luyện kĩ năng, vận dụng kiến thức điều học vào thực tiễn, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh Vấn đề cốt lõi việc đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường phổ thông làm cho học sinh học tập với thái độ tích cực, chủ động sáng tạo Trong q trình giáo dục, học sinh đóng vai trị chủ thể hoạt động nhận thức, hướng vào cải biến thân để tích lũy kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo, phát triển tư thân … Quá trình phụ thuộc vào hoạt động học sinh, khơng làm thay cho thân học sinh Sự tác động hồn cảnh, mơi trường cụ thể hướng dẫn thầy cô, giúp đỡ bè bạn, tập thể hỗ trợ cho trình đạt kết qu tt hn Trong toán học, hình học vốn đà hÊp dÉn häc sinh bëi tÝnh trùc quan cña nã Chúng ta phủ nhận đ-ợc ý nghĩa tác dụng to lớn hình học việc rèn luyện t- toán học, phẩm chất cần thiết cho hoạt động sáng tạo ng-ời Tuy nhiên, học toán mà đặc biệt môn hình học, học sinh cảm thấy có khó khăn riêng Nguyên nhân khó khăn là: - Học sinh ch-a nắm vững khái niệm bản, định lý, tính chất hình đà học Một số học sinh cách vận dụng kiến thức nh- vào việc giải tập - Sách giáo khoa cung cấp cho học sinh hệ thống đầy đủ kiến thức nh-ng ch-a thể truyền tải kiến thức đến em cách sâu đậm bàn tay chế biến ng-ời giáo viên Hơn nữa, học sinh phải tiếp xúc với toán, chuyên đề toán nâng cao, mà ng-ời giáo viên ch-a kịp trang bị đủ kỹ cần thiết để giải toán dễ dẫn đến tâm lí chán nản, buông xuôi nhiều học sinh - Đối với môn hình học, toán chứng minh hình học, toán dựng hình, toán quỹ tích có "Các toán cực trị hình học" (hay gọi toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình học phẳng) Đây dạng toán khó, hấp dẫn, th-ờng gặp câu hỏi khó đề thi tốt nghiệp, đề thi chọn lọc học sinh giỏi toán thuộc ch-ơng trình lớp 8, 9, thi tuyển sinh vào lớp 10 tr-ờng chuyên, tr-ờng khiếu Các toán cực trị th-ờng không cho sẵn điều phải chứng minh, chúng đòi hỏi học sinh phải tự tìm lấy kết toán Đối với toán cực trị th-ờng có nhiều đ-ờng dẫn đến đích, có cách giải ngắn gọn, hợp lý, độc đáo sáng tạo Bài toán cực trị gắn toán học với thực tiễn việc tìm lớn nhất, nhỏ nhất, nhiều nhất, tìm ph-ơng án tối -u cho vấn đề đ-ợc đặt đời sống kỹ thuật Song thời gian học lớp dạng toán cực trị hình học lại không nhiều, học sinh đ-ợc luyện tập lớp nh- nhà dạng toán nên gặp chúng, học sinh th-ờng lúng túng, khó khăn, nên đâu giải nh- nào, dẫn đến nảy sinh tâm lý ngại học Xuất phát từ vấn đề giúp học sinh có định h-ớng chung ban đầu gặp tập cực trị hình học, đà chọn nghiên cứu đề tài "Vận dụng số ph-ơng pháp dạy học tích cực để rèn luyện kỹ giải toán cực trị hình học thuộc ch-ơng trình lớp 8, trung häc c¬ së" Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phương pháp dạy học nhằm hướng tới hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức người học, hay nói cách khác phát huy tính tích cực nhận thức người học (Ví dụ: Ph-ơng pháp vấn đáp, ph-ơng pháp phát giải vấn đề, ph-ơng pháp hoạt động nhóm, ph-ơng pháp dạy học khám phá ) - xut số kịch dạy học việc vận dụng số phương pháp dạy học tích cực nhằm rèn luyện kỹ giải tốn cực trị hình học thuộc chương trình líp 8, trường THCS Phạm vi nghiờn cu Các toán cực trị hình học thuộc chương trình líp 8, THCS Mẫu khảo sát Học sinh khối 8, (8A1, 8A2, 9A1, 9A2) - Trường THCS Nguyễn Trãi - Ba Đình - Hµ Néi Vấn đề nghiên cứu - ThÕ nµo lµ ph-ơng pháp dạy học tích cực ? - Các kỹ giải toán cực trị hình học thuộc ch-ơng trình 8, ? - Vận dụng số ph-ơng pháp dạy học tích cực nh- để rèn luyện kỹ giải toán cực trị hình học thuộc ch-ơng trình lớp 8, THCS Gi thuyt nghiờn cu Vận dụng mt s ph-ơng pháp dạy học tích cực để rèn luyện kỹ giải toán cực trị hình học thuộc ch-ơng trình líp 8, trung häc c¬ së sÏ tÝch cùc hoá hoạt động nhận thức học sinh góp phần nâng cao hiệu dạy học Phng phỏp nghiờn cu 7.1 Nghiờn cu lớ lun - Nghiên cứu tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học lý luận dạy học môn Toán) - Nghiên cứu ch-ơng trình, sách giáo khoa, bi vit, sách giáo viên, sách nâng cao lớp 8, có liên quan đến toán cực trị hình học - Nghiên cứu cỏc công trình khoa học có vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài 7.2 Điều tra xã hội học - Dù giê, quan s¸t việc dạy giáo viên việc học học sinh lớp chuyên đề "cực trị h×nh häc" - Sử dụng phiếu trắc nghiệm vấn trực tiếp học sinh, đồng nghiệp phụ huynh học sinh 7.3 Thực nghiệm sư phạm - TiÕn hành thực nghiệm s- phạm với lớp học thực nghiệm lớp học đối chứng lớp đối t-ợng - Thực nghiệm đối chứng - Đánh giá giáo viên học sinh sau dạy học xong chuyên đề "cực trị hình học" Cấu trúc luận văn Ngoi phn m u, kt lun, ti liu tham khảo phụ lục, luận văn trình bày chương: Ch-¬ng 1: Mét sè vấn đề lý luận thực tiễn phương pháp dạy học tích cực kỹ giải tốn Ch-¬ng 2: Một số biện pháp s- phạm nhằm rèn luyện kỹ giải toán cực trị hình học thuộc ch-ơng trình lớp 8, theo h-ớng tích cực hoá hoạt động nhËn thøc cđa häc sinh Ch-¬ng 3: Thùc nghiƯm s- phạm Ch-ơng số vấn đề lý luận thực tiễn ph-ơng pháp dạy học tích cực kỹ giải toán 1.1 Ph-ơng pháp dạy học tÝch cùc 1.1.1 Tính tích cực nhận thức người học 1.1.1.1 TÝnh tÝch cùc Tõ ®iĨn tiÕng ViƯt cho rằng: "Tích cực hăng hái, nhiệt tình với công việc Tích cực có tác dụng khẳng định, thúc đẩy phát triển trái với tiêu cực Khi nói ®Õn tÝnh tÝch cùc lµ nãi ®Õn tÝnh chđ ®éng hoạt động nhằm tạo biến đổi theo h-ớng phát triển" Theo tác giả I F Kharlamop: "Tính tích cực trạng thái hoạt động học sinh, đặc tr-ng khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ nghị lực cao trình nắm vững tri thức" Nh- vậy, qua quan niệm nêu trªn chóng ta thÊy r»ng: TÝch cùc bao giê cịng gắn liền với hoạt động chủ động chủ thể Tính tích cực bao hàm tính chủ động, chủ định có ý thức chủ thể Hình thành phát triển tính tích cực nhận thức nhiệm vụ quan trọng chủ yếu giáo dục nhằm đào tạo ng-ời tự chủ, động, sáng tạo, phù hợp với yêu cầu xà hội thêi k× míi Cã thĨ xem tÝnh tÝch cùc nh- điều kiện đồng thời kết phát triển nhân cách học sinh trình phát triển giáo dục 1.1.1.2 Tính tích cực học tËp I.F.Kharlamop khẳng định: “Học tập trình nhận thức tích cực”, tính tích cực khơng tồn trạng thái, nét tính cách cụ thể mà cịn kết q trình tư duy, mục đích cần đạt q trình dạy học có tác dụng nâng cao không ngừng hiệu học tập học sinh Theo từ điển Tiếng Việt, tích cực trạng thái tinh thần có tác dụng khẳng định thúc đẩy phát triển Trong hoạt động học tập, diễn nhiều phương diện khác nhau: tri giác tài liệu, thông hiểu tài liệu, ghi nhớ, luyện tập, vận dụng, khái quát, thể nhiều hình thức đa dạng, phong phú + Xúc cảm học tập: thể niềm vui, sốt sắng thực yêu cầu giáo viên + Chú ý: thể việc lắng nghe dõi theo hành động giáo viên, thực chu đáo, nhanh gọn, đầy đủ xác u cầu + Sự nỗ lực ý chí: thể kiên trì, nhẫn nại vượt khó khăn giải nhiệm vụ nhận thức + Có hành vi, cử khẩn trương thực hành động tư + Kết lĩnh hội: nhanh, đúng, tái cần, vận dụng gặp tình Đặc biệt, tính tích cực học tập có mối quan hệ nhân với phẩm chất, nhân cách người học như: + Tính tự giác: tự nhận thức nhu cầu học tập có giá trị thúc đẩy hoạt động có kết + Tính độc lập tư duy: phân tích, tìm hiểu, giải nhiệm vụ nhận thức, biểu cao tính tích cực + Tính chủ động: thể việc làm chủ hành động toàn giai đoạn trình nhận thức đặt nhiệm vụ, lập kế hoạch thực nhiệm vụ đó, lúc tính tích cực đóng vai trị tiền đề cần thiết + Tính sáng tạo: thể chủ thể nhận thức tìm mới, cách giải mới, không bị phụ thuộc vào có Đây mức độ biểu cao tính tích cực + Động học tập: nguồn tạo tính tích cực học tập hình thành tính tích cực lại có giá trị động thúc đẩy hoạt động Song chúng có khác biệt bản: động đối tượng hoạt động, sinh có điểm  lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng 3.4 Kết luận chương Quá trình thực nghiệm kết rút sau thực nghiệm cho thấy: mục đích thực nghiệm hồn thành, tính khả thi tính hiệu biện pháp khẳng định Nếu khéo léo vận dụng biện pháp đề xuất luận văn giáo viờn s rèn luyện tốt kỹ giải toán cực trị hình học cho hc sinh Thông qua tích cực hoá hoạt động nhận thức em, góp phần nâng cao hiệu dạy học 101 KT LUN Trên nghiên cứu ban đầu đề tài "Vận dụng số ph-ơng pháp dạy học tích cực để rèn luyện kỹ giải toán cực trị hình học thuộc ch-ơng trình líp 8, tr-êng trung häc c¬ së " Ln văn đà hoàn thành đạt đ-ợc số kết chủ yếu sau: * Hệ thống hoá số vấn đề lý luận thực tiễn ph-ơng pháp dạy học tích cực cỏc kỹ giải toán cực trị hình học * Trên sở lý luận thực tiễn, lun đà đề xuất đ-ợc số biện pháp s- phạm dạy học chủ đề cực trị hình học thuộc ch-ơng trình lớp 8, theo h-ớng tích cực hoá hoạt động nhận thức cđa häc sinh * Thùc nghiƯm s- ph¹m nh»m mơc đích khẳng định tính khả thi tính hiệu đề tài luận văn Những kết đạt đ-ợc luận văn sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh trung học sở dạy học chủ đề Tác giả mong nhận đ-ợc ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn ngày đ-ợc hoàn thiện 102 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ giáo dục đào tạo (2007), Những vấn đề chung đổi giáo dục trung học sở, NXB Giáo dục Bộ giáo dục đào tạo (2007), Toán 8, Tập 1, 2, NXB Giáo dục Vũ Hữu Bình (2004), Một số vấn đề phát triển hình học 8, NXB Giáo dục Vũ Hữu Bình (2004), Một số vấn đề phát triển hình học 9, NXB Giáo dục Vũ Hữu Bình, Hồ Thu Hằng, Kiều Thu Hằng Trịnh Thuý Hằng (2003), Các tốn giá trị lớn nhất, nhỏ hình học phẳng trung học sở, NXB Giáo dục Nguyễn Hữu Châu (2005), Những vấn đề chương trình trình dạy học, NXB Giáo dục Phan Đức Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức (2008), Toán 7, sách giáo khoa, NXB Giáo dục Phan Đức Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung (2008), Tốn 8, sách giáo khoa, NXB Giáo dục Phan Đức Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung (2008), Tốn 9, sách giáo khoa, NXB Giáo dục 10 Vũ Cao Đàm (2009), Giáo trình Phương pháp luận nghiên cứu khoa học, NXB Giáo dục 11 Nguyễn Ngọc Đạm, Đoàn Văn Tề Tạ Hữu Phơ (2011), Ơn tập thi vào lớp 10 mơn Toán, NXB Giáo dục Việt Nam 12 Nguyễn Ngọc Đạm, Tạ Hữu Phơ (2009), Tuyển chọn đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chun mơn Tốn, NXB Hà Nội 13 Nguyễn Bá Kim (2003), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Giáo dục Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng,Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Văn Thường (1994), Phương pháp dạy học mơn tốn, NXB Giáo dục, Hà Nội 103 14 Phạm Minh Hạc, Lê Khanh , Trần Trọng Thuỷ (1998), Tâm lý học, NXB Gi¸o dơc 15 Nguyễn Sinh Huy, Tiếp cận xu đổi phương pháp dạy học giai đoạn nay, Nghiên cứu Giáo dục số 3/1995 16 Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Quốc, Phạm Văn Hùng, Đỗ Thanh Sơn, Nguyễn Thị Thuỳ Linh Trần Quang Hùng (2009), Một số giảng đề thi mơn tốn ( Cho học sinh lớp năm 2009), NXB đại học Quốc gia Hà Nội 17 Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, Phạm Văn Quốc, Đỗ Thanh Sơn, Nguyễn Thị Thuỳ Linh, Trần Quang Hùng Hoàng Ngọc Minh (2010), Một số giảng đề thi mơn tốn (cho học sinh lớp năm 2010), NXB đại học quốc gia Hà Nội 18 Ngun Vị L-¬ng, Phạm Văn Hùng v Nguyễn Ngọc Thắng (2007), Các giảng bất đẳng thức Cô si, NXB Đại học Quèc gia Hµ Néi 19 Phạm Minh Phương, Nguyễn Sơn Hà (2010), Đề thi tuyển sinh trung học phổ thông chun mơn Tốn (1991 - 2008), NXB Giáo dục Việt Nam 20 Nguyễn Đức Tấn (2004), Bất đẳng thức cực trị hình học phẳng, NXB Giáo dục 21 Tôn Thân, Phan Thị Luyến, Đặng Thị Thu Thuỷ (2008), Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trung học sở, NXB Giáo dục 104 PH LC Một số tập tổng hợp chủ đề cực trị hình học Cho tam giỏc ABC có diện tích S hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác (M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P Q thuộc cạnh BC) Gọi diện tích hình chữ nhật MNPQ S1 Chøng minh r»ng: S ≥ 2.S1 (trích đề thi chọn HSG tốn tồn quốc, 1996 - 1997) Cho ABC, điểm P nằm tam giác Kẻ PA'  BC, PB'  AC, PC'  AB X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm P ®Ĩ BC CA AB nhá nhÊt   PA' PB' PC' (trích ®ề thi chọn HSG toán Hà Nội năm 1985) Cho tam giác nhọn ABC có diện tích S hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác (M  AB, N  AC, P vµ Q thuéc BC) Gọi diện tích hình chữ nhật MNPQ S1 Chøng minh r»ng S  2S1 ( trích đề thi HSG toàn quốc năm 1997, bảng B) Cho đ-ờng tròn tâm O bán kính R dây AB cố định có độ dài a (a < 2R) Trên dây AB, lấy điểm P tuỳ ý Qua A P, vẽ đ-ờng tròn tâm C tiếp xúc với đ-ờng tròn (O) A Qua B P vẽ đ-ờng tròn tâm D tiếp xúc với đ-ờng tròn (O) B Hai đ-ờng tròn cắt điểm thứ hai M a) Chứng minh bốn ®iĨm O, M, C, D cïng n»m trªn mét ®-êng tròn b) Tìm qũy tích điểm M P di động dây AB c) Chứng minh P di động dây AB đ-ờng thẳng MP qua điểm cố định N Tìm giá trị lớn tích PM.PN (thi HSG toàn quốc năm 1997, bảng A) Cho đoạn thẳng AB song song với đoạn thẳng d M điểm nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa d (M không thuộc đoạn thẳng AB) Gọi C, D lần l-ợt giao điểm tia MA, MB với d Tìm quỹ tích điểm M cho tam giác MCD có diện tích nhỏ (thi HSG Hà Nội năm 1999) Cho tam giác ABC vuông A Gọi I trung điểm cạnh BC D điểm cạnh BC Đ-ờng trung trực AD cắt đ-ờng trung trực 105 AB AC theo thứ tự E F Cho biết độ dài cạnh góc vuông tam giác ABC b c, điểm D chạy đoạn BC gọi độ dài AD x H·y chøng tá r»ng diƯn tÝch S cđa tam gi¸c AEF hàm số bậc hai x Tìm xác định hàm số GTNN hàm số khoảng xác định ( thi HSG toàn quốc năm 1991, bảng A) Hai đ-ờng tròn (O1) (O2) cắt hai điểm phân biệt A B Một cát tuyến thay đổi qua A cắt (O1) C cắt (O2) D cho A nằm đoạn CD Tìm vị trí cát tuyến CD cho chu vi tam gi¸c BCD nhËn gi¸ trị lớn (thi vo 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 1991 - 1992 V1) Cho đoạn thẳng AB đ-ờng thẳng d song song với AB M điểm không nằm đuờng thẳng AB nằm nửa mặt phẳng có bờ AB không chứa d Gọi C D giao điểm tia MA MB với đ-ờng thẳng d Tìm tập hợp điểm M nửa mặt phẳng nói cho diện tích tam giác MCD nhỏ (thi vo 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Năm học 1992 - 1993 - vòng 2) Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD AB = a, CD = b Đ-ờng thẳng qua giao ®iĨm cđa hai ®-êng chÐo vµ song song víi AB cắt với cạnh bên AD BC theo thứ tự E F Tính độ dài đoạn EF theo a, b vµ chøng minh EF  ab (thi vo 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Năm học 1993 - 1994 - Vòng 1) 10 Cho hình vuông ABCD Gọi M, N P ba điểm lần l-ợt lấy cạnh BC, CD DA cho MNP tam giác a Chứng minh hÖ thøc : CN2 - AP2 = 2DP.BM b H·y xác định vị trí điểm M, N P cho MNP cã diÖn tÝch nhá nhÊt c Chøng minh r»ng MNP cã diƯn tÝch lín nhÊt M  B hc P  A (thi vào 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 1995 - 1996 - vòng 1) 11 Cho tam giác ABC vuông cân ë A, AD lµ trung tuyÕn vµ M lµ mét điểm thay đổi đoạn AD Gọi N P theo thứ tự hình chiếu vuông góc M xuống AB AC, H hình chiếu N xuống PD Xác định giá trị M để tam gi¸c 106 AHB cã diƯn tÝch lín nhÊt (thi vào 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 1996 - 1997 - vòng 1) 12 Gọi M, N lần luợt trung điểm cạnh BC CD tứ gi¸c låi ABCD Chøng minh r»ng SABCD  (AM  AN) (thi vào 10 tr-êng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 1996 - 1997 - vòng 2) 13 Trong tất tứ giác lồi với hai đ-ờng chéo có độ dài đà cho góc hai đ-ờng chéo có độ lớn đà cho, xác định tø gi¸c cã chu vi nhá nhÊt (thi vào 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 1997 - 1998 - vòng 2) 14 Cho đoạn thẳng AB cố định, điểm M di chuyển đoạn thẳng AB Vẽ phía AB hình vuông AMCD, MBEF Hai đ-ờng thẳng AF BC cắt N Tìm vị trí điểm M cho đoạn thẳng MN có ®é dµi lín nhÊt (theo ®Ị thi vµo líp 10 tr-ờng Hà Nội-Amsterđam Chu Văn An,1996-1997) 15 Cho hình chữ nhật ABCD điểm M nằm hình chữ nhËt ®ã a Chøng minh r»ng MA + MB + MC + MD  AB + AC + AD b Tìm tất vị trí có điểm M cho MA.MC  MB.MD (thi vào 10 Tr-êng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 1998 - 1999 - vòng 2) 16 Tam giác XYZ có đỉnh X, Y, Z lần l-ợt nằm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC gọi nội tiếp tam giác ABC a Gọi Y' Z' lần l-ợt hình chiếu vuông góc Y Z cạnh BC, chứng minh tam giác XYZ đồng dạng với tam giác ABC Y'Z' = BC b Trong số tam giác XYZ nội tiếp tam giác ABC theo nghĩa đồng dạng tam giác ABC, hÃy xác định tam giác có diện tích nhỏ (thi vo 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 2000 - 2001 - vòng 2) 17 Cho A điểm cố định đ-ờng tròn (C) tâm O, bán kính Giả sử M đỉnh góc vuông tam giác vuông AMB với cạnh huyền AB dây cung đ-ờng tròn (C) a Chứng minh r»ng OM  b H·y nãi râ cách dựng đỉnh góc vuông tam giác vuông AMB có cạnh huyền AB dây cung đ-ờng tròn (C) OM = 107 (thi vo 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 2003 - 2004 - vòng 2) 18 Cho tam giác ABC, E điểm thuộc cạnh AC không trùng với A, K trung điểm đoạn AE Đ-ờng thẳng qua E vuông góc với đ-ờng thẳng AB F cắt đ-ờng thẳng qua C vuông góc với đ-ờng thẳng BC điểm D a Chứng minh tứ giác BCKF hình thang cân b Chứng minh KE.EC = ED.EF c Xác định vị trí điểm E cho đoạn KD có độ dài nhỏ (thi vo 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Néi, 2005 - 2006 - vßng 2) 19 Cho hai đ-ờng tròn (C1) (C2) cắt hai điểm A, B Biết (C1) có tâm O1 bán kính r1 = 1cm ; (C2) có tâm O2 bán kính r2 = 2cm; AB = 1cm hai ®iĨm O1, O2 ë hai phÝa cđa ®-êng th¼ng AB Xét đ-ờng thẳng d qua A, cắt (C1) (C2) lần lựơt điểm M N cho A nằm đoạn MN Tiếp tuyến (C1) M tiếp tuyến (C2) N cắt điểm E a Chứng minh tứ giác EMBN tứ giác nội tiếp b Tính độ dài cạnh tam giác AO1O2 c Chứng minh 2EM + EN     15 (thi vo 10 tr-ờng Tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 2006 - 2007 - vòng 2) 20 Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh góc B D tứ giác vuông tù AC BD 21 Cho đoạn thẳng AC cố định điểm B di động HÃy tìm tập hợp tất điểm B để tam giác ABC tam giác không tù BAC góc bé tam giác ABC (thi vo 10 tr-ờng Đại Học Quốc Gia Hà Nội - Năm học 2001-2002) 22 Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia Ax, By vuông góc với AB Một đ-ờng thẳng (d) thay đổi c¾t Ax ë M, c¾t By ë N cho lu«n cã : AM.BN = a  a Chứng minh AOM đồng dạng với BNO MON vuông b Gọi H hình chiếu O MN, chứng minh đ-ờng thẳng (d) tiếp xúc với nửa đ-ờng tròn cố định H 108 c CMR tâm I đ-ờng tròn ngoại tiếp MON chạy tia cố định d Tìm vị trí đ-ờng thẳng (d) cho chu vi AHB đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị lín nhÊt ®ã theo a (thi vào 10 tr-êng THPT Chu Văn An & Hà Nội - Amstesdam, 2001-2002 - Vòng 1) 23 Cho hai đ-ờng tròn (O) bán kính R đ-ờng tròn (O') bán kính R tiếp xúc A Trên đ-ờng tròn (O) lấy điểm B cho AB = R điểm M cung lớn AB Tia MA cắt đ-ờng tròn (O') điểm thứ hai N Qua N kẻ đ-ờng thẳng song song với AB cắt đ-ờng thẳng MB Q cắt đ-ờng tròn (O') P a Chứng minh OAM đồng dạng với O'AN b Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M c Tứ giác ABQP hình gì? Tại d Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị theo R 24 Cho A điểm nửa đ-ờng tròn đ-ờng kính BC (A B, C) Hạ AH vuông góc với BC H, gọi I, K lần l-ợt tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác AHB tam giác AHC Đ-ờng thẳng IK cắt cạnh AB, AC lần l-ợt M, N Chứng minh: a AIH ~ CKH ABC ~ HIK b MAN tam giác cân c Xác định vị trí điểm A để chu vi đ-ờng tròn ngoại tiếp MHN đạt giá trị lớn (thi vo 10 tỉnh Hà Tây, 2002-2003 cho học sinh chuyên Toán) 25 Cho đ-ờng tròn (O) dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC đ-ờng tròn (O), (A khác B, C) Tia phân giác góc ACB cắt đ-ờng tròn (O) điểm D khác C; lấy điểm I thuộc đoạn CD cho DI = DB Đ-ờng thẳng BI cắt đ-ờng tròn (O) điểm K khác B a Chứng minh tam giác KAC cân b Chứng minh đ-ờng thẳng AI qua điểm J cố định, từ hÃy xác định vị trí A để độ dài đoạn AI lớn c Trên tia ®èi cđa tia AB lÊy ®iĨm M cho AM = AC Tìm tập hợp điểm M A di động cung lớn 109 BC đ-ờng tròn (O) (thi vo 10 tr-ờng Đại học s- phạm Ngoại Ngữ Hà Nội - Năm học 2004-2005) 26 Cho tam giác ABC, lấy điểm D, E, F theo thứ tự cạnh BC, CA, AB cho AEDF tứ giác nội tiếp Trên tia AD lấy điểm P (D nằm A P) cho DA.DP=DB.DC a Chøng minh tø gi¸c ABPC néi tiÕp S '  EF   b Chøng minh  S  AD  (thi vào 10 tr-ờng THPT Chu Văn An & Hà Nội - Amstesdam 2000, To¸n - Tin) 27 Cho tam gi¸c ABC a Gọi M trung điểm AC Biết BM = AC Gọi D điểm đối xứng B qua A, gọi E điểm đối xứng M qua C Chøng minh : DM  BE b LÊy ®iĨm O tam giác, tia AO, BO, CO cắt cạnh BC, CA, AB thứ tự D, E, F Chøng minh : 1) OD OE OF    AD BE CF   2) 1  AD   BE   CF  .1  .1    64 OD   OE OF (thi vo 10 Tỉnh Thái Bình, năm học 2005-2006) 28 Cho đ-ờng tròn (O) đ-ờng kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vuông góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN a Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp b Tính tích AH.AC theo R c Xác định vị trí điểm K để tổng (KM + KN +KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn (thi vo 10 tr-ờng THPT Chu Văn An & Hà Nội - Amstesdam, 2006-2007) 29 Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đ-ờng tròn (O1) (O2) lần l-ợt có đ-ờng kính AB AC, gọi H giao điểm thứ hai (O1) (O2) Đ-ờng thẳng d thay đổi qua A cắt đ-ờng tròn (O1), (O2) lần l-ợt D, E cho A nằm D E a Chứng minh đ-ờng trung trực đoạn DE qua điểm cố định đ-ờng thẳng d thay đổi 110 b Xác định vị trí đ-ờng thẳng d để diện tích tứ giác BDEC đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị lớn ®o theo b vµ c, víi b = AC, c = AB c Đ-ờng thẳng qua trung điểm đoạn DE vuông góc với BC cắt BC điểm K Chøng minh KB2  BD  KH (Thµnh Hµ Néi - Thi vµo líp 10 THPT chuyên Toán - Tin) 30 Cho đ-ờng tròn (O) dây BC không qua O Điểm A di chuyển đ-ờng tròn (O) cho tam giác ABC tam giác nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm vị trí điểm A để tổng HA + HB + HC có giá trị lớn 31 Cho đ-ờng tròn (O) dây AB Tìm điển C thuộc cung nhỏ AB cho tổng 1 có giá trị nhỏ CA CB 32 Cho tam giác ABC nội tiếp đ-ờng tròn (O) Tìm điểm M thuộc cung BC cho gọi H, I, K theo thứ tự hình hình chiếu M AB, BC, AC tổng MA + MB +MC + MH + MI + MK có giá trị nhỏ nhất, lớn 33 Cho tam giác ABC Vẽ tia Bx, Cy phía víi A ®èi víi BC cho Bx // AC, Cy // AB Một đ-ờng thẳng d qua A c¾t Bx , Cy theo thø tù ë D, E Gọi I giao điểm CD BE Xác định vị trí đ-ờng thẳng d để tam giác BIC cã chu vi lín nhÊt 34 Cho tam gi¸c ABC vuông cân có AB = AC = 10cm a Chứng minh tồn vô số tam giác cân DEF ngoại tiếp tam giác ABC (mỗi cạnh tam giác DEF qua đỉnh tam giác ABC) b TÝnh diƯn tÝch lín nhÊt cđa tam gi¸c DEF 35 Cho tam giác ABC Các điểm D, E theo thø tù di chun trªn tia BA, CA cho BD = CE a Vẽ hình bình hành BDEM Tìm quỹ tích điểm M b Tìm vị trí điểm D, E cho độ dài DE nhỏ 36 Cho đ-ờng tròn (O), M điểm cung nhỏ AB, điểm C chuyển động cung lớn AB, D giao điểm MC AB a Tìm quỹ tích tâm I đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD b Tìm vị trí điểm C để độ dài BI nhỏ 37 Cho tam giác ABC Điểm M di chuyển cạnh BC Vẽ đ-ờng tròn (O1) qua M tiếp xúc với AB B Vẽ đ-ờng tròn (O2) qua M tiếp 111 xúc với AC C Gọi N giao điểm thứ hai hai đ-ờng tròn a Chứng minh điểm N thuộc đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC b Chứng minh đ-ờng thẳng MN qua điểm cố định c Tìm vị trí điểm M để đoạn thẳng O1O2 có độ dài nhỏ 38 Cho đ-ờng tròn (O ; R) điểm I nằm bên đ-ờng tròn Gọi AB CD hai dây qua I vuông góc với Gọi M N theo thứ tự trung điểm AB CD a Chứng minh dây AB, CD thay đổi tổng sau không đổi: OM2 ON2 , AB2 CD2 , AC2 BD2 b Xác định vị trí AB, CD để hình chữ nhật OMIN cã diƯn tÝch lín nhÊt; cã chu vi lín nhÊt c Xác định vị trí AB, CD để tổng AB + CD lớn nhất, nhỏ d Xác định vị trí AB, CD để tứ giác ACBD có diƯn tÝch lín nhÊt; nhá nhÊt 39 Cho tam gi¸c có cạnh Lấy D BC Gọi r1, r2 bán kính đ-ờng tròn nội tiếp ABD ADC Xác định vị trí D để tích r1r2 lớn Tính giá trị lín nhÊt ®ã (thi HSG Quận TP Hồ ChÝ Minh 14 - 12 - 1999) 40 KÝ hiÖu ma, mb, mc độ dài đ-ờng trung tuyến ứng với cạnh a, b, c ABC Chứng minh r»ng: a a b c   2 ma mb mc b ma m b mc 3    a b c  41 Cho góc nhọn xOy điểm A góc nhọn HÃy dựng tam giác có đỉnh A, đỉnh lại nằm cạnh góc đà cho cho chu vi tam giác nhỏ 42 Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M nằm tam giác ABC cho AM.BC + BM.CA + CM.AB đạt giá trị nhỏ (thi vào 10 Lê Hồng Phong 1999-2000 Ban A - B) hai điểm A, B góc Tìm điểm C D lần 43 Cho góc nhọn xOy l-ợt Ox Oy, cho đ-ờng gấp khúc ABCD có độ dài nhỏ 44 Cho tam giác ABC vuông A cã AB = a cho tr-íc, BC = 2AB Gäi DEF 112 nửa tam giác nội tiếp ABC (D cạnh BC; E cạnh AC; F cạnh AB góc EDF vuông) Tìm vị trí D, E, F để diện tích DEF có giá trị nhỏ Tính theo a giá trị nhỏ nhÊt ®ã ( thi HSG TP Hồ ChÝ Minh 13 - 12 - 1995 Vßng 1) 45 Dùng tam gi¸c cã chu vi nhá nhÊt, nÕu cho: a Hai đỉnh A, B đ-ờng thẳng d1 chứa đỉnh thứ ba; b Đỉnh A đ-ờng thẳng d1, d2 chứa hai đỉnh B C; c Ba đ-ờng thẳng d1, d2, d3 chøa ba ®Ønh A, B, C 46 Trong tất tam giác có đáy góc đỉnh, tìm tam giác có chu vi lớn 47 Cho hai đ-ờng thẳng song song điểm A hai đ-ờng thẳng Khoảng cách từ A đến đ-ờng thẳng lần l-ợt a b Điểm A đỉnh tam giác vuông, đỉnh lại nằm đ-ờng thẳng đà cho HÃy xác định tam giác vuông có diện tích nhỏ , hÃy dựng đ-ờng thẳng cắt góc ®ã thµnh tam 48 Qua ®iĨm M n»m gãc xOy gi¸c cã diƯn tÝch nhá nhÊt 49 Trong tam giác, tìm điểm cho tổng khoảng cách từ điểm tới đỉnh tam giác nhỏ 50 Cho điểm O hình vuông Mọi đ-ờng thẳng qua O cắt hình vuông thành hai phần Dựng đ-ờng thẳng qua O cho hiệu diện tích hai phần lớn 51 Từ hình chữ nhật với cạnh a, b ta cắt tam giác vuông vói cạnh góc vuông a1, b1 Cần phải cắt phần lại nh- nào, để có hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh hình chữ nhật đà cho vµ cã diƯn tÝch lín nhÊt  52 Cho gãc vuông xOy hai điểm phân biệt A, B tia Ox không trùng với O HÃy dựng điểm M tia Oy cho góc AMB lớn , cạnh lấy hai điểm A B Tìm cạnh điểm 53 Cho góc nhọn xOy  C cho gãc ACB lµ lín nhÊt Dựng điểm C th-ớc compa 54 Cho tam giác vuông có góc nhọn Tìm tỉ số bán kính đ-ờng tròn ngoại 113 tiếp đ-ờng tròn nội tiếp Xác định xem với giá trị tỉ số nhỏ 55 Trong đ-ờng tròn cho tr-ớc, cho điểm tùy ý HÃy dựng qua điểm hai dây cung vuông góc với nhau, cho tổng độ dài chúng lớn 56 Qua giao điểm hai đ-ờng tròn, hÃy kẻ cát tuyến cho phần cát tuyến nằm đ-ờng tròn là: a lớn nhất? b nhỏ nhất? 57 Chứng minh tất tam giác có chung góc đỉnh A có tổng độ dài cạnh bên b + c, tam giác cân có cạnh đáy a nhỏ 58 Trong tất tam giác nội tiếp đ-ờng tròn cho tr-ớc, tìm tam giác có tổng bình ph-ơng cạnh lớn 59 Cho ABC Chứng minh điều kiện cần để cạnh BC tồn cho điểm D cho AD = BC lµ: sinA ≥ sinB.sinC 60 Cho hai đ-ờng tròn (O1) (O2) cắt A B (hai điểm O1, O2 nằm hai phía AB) Một đ-ờng thẳng thay đổi qua A cắt (O1) (O2) lần l-ợt C D khác A (A nằm D C) Tiếp tuyến C (O1) tiếp tuyến D (O2) cắt T Gọi P, Q lần l-ợt hình chiếu vuông góc B xuống tiếp tuyến a Tìm vị trí để BT lín nhÊt b Chøng minh r»ng PQ tiÕp xóc víi đ-ờng tròn cố định 61 Cho hai đ-ờng tròn(O1 ; R1) (O2 ; R2) cắt hai điểm phân biệt A B (O1, O2 nằm hai phÝa cđa AB) Mét c¸t tun  qua A cắt (O1) (O2) lần l-ợt điểm C, D khác A (A thuộc đoạn CD Tiếp tuyến C (O1) cắt tiếp tuyến D (O2) M Tìm vị trí cho MC MD đạt giá trị lớn R1 R2 62 Gọi Ia, Ib, Ic độ dài đ-ờng phân giác góc A, B, C r , R bán kính đ-ờng tròn nội tiếp ngo¹i tiÕp cđa  ABC Chøng minh r»ng: 1 1     R la lb lc r 63 Từ điểm A ngồi đường trịn (O), vẽ cát tuyến ABC tiếp tuyến AD, AE đến đường tròn (O) (B, C, D, E  (O); B nằm A C) 114 a Khi cát tuyến ABC quay quanh A tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC di chuyển đường nào? b Tiếp tuyến B (O) cắt AD AE M N Xác định vị trí cát tuyến ABC để diện tích  AMN lớn 64 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Ba đường cao AD, BE, CF gặp H Kéo dài AO cắt (O) M, AD cắt (O) K Chứng minh rằng: AD BE CF   9 HD HE HF 115