Ánh xạ đơn điệu suy rộng và ứng dụng : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỨC MINH THIÊM ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỨC MINH THIÊM ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội – 2016 Mục lục Một số kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Euclide 1.2 Tập lồi 1.3 Hàm lồi 1.4 Hàm lồi suy rộng 11 Ánh xạ đơn điệu suy rộng 2.1 2.2 17 Các định nghĩa 17 2.1.1 Ánh xạ đơn điệu đơn điệu chặt 17 2.1.2 Ánh xạ giả đơn điệu 18 2.1.3 Ánh xạ giả đơn điệu chặt 19 2.1.4 Ánh xạ tựa đơn điệu 21 2.1.5 Ánh xạ đơn điệu mạnh giả đơn điệu mạnh 23 Các đặc trưng ánh xạ đơn điệu suy rộng 26 2.2.1 Ánh xạ đơn điệu suy rộng 1−chiều 26 2.2.2 Mối liên hệ ánh xạ tựa đơn điệu ánh xạ giả đơn điệu 28 2.2.3 Ánh xạ đơn điệu suy rộng khả vi 30 2.2.4 Ánh xạ đơn điệu suy rộng affin 34 Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 40 3.1 Bất đẳng thức biến phân 40 3.2 Sự tồn nghiệm 43 Tài liệu tham khảo 52 Bảng kí hiệu R đường thẳng thực Rn khơng gian Euclide n - chiều R = R ∪ {−∞, +∞} tập số thực suy rộng f :X→R ánh xạ từ X vào R int A phần A A bao đóng A dom(f ) miền hữu hiệu f epi(f ) đồ thị f ϕ (x) đạo hàm ϕ x ∇f (x) gradient f x ϕ (x) đạo hàm bậc hai ϕ x ∇2 f (x) ma trận Hessian f x tích vơ hướng Rn , ||.|| chuẩn không gian Rn |x| trị tuyệt đối số x af f (A) bao lồi affin A coA bao lồi A (x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)} đoạn thẳng mở nối x y [x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} đoạn thẳng đóng nối x y L(f, α) = {x ∈ X | f (x) tập mức α} Mở đầu Ánh xạ đơn điệu khái niệm suy rộng tự nhiên hàm số đơn điệu Khái niệm sau đời quan tâm nghiên cứu tính phổ dụng loại tốn tử nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc biệt Giải tích phi tuyến Tính đơn điệu sau mở rộng tính đơn điệu suy rộng giả đơn điệu, tựa đơn điệu, v.v Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung ánh xạ đơn điệu suy rộng vài ứng dụng vào nghiên cứu tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Luận văn trình bày gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Tác giả trình bày kiến thức tập lồi, hàm lồi hàm lồi suy rộng Các kiến thức sử dụng để nghiên cứu vấn đề chương Chương 2: Ánh xạ đơn điệu suy rộng Nội dung chương tập trung trình bày định nghĩa ánh xạ đơn điệu đơn điệu chặt, ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ giả đơn điệu chặt, ánh xạ tựa đơn điệu, ánh xạ đơn điệu mạnh giả đơn điệu mạnh Đồng thời nêu đặc trưng ánh xạ đơn điệu suy rộng ánh xạ đơn điệu suy rộng 1− chiều, mối liên hệ ánh xạ tựa đơn điệu ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ đơn điệu suy rộng khả vi, ánh xạ đơn điệu suy rộng affin Chương 3: Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Ở luận văn trình bày vài ứng dụng vào nghiên cứu tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Tác giả luận văn xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm hướng dẫn tận tình tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy phản biện dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tác giả Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán – Cơ – Tin học, khoa Sau đại học thầy cô giáo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian tác giả học tập trường Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp quan tâm, động viên chia sẻ để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Tác giả luận văn Đức Minh Thiêm Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số nội dung tập lồi, hàm lồi hàm lồi suy rộng, bao hàm hàm tựa lồi hàm giả lồi Những nội dung trình bày chương chủ yếu chọn tài liệu [2] 1.1 Không gian Euclide Tập hợp Rn := {x = (x1 , , xn )T : x1 , , xn ∈ R} với hai phép toán (x1 , , xn )T + (y1 , , yn )T := (x1 + y1 , , xn + yn )T λ(x1 , , xn )T := (λx1 , , λxn )T , λ∈R lập thành không gian véc tơ Euclide n−chiều Nếu x = (x1 , , xn )T ∈ Rn xi gọi thành phần tọa độ thứ i x Véc tơ không không gian gọi gốc Rn kí hiệu đơn giản 0, = (0, , 0)T Trong Rn ta định nghĩa tích vơ hướng tắc , sau: với x = (x1 , , xn )T , y = (y1 , , yn )T ∈ Rn , n x, y = xi yi i=1 Đơi ta cịn ký hiệu xT y Khi với x = (x1 , , xn )T ∈ Rn ta định nghĩa n x := (xi )2 x, x = i=1 gọi chuẩn Euclide véc tơ x 1.2 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Tập X ⊂ Rn gọi lồi, ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ R : ≤ λ ≤ ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ X Mệnh đề 1.2 Cho Xα ⊂ Rn (α ∈ I) tập lồi, với I tập số Khi X = Xα lồi α∈I Mệnh đề 1.3 Cho tập Xi ⊂ Rn lồi, λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi λ1 X1 + + λm Xm tập lồi Mệnh đề 1.4 Cho tập Xi ⊂ Rni lồi, (i = 1, 2, , m) Khi tích Đề X1 × × Xm tập lồi Rn1 × × Rnm Định nghĩa 1.5 Cho X ⊂ Rn Giao tất tập lồi chứa X gọi bao lồi (convex hull) tập X, kí hiệu coX Định nghĩa 1.6 Giả sử X ⊂ Rn Giao tất tập lồi đóng chứa X gọi bao lồi đóng tập X kí hiệu coX Mệnh đề 1.7 Cho X ⊂ Rn lồi Khi đó, i) Phần intX bao đóng X X tập lồi; ii) Nếu x1 ∈ intX, x2 ∈ X, {λx1 + (1 − λ)x2 : < x1 ≤ 1} ⊂ intX 1.3 Hàm lồi Định nghĩa 1.8 Cho hàm f : X → R, X ⊂ Rn , R = R ∪ {−∞, +∞}, tập epi(f ) = {(x, α) ∈ X × R| f (x) ≤ α} , dom(f ) = {x ∈ X| f (x) < +∞} gọi đồ thị miền hữu hiệu f Định nghĩa 1.9 Cho X ⊂ Rn tập lồi, f : X → R Hàm f gọi lồi X đồ thị epi(f ) tập lồi Rn × R Nếu dom f = ∅ −∞ < f (x) với x ∈ X ta nói hàm f thường Hàm f gọi lõm X −f hàm lồi X Định lý 1.10 Giả sử f1 , , fm hàm lồi thường X Khi đó, tổng f1 + + fm hàm lồi Ta nhắc lại số đặc trưng tính chất hàm lồi biến khả vi Định lý 1.11 Cho ϕ : (a, b) → R i) Nếu ϕ khả vi (a, b) ϕ lồi (a, b) ϕ khơng giảm (a, b) ii) Nếu ϕ có đạo hàm bậc hai (a, b) ϕ lồi (a, b) ϕ (t) với t ∈ (a, b) iii) Nếu ϕ lồi [a, b] ϕ liên tục (a, b) Định lý 1.12 Cho X tập lồi không gian Rn f : X → R Khi đó, điều kiện sau tương đương: a) f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ X b) f (λx + (1 − λ) y) λf (x)+(1 − λ) f (y) ∀λ > 1, ∀x, y ∈ X cho λx + (1 − λ) y ∈ X trường hợp âm Ánh xạ ví dụ Nhận xét 2.28 ánh xạ tựa đơn điệu tập lồi đóng R+ , với x= , y= −2 ta có v T (M x + q) = 0, v T M v < Một hệ thú vị từ Định lí 2.29 phát biểu sau Hệ 2.33 Giả sử tồn x0 ∈ Rn cho F (x0 ) = M x0 + q Khi ánh xạ F (x) = M x + q, đơn điệu Rn (tức là, M nửa xác định dương) tồn lân cận mở N (x0 ) x0 cho F ánh xạ tựa đơn điệu N (x0 ) Chứng minh Điều kiện đủ: Hiển nhiên ánh xạ đơn điệu tựa đơn điệu Điều kiện cần: ý v T M x0 + q = với v ∈ Rn , theo Định lí 2.27, 2.29 ta có v T M v ≥ với v ∈ Rn Do , M nửa xác định dương Ngay ta có hệ sau Hệ 2.34 Nếu F (x) = M x + q tựa đơn điệu, không đơn điệu tập lồi mở S ⊂ Rn Khi F (x) = với x ∈ S Cuối cùng, ta xét trường hợp đặc biệt S = Rn Trong trường hợp này, tính tựa đơn điệu tương đương với tính đơn điệu Định lý 2.35 Nếu ánh xạ F (x) = M x + q tựa đơn điệu Rn Khi ánh xạ đơn điệu Rn , tức là, M nửa xác định dương 38 Chứng minh Giả sử M ánh xạ tựa đơn điệu Rn , khơng đơn điệu Khi tồn v ∈ Rn cho vT M v < Lấy x véc tơ tùy ý Rn xác định Ix,v ψ : Ix,v → R (2.59) Từ Bổ đề 2.19, ta biết Ix,v = R; từ độ dốc hàm tuyến tính ψ (t) = v T M v t + v T (M x + q) âm, tồn t1 , t2 ∈ Ix,v cho ψ (t1 ) ≤ 0, ψ (t2 ) > 0, với t2 < t1 Điều suy ψ khơng có tính chất bảo tồn dấu Ix,v , F không ánh xạ tựa đơn điệu, mâu thuẫn với giả thiết Kết luận Trong chương luận văn trình bày số khái niệm tính chất ánh xạ đơn điệu suy rộng 39 Chương Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Trong chương sử dụng tính giả đơn điệu ánh xạ để nghiên cứu tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Những kiến thức trình bày chương chủ yếu mô lấy từ [1], [3] [7] 3.1 Bất đẳng thức biến phân Cho K tập khác rỗng Rn F ánh xạ từ Rn vào Bài tốn bất đẳng thức biến phân kí hiệu (V I(K, F )) tìm véc tơ x ∈ K cho F (x), y − x ≥ với y ∈ K (3.1) Ta kí hiệu S (V I(F, K)) tập véc tơ x thỏa mãn (3.1) Dưới số giả thiết cổ điển • Các giả thiết cấu trúc tập, sử dụng giả thiết sau: 40 (H1 ) K tập lồi đóng, • Các giả thiết tính liên tục F , ta sử dụng giả thiết: (H2 ) F liên tục K • Các giả thiết tính đơn điệu F , ta xét dạng điều kiện yếu: (H3 ) F giả đơn điệu K, tức với x1 , x2 ∈ K, F (x1 ), x2 − x1 ≥ ⇒ F (x2 ), x2 − x1 ≥ Một toán liên quan mật thiết với (V I(F, K)) tìm x ∈ K cho Sup F (x) , y − x ≥ với y ∈ K Ta kí hiệu toán (V ) S(V ) tập nghiệm Rõ ràng S(V I(F, K)) ⊆ S(V ) Hơn nữa, giả thiết (H1 ) suy S(V I(F, K)) = S(V ) Để thấy điều này, ta có tập U (x) = {d ∈ T (K, x) : d ≤ 1} Ở T (K, x) nón tiếp tuyến K x Cho x ∈ S(V ) inf F (x), d = d∈U (x) Theo Định lý minimax cổ điển, tồn điểm yên ngựa cho F (x), d ≥ với d ∈ U (x) x ∈ S(V I(F, K)) Theo Karamadian [5], ta đưa tốn (V ): Tìm x ∈ K cho F (y), x − y ≤ với y ∈ K (3.2) Kí hiệu S(V ) tập nghiệm (3.2) Rõ ràng S(V I(F, K)) ⊆ S(V ) F giả đơn điệu Theo [1], Auslender đưa hàm độ lệch g(x) = sup [ F (y), x − y : y ∈ K] Hàm không âm K, đóng lồi Rn supremum hàm affin Hơn x ∈ S(V ) x ∈ K g(x) = Do 41 tốn (V ) xem tốn giảm lồi Có thể xảy g hàm không phù hợp Để tránh trường hợp ta sử dụng hàm sau Fˆ (y), x − y : y ∈ K gˆ = sup Trong Fˆ (y) = F (y) max( F (y) , 1)max( y , 1) Ở đây, gˆ khơng âm K, lồi đóng Rn ngồi hữu hạn Rn cách xây dựng Fˆ (y), x − y ≤ ||x|| + với y ∈ K Với cách thức, toán (V ) có liên quan đến việc cực tiểu hóa gˆ K từ quan hệ tương đương ta có: x ∈ S(V ) x ∈ K gˆ(x) = Tuy nhiên công thức điều kiện tốn tối ưu khơng sử dụng cho mục đích tính tốn biểu thức hàm giám đoạn nói chung khơng tổng quát Kết sau Karamadian [5] Mệnh đề 3.1 Giả sử giả thiết (H1 ), (H2 ) (H3 ) Khi S(V I(K, F )) = S(V ) = S(V ) Chứng minh Ta biết S(V I(K, F )) = S(V ) Bao hàm S(V I(K, F )) ⊆ S(V ) dễ dàng suy từ F ánh xạ giả đơn điệu Giả sử x ∈ K x ∈ / S(V ) tồn y ∈ K cho F (x), y − x < Cho t ∈ [0; 1], tập x(t) = x + t(y − x) µ(t) = F (x(t)), y − x(t) Từ µ(0) < F liên tục, µ(r) < với r > đủ nhỏ Khi < F (x(r)), x − x(r) ≤ g(x) Điều suy x ∈ / S(V ) 42 3.2 Sự tồn nghiệm Trong mục này, ta giả sử giả thiết (H1 ), (H2 ) (H3 ) thỏa mãn định nghĩa m = inf g(x), M = {x ∈ K : g(x) = m} x∈K (Trong biểu thức trên, g thay gˆ hàm độ lệch hữu hạn) Khi • M tập lồi đóng; • Nếu S(V I(F, K)) = ∅ m = M = S(V I(F, K)) = S(V ) = S(V ); • Nếu m = M = ∅ M = S(V I(F, K)) = S(V ) = S(V ) Ta biết theo giả thiết (H1 ) (H2 ), tập S(V I(F, K)) khác rỗng K compact Để thấy điều này, xét ví dụ, ánh xạ H(x) = P rojK (x−αF (x)) α số dương cố định P rojK (y) hình chiếu y K phù hợp với chuẩn Euclide Khi x ∈ S(V I(F, K)) x ∈ H(x) Khi kết rút từ Định lí điểm bất động Eilenberg-Montgomery Ở không cần giả thiết đơn điệu Khi M tập compact khác rỗng, chứng minh điều dựa vào tính chất hàm inf-compact lồi Nhắc lại hàm h gọi lại infcompact K với tập Ht = {x ∈ K : h(x) ≤ t} compact khác rỗng Bổ đề 3.2 Giả sử D tập lồi, đóng khác rỗng Rn , {hk } dãy khơng giảm hàm lồi đóng thích hợp Rn tới hàm lồi đóng thích hợp h Giả sử thêm h(y) < ∞ với y ∈ D Nếu h inf-compact D hk inf-compact D với k đủ lớn Định lý 3.3 Giả sử thêm vào giả thiết (H1 ), (H2 ), (H3 ) M tập đóng bị chặn khác rỗng Khi m = M = S(V I(F, K)) = S(V ) = S(V ) 43 Chứng minh Giả sử phản chứng m > Với số nguyên dương k đặt Ck = {x ∈ K : ||x|| ≤ k} , gk (x) = sup [ F (y), x − y : y ∈ Ck ] Xét tốn bất đẳng thức biến phân (Vk ): tìm xk ∈ Ck cho F (xk ), y − xk với y ∈ Ck Như xk F (xk ) tồn Ck tập đóng bị chặn Do gk (xk ) = Ta chứng minh ||xk || = k phủ định Ngược lại ta có F (xk ), y − xk ≥ với y ∈ K cho ||y − xk || ≤ k − ||xk ||, Từ ta suy F (xk ), y − xk ≥ với y ∈ K, dẫn đến xk ∈ S(V I(F, K)), mâu thuẫn với m > Bây giờ, đặt g(x) = lim gk (x) với x dãy gk khơng giảm Ngồi k→∞ ra, g inf-compact K M compact khác rỗng Do ta suy có số p cho gp inf-compact K Xác định R = {x ∈ K : gp (x) ≤ 0.5m} r = sup [||x|| :∈ R] Tập R compact Nó khác rỗng gp (xp ) = Do r hữu hạn Lấy k > max(p, r) ||xk || = k xk ∈ / R Nó dẫn đến mâu thuẫn sau = gk (xk ) ≥ gp (xk ) > 0.5m > Cũng xảy M khác rỗng S(V I(F, K)) rỗng (trong trường hợp m > 0) m = với S(V I(F, K)) M rỗng Lấy K = [1, ∞), F (x) = {−x−1 }, m = 1, S(V ) = ∅ M = K với K vậy, F (x) = {−x−2 } m = 0, M = S(V I(F, K)) = ∅ Bây ta thu điều kiện cần đủ theo thuật ngữ nón tiệm 44 cận K∞ K dãy nón cực ảnh K qua ánh xạ F Ta nhắc lại nón tiệm cận tập lồi đóng K xác định K∞ = {d : a + td ∈ K, ∀t > 0} Ở a điểm cố định tùy ý K nón cực tập khác rỗng S tập S = {d : d, x ≤ 0, ∀x ∈ S} Định lý 3.4 Giả sử giả thiết (H1 ), (H2 ) (H3 ) Khi S(V I(F, K)) tập khác rỗng compact K∞ ∩ (F (K))0 = {0} Chứng minh Ta xét hàm độ lệch hữu hạn gˆ Lấy a ∈ K cố định, gˆ inf-compact K với d ∈ K∞ gˆ(a + td) = sup Fˆ , a + td − y : y ∈ K → ∞ t → ∞ Điều tương đương với yêu cầu tồn y ∈ K vàFˆ (y) cho Fˆ (y), d > Do S(V I(F, K)) rỗng khơng bị chặn tồn số d ∈ K∞ , d = cho Fˆ (y), d ≤ với y ∈ K Định lí có chứa trường hợp tầm thường K compact (từ dó K∞ = {0}) Tiếp theo ta trình bày dạng đối ngẫu định lí Bây cho tập khác rỗng S, kí hiệu co(S) bao lồi barr(S) nón chặn nó, tức barr(S) = {F (x) : sup [ F (x), x : x ∈ S] < ∞} Định lý 3.5 Nếu giả thiết (H1 ), (H2 ) (H3 ) thỏa mãn Thì S(V I(F, K)) tập compact khác rỗng ∈ int (barr(K) + co (F (K))) ¯ = barr(K) đặt T nón lồi tạo co (F (K)) Chứng minh Đặt K Khi ¯ +T K ¯ ∩ T =K 45 ¯ = K∞ K, ¯ T nón lồi tạo bởi, S(V I(F, K)) Từ T = (F (K))0 , K compact khác rỗng ¯ + T )00 = cl(K ¯ + T ) = Rn (K ¯ + T lồi, điều kiện làm yếu thành K ¯ + T = Rn Tuy nhiên Từ K ¯ + T nón sinh K ¯ + co (F (K)) K Nhận xét 3.6 Ta có nhận xét sau • Nếu điều kiện Định lí 3.5 thay điều kiện tương đương ∈ int (co [barr(K) + F (K)]) • Khi K nón K∞ = K barr(K) = K Khi F affin F (K) = co (F (K)) Ta nêu rõ Định lí 3.4 3.5 hai trường hợp • Khi K = Rn F vi phân hàm lồi f , điều kiện tương đương Định lí 3.5 trở thành ∈ int (domf ∗ ), điều kiện cần đủ tốt cho tính inf-compact f • Định lí có cách chứng minh độc lập Auslender [2] trường hợp đặc biệt, F đơn điệu cực đại Ta có kết sau ˆ tập lồi đóng Hệ 3.7 Giả sử (H1 ), (H2 ) (H3 ) Gọi K ˆ ⊆ K K∞ = Kˆ∞ Ta xét tốn (Vˆ ): tìm véc tơ x ∈ K ˆ sao cho K cho ˆ F (x), y − x ≥ với y ∈ K ˆ khác rỗng compact S(V I(F, K)) Nếu K ˆ ⊆ F (K) Áp dụng Định lí 3.4 Chứng minh Từ giả thiết F K Hệ 3.8 Giả sử thêm vào giả thiết (H1 ), (H2 ) (H3 ) biên nón K có phần khác rỗng Khi S(V I(F, K)) khác rỗng compact int (barr(K)) ∩ co (−F (K)) = ∅ 46 Chứng minh Áp dụng Định lí 3.5 Nhận xét 3.9 Từ K ⊆ barr(K) Hệ 3.8 trùng với điều kiện đủ sau Harker Pang [3]: có x ∈ K cho F (x) ∈ −int (K ) Bây ta đưa ứng dụng vào toán bất đẳng thức biến phân affin Mệnh đề 3.10 Giả sử K = {x : x ≥ 0, Bx ≤ b} F (x) = Ax + q với F giả đơn điệu K Khi S(V I(F, K)) compact khác rỗng điều kiện sau thỏa mãn i) Có x ≥ y ≥ cho Ax + B t y > Bx ≤ ii) Có x ∈ C y ≥ cho Ax + B t y + q > Chứng minh Ở K∞ = {d : d ≥ 0, Bd ≤ 0} Mặt khác d ∈ (F (K))0 sup [ Ax + q, d : x ≥ 0, Bx ≤ 0] ≤ Bởi tính đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, điều tương đương với inf B, u : u ≥ 0, B t u ≤ At d + q, d Do đó, K∞ ∩ (F (K))0 = {0} u ≥ 0, d ≥ 0, At d − B t u ≤ 0, Bd ≤ q, d + b, u ≤ ⇒ d = Cho e = (1, 1, 1, , 1)t ∈ Rn điều kiện tương đương với sup e, d : u ≥ 0, q t d + bt u ≥ 0, At d − B t u ≥ 0, Bd ≥ Điều tương đương với tồn số λ ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ cho Ax + λq + B t y > Bx ≤ λb Khi xét hai trường hợp λ = λ ≥ Bây giả sử K nón lồi đóng, xét tốn phụ: tìm x ∈ K cho −F (x) ∈ K x, F (x) = 47 Khi đó, ta thấy toán tương đương với toán bất đẳng thức biến phân(V I(F, K)) Bởi Định lí 3.4 Mênh đề 3.10 sử dụng (khi K∞ K) Chẳng hạn ta có kết sau Hệ 3.11 (Karamadian [5], điều kiện giải chặt.) Giả sử F (x) = Ax + q giả đơn điệu oc-tan không âm Xét tốn phụ affin: tìm x ≥ cho F (x) ≥ x, F (x) = Khi đó, tập nghiệm khác rỗng compact có x ≥ cho Ax + q > Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 3.10 Điều kiện (i) tồn x ≥ cho Ax ≥ 0, điều kiện (ii) tồn x ≥ cho Ax + q > Cả hai điều kiện dẫn đến điều phải chứng minh Các kết sau trình bày theo [7] Định lý 3.12 Cho K ⊂ Rn tập lồi đóng F : K → Rn ánh xạ liên tục Xét phát biểu sau (1) Tồn điểm quy chiếu xref ∈ K cho tập L< := x ∈ K : F (x), x − xref < (3.3) bị chặn (có thể rỗng ) (2) Tồn tập mở bị chặn Ω véc tơ xref ∈ K ∩ ∂Ω cho F (x), x − xref ≥ 0∀x ∈ K ∩ ∂Ω, (3.4) ∂Ω kí hiệu biên Ω (3) Bài toán bất đẳng thức biến phân V I(K, F ), bao gồm việc tìm véc tơ x ∈ K cho F (y), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K có nghiệm Khi đó, (1) ⇒ (2) ⇒ (3) Hơn nữa, tập L≤ := x ∈ K : F (x), x − xref ≤ (3.5) bị chặn, tập nghiệm S(V I(K, F )) V I(K, F ) compact khác rỗng 48 Định lý 3.13 Cho K ⊂ Rn tập lồi đóng F : K → Rn liên tục Giả sử F toán tử giả đơn điệu, nghĩa F (y), x − y ≥ ⇒ F (x), x − y ≥ 0, với x, y ∈ K Khi đó, (1), (2)v(3) Định lý tương đương Bây ta xét số ví dụ minh họa Ví dụ sau điều ngược lại phép kéo theo (2) ⇒ (3) Định lí 3.12 khơng trường hợp tổng qt Ví dụ 3.14 (3) (2) Cho K = [0, +∞) ⊂ R, F (x) = −x F (x) = −x2 với x ∈ K Dễ dàng thấy S(V I(K, F )) = {0} Cho Ω ⊂ R tập bị chặn cho tồn điểm xref ∈ Ω ∩ K Theo công thức K suy tồn số x¯ ∈ ∂Ω cho x¯ > x¯ − xref > Khi x¯ ∈ ∂Ω ∩ K ta có F (¯ x), x¯ − xref < Điều cho thấy (3.4) không cho cặp Ω, xref Như tính chất (3) cho toán V I(K, F ) (2) không thỏa mãn Điều ngược lại phép kéo theo (1) ⇒ (2) Định lí 3.12 sai trường hợp tổng quát Ví dụ 3.15 (2) (1) Cho K = R, F (x) = −x(x − 1) với x ∈ R Lấy Ω = (−1, 1) xref = 0, ta thấy (3.4) Theo dễ dàng với xref ∈ R, tập L< xác định (3.3) không bị chặn Như vậy, tính chất (1) Định lí 3.12 khơng cho tốn V I(K, F ), (2) Chúng ta thấy tính chất (1) (tương ứng, tính chất (2)) Định lí 3.12 điều kiện đủ không điều kiện cần cho tồn nghiệm toán V I(K, F ) Nhận xét 3.16 Liên quan quan hệ bao hàm L< ⊂ L≤ , lưu ý bao đóng L< tập thực L≤ Thật vậy, xét toán V I(K, F ) mơ tả Ví dụ 3.15 nhận thấy rằng, với xref = 0, L< = (1, +∞), L≤ = {0} ∪ [1, +∞) 49 Kết luận Trong chương 3, tác giả trình bày vài ứng dụng ánh xạ đơn điệu suy rộng vào nghiên cứu tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân 50 Kết luận Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung sau: Một số khái niệm tính chất hàm lồi hàm lồi suy rộng Một số khái niệm đặc trưng ánh xạ đơn điệu suy rộng Ứng dụng tính đơn điệu suy rộng ánh xạ để nghiên cứu tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Vì khả điều kiện có hạn, luận văn chắn khơng thể tránh thiếu sót Kính mong thầy đồng nghiệp góp ý kiến để tơi có điều kiện chỉnh sửa luận văn tốt 51 Tài liệu tham khảo [1] J P Crouzeix (1993), "Pseudomonotone Variational Inequalitiy Problems: Existence of Solutions", Mathematical Programming78, pp 305-314 [2] G Giorgi, A Guerraggio and J Thierfelder (2004), Mathematics of Optimization: Smooth and Nonsmooth Case ,Elsevier B.V Amsterdam The Netherlands [3] P T Harker, J S Pang (1990), "Finite Dimensional Inequality and Nonlinear Complementarity Problems: A Survey of Theory Algorithms and Applications", Mathematical Programming48, pp 161220 [4] S Karamadian and S Schaible (1990), "Seven Kinds of Monotone Maps", J Optim Theory and Applications66, pp 37-46 [5] S Karamadian (1976), "Complementarity problems over cones with monotone and pseudomonotone maps ", J Optim Theory and Applications18, pp 445-454 [6] S Karamadian, S Schaible and J P Crouzeix (1993), "Characterizations of Generalized Monotone Maps", J Optim Theory and Applications76, pp 399-413 [7] B T Kien, J.-C Yao and N D Yen (2008), "On the Solution Existence of Pseudomonotone Variational Inequalities", J Global Optim.41, pp 135-145 52