CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT

Chuyên đề: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT. Biên soạn bằng bản word, font Times New Roman, MathType 6.9. Tài liệu được chia làm các phần: Lý thuyết cơ bản, bài tập từ dễ đến khó, lời giải chi tiết. Đây là tài liệu dành cho học sinh lớp 6 ôn thi học sinh giỏi, giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 năm học 20202021.

CHUYÊN ĐỀ CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phép chia hết a,b số TN b khác tanói a chia hết b tồn số TN qsao cho a = b.q Tính chất chung a ⋮ b b ⋮ c thìa a ⋮ c a ⋮ a với a khác 0 ⋮ b với b khác Bất số chia hết cho Tính chất chia hết tổng , hiệu * Nếu a, b chia hết cho m a + b chia hết cho m a - b chia hết cho m * Tổng số chia hết cho m số chia hết cho m số cịn lại chia hết cho m * Nếu số a, b chia hết cho m số khơng chia hết cho m tổng , hiệu chúng khơng chia hết cho m Tính chất chia hết tích * Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m * Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n a.b chia hết cho m.n * Nếu a chia hết cho b an ⋮ bn DẤU HIỆU CHIA HẾT a Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho chữ số tận số số chẵn b Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 9): Một số chia hết cho (hoặc 9) tổng chữ số số chia hết cho 3(hoặc 9) Chú ý: Một số chia hết cho (hoặc 9) dư tổng chữ số chia cho (hoặc 9) dư nhiêu ngược lại c Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho ⇔ chữ số số có tận d Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 25): Một số chia hết cho (hoặc 25) hai chữ số tận số chia hết cho 4(hoặc 25) e Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 125): Một số chia hết cho 8(hoặc 125) ba chữ số tận số chia hết cho 8(hoặc 125) f Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn(từ trái sang phải) chia hết cho 11 II/ CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: XÉT TÍNH CHIA HẾT HAY KHƠNG CHIA HẾT PHƯƠNG PHÁP: Vận dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; để xét Bài 1: Khơng làm tính , xét xem tổng sau có chia hết cho 12 khơng ? Vì ? a) 120 + 36 b) 120a + 36b ( với a ; b ∈ N ) HD: a) 120 36 chia hết cho 12 nên tổng 120 + 36 chia hết cho 12 b) 120 ⋮ 12 36 ⋮ 12 => 120a ⋮ 12 36a ⋮ 12 => tổng 120a + 36a chia hết cho 12 43 Bài 2: Cho A = 2.4.6.8.10.12 − 40 Hỏi A có chia hết cho ; cho ; cho 20 khơng ? Vì sao? HD: + Ta có tích 2.4.6.8.10.12 ⋮ 40 khơng chia hết cho => A không chia hết cho + Ta có tích 2.4.6.8.10.12 ⋮ 40 ⋮ => số A chia hết cho + Ta có tích 2.4.6.8.10.12 ⋮ 10 => Tích 2.4.6.8.10.12 ⋮ 20 40 ⋮ 20 => số A ⋮ 20 Bài 3: Khi chia số tự nhiên a cho 36 ta số dư 12 Hỏi a có chia hết cho ; cho khơng ? HD: a : 36 thương k dư 12 => a = 36.k + 12 + Ta có 36.k ⋮ 12⋮ => Số a chia hết cho + Ta có 36.k ⋮ 12 không chia hết cho => Số a không chia hết cho Bài 4: Khi chia số cho 255 ta số dư 170 Hỏi số có chia hết cho 85 khơng? Vì sao? HD: Gọi số a (a số tự nhiên) Vì a chia cho 255 có số dư 170 nên a = 255.k + 170 (k số tự nhiên) Ta có: 255 chia hết cho 85 nên 255.k chia hết cho 85; 170 chia hết cho 85 ⇒ (255.k + 170) chia hết cho 85 (Tính chất chia hết tổng) Do a chia hết cho 85 Bài 5: Cho A = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 … + 299 Chứng minh A chia hết cho 31 HD: Ta có A = 20 + 21+ 22+ 23+ 24+ 25 … + 299 = (20+ 21+ 22+ 23+ 24) + 25.(20+ 21+ 22+ 23+ 24)+… + 295 (20+21+ 22+23+ 24) = (20+ 21+ 22+ 23+ 24) (1 + 25 + 210 + … + 295) = 31 (1 + 25 + 210 + … + 295) chia hết cho 31 DẠNG 2: CHỨNG MINH CHIA HẾT CHO MỘT SỐ Để chứng minh số A chia hết cho số ta vận dụng PHƯƠNG PHÁP sau: + PHƯƠNG PHÁP 1: Nếu số A số cụ thể ta vận dụng dấu hiệu chia hết ; 3; 4; 8; 9; 11; để chứng minh + PHƯƠNG PHÁP 2: Nếu số A có tổng hiệu số, ta cần phân tích số A để đưa số A hiệu tích số có dấu hiệu chia hết áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) tích để chứng minh + PHƯƠNG PHÁP 3: Để chứng minh A chia hết cho p, ta xét trường hợp số dư chia A cho p + PHƯƠNG PHÁP 4: Ngoài ta dùng cách tìm chữ số tận A để chứng minh A chia hết cho số + PHƯƠNG PHÁP 5: Nếu A ⋮ m A ⋮ n, đồng thời m n hai số nguyên tố A chia hết cho tích m.n Bài 1: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho HD: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + Tổng ba số tự nhiên liên tiếp a + a + + a + = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3) chia hết cho (Tính chất chia hết tổng) Vậy Có phải tổng n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n hay không? Bài 2: Tổng số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho hay khơng ? HD: 44 Giải: Gọi số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, a + 2, a + Tổng số tự nhiên liên tiếp là: a + a + + a + + a + = (a + a + a + a) + (1 + + 3) = (4a + 6) Do chia hết 4a chia hết cho mà không chia hết (4a + 6) không chia hết cho ⇒ Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Kết luận: Vậy lúc tổng n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Bài 3: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 với a , b số tự nhiên HD: Vì 495 chia hết 1980.a chia hết cho với a Vì 1035 chia hết 1035.b chia hết cho với b Nên: (495a + 1035b) chia hết cho Chứng minh tương tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho với a, b Mà (9, 5) = ⇒ (495a + 1035b) chia hết cho 45 Bài 4: Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho HD: Gọi hai số chẵn liên tiếp 2n, 2n + Tích hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1) Vì n, n + khơng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hết cho Mà chia hết 4n.(n + 1) chia hết cho (4.2) ⇒ 4n.(n + 1) chia hết cho ⇒ 2n.(2n + 2) chia hết cho Bài 5: Chứng minh rằng: a) Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b) Tích bốn số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho HD: a Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n, n +1, n + Tích ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2) Một số tự nhiên chia cho nhận số dư 0; 1; - Nếu r = n chia hết cho ⇒ n.(n +1).(n +2) chia hết cho - Nếu r = n = 3k + (k số tự nhiên) ⇒ n + = 3k + + = (3k + 3) chia hết cho ⇒ n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho - Nếu r = n = 3k + (k số tự nhiên) ⇒ n + = 3k + + = (3k +3) chia hết cho ⇒ n.(n +1).(n +2) chia hết cho Tóm lại: n.(n +1).(n +2) chia hết cho với n số tự nhiên b Chứng minh tương tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hết cho với n số tự nhiên Kết luận: Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Bài 6: Chứng minh a) ab + ba chia hết cho 11 b) ab − ba chia hết cho với a > b HD: 45 a) ab + ba = (10a + b) + (10b + a ) = 11a + 11b , chia hết cho 11 b) ab − ba =(10a + b) − (10b − a) = 9a − 9b , chia hết cho Bài 7: Chứng minh ab + cdM 11 abcdM 11 HD: abcd = 100.ab + cd = 99.ab + (ab + cd )M 11 Bài 8: Biết abcM 27 chứng minh bcaM27 Hướng dẫn: => abc0M abcM27 27 => 1000a + bc0M27 => 999a + a + bc 0M 27 => 27.37a + bcaM27 Vì 27.37 aM 27 nên bcaM27 Bài 9: Cho chữ số 0, a, b Hãy viết tất số có ba chữ số tạo ba số Chứng minh tổng tất số chia hết cho 211 HD: Tất số có ba chữ số tạo ba chữ 0, a, b là: a 0b ; ab0 ; ba ; b0a Tổng số là: a 0b + ab0 + ba0 + b0a = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a = 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211 Bài 10: Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n + 2) HD: Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2) Do (5n + 14) chia hết cho (n +2) ⇔ chia hết cho (n + 2) ⇔ (n + 2) ước ⇔ (n +2) ∈ {1 ; ; 4} ⇒ n ∈ { ; 2} Vậy với n ∈{0; 2} (5n + 14) chia hết cho (n +2) Bài 11: Chứng minh 21132000 – 20112000 chia hết cho HD: Để số vừa chia hết cho số phải có chữ số tận => Cần chứng minh số bị trừ số trừ có chữ số tận Chú ý: Số tự nhiên a có chữ số tận an có chữ số tận 21132000 = (21134)500 = 500 => 21132000 có chữ số tận 20112000 ln có chữ số tận => 21132000 – 20112000 có chữ số tận => 21132000 – 20112000 chia hết cho Bài 12 a) Chứng minh viết thêm vào đằng sau số TN có chữ số gồm chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 b) chứng minh số TN có chữ số HD: a) Gọi số TN có chữ số abc viết thêm ta số abccba Ta có abccba =100000a+10000b+1000c+100c+10b+a =100001.a+10010.b+1100c chia hết cho 11 46 (Phần b chữ số làm tương tự ) Bài 13: Chứng minh ab = 2cd abcdM 67 HD: abcd = 100ab + cd = 100.(2cd ) + cd = 201.cd Vì 201 ⋮ 67 => abcdM67 Bài 14: Chứng minh n5 – n M 30 HD: Bài tốn ln với n = n =1 Xét n ≥ 2: Đặt A = n5 – n = n (n2 +1)(n+1)(n-1) Ta có A M 10 ( Vì n5 n có chữ số tận giống nhau) AM (Vì A có tích số tự nhiên liên tiếp (n-1)n(n+1) ) => A chia hết cho 10 Mà ƯCLN(3, 10) = nên A chia hết cho 3.10 Vậy A M 30 Bài 15: Chứng minh abcabc chia hết cho 7, 11, 13 HD: Xét số abcabc = abc000 + abc = 1000.abc + abc = 1001abc = 7.11.13 abc => abcabc  7, 11 13 ( ) Bài 16: Cho số có chữ số có dạng abc Chứng minh rằng: abc + bca + cab ( a + b + c ) HD: abc + bca + cab = 100a + 100b + 100c + 10a + 10b + 10c + a + b + c = 111a + 111b + 111c = 111(a + b + c) => ( abc + bca + cab )  (a + b + c) Bài 17: Chứng minh abc deg chia hết cho 23 29, biết abc = 2.deg HD: abc deg = 1000abc + deg mà abc = 2deg => abc deg = 2001deg = 23.29.3.deg => abc deg chia hết cho 23 29 Bài 18: Chứng minh ab + cd + eg chia hết cho 11 abc deg chia hết cho 11 HD: ( abc deg = 10000ab + 100c d + eg = 9999ab + 99cd + ab + c d + eg ) Mà 10000ab + 100c d + eg ⋮ 11 ; 9999 ⋮ 11 99 ⋮ 11 => abc deg chia hết cho 11 Bài 19: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng số tự nhiên liên tiếp chia hết cho HD: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + (n ∈ N) => Tổng = n + n + + n + = 3n + ⋮ (Tính chất chia hết tổng) 47 Gọi năm số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + 3, n + (n ∈ N) => Tổng = n + n + + n + + n + + n + = 5n + 10 ⋮ (Tính chất chia hết tổng) Bài 20: Chứng minh : a) Tổng ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 6, b) Tổng ba số lẻ liên tiếp không chia hết cho c) Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c d) P = a + a + a + + a n Ma + 1; a, n ∈ N e) Nếu a b chia cho có số dư hiệu a – b chia hết cho HD: a) Gọi ba số chẵn liên tiếp 2k, 2k + 2, 2k + (k ∈ N) => Tổng 2k + 2k + + 2k + = 6k + ⋮ (Tính chất chia hết tổng) b) Gọi ba số lẻ liên tiếp 2k + 1, 2k + 3, 2k + (k ∈ N) => Tổng 2k + + 2k + + 2k + = 6k + không chia hết cho số hạng khơng chia hết cho c) Giả sử a ⋮ b thương k => a = b.k (k ∈ N, k < a) b ⋮ c thương m => b = m.c (m ∈ N, m < b) Khi a = m.c.k (với m, k, c < a) => a ⋮ c d) Ta có P = a + a2 + a3 + … + a2n => a.P = a2 + a3 + …+ a2n + => a.P – P = a2n + – a => P(a – 1) = a2n + – a = a.(a2n – 1) Xét a = - P(-1) (-1 – 1) = - 1.(1 – 1) = => P(-1) = => Biểu thức P = (a + 1).f(a) ⋮ (a + 1) Trong f(a) đa thức e) Giả sử a : thương m b : thương m, đơng thời có số dư k => a = 7m + k b = 7n + k => a – b = 7m – 7n ⋮ (Tính chất chia hết hiệu) Bài 21: Cho hai số tự nhiên chia 11 dư Chứng minh số HD: abc : 11 đươc thương k dư => abc = 11k + deg : 11 đươc thương m dư => abc = 11m + Ta có abc deg = 1000 abc + deg = 1000.(11k + 5) + 11m + = 11000k + 5005 + 11m Vì 11000k ⋮ 11 ; 5005 ⋮ 11 ; 11m ⋮ 11  abc deg M 11 Bài 22: Cho biết số Chứng minh rằng: HD: Ta có: abc = 100a + 10b + c = 98a + 7b + (2a + 3b + c) = 49.2a + 7b + (2a + 3b + c) Mà 2a + 3b + c M7 => abcM7 Bài 23: Cho Chứng minh rằng: HD: Ta có abc deg = 1000 abc + deg Mà abc − deg M 13 thương k => abc - deg = 13k => abc = deg + 13k => abc deg = 1000 ( deg + 13k) + deg = 1000.13k + 1001 deg = 1000.13k + 13.77 deg 48 => abc deg M 13 Bài 24: Cho số a) cM4 a, b chữ số chẵn Chứng minh rằng: b) bacM4 HD: a) Ta có abc = 100a + 10b + c ⋮ Mà a , b chữ số chẵn => 100a ; 10b tích hai số chẵn nên chia hết cho => Theo tính chất chia hết tổng c ⋮ b) Theo a) ta có c chữ số chẵn chia hết cho => bac = 100b + 10a + c ⋮ Bài 25: Biết Chứng minh rằng: HD: Ta có aba = 100a + 10b + a = 101a + 10b Mà a + b ⋮ thương k => a + b = 7k => a = 7k - b => aba = 101(7k – b) + 10b = 101.7k – 91b ⋮ DẠNG 3: TÌM CHỮ SỐ CHƯA BIẾT ĐỂ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN ĐỂ CHIA HẾT Vận dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; để xét * Với tốn điền chữ số vào * (tìm chữa số số cho) để thỏa mãn chia hết: + Thì ta phân tích số theo tổng chữ số để lập luận chia hết cho + Dùng chữ số tận để lập luận chia hết cho Bài 1: Cho 1số có chữ số: *26*  Điền chữ số thích hợp vào dấu (*) để số có chữ số khác chia hết cho tất số : 2; ; ; HD: Số đảm bảo chia hết số số chẳn Số chia hết số phải có chữ số tận số Số vừa chia hết cho nên số phải có tổng chữ số chia hết cho Vậy: Chữ số tận số ⇒ *260  Chữ số đầu số Do số cho 1260 Bài 2: Thay (*) số thích hợp để: a) 510* ; 61*16 chia hết cho ; b) 261* chia hết cho chia dư HD: a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho thì: + + + * chia hết cho 3; từ tìm * = 0; 3; 6; b) Để 261* chia hết cho chia dư thì: * chẵn + + + * chia dư 1; từ tìm * = Bài 3: Tìm chữ số a,b, cho a) a – b = a5b1M b) a – b = 4a7 + 1b5M HD: a) số 7a5b1M 3 nên 7+a+5+b M 13+a+b M nên a+b chia cho dư (1) 49 4 ≤ a ≤ 0 ≤ b ≤ Ta có a-b =4 nên  Suy ≤ a + b ≤ 14 (2) Mặt khác a-b số chẵn nên a+b số chẵn (3) Từ 1,2,3 suy a+b = 14 Với a+b=8, a-b=4 ta a=6,b=2 Với a+b=14,a-b=4 tađược a=9,b=5 b) 4a + 1b5M9 nên 512 +10(a+b) M 504 +8+9(a+b)+a+b M nên a+b chia dư a + b ≥ a − b =6 nên a+b=10 Từ ta tìm a = 8, b = Bài 4: Tìm tất số x, y để có số 34 x5 y chia hết cho 36 HD: Vì (4, 9) = nên 34 x5 y chia hết cho 36 ⇔ 34 x5 y chia hết cho 34 x5 y chia hết cho Ta có: 34 x5 y chia hết cho ⇔ 5y chia hết cho ⇔ y ∈ { ; 6} 34 x5 y chia hết cho ⇔ (3 + + x + + y) chia hết cho ⇔ (9 + 13 + x + y) chia hết cho ⇔ (3 + x + y) chia hết cho Vì x, y ∈ N ≤ x; y ≤ Nên x + y thuộc { ; 15} Nếu y = x = x = 13 ( > - Loại ) Nếu y = x = x = Vậy số phải tìm là: 34452; 34056; 34956 Bài 5: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số để số chia hết cho 5; 7; HD: Giả sử ba số viết thêm abc Ta có: 579abc 5 ; ; ⇒ 579abc chia hết cho 5.7.9 = 315 Mặt khác: 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc ) chia hết cho 315 Mà 315.1838 chia hết cho 315 ⇒ (30 + abc ) chia hết cho 315 ⇒ 30 + abc ∈ (315) Do 100 ≤ abc ≤ 999 ⇒ 130 ≤ 30 + abc ≤ 1029 ⇒ 30 + abc ∈ {315; 630; 945} ⇒ abc ∈ { 285 ; 600 ; 915} Vậy ba số viết thêm vào 285; 600; 915 Bài 6: Cho số aaaaaaa 48 Tìm a để số cho chia hết cho 24 HD: Để A  24 A  Vì 48  => a phải lấy giá trị chẵn Mặt khác + = 12  nên 7a  => a phải lấy giá trị chẵn chia hết cho Vì a < 10 => a = => 666666648 Bài 7: Tìm tất số B = 62xy427, biết số B chia hết cho 99 HD: * B chia hết cho => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho => (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 x+y =15 50 * B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x – y = (loại) y – x = + Với y – x = x+y=6 => y=4; x=2 + Với y – x = x+y=15 (loại) B = 6224427 Bài 8: Tìm chữ số x ,y cho: C = x1995 y chia hết cho 55 HD: Ta có 55 =5.11 mà (5 ;1) = (1) CM5 55  11 (2) CM (1) => y = y = +) y = => x+ 9+5 – ( 1+9 +0) 11 => x = +) y = = > x+9 +5 – (1+9+5 )  11 => x = Bài 9: Cho số 2539x với x chữ số hàng đơn vị Tìm x để 2539x chia hết cho HD: Ta có: x =0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; - Vì 2539x chia hết x = ; ; 4; ; Do C = x1995 y  - Vì 2539x chia hết (2 + + + + x) : Hay (19 + x) : Suy ra: x = ; ; Do để 2539x chia hết cho x = x = Bài 10: Tìm cặp số (a,b) cho : 4a5b 45 HD: b = => 9+a  => a = a = b = => 14+a 9 => a = 51 ... số B chia hết cho 99 HD: * B chia hết cho => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho => (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 x+y =15 50 * B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y )chia hết. .. x5 y chia hết cho Ta có: 34 x5 y chia hết cho ⇔ 5y chia hết cho ⇔ y ∈ { ; 6} 34 x5 y chia hết cho ⇔ (3 + + x + + y) chia hết cho ⇔ (9 + 13 + x + y) chia hết cho ⇔ (3 + x + y) chia hết cho Vì... 61*16 chia hết cho ; b) 261* chia hết cho chia dư HD: a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho thì: + + + * chia hết cho 3; từ tìm * = 0; 3; 6; b) Để 261* chia hết cho chia dư thì: * chẵn + + + * chia