CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT

Chuyên đề: CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT. Biên soạn bằng bản word, font Times New Roman, MathType 6.9. Tài liệu được chia làm các phần: Lý thuyết cơ bản, bài tập từ dễ đến khó, lời giải chi tiết. Đây là tài liệu dành cho học sinh lớp 6 ôn thi học sinh giỏi, giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 năm học 20202021.

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT Dạng 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT Bài 1: Chứng minh rằng: 11 a, ab  ba M b, ab  ba M9 (a > b) HD: 11 a, Ta có : ab  ba  10a  b  10b   11b  11b M c, abcabcM7,11,13 b, Ta có : ab  ba  (10a  b)  (10b  a)  9a  9b M9 c, Ta có : abcabc  abc.1001  abc.7.11.13M7,11,13 Bài 2: Chứng minh rằng: a, (n  10)(n  15)M2 b, n(n  1)(n  2)M2,3 HD: c, n  n  không M4,2,5 a, Ta có:Nếu n số lẻ n  15M2  n  10   n  15 M2 Nếu n số chẵn n  10M2 , Như với n số tự nhiên : n  n  1  n   b, Ta có:Vì số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 2,1 số chia hết cho c, Ta có : n(n  1)  số lẻ nên khơng Mcho 4,2 có chữ số tận khác Bài 3: Chứng minh rằng: a, (n  3)(n  6) M2 b, n  n  không M5 c, aaabbbM37 HD: a, Ta có:Nếu n số chẵn n  6M2  n  3  n   M2 Nếu n lẻ n  3M2 , Như với n số tự nhiên n  n   n  n  1  n  n  1 b, Ta có : , Vì tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số n  n  1  tận : 0, 2, 6, Do : có tận 6, 8, nên khơng M5 c, Ta có : aaabbb  aaa 000  bbb  a.11100  b.111  a.300.37  b.3.37 chia hết cho 37 Bài 4: Chứng minh rằng: a, aaa Ma ,37 b, ab(a  b)M2 c, abc  cba M99 HD: a, Ta có : aaa  a.111  a.3.37 chia hết cho a chia hết cho 37 b, Ta có:Vì a, b hai số tự nhiên nên a,b có TH sau: TH1: a, b tính chẵn lẻ=> (a+b) số chẵn nhưu a+b chia hết cho TH2: a, b khác tính chẵn lẻ số phải có số chẵn số chia hết cho abc  cba  100a  10b  c   100c  10b  a   99a  99c  99  a  c  M99 c, Ta có: Bài 5: CMR : ab  8.ba M9 HD: ab  8.ba  10a  b   10b  a   18a  18b  18  a  b  M9 Ta có: ab  a  b  M2, a, b �N Bài 6: Chứng minh rằng: Bài 7: Chứng minh số có dạng : abcabc ln chia hết cho 11 HD : Ta có : abcabc  a.105  b.104  c.103  b.10  c  a.102  103  1  b.10  103  1  c  103  1   103  1  a.102  b.10  c   1001  a.10  b.10  c   11.91.abc M 11 Bài 8: Tìm n số tự nhiên để: HD: Ta có: Ta có: Và A   n  5  n  6 M6n A  12n  n n  1  30 , Để AM6n  n n  1  30M6n n n  1 Mn  30Mn  n�U  30   1;2;3;5;6;10;15;30 n n  1 M6  n n  1 M3  n� 1;3;6;10;15;30 n� 1;3;10;30 Thử vào ta thấy thỏa mãn yêu cầu đầu Bài 9: CMR : 2x+y M9 5x+7y M9 HD: x  y M9   x  y  M9  14 x  y M9  x  x  y M9  x  y M9 Ta có : Bài 10: Chứng minh rằng: 11 abcd M 11 a, Nếu ab  cd M b, Cho abc  deg M7 cmr abc deg M7 HD: 11 hay (a+c) – (b+d) M11 a, Ta có: ab  cd  a.10  b  10c  d  (a  c)10  b  d  (a  c )(b  d ) M 11 có (a+c) - ( b+d) M11 Khi abcd M b, Ta có: Ta có abc deg  1000abc  deg  1001abc  (abc  deg) mà abc  deg M7 nên abc deg M7 Bài 11: Chứng minh rằng: a, CMR: ab  2.cd � abcd M67 b, Cho abcM27 cmr bcaM27 HD: a, Ta có:Ta có abcd  100ab  cd  200cd  cd  201cd M67 b, Ta có :Ta có abc M27  abc 0M27  1000a  bc0M27  999a  a  bc0M27  27.37a  bca M27 Nên bcaM27 Bài 12: Chứng minh rằng: a, abc deg M23, 29 abc  2.deg HD: 11 abc deg M 11 b, Cmr (ab  cd  eg )M a, Ta có : abc deg  1000abc  deg  1000.2deg  deg  2001deg  deg.23.29.3 11 b, Ta có : abc deg  10000.ab  100cd  eg  9999ab  99cd  (ab  cd  eg ) M Bài 13: Chứng minh rằng: a, Cho abc  deg M37 cmr abc deg M37 b, Nếu abcdM99 ab  cd M99 HD: a, Ta có : abc deg  1000abc  deg  999abc  (abc  deg) M37 b, Ta có :   �  99.ab  ab  cd M99  ab  cd M9 abcd  100.ab  cd 101 ab  cd M 101 Bài 14: Chứng minh rằng:m, Nếu abcdM HD :   abcd M 101  100.ab  cd  101.ab  ab  cd  101.ab  ab  cd M 101 101 Ta có : => ab  cd M Bài 15: Chứng minh rằng: a, 2a - 5b+6c M17 a-11b+3c M17 (a,b,c �Z)b, 3a+2b M17 � 10a+b M17 (a,b �Z) HD: a, Ta có:a-11b+3c M17 17a-34b +51c M17 nên 18a-45b+54c M17 => 9(2a-5b+6c) M17 b, Ta có: 3a+2b M17 17a - 34b M17 nên 20a – 32b M17 10a – 16b M17 10a +17b – 16b M17 10a+b M17 Bài 16: Chứng minh rằng: a, abcd M29 � a  3b  9c  27 d M29 HD: b, abc M21 � a  2b  4c M21 a, Ta có : abcd  1000a  100b  10c  d M29 => 2000a+200b+20c+2d M29 => 2001a – a +203b - 3b +29c - 9c +29d - 27d M29 => (2001a+203b+29c+29d)- (a+3b+9c+27d) M29 => (a+3b+9c+27d) M29 b, Ta có: abc  100a  10b  c M21 =>100a - 84a +10b – 42b + c +63c M21 => 16a - 32b +64c M21 => 16(a- 2b +4c) M21 Bài 17: Chứng minh rằng: 16 � d  2c  4b  8a M 16 (c chẵn) a, abcd M4 � d  2c M4 b, abcd M HD: a, Ta có:Vì abcd M4 � cd M4 � 10c  d M4 � 2c  d M4 16  1000a  100b  10c  d M 16  992a  8a  96b  4b  8c  2c  d M16 b, Ta có:Vì abcd M => (992a+ 96b+8c) + (8a+4b+2c+d) M16, mà c chẵn nên 8c M16 => (8a+4b+2c+d) M16 Bài 18: Chứng minh rằng: a, Cho a - b M7 cmr 4a+3b M7 (a,b �Z) b, Cmr m +4n M13 � 10m+n M13 HD: a, Ta có:a – b M7 nên 4(a –b) M7 => 4a – 4b +7b M7 => 4a +3b M7 b, Ta có:m+4n M13 => 10(m+4n) M13 => 10m +40n – 39n M13 =>10m+ n M13 Bài 19: Cho a,b số nguyên, CMR 6a+11b M31 a+7b M31, điều ngược lại có khơng? HD: Ta có :6a +11b M31 => 6( a+7b) - 31b M31 => a+7b M31 Bài 20: Cho a,b số nguyên, CMR 5a+2b M17 9a+7b M17 HD: Ta có :5a +2b M17 => 5a – 68a +2b -51b M17 => - 63a – 49b M17 => -7( 9a +7b) M17 => 9a+7b M17 Bài 21: Cho a,b số nguyên, CMR 2a+3b M7 8a + 5b M7 HD: Ta có:2a+3b M7 => 4(2a+3b) M7 =>8a +12b M7=> 8a+12b -7b M7=>8a+5b M7 Bài 22: Cho a,b số nguyên, CMR a - 2b M7 a-9b M7, điều ngược lại có khơng? HD: Ta có:a – 2b M7 => a- 2b -7b M7=> a - 9b M7, Điều ngược lại Bài 23: Cho a,b số nguyên 5a+8b M3 cmr a, - a +2b M3 b, 10a +b M(-3) c, a +16b M3 HD: a, Ta có:5a +8b M3=> 5a- 6a+8b-6b M3=> -a+2b M3 b, Ta có:5a +8b M3 => 2(5a+8b) M3=>10a+16b M3=>10a+16b-15b M3 c, Ta có:5a +8b M3=> 5(a+16b) – 72b M3 =>a+16b M3 Bài 24: Cho biết a-b M6, CMR biểu thức sau chia hết cho a, a +5b b, a +17b c, a - 13b HD: a, Ta có:a-b M6 => a-b+6b M6=> a+5b M6 b, Ta có:a-b M6 => a-b +18b M6=> a+17b M6 c, Ta có:a - b M6 => a-b-12b M6=> a-13b M6 Bài 25: CMR : x  2M5 3x  y M5 ngược lại Bài 26: Cho hai số nguyên a b không chia hết cho 3, chia cho có số dư: CMR: (ab-1) M3 HD: Ta có:a= 3p+r, b=3q+r (p,q,r �Z, r=1,2) � r   r   0M3 � r   r   3M3 ab-1=(3p+r)(3q+r)-1= 3p(3q+r)+r(3q+r) -1 = 9pq+3pr+3qr+r -1 � Bài 27: Chứng minh viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có hai chữ số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 HD: Ta có :Gọi số tự nhiên có chữ số ab theo ta có abbaM 11 abba  1001a  110b  7.11.13a  11.10b Bài 28: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, cịn tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho HD: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp a,a+1,a+2 xét tổng Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a, a+1,a+2,a+3 xét tổng, ta 4 a   a  1   a     a  3  4a  M Bài 29: Chứng minh tổng số chẵn liên tiếp chia hết cho 10, cịn tổng số lẻ liên tiếp không chia hết cho 10 HD: Gọi số chẵn liên tiếp a, a+2, a+4, a+6, a+8 xét tổng, ta được: a   a     a     a     a    5a  20M 10 Vì a số chẵn Tương tự với số lẻ liên tiếp : 2a  1, 2a  1, 2a  3, 2a  5, 2a  7, xét tổng ta :  10  2a  1   2a  1   2a  3   2a  5   2a    10a  15 M Bài 30: Khi chi 135 cho số tự nhiên ta thương cịn dư, Tìm số chia thương HD: 135  x  r   r  x  Gọi số chia x số dư r, Khi => r  135  x   135  x  x Từ 135 135  x  x  x   x  19 7 , Vậy x  20, 21, 22 Từ 135  x   x  135  x  22 Bài 31: Bạn Thắng học sinh lớp 6A viết số có hai chữ số mà tổng chữ số 14 , sau bạn Thắng đem chia số cho đươc dư , chia cho 12 dư a, CMR bạn Thắng làm sai phép chia b, Nếu phép chia thứ đúng, phép chia cho 12 dư bao nhiêu? HD: Gọi số cần tìm n= ab a, n chia dư =>n chẵn n chia 12 dư 3=> n lẻ => mâu thuẫn b, Vì a+b=14 nên ab M3 dư ab chia 12 dư Nếu phép chia thứ ab chia dư 4=> ab M4 => ab M12 => n chia 12 dư Bài 32: Chứng minh abc chia hết cho 37 bca cab chia hết cho 37 Bài 33: Một số tự nhiên chia cho dư 5, chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu? Bài 34: Tìm số tự nhiên biết chia cho 17 số dư hai lần bình phương số thương Bài 35: Chứng minh tồn số tự nhiên chia cho 21 dư chia cho 84 lại dư Bài 36: Cho số nguyên dương khác thỏa mãn : tổng hai số chia hết cho tổng ba số chia hết cho 3, Tính giá trị nhỏ cảu tổng bốn số Bài 39: Cho số tự nhiên ab ba lần tích chữ số nó, cmr b Ma HD: Ta có: ab =3ab=>10a+b=3ab=>10a+b Ma =>b Ma Bài 45: Cho a/ 22x  y HD: x  y   x, y �Z  , CMR biểu thức sau chia hết cho c/ 11x  10 y b/ x  20 y a, Ta có: x  y   x  y M7  x  y  21x M7  22 x  y M7 x  y    x  y    x  21y  M7  x  20 y M7 b, Ta có: c, Ta có: x  y M7  11x  11 y M7  11x  11 y  21 y M7  11x  10 y M7 Bài 46: Cho A  111 Gồm 20 chữ số 1: hỏi A có chia hết cho 111 không? HD: 111  111 1M3 chia hết cho 37 Ta có: 111  3.37 , nên để 111 1M Ta có: 111 ( 20 số ) có tổng chữ số 1+1+1+ +1=20  111 không chia hết 111 1M Bài 47: CMR: 7x+4y M29 9x+y M29 HD: x  y M9  36 x  29 x  y M9  36 x  y M9   x  y  M9  x  y M9 Ta có: Bài 48: CMR abcd M29 a+3b+9c+27d chia hết cho 29 HD: Ta có: abcd M29  1000a  100b  10c  d M29  200a  200b  20c  2d M29   2001a  1   203b  3b    29c  9c    29d  2d  M29   2001a  203b  29c  29d    a  3b  9c  27 d  M29   69.29a  7.29b  29c  29d    a  3b  9c  27 d  M29 Khi đó: a  3b  9c  27d M29  x  y  M13  x  y  chia hết Bài 49: Chứng minh x,y số nguyên cho cho 13 ngược lại HD: 5x  yM 13   x  y  M 13  20 x  16 y M 13  x  y M 13 Ta có: Từ ta ngược lại Bài 50: Cho A  n  n  , CMR A không chia hết cho 15 với số tự nhiên n HD: n  n   n  n  1  n  n  1 , Vì tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận : n  n  1  0, 2, 6, Do : có tận 2, 4, nên không M5, A không chia hết cho 35  a  1  b  1 M192 Bài 51: Cho a,b hai số phương lẻ liên tiếp, CMR : HD:  a  1  b  1 M4 Ta có: Vì a, b số lẻ nên 2 a   2k  1 , b   2k  1   a  1  4k  k  1 ,  b  1  4k  k  1 Đặt a  1  b  1  16k  k  1  k  1 k  k  1  k   M3  Khi : , Mà k  k  1 , k  k  1 Và chia hết cho 2 k  k  1  k  1 M 12   a  1  b  1  16k  k  1  k  1 M 192 Nên , Khi a, b số phương lẻ liên tiếp n : 6  n  1  n  1 M24 Bài 55: Chứng minh :   HD :  2, n M   n  2k  1, n  3k  1, n  3k   n;6   n M Vì n  2k   A   2k   1  2k   1  4k  k  1 M8 Với: n  3k   A  3k  3k   M3  AM24 TH1 : n  3k   A   3k  1  3k  3 M3  AM24 TH2: n 4 Bài 56: CMR: a  a M30, với n số nguyên dương Bài 57: Chứng minh 2x+3y chia hết cho 17 9x+5y chia hết cho 17 HD: x  yM 17   x  y  M 17  18 x  27 y M 17  18 x  10 y M 17   x  y  M 17 Ta có : n 17 , Chứng minh tương tự điều ngược lại Khi : x  y M M   a  b  a  c  a  d   b  c   b  d   c  d  Bài 58: CMR: chia hết cho 12, Với a, b, c, d số nguyên HD: M   a  b  a  c  a  d   b  c  b  d   c  d  Ta có : Trong số a,b,c,d chắn có hai số chia cho có số dư, Nên hiệu chúng chia hết cho 3, Như M chia hết cho Lại có số nguyên a,b,c,d có số chẵn có số lẻ, Giả sử a,b số chẵn, c,d  a  b  ,  c  d  M2   a  b   c  d  M4  M M4 số lẻ Khi Hoặc khơng phải số tồn số chia có số dư nên hiệu chúng chia hết cho 4, Khi M M4 Như M chia hết cho nên M chia hết cho 12 Bài 59: Một số chia cho dư 3, Chia cho 17 dư 12 chia 23 dư 7, hỏi số chia cho 2737 dư bao nhiêu? HD: Gọi số cho A, theo ta có: A=7a+3=17b+12=23c+7 Mặt khác : a+39=7a+42=17b+51=23c+46=7(a+6)=17(b+3)=23(c+2) a+39 đồng thời chia hết cho 7,17,23 Mà 7,17,23 đôi nguyên tố nên A+39 chia hết cho 7.17.23=2737, A chia 27737 dư 2698 20 Bài 60: CMR: A   , chia hết cho 17 HD: 88  220  224  220  220  24  1  220.17 M 17 Ta có:A = Bài 61: Khi chia số tự nhiên gồm chữ số giống cho số tự nhiên gồm chữ số giống ta thương cịn dư, Nếu xóa chữ số số bị chia xóa chữ số số bị chia thương phép chia số dư giảm trước 100, Tìm số chia số bị chi lúc đầu? HD: Gọi số bị chia lúc đầu aaa số chia lúc đầu bbb , số dư lúc đầu r Ta có: aaa  2.bbb  r aa  2.bb  r  100 nên   aaa  aa  bbb  bb  100  a 00  2.b00  100  a  2b  Do a, b chữ số nên ta có bảng: Bài 62: Cho D=1-2+3-4+ +99-100 a, D có chia hết cho khơng, cho 3, cho khơng? sao? b, D có ước số tự nhiên, ước số nguyên? HD: a, Ta tính D= - 50, nên D có chia hết cho 2, không chia hết cho b, D=-50  2.5 nên có (1+1)(1+2)=6 ước tự nhiên, có 12 ước nguyên 2011 Bài 63: CMR : 10  chia hết cho 72 HD: 102011   1000 008 43 Có tổng chữ số nên chia hết cho 9, có chữ số tận 008 nên chia hết cho 8, Như chia hết cho 8.9 = 72 2010 1999 1997 Bài 64: Cho A  999993  555557 , CMR A chia hết cho HD: 1996 1996 1 A   999993   555557   9999931996.9999933  5555571996.555557 Ta có : A  .1 .7   0M5  AM5  cho 5, chia cho số dư khác nhau, Bài 65: Cho số tự nhiên liên tiếp M CMR: tổng chúng M5 * n Bài 66: Cho a, n �N , biết a M5 , cmr a  150 chia hết cho 25 HD: Ta có: a M5 mà số nguyên tố  a M5  a M25  a  150M25 Bài 67: Chứng minh a khơng bội a  chia hết cho 10 Bài 68: Chứng minh a  a M 2 Bài 69: CMR : p  n  3n  , không chia hết cho 121 với số tự nhiên n 13 169 abM Bài 70: Cho a,b hai số nguyên, CMR : Nếu 3a  11ab  4b M Bài 71: CMR a, b số tự nhiên cho 5a  3b,13a  8b chia hết cho 2003, a b chia hết cho 2013 2 13 Bài 72: Chứng minh rằng: 81  27  chia hết cho 405 * Bài 73: Cho a, b �N , thỏa mãn số M chia hết cho 361 HD: Ta có: Xét M   9a  11b  5b  11a M   9a  11b  5b  11a M 19 chia hết cho 19, Hãy giải thích 19 5b  11aM 19 mà 19 số nguyên tố nên 9a  11bM M  3 9a  11b   5b  11a  27a  33b  5b  11a  38a  38b  19 2a  2b M 19 + Nếu 9a  11bM 19  3 9a  11b M 19 19  5b  11aM 19 mà N M 19  3 9a  11b M 19  9a  11bM 19 19 , mà N M + Nếu 5b  11aM (2)  5b  11a M19  M M19  361 m  16a  17b  17a  16b Bài 73: Cho hai số tự nhiên a b thỏa mãn : bội số 11, CMR : Từ (1) (2) suy :  9a  11b M19 (1) Số m bội số 121 HD: Vì 11 số nguyên tố: mà m  16a  17b  17a  16b M 11  16a  17bM 11 11 , ta cần chứng minh Khơng tính tổng qt: giả sử: 16a  17bM Thật vậy: Lại có: 11 17a  16bM  17a  16b M11 16a  17bM 11  2 16a  17b M 11  33 a  b  b  aM 11 b  aM 11 a  bM 11 2 17a  16b  33 a  b  a  bM 11   17a  16b M 11  16a  17b  17a  16b M11.11 121  17a  5b  5a  17b Bài 73: Cho a, b hai số nguyên thỏa mãn:  17a  5b  5a  17b M121 Chứng minh : Vậy chia hết cho 11,    ab a  b   a  b  M30 Bài 73 : Cho a, b hai số nguyên CMR: Bài 73: Cho a, b hai số tự nhiên CMR: ab a2  b2 4a2  b2 M5 2 2 a Bài 74: Cho a, b số nguyên dương cho : a  1,b  2007 chia hết cho CMR:  a  bM6 HD: Vì Mà a�Z  4a �1 mod3  4a  �0 mod3 4a  �0 mod2  4a  2M6 a a Khi ta có:  a  b    a  1 b  2017 2010M6 a Mà a  1M6,b  2017M6   a  bM6 1 A     11 12 40 , CMR : A không số tự nhiên Bài 75: Cho HD: Ta quy đồng tổng A, Khi mẫu số tích với thừa số lẻ nhở 40 lứn 10 Gọi k11, k12, k13, , k40 thừa số phụ tương ứng  k11  k12   k 40  A 25.11.13 39 Khi tổng A có dạng : , Trong 30 phân số tổng A, có phân số 32 có mẫu chứa , nên thừa số phụ k11, k12, k40 có k32 số lẻ, lại thừa số phụ khác chẵn có thừa số 2, Khi phân số A có Mẫu chia hết cho 2, cịn tử khơng chia hết A không số tự nhiên 1 A      100 , CMR : A không số tự nhiên Bài 76: Cho HD: Ta quy đồng tổng A, Khi mẫu số tích với thừa số lẻ nhỏ 100 Gọi k1, k2, k3, , k100 thừa số phụ tương ứng  k1  k   k100  A 25.3.5.7 99 Khi tổng A có dạng : , Trong 100 phân số tổng A, có phân số 64 có mẫu chứa , 10 n 1 n n1 n 1 n 1  4.4 n1  24  24.4  (24 )  b, Ta có :  Bài 27: Chứng minh rằng: n a, A =  1M5 HD: n 10 b, B=  4M 10 c, C=  1M 2 a, Ta có :     15M5 4n b, Ta có : Ta có có tận n 1 n 1 n 1 2n 2.2n1 2n1   2.2      (9 )     0M 10 c, Ta có : Bài 28: Chứng minh rằng: n1 n1 10 a, E=  3M5 b, F=  1M HD: a, Ta có : n 1 4n c, H=  1M5   24 n.2   6.2   n 1 2n b, Ta có :   9   1.9   c, Ta có :     Bài 29: Chứng minh rằng: 2n n  M a, I= b, K=  4M5(n �2) 4n n 10(n �1) c, M=  1M HD: a, Ta có : 4n2   n.22   6.4   n 2 n n 2 n   22.2n 2  4.2n   32   34.2     b, Ta có :  n 1 n n 1 n 1  4.4n 1  34   34.4     c, Ta có :  Bài 30: Chứng minh rằng: n1 2n a, D=  2M5 b, G=  1Mcả HD: n 1 a, Ta có :   34 n.3   1.3   5M5 b, Ta có :     Bài 31: Trong số sau số chia hết cho 2,5 10 2n n 1 a, HD: n 1 b,  2(n �N )  1(n �N ) n 1 a, Ta có :   34 n.3   1.3   4 n 1 b, Ta có :   2   6.2   Bài 32: Trong số sau số chia hết cho 2,5 10 2n 4n a,  4(n  N, n 2) b,  6(n  N , n 1) 4n HD: n 2 n n 2 n   22.2n   4.2n 2  22   24.2     a, Ta có :  1 n 1  4.4 b, Ta có :  Bài 33: Chứng minh rằng: a, 94260 - 35137M5 HD: n 942  a, Ta có :  15   351 n 1 37 n1 n  94   94.4     b, 995 – 984 +973 – 962 M2   .1  .5M5 b, Ta có : 99  98  97  96  99 99  98  97  96  1.99     .0 Hiển nhiên chia hết cho 5 4 24 Bài 34: Chứng minh rằng: 25 21 102 102 10 10 a, 17  24  13 M b,  M HD: 25 21 24 20 a, Ta có: 17  24  13  17 17  24  13 13  1.17   1.13  chia hết cho 10 102 102 100 100 b, Ta có:   8  2  6.64  6.4  .4   nên chia hết cho 10 Bài 35: Chứng minh rằng: 36 10 28 a, 36  M45 b, 10  8M72 HD: 36 10 a, Ta có: 36    9   .1.81    Chia hết cho 5, ta thấy 36M9  36 M9,9 M9  đpcm 28 b, Ta có : 10   10 00   1000 008M8 có tổng chữ số nên chia hết cho Khi chia hết cho 72 Bài 36: Chứng minh rằng: 20 15 17 a,  M b, 16  M33 HD: 36 10 88  220   23   20  24  220  20   1  20.17 M 17 a, Ta có: 165  215   24   215  220  215  215  25  1  215.33M33 b, Ta có: Bài 37: Chứng minh rằng: 7 13 a, 10  M59 b, 81  27  M45 HD: 106  57   2.5   57  26.56  57  56  26    56.59M59 a, Ta có: 817  279  913   34    33    32   328  327  326  326  32   1  326.5  324.45M45 13 b, Ta có: Bài 38: CMR: 100 99 678 677 12344 a, 2008  2008 M2009 b,12345  12345 M HD: 2008100  200899  200899  2008  1  200899.2009M2009 a, Ta có: 12345678  12345677  12345677  12345  1  12345677.12344M 12344 b, Ta có: Bài 39: Cho n số tự nhiên, CMR : A=17n+111 (n chữ số 1) M9 HD: Ta có : A  18n  n  111 Số 1111 có tổng chữ số 1+1+1+1+ +1 có n số nên n Khi A  18n  n  1111 có 18nM9 nên cần 1111 1-n chia hết cho mà 1111 - n có tổng chữ số nên chia hết cho Vậy A chia hết cho Bài 40: Tìm chữ số tận tổng sau: S     2004 HD: Ta thấy lũy thừa S có số mũ chia cho dư Nên tổng S có chữ số tận là:     2004  9009  S có chữ số tận 11 8011 Bài 41: Tìm chữ số tận của: T      2004 HD: Ta thấy lũy thừa T có dạng chia dư 3, 8009 25 Nên tổng T có chữ số tận :           199           +     9019 Vậy chữ số tận T Bài 42 : Tìm số dư : 8005 a, A      2003 chia cho 11 8007 b, B      2003 chia cho Bài 43: Tìm chữ số tận : 10 8010 a, C      2004 12 16 8016 b, D      2004 Bài 44: Chứng minh chữ số tận số sau giống nhau: 8013 11 8015 a, A      2005 B      2005 Bài 45: Tìm chữ số tận của: 13 4013 4017 a, A  10  12  14   2014  2016 13 4021 4025 b, B   11   2015  2017 11 15 4027 4031 c, C      2015  2017 13 3997 4001 d, D  21  23  25   2017  2019 43 47 51 203 207 e, E  20  22  24   98  100 12 16 8016 f, F      2004 Bài 46: Tìm chữ số tận của: A  19  7,  n �2  n a, 2017  2016  n �2  n b, C  19994  1997  19964  2017  n �2  n n n Bài 47: Tìm chữ số tận của: 10 10 Bài 48: Tìm số tự nhiên n để n  1M HD: n10    n  n  1M 10   n  n 2 Ta có: 10=4.2+2, nên phải có tận 9=> n=3 n=7 1999 1997 Bài 49: CMR: 999993  55557 M5 26 Chú ý: Đối với tìm chữ số tận cùng: + Với chữ số có tận 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa bao nhiên (Khác 0) có chữ số tận n + Các số 26 ln có tận 76 (n>1) 10 20 + Các số: ,3 có tận 76 01 + Cịn lại đưa lên lũy thừa 2,4,5 trở 76 01 100 100 Bài 1: Tìm chữ số tận của: ,3 HD:  2100   210   76 10 Ta có:  10  76 Và   3100   320   01  01 51 99 666 101 101 Bài 2: Tìm chữ số tận : 51 ,99 ,6 ;14 16 HD:  25 Ta có:  5151   512  51  01   9999   992  99  01 49 49 25 51  51 99  99 6666   65133.6   76.6  56 14101.16101  224101   2242  224  76.224  24 50 99 2k k 1 2n n 1 99 5n 5n 1 66 Bài 3: Tìm chữ số tận của: 51 ,51 ,99 ,99 ,99 ,6 ,6 ,6 HD: 9999 99 9999  2n   9999  992 n 1  n �N , n  1 Ta thấy: 99 ; thấy 99 số lẻ nên 99  992 n1  99  992   99 01  99 n 2003 2003 2004 2005 2004 Bài :Tìm số tận : ,9 ,74 ,18 68 ,74 Bài : Tìm chữ số : 49 n ;49 n 1  n �N  a, 24 n.38n  n �N  b, 3n n 23n 3.3n1  n �N  c, 742 n ,742 n 1  n �N  d, HD : n.38 n  24 n  32  4n   18  4n b, Bài : Chứng minh : 2n M 10  n �N , n  1 a, A  26  26M5 B  242 n 1  76M 100  n �N  b, 2000 2000 2000 c, M  51 74 99 HD: c, Có chữ số tận 76 2008 Bài 7: Chứng minh rằng: A  10  125M45 HD: A có chữ số tận nên A M5 27 Mặt khác A có tổng chữ số :1+1+2+5=9M9 nên A M9 Chú ý : Để đơn giản tìm chữ số tận số a, ta có TH : n + a chẵn => Tìm n nhỏ cho a  1M25 n + a lẻ => Tìm n nhỏ cho a  1M100 2003 Bài 8: Tìm dư chia cho 100 HD: 10 Ta có: tận 76 99 Bài : Tìm số dư chia cho 100 HD : n 100  n  Ta có : số lẻ=> cần tìm  1M Khi : có tận 01 517 Bài 10 : Tìm số dư : chia cho 25 HD : 517 517 Tìm chữ số tận 43=> chia cho 25 dư 18 2002 2002 A    32002   20042002 Bài 11 : Tìm chữ số tận : HD : a �N ,  a;5   a 20  1M25 Dựa vào tính chất : 100 Thấy a chẵn => a M4, a lẻ=> a  1M4  a M5  a M25  A  12002  22  2002  1   2004  2004 2002  1  2  32   2004 2 chữ số tận A chữ số tận của tổng B  12  22  32   20042  n  n  1  2n  1 với n= 2004 28 DẠNG : NHÓM HỢP LÝ Bài 1: Chứng minh rằng: n n2 n n n2 n4 n n 10 a,    M b,    M30 HD : VT  3n.9  2n.4  3n  2n  3n   1  n 1.8  n 1.2  3n.10  2n1.10M 10 a, Ta có: n n n n n n n n VT   16      1   16  1  10  15M30 b, Ta có: Bài 2: Chứng minh rằng: n n1 n3 n 3 n 1 n2 10 a, 8.2  M b,    M6 HD: 8.2n  2n 1  8.2n  2n.2  2n     10.2n M 10 a, Ta có: n n n n n n b, Ta có: VT  27  3    30  12M6 n 1 2n Bài 3: Chứng minh rằng:  M7 HD : A  3.32 n  4.22 n      4.2n  7.M  7.2n M n Ta có : Bài 4: Chứng minh rằng: n n a, 10  18n  1M27 b, D = 10  72n  1M81 HD: VT   10n  1  18n  999  18n a, Ta có: ( có n chữ số 9) VT  9.1111  9.2n   111  2n  M9  1111  n   3n mặt khác: 111  2n ( có n chữ số 1) = Xét: 111  n có tổng chữ số 1+1+1+ +1-n=0 nên chia hết cho 111 1+2n chia hết cho 3=> VT chia hết cho 27 b, Ta có: D  10n   72n  9.111  n  81n  9(111  n)  81n Xét 111 - n chia hết cho => D chia hết cho 81 n 1 n n3 Bài 5: CMR :   chia hết cho 13 với n HD: 3n 1  3n   3n 3  3n.3  3n.9  3n.27  3n.3      3n1.13M 13 Ta có: x 1 x2 x 3 x 100 b, Chứng minh :     chia hết cho 120 Bài 6: Chứng minh rằng: a,   M7 11 b,   M c, 10  10  10 M222 M555 d, 10  M59 HD: a, Ta có: b, Ta có: c, Ta có :  53  52   1  52.21M  74  72   1  4.55M 11  107  102  10  1  107.111M222 M555 29   2.5 57  56  26  1  56.59M59 d, Ta có : 13 Bài : Chứng minh : 81  27  M45 HD :   34    33    32  Ta có : 13  328  327  326  326  32   1  326.5M9.5  45 Bài : Chứng minh : A      Bài : Chứng minh : 10 a,   M55 45 15 30 b, 45 15 M75 54 24 10 63 c, 24 54 M72 10 40 20 d, 45  M25 10k  1M 19  k  1 , CMR :102 k  1M 19 Bài 10: Cho HD: 2004 M3;7;15 102 k   102 k  10k  10k   10k  10k  1   10k  1 Ta có: k 19 Nhận thấy: 10  1M 4 Bài 11: Chứng minh rằng: n  n  M HD: n  n   n  n  1  n n  1 Ta có: , àm  tích số tự nhiên liên tiếp nên chẵn Mà VP +1 nên số lẻ không chia hết cho 5 Bài 12: Chứng minh rằng: n �N , n  n  M HD: n  n   n  n  1  Vì , n n  1 Vì  tích số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận 0; 2; n n  1  Khi đó:  có tận 6;8;2 nên khơng chia hết cho 15 không chia hết cho 30 Bài 13: Chứng minh rằng: Với n 60n  45M  với số tự nhiên n Bài 14: Chứng minh rằng: n  n  M HD: n  n   n  n  1 Ta có: số lẻ nên không chia hết cho Tương tự chứng minh có chữ số tận khác nên không chia hết cho Bài 15: Chứng minh rằng: 11 a,      M4 b,     M30 HD: A    32  33   310  311    3  32   3   310   1 a, Ta có: A   32.4  34.4   310.4M4 b, Ta có: B   52  53  54   58    52    53  54     57  58  B  30  52.30   56.30 Bài 16: Chứng minh rằng: 60 119 15 13 a,     M b,      M HD: C   22  23   260    22  23  24    25   28     257   260  a, Ta có: 30 C        25        257      => D     32    33  34  35     317  318  319  C  15   25   257  b, Ta có: D  13  33.13   317.13  13   33   317  M 13 Bài 17: Chứng minh rằng: 60 1991 13, 41 a,     M3, 7,15 b,      M HD: A    2    23      259  260  a, Ta có: A      23      259     AM3 A    22  23    24  25  26     258  259  260  lại có: A     22   24    22    258    2  M7 Lại có: A    22  23  24    25  26  27  28     257  258  259  260  A  2.15  25.15   257.15M 15 b, Ta có: B     32    33  34  35     31989  31990  31991  B  13  33.13   31989.13M 13 Lại có: B    32  34  36     33  35  37     31984  31986  31988  31990    31985  31987  31989  31991   820     31984  31095  M41 Bài 18: Chứng minh rằng: 100 12,39 a,     M31 b,     M HD: A    22  23  24  25    26  27  28  29  210     296  297  298  299  2100  a, Ta có: 1998 A  2.31  26.31   296.31M 31 b, Ta có: S    32    33  34     31997  31998  S  12  32.12   31996.12M 12 mặt khác: S    32  33    34  35  36     31996  31997  31998  S  39  33.39   31995.39M 39 Bài 19: Chứng minh rằng: 1000 120 12 a,     M b, 11  11  11   11 M HD: a, Ta thấy tổng B chia hết cho 3, ta cần chứng minh tổng B chia hết cho 40 B    32  33  34     3997  3998  3999  31000      32  33    31997    32  33  M40 Như A M120 C   11  112    113  114     117  118  b, Ta có: C  11  11  113   11   117  11  11 C  11.12  113.12   117.12M 12 Bài 20: Chứng minh rằng: 31 a,     M210 b,      M31 HD: a, Tổng A hiển nhiên chia hết cho (1) Nên ta cần chứng minh tổng A chia hết cho 105=5.21 A    42    43  44     4209  4210  210 404 A      43      4209     4.5  43.5  4209.5 M (2) 208 209 210 A                 A     16   4    16    4208    16  M21 (3) Từ (1), (2) (3) ta thấy: A M210 B     52    53  54  55     5402  5403  404  b, Ta có : B  31  53    52    5402    52  M31 Bài 21: Chứng minh rằng: 100 21 22 23 29 13 a,      M3 b,     M HD: A    22    23  24     299  2100  a, Ta có : A      23      299     2.3  23.3   299.3 M 21 22 23 24 25 26 27 28 29 B  3 3 3  3 3 3  3 3 3  b, Ta có : B  321    32   324    32   327    32  B  321.13  324.13  327.13M 13 A  75.(42004  42003     1)  25M 100 2: CMR Bài HD: Đặt B       , Tính B thay vào A ta : A  75  42005  1 :  25  25  42005  1  25  25  42005   1  25.42005 M100 2010 Bài 23: CMR: M  2012  2012  2012   2012 M2013 HD: M   2012  20122    20123  20124     20122009  20121010  2004 2003 M  2012   2012   20123   2012    20122009   2012  M  2012.2013  20123.2013   2012 2009.2013M2013 2008 Bài 24: Cho A      , Tìm dư A chia cho HD: A     22  23     25  26  27     22006  2007  2008  A   22    22   25    22    22006    22  A   22.7  25.7  2006.7 , Nhận thấy A chia dư n 3 n n 1 Bài 25: CMR : A        chia hết cho 31 n số nguyên dương HD: A     22  23  24    25  26  27  28  29     25 n 5  25 n 4  25 n3  25 n 2  25 n 1  A  31  25    2  23  24    25n 5    2  23  24  32 A  31  25.31   25 n 5.31M 31 Bài 26: Cho n số nguyên dương, CMR :  , bội 10  bội 10 HD: n n n Nếu  , Là bội 10  có tận số 0=> có tận n n4 n 10 (đpcm) Mà   3   .9.81     0M 2012 Bài 27: CMR : N      bội 30 HD: N    52    53  54     52011  52012  n N  30  52   52    52010   52   30  52.30   52010.30M30 2004 2004 Bài 28: Cho S      , CMR S chia hết cho 10 3S+4 chia hết cho HD: S    42    43  44     42003  42004  S      43      42003     4.5  43.5   2003.5  S M5, S M2  S M 10 2005 Mặt khác: 4S       S  S  3S  42005   3S   42005 M42004 Bài 29: Cho HD: N N  0,7  2007 2009  20131999  , CMR: N số nguyên  2007 2009  20131999  10 , Để Chứng minh N alf số nguyên N chia hết cho 10 hay: 2007 2009  20131999  2007 2008.2007  20131996.20133  1.2007     0M 10 Vậy N chia hết cho 10, Khi N số nguyên Bài 30: CMR: a  a M6 2008 2007 2006 Bài 31: Chứng minh : B    M31 HD :   Ta có : 20 17 Bài 32: Chứng minh :  M HD : B  52006 52    31.52006 M31 C   23   220  224  220  220  24  1  220.17M 17 Ta có: Bài 33: Chứng minh rằng: D  313 299  313 36M7 HD: D  3135  299  313.36   3135  1567  M7 Ta có: n 1 4n Bài 34: Chứng minh rằng: A       M400 HD: Ta có: 400     , nhóm số hàng tổng A Bài 35: Chứng minh rằng: 3 3 a, A     M2 n 1 b, B       M30 Bài 36: Tìm số dư A chia A cho biết: HD: Nhóm số hạng Bài 37: Chứng minh rằng: A     22  23   22008  2002  33 18 13 99 14 a,  M b, 81  27  M405 c, 10  M9 39 40 41 e,   M28 HD: 28 d, 10  8M72   a, c, Tổng chữ số Bài 38: Chứng minh rằng: 101 a,     M8 16 b,     M5 2008 c, 2000  2000  2000   2000 M2001 1991 13 M41 Bài 39: Chứng minh rằng: A      M HD: Nhóm nhóm Bài 40: Chứng minh rằng: a, A      M30 29 b, B       M273 HD: b, Nhóm 3 120 Bài 41: Chứng minh rằng: A       M217 HD: Ta có: 217=7.31  218 23  100 Bài 42:Cho C       , CMR: AM40 HD: Nhóm x1 x x x100 Bài 43: Chứng minh rằng:     chia hết cho 120 với x số tự nhiên HD : 3x1  3x2  3x3   3x100  3x1  3x  3x3  3x  3x  3x  3x  3x8   3x 97  3x 98  3x99  3x100        3      3       3    x x 4 x 96   3x.120  3x 4.120   3x96.120  120 3x  3x   3x 96 M 120   Bài 44: Cho biểu thức : B    , Tìm số dư chia B cho 91 Bài 46 : Cho biểu thức sau, chứng minh : a)A = + + 32 + …+ 311 chia hết cho 648 HD : A = + + 32 + …+ 311 chia hết cho A = (1 + 3) + 32.(1 + 3) + … + 310(1 + 3) A = + 32.4 + … + 310.4 A = 4.(1 + 32 + 310) 4(đpcm) 34 b)B = 165 + 215 chia hết cho 33 HD : B = 165 + 215 chia hết cho 33 B = (24)5 + 215 B = 220 + 215 B = 215.(1 + 25) B = 215.33 33 (đpcm) c)C = + 52 + 53 + …+ 58 chia hết cho 30 HD : C = + 52 + 53 + …+ 58 chia hết cho 30 C = (5 + 52) + 52.(5 + 52) + … + 56.(5 + 52) C = 30 + 52.30 + … + 56.30 C = 30.(1 + 52 +…+ 56) 30 (đpcm) d)D = 45 + 99 + 180 chia hết cho HD : D = 45 + 99 + 180 chia hết cho Ta có: 45 9; 99 9; 180 nên D = 45 + 99 + 180 (đpcm) (tính chất chia hết tổng) e)E = + + 32 + 33 +…+ 3119 chia hết cho 13 HD : E = + + 32 + 33 +…+ 3119 chia hết cho 13 E = (1 + + 32) + 33.(1 + + 32) + … + 3117.(1 + + 32) E = 13 + 33.13 + … + 3117.13 E = 13.(1 + 33 + … + 3117) 13 (đpcm) f)F = 1028 + chia hết cho 72 HD : F = 1028 + chia hết cho 72 Ta thấy: 72 = 8.9 Ta có: 1028 + tổng chữ số 1028 + 8 có tận 008 Mà (8;9) = nên 1028 + 8.9 = 72 (đpcm) g)G = 88 + 220 chia hết cho 17 35 HD : G = 88 + 220 chia hết cho 17 G = (23)8 + 220 G = 224 + 220 G = 220.(24 + 1) G = 220.17 17 (đpcm) h)H = + 22 + 23 +…+ 260 chia hết cho 3, 7, 15 HD : H = + 22 + 23 +…+ 260 chia hết cho 3, 7, 15 Ta có: H = 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + … + 259.(1+2) H = 2.3 + 23.3 + … + 259.3 H = 3.(2 + 23 + + 259) Ta có: H = 2.(1 + + 22) + 24.(1 + + 22) + … + 258.(1 + + 22) H = 2.7 + 24.7 + … + 258.7 H = 7.(2 + 24 +…+ 258) Ta có: H = 2.(1 + + 22 + 23) + 25.(1 + + 22 + 23) +…+ 257.(1 + + 22 + 23) H = 2.15 + 25.15 + … + 257.15 H = 15.(2 + 25 +…+ 257) 15 Vậy H chia hết cho 3, 7, 15 i)I = E = + + 32 + 33 +…+ 31991 chia cho 13 41 HD : I = + + 32 + 33 +…+ 31991 chia cho 13 41 Ta có: I = (1 + + 32) + 33.(1 + + 32) + … + 31989.(1 + + 32) I = 13 + 33.13 + … + 31989.13 I = 13.(1 + 33 + … + 31989) 13 (đpcm) Ta có: I = (1 + 32 + 34 + 36) + (3 + 33 + 35 + 37) + … + (31984 + 31986 + 31988 + 31990 ) + (31985 + 31987 + 31989 + 31991 ) 36 I = (1 + 32 + 34 + 36) + 3.(1 + 32 + 34 + 36) +…+ 31984.(1 + 32 + 34 + 36) + 31985.(1 + 32 + 34 + 36) I = 820.(1 + 3+ …+ 31984 + 31985) I = 41.20.(1 + 3+ …+ 31984 + 31985) 41 Vậy I chia hết cho 13, 41 j)J = 10n + 18n – chia hết cho 27 HD : J = 10n + 18n – chia hết cho 27 Ta có: J = 10n + 18n – = (10n - 1) + 18n J = 99 + 18n (số 99 có n chữ số 9) J = 9(11 + 2n) (số 11 có n chữ số 1) J = 9.L Xét biểu thức ngoặc L = 11 + 2n = 11 - n + 3n (số 11 có n chữ số 1) Ta biết số tự nhiên tổng chữ số có số dư phép chia cho Số 11 (n chữ số 1) có tổng chữ số + + + = n (vì có n chữ số 1) => 11 (n chữ số 1) n có số dư phép chia cho => 11 (n chữ số 1) - n chia hết cho => L chia hết cho => 9.L chia hết cho 27 hay J =10n + 18n – chia hết cho 27 (đpcm) k)K = 10n + 72n – chia hết cho 81 HD : K = 10n + 72n – chia hết cho 81 Ta có: K = 10n + 72n – K =10n - + 72n K =(10-1)[10n-1 + 10n-2+ + 10 + 1] + 72n K =9.[10n-1 + 10n-2+ + 10 + 1] - 9n + 81n K =9 [10n-1 + 10n-2+ + 10 + 1- n] + 81n K =9[(10n-1 - 1)+(10n-2 - 1)+ +(10-1) + (1 – 1)] + 81n Ta có: 10k - = (10-1)[10k-1 + + 10 +1] chia hết cho =>9[(10n-1 - 1)+(10n-2 - 1)+ +(10-1) + (1 – 1)] chia hết cho 81 =>9[10n-1 + 10n-2+ + 10 + 1- n] + 81n chia hết cho 81 37 =>K = 10n + 72n – 81 (đpcm) 38 ... rằng: a chia hết cho 7, 11 13 b chia hết cho 23 29, biết = c chia hết cho a d Chứng minh số gồm 27 chữ số chia hết cho 27 e chia hết cho 29 a + 3b + 9c + 27d chia hết cho 29 f chia hết cho... d Chứng minh rằng: (1005a + 2100b) chia hết cho 15, Vì 1005 chia hết 1005.a chia hết cho với a Vì 2100 chia hết 2100.b chia hết cho với b  (1005a + 2100b) chia hết cho với a,b Vì 1005 chia hết. .. 1734 1352 i) chia hết cho 2,3,5,9 HD: i) chia hết cho 2,3,5,9 chia hết cho => = Vì chia hết tổng số phải chia hết cho  * + + + = * + chia hết cho  * = (loại) * = Số chia hết cho chia hết cho Vậy