Chuyên đề: PHÉP CHIA CÓ DƯ. Biên soạn bằng bản word, font Times New Roman, MathType 6.9. Tài liệu được chia làm các phần: Lý thuyết cơ bản, bài tập từ dễ đến khó, lời giải chi tiết. Đây là tài liệu dành cho học sinh lớp 6 ôn thi học sinh giỏi, giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 năm học 20202021.
CHUYÊN ĐỀ: LIÊN HỆ PHÉP CHIA CÓ DƯ VỚI PHÉP CHIA HẾT BÀI TOÁN ƯỚC VÀ BỘI ƯỚC CHUNG (ƯCLN) VÀ BỘI CHUNG (BCNN) A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Ước Bội số nguyên Với a, b �Z b �0 Nếu có số nguyên q cho a = b.q ta nói a chia hết cho b Ta cịn nói a bội b b ước a Nhận xét - Nếu a = b.q ta nói a chia cho b q viết a : b q - Số bội số nguyên khác Số khơng phải ước số nguyên - Các số -1 ước số nguyên Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b số dư k số (a – k) ⋮ b Ước chung hai hay nhiều số ước tất số Ước chung số a, b, c kí hiệu ƯC(a, b, c) Bội chung hai hay nhiều số bội tất số Bội chung số a, b, c kí hiệu là: BC(a, b, c) Ước chung lớn Bội chung nhỏ * Ước chung lớn hai hay nhiều số số lớn tập hợp ước chung số * Bội chung nhỏ hai hay nhiều số số nhỏ khác không tập hợp bội chung số B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG DẠNG 1: TÌM SỐ TỰ NHIÊN n ĐỂ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHIA HẾT (SỐ Đà CHO LÀ SỐ TỰ NHIÊN, SỐ NGUYÊN) Bài tập 1: Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n + 2) HD: Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2) Do (5n + 14) chia hết cho (n +2) chia hết cho (n + 2) (n + 2) ước (n +2) 1 ; ; 4 n ; 2 Vậy với n 0; 2 (5n + 14) chia hết cho (n +2) 56 Bài tập 2: Tìm số tự nhiên n để n 15 số tự nhiên n3 HD: Để n 15 số tự nhiên (n + 15) chia hết cho (n + 3) n3 [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3) 12 chia hết cho (n +3) (n + 3) Ư(12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12 n 0; 1; 3; 9 Vậy với n 0; 1; 3; 9thì n 15 số tự nhiên n3 Bài tập 3: Tìm số tự nhiên n để 3n + chia hết cho n – HD: n - � [1.(3n + 4) - 3.(n - 1) ] Mn - � 7Mn - hay n – �Ư(7) Để 3n + 4M � � n - =1 n =2 � � �� � � n - 1= n =8 � � Vậy với n = n = 3n + Mn – Bài tập 4: Tìm số tự nhiên cho 4n - chia hết cho 2n - HD: Ta có 4n-5 = 2( 2n-1) - Để 4n-5 chia hết cho 2n-1 chia hết cho2n-1 Với 2n-1=1 => n=1 Với 2n-1=3 => n=2 n = 1;2 Bài tập 5: Tìm số tự nhiên n để n2 + 3n + n + HD: n2 + 3n + n + n (n + 3) + n + n + => n + Ư(6) = {1; 2; 3; 6} => n = 0; n = Bài tập 6: Tìm a N để a + bội a – HD: Để a +1 bội a -1 nên a 1 a 1 1 số nguyên a 1 a 1 a 1 57 => a – ∈ Ư(2) = {-1,1,2} => a ={0,2,3} (thỏa mãn a ∈ N) Bài tập 7: Tìm số nguyên n để: n 2n chia hết cho n HD: Ta có n 2n = + n(n – 2) => n 2n ⋮ (n – 2) ⋮ (n – 2) => n – ∈ Ư(5) = {-5, -1, 1, 5} => n ∈ {- 3, 1, 3, 7} Bài tập 8: Tím tất số nguyên n để phân số n 1 có giá trị số nguyên n2 HD: n 1 số nguyên (n+1) (n-2) n2 Ta có (n+1) = (n 2) 3 Vậy (n+1) (n - 2) (n-2) (n-2) �Ư(3) = 3; 1;1;3 => n � 1;1;3;5 Bài tập Cho A = n Tìm n nguyên để A số nguyên n4 HD: A= n n4 5 1 = n4 n4 n4 Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên n + hay n + Ư(5) Lập luận tìm n = -9, -5, -3, Bài tập 10: Tìm số nguyên n để phân số 4n có giá trị số nguyên 2n HD: Ta có: 4n 4n n(2n 1) 7 n = 2n 2n 2n 2n Vì n nguyên nên để 4n nguyên nguyên 2n 2n => 2n – �Ư(7) = {–7; –1; 1; 7} � 2n �{– 6; 0; 2; 8} � n �{– 3; 0; 1; 4} 58 Vậy với n �{– 3; 0; 1; 4} 4n có giá trị số nguyên 2n Bài tập 11: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số tự nhiên: B = 2n 5n 17 3n n2 n2 n2 HD: B= 2n 5n 17 3n 2n 5n 17 3n 4n 19 n2 n2 n2 n2 n2 B= 4n 19 4(n 2) 11 11 4 n2 n2 n2 Để B số tự nhiên 11 số tự nhiên n2 11 (n+2) n + Ư(11) = � 1; �11 Do n + > nên n + = 11 n = Vậy n = B N DẠNG TÌM SỐ NGUYÊN DƯƠNG KHI BIẾT MỘT SỐ YẾU TỐ TRONG ĐÓ CÓ CÁC DỮ KIỆN VỀ ƯCLN VÀ BCNN * Nếu biết ƯCLN(a, b) = K a = K.m b = K.n với ƯCLN(m; n) = (là diều kiện số m, n cần tìm) , từ tìm a b * Nếu biết BCNN (a, b) = K ta gọi ƯCLN(a; b) = d a = m.d b = n.d với ƯCLN(m; n) = (là diều kiện số m, n cần tìm) , từ tìm a b Bài tập Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 ƯCLN(a, b) = 16 HD: Giả sử a ≤ b Ta có ƯCLN(a, b) = 16 => a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = ; m ≤ n Ta có: a + b = 128 => 16(m + n) = 128 => m + n = Vì ƯCLN(m, n) = nên: Trường hợp 1có: m = 1, n = => a = 16, b = 112 Trường hợp có: m = 3, n = => a = 48, b = 80 Bài tập Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 ƯCLN(a, b) = HD: Giả sử a ≤ b Do ƯCLN (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN (m, n) = ; m ≤ n Ta có ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 => mn = 59 Vì ƯCLN (m, n) = nên: Trường hợp có: m = 1, n = => a = 6, b = 36 Trường hợp có: m = 2, n = => a = 12, b = 18 Bài tập 3: Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 ƯCLN (a, b) = HD: ƯCLN(a, b) = => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = Ta có: a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 , mà ƯCLN(m, n) = => m = 13 n = => a = 65 b = 25 Bài tập Tìm a, b biết a + b = 42 BCNN (a, b) = 72 HD: Gọi d = ƯCLN(a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = Khơng tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n Do : a + b = d(m + n) = 42 (1) BCNN (a, b) = mnd = 72 (2) => d ước chung 42 72 => d thuộc {1 ; ; ; 6} Lần lượt thay giá trị d vào (1) (2) để tính m, n => Chỉ có trường hợp d = => m + n = mn = 12 => m = n = (thỏa mãn điều kiện m, n) Vậy d = a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 Bài tập Tìm a, b biết a - b = 7, BCNN (a, b) = 140 HD: Gọi d = ƯCLN(a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = Do : a - b = d(m - n) = BCNN (a, b) = mnd = 140 (1’) (2’) => d ước chung 140 => d thuộc {1 ; 7} Thay giá trị d vào (1’) (2’) để tính m, n ta kết : d = => m - n = mn = 20 => m = 5, n = (thỏa mãn điều kiện ƯCLN(m, n) = 1) Vậy d = a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 Bài tập Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, BCNN (a, b) = 60 HD: Ta có ƯCLN(a, b) = ab/BCNN (a, b) = 180/60 = Tìm (a, b) = 3, toán đưa dạng Bài tập Kết : a = 3, b = 60 a = 12, b = 15 Bài tập Tìm a, b biết a/b = 4/5 BCNN (a, b) = 140 60 HD: Đặt ƯCLN(a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , mặt khác ƯCLN(4, 5) = nên a = 4d, b = 5d Lưu ý BCNN(a, b) = 4.5.d = 20d = 140 => d = => a = 28 ; b = 35 Bài tập 8: a) Tìm số tự nhiên a, b biết: a + b = 96 ƯCLN(a;b) = b) Tìm hai số tự nhiên a b ,biết a > b ; a + b = 16 ƯCLN(a,b) = Bài tập 9: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 504 ƯCLN chúng 42 Bài tập 10: Cho n ∈ N, tìm số ngun tố p có chữ số cho p = ƯCLN 2n - 3; 3n +15 Bài tập 11: Tìm hai số tự nhiên có tích 300 ƯCLN Bài tập 12: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 ƯCLN (a,b) = HD: Giả sử a ≤ b Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = ; m ≤ n Vì : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 => mn = Vì ƯCLN(m, n) = nên: Trường hợp có m = 1, n = => a = 6, b = 36 Trường hợp có m = 2, n = => a = 12, b = 18 Bài tập 13: Tổng số tự nhiên 156 Ước chung lớn chúng nhận giá trị lớn bao nhiêu? Bài tập 14: Tìm hai số a b (a < b), biết: ƯCLN(a, b) = 10 BCNN(a, b) = 900 Bài tập 15: Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a,b) = 300; ƯCLN(a,b) =15 a +15= b HD: + Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 15m; b = 15n (1) ƯCLN(m, n) = (2) + Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy : � BCNN 15m; 15n 300 15.20 � BCNN m; n 20 (3) + Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy : � 15m 15 15n � 15. m 1 15n � m 1 n (4) Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có trường hợp : m = 4, n = thoả mãn điều kiện (4) Vậy với m = 4, n = 5, ta số phải tìm : a = 15 = 60; b = 15 = 75 61 Bài tập 16: Tìm hai số a,b biết bội chung nhỏ a; b 420, ƯCLN(a;b) = 21 a + 21 = b HD: + Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 21m; b = 21n ƯCLN(m, n) = (1) (2) + Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra: � BCNN 21m; 21n 420 21.20 � BCNN m; n 20 (3) + Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra: � 21m 21 21n � 21. m 1 21n � m 1 n (4) Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có Trường hợp: m = 4, n = m = 2, n = thoả mãn điều kiện (4) Vậy với m = 4, n = m = 2, n = ta số phải tìm là: a = 21.4 = 84; b = 21.5 = 105 Bài tập 17: Tìm hai số a b biết ƯCLN(a,b) = BCNN(a,b) = 300? Bài tập 18: Tìm hai số tự nhiên a b biết : BCNN(a,b) = 180; ƯCLN(a,b) = 12 Bài tập 19: Tìm hai số tự nhiên biết tổng ƯCLL BCNN chúng 23 Bài tập 20: Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu chúng 84, ƯCLN chúng 28 số khoảng từ 300 đến 440 HD: Gọi hai số phải tìm a b ( a, b N* , a > b) Ta có: ƯCLN(a, b) = 28 nên a = 28k b = 28q Trong k, qN*và k, q nguyên tố Ta có : a - b = 84 k - q = Theo ra: 300 ≤ b < a ≤ 440 10 < q < k q = 11và k = 14 Ta có : a = 28 11 = 308 ; b = 28 14 = 392 Vậy hai số phải tìm 308 392 DẠNG 3: LIÊN HỆ PHÉP CHIA CÓ DƯ VỚI PHÉP CHIA HẾT, BCNN, ƯCLN * Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b số dư k => a – k ⋮ b * Nếu a ⋮ b a ⋮ c mà ƯCLN(a, b) = => a chia hết cho tích b.c (a, b, c ∈ N) * Nếu a ⋮ b a ⋮ c mà a số nhỏ => a = BCNN(a, b) (a, b, c ∈ N) * Nếu a ⋮ b m ⋮ b mà b lớn => b = Ư CLN(a, m) (a, b, m ∈ N) 62 Bài tập 1: Một số tự nhiên chia cho dư 5, chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu? HD: Gọi số a Vì a chia cho dư 5, chia cho 13 dư � a 9M7; a 9M 13 mà ƯCLN(7,13) = nên a 9M7.13 � a+9=91k � a = 91k - = 91k - 91+ 82 = 91(k - 1) + 82 (k �N) Vậy a chia cho 91 dư 82 Bài tập 2: Tìm số tự nhiên a biết chia 355 cho a ta số dư 13 chia 836 cho a có số dư HD: Theo đề chia 355 cho a ta số dư 13 nên ta có 355 a.m 13 với m �N * a 13 hay a.m 342 18.19 (1) chia 836 cho a ta số dư => Ta có 836 a.n � a.n 828 18.46 với n �N * (2) Từ (1) (2) suy a 18 số tự nhiên cần tìm Bài tập 3: Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư Hỏi số chia cho 2737 dư bao nhiêu? HD: Gọi số cho A Theo ta có: A = 7.a + = 17.b + 12 = 23.c + Mặt khác: A + 39 = 7.a + + 39 = 17.b + 12 + 39 = 23.c + + 39 = 7.(a + 6) = 17.(b + 3) = 23.(c + 2) Như A+39 đồng thời chia hết cho 7,17 23 Nhưng Ư CLN(7,17,23) = => (A + 39) 7.17.23 nên (A+39) 2737 => A+39 = 2737.k => A = 2737.k - 39 = 2737.(k-1) + 2698 Do 2698 < 2737 nên 2698 số dư phép chia số A cho 2737 Bài tập 4: Tìm số tự nhiên lớn có chữ số, cho chia cho dư chia cho 31 dư 28 HD: N,100 a Gọi số cần tìm a ( a Σ� 999 ) Vì a chia cho dư chia cho 31 dư 28 nên: a 7M a 8M a 1M a 64M8 a 65M � � � � � �� �� �� �� � a 28M31 � a 28 31M31 � a 3M31 � a 62M31 � a 65M31 � Vì (8, 31) = nên a + 65 M(8.31) hay a + 65 M248 � a = 248k – 65 (k �N*) Vì a số có chữ số lớn nên k = 4, a = 248.4 – 65 = 927 Vậy số cần tìm 927 Bài tập 5: Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số biết số chia cho 4,6,7 dư HD: 63 Gọi số cần tìm a điều kiện a N,a 100 4,6,7 Vì a chia cho 4, 6, dư � a 3M Mà a nhỏ => a – nhỏ => a- = BCNN(4,6,7) Mà ƯCLN(4, 6, 7) = => BCNN(4,6,7) = 4.7.6 = 168 � a 168 � a 171 Vậy số cần tìm 171 Bài tập 6: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 11 dư 6, chia cho dư 1và chia cho 19 dư 11 HD: Gọi số cần tìm a ta có: (a - 6) M11 ; (a - 1) M4 ; (a - 11) M19 => (a - + 33) M11 ; (a - + 28) M4 ; (a - 11 +38 ) M19 => (a +27) M11 ; (a +27) M4 ; (a +27) M19 Mà a nhỏ => a + 27 nhỏ => a + 27 = BCNN(11, 4, 9) Do ƯCLN (4 ; 11 ; 19) = => BCNN(11, 4, 9) = 11.4.9 = 396 => a + 27 = 396 => a = 369 Bài tập 7: Tìm số tự nhiên a nhỏ cho: a chia cho dư 3, a chia cho dư HD: Ta có: a = 5q + ; a = 7p + Xét a +17 = 5q + 20 = 7p + 21 => a +17 chia hết cho => a +17 bội chung Vì a số tự nhiên nhỏ nên a +17 = BCNN(5,7) = 35 => a = 18 Bài tập 8: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết số chia cho 3, cho 4, cho 5, cho dư 2, chia cho dư HD: Gọi số tự nhiên a, ta có a – = BC(3; 4; 5; 6) Mà BC( 3; 4; 5; 6) = 60; 120; 180; 240; … Nên a nhận giá trị 62; 122; 182; 242 … Mặt khác a số nhỏ chia cho dư tức (a – 3) số nhỏ chia hết cho => a = 122 (vì a = 62 62 – = 59 khơng chia hét cho 7) Bài tập 9: Học sinh khối xếp hàng; xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 dư học sinh Nhưng xếp hàng 11 vùa đủ Biết số học sinh khối chưa đến 400 học sinh.Tính số học sinh khối 6? HD: Gọi số Hs khối a (3 x = 235 Số HS lớp 6A (235 - 26) : 11 + = 20 HS Số HS lớp 6B (235 - 25) : 10 + = 22 HS Bài tập 12: Số học sinh khối trờng cha đến 400 bạn, biết xếp hàng 10; 12; 15 dư xếp hàng 11 khơng dư Tính số học sinh khối trường HD: Gọi số học sinh a (a �Z*) Ta có a - �BC(10; 12; 15) 65 a - = 60k (k �N*) � a = 60k + k a 63 123 183 243 303 363 423 Ta xem với giá trị k a < 400 a M11 Trong giá trị trên, có a = 363 < 400 a M11 Vậy số học sinh cần tìm 363 học sinh Bài tập 13: Một đơn vị đội xếp hàng, hàng có 20 người, 25 người, 30 người thừa 15 người Nếu xếp hàng 41 người vừa đủ (khơng có hàng thiếu, khơng có ngồi hàng) Hỏi đơn vị có người, biết số người đơn vị chưa đến 1000? HD: Gọi số người đơn vị đội x (x �N) x : 20 dư 15 � x – 15 M20 x : 25 dư 15 � x – 15 M25 x : 30 dư 15 � x – 15 M30 Suy x – 15 BC(20, 25, 35) Ta có 20 = 22 5; 25 = 52 ; 30 = => BCNN(20, 25, 30) = 22 52 = 300 BC(20, 25, 35) = 300k (k �N) x – 15 = 300k � x = 300k + 15 mà x < 1000 nên 300k + 15 < 1000 � 300k < 985 � k < 17 (k �N) => k = 1; 2; 60 Chỉ có k = x = 300k + 15 = 615 M41 Vậy đơn vị đội có 615 người 66 ... 1) + 82 (k �N) Vậy a chia cho 91 dư 82 Bài tập 2: Tìm số tự nhiên a biết chia 355 cho a ta số dư 13 chia 836 cho a có số dư HD: Theo đề chia 355 cho a ta số dư 13 nên ta có 355 a.m 13 với... b, m ∈ N) 62 Bài tập 1: Một số tự nhiên chia cho dư 5, chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu? HD: Gọi số a Vì a chia cho dư 5, chia cho 13 dư � a 9M7; a 9M 13 mà ƯCLN(7,13) =... (1) chia 836 cho a ta số dư => Ta có 836 a.n � a.n 828 18.46 với n �N * (2) Từ (1) (2) suy a 18 số tự nhiên cần tìm Bài tập 3: Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư