Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là bộ tài liệu ôn tập giải toán trên máy tính cầm tay được các thầy cô trường Đại Học Đồng Tháp biên soạn. Đảm bảo chuẩn kiến thức và kĩ năng, Cung cấp cho quý thây, cô những cách giải hay nhất, những kiến thức bổ ích nhất về máy tính CASIO FX 580 VNX. Giới thiệu một số tính năng mới trên máy tính FX 580vnx. Do đây là bộ tài liệu mới và chuẩn nên có giá 50 000đ, nhưng quý thầy cô yên tâm tiền nào vải ấy, chắc chắn quý thầy cô sẽ không thấy tiếc nuối về số tiền của mình bỏ ra đâu.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SƯ PHẠM TOÁN HỌC LÊ TRUNG HIẾU BÀI TẬP GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY (Dành cho Ngành Sư phạm toán học liên thơng) ĐỒNG THÁP, THÁNG 11 NĂM 2018 Mục lục §1 §2 §3 Giới thiệu tổng quát chức Casio fx 570VN Plus Casio fx 580 VN X 1.1 Chương trình giả lập máy tính cầm tay máy vi tính 1.2 Máy Casio fx 570VN Plus 1.3 Máy Casio fx 580VN X Đại số sơ cấp 10 2.1 Tính giá trị biểu thức không chứa biến chứa biến 10 2.2 Các phương pháp tìm nghiệm gần phương trình phi tuyến f(x)=0 11 2.3 Phương trình nghiệm nguyên hai biến x, y 12 2.4 Đa thức, sơ đồ Hoocne 13 2.5 Các lập trình tính giá trị hàm số tích x0 15 2.6 Cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biến 16 Số học phổ thông 17 3.1 Số nguyên tố thuật toán kiểm tra nguyên tố 17 3.2 Tìm số dư chia số nguyên dương a cho số nguyên dương b (a>b) 18 3.3 Liên phân số hữu hạn 19 3.4 Đồng dư số học, ứng dụng hàm Ơle đồng dư số học 21 3.5 Số thập phân vơ hạn tuần hồn 23 3.6 Tìm chữ số thập phân thứ k sau dấu phẩy phép chia ba √ √ thức a, a 24 3.7 Tìm ƯCLN, BCNN hai hay nhiều số 24 3.8 Tìm 1,2,3,4 chữ số cuối lũy thừa mα , m, α ∈ N∗ đồng dư dấu hiệu nhận biết 26 Tìm số nguyên theo điều kiện ban đầu suy luận thuật tốn lập trình 27 Tính xác chữ số kết phép toán với số lớn, toán dự đốn kết phép tốn có quy luật 29 Tìm số ước thỏa điều kiện ban đầu số nguyên dương, tìm tổng ước số nguyên dương (tham khảo thêm) 30 Một số toán số học khác (tham khảo thêm) 31 3.9 3.10 3.11 3.12 §4 Hình học trung học sở 32 4.1 Nhắc lại số công thức tam giác, đa giác đường tròn 32 4.2 Giải tam giác, diện tích tam giác 34 4.3 Đa giác, đa giác đều, diện tích đa giác 34 4.4 Các toán đường trịn diện tích hình trịn 35 4.5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (tham khảo thêm) 36 4.6 Các toán liên quan đến giá trị lớn nhất, nhỏ mặt hình học (tham khảo thêm) 36 Một số tốn hình học véctơ, hình học giải tích (tham khảo thêm) 37 Cấp số, dãy số giới hạn dãy số 39 5.1 Một số công thức quen thuộc 39 5.2 Các toán cấp số (tham khảo thêm) 39 5.3 Tìm số hạng thứ n tính tổng, tích n số hạng dãy số dạng truy hồi 40 5.4 Tính tổng đặc biệt (tham khảo thêm) 42 5.5 *Tìm số hạng tổng quát dãy số cách giải phương trình (tham khảo thêm) sai phân 42 Một số toán khác dãy số 43 Toán phần trăm, tốn kỹ thuật, tính thời gian 44 6.1 Lãi đơn 44 6.2 Lãi kép (lãi gộp) 44 6.3 Gửi số tiền a hàng kỳ vào ngân hàng 45 6.4 Rút số tiền a hàng kỳ từ ngân hàng 46 6.5 Các toán phần trăm khác 47 6.6 Tính thời gian 47 4.7 §5 5.6 §6 §7 Một số dạng tốn đại học 48 7.1 Xác suất, thống kê, hồi quy 48 7.2 Tích phân, tích phân suy rộng, số phức 50 7.3 Véc tơ, Ma trận 51 7.4 Hệ đếm ứng dụng, phép tốn lơgic (tham khảo thêm) 51 Các phụ lục 54 A Trích Tập san Tốn học (2009): Giải tốn máy tính bỏ túi, bạn cần gì? 54 B Trích Tập san Tốn học (2009): Xấp xỉ nghiệm toán Cauchy MT Casio fx570MS 59 C Giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1, 63 D Dùng máy tính cầm tay (Casio fx 570MS, 570VN Plus) hỗ trợ xử lý số liệu thống kê 65 E Cách đổi năm dương lịch năm âm lịch 70 Học viên chuẩn bị loại máy sau để tham gia học tập: Casio fx 570VN Plus, Casio fx 580VN X Mơn học thiên giải tốn giải thuật lập trình nên dịng máy cũ trước khơng dùng cho mơn học Các mục ghi "tham khảo thêm" không hướng dẫn lớp, học viên tự nghiên cứu thêm Mong góp ý anh chị học viên để thảo hồn chỉnh cho khóa dạy sau Thông tin liên lạc với giảng viên: Thầy Lê Trung Hiếu, Bộ mơn Giải tích-Tốn ứng dụng, Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp Điện thoại: 0985572881 Email: lthieu@dthu.edu.vn Những máy tính nhanh, xác, ngốc nghếch khơng thể tin cịn người chậm chạp, sai lầm, thông minh Nếu máy tính kết hợp với người, có sức mạnh vơ song (“Computers are incredibly fast, accurate, and stupid Human beings are incredibly slow, inaccurate, and brilliant Together they are powerful beyond imagination’’) Albert Einstein §1 1.1 Giới thiệu tổng quát chức Casio fx 570VN Plus Casio fx 580 VN X Chương trình giả lập máy tính cầm tay máy vi tính Học viên tải chương trình giả lập máy tính cầm tay vi tính để cài đặt vào máy vi tính a) Giả lập Casio fx 570 VN Plus: Ngoài chức tương tự máy tính Casio fx 570 VN Plus, chương trình cho phép gọi dãy phím vừa bấm máy chức "Key log" (khi nhấp chuột phải vào máy chọn chức Key log) Thuận lợi chức người báo cáo thuyết trình máy tính cầm tay cho hiển thị phím vừa bấm để người nghe dễ dàng thực theo; giáo viên copy phím vào soạn máy tính cầm tay b) Giả lập Casio fx 580 VN X: Ngồi ra, cịn có số chương trình giả lập số dịng máy tính cầm tay Casio khác 1.2 Máy Casio fx 570VN Plus a) Các chức Mode: MODE 1: COMP (COMPUTING) Tính tốn thơng thường (mặc định) MODE 2: CMPLX (COMPLEX) Tính tốn với số phức MODE 3: STAT (STATISTIC) Tính tốn thống kê phân phối xác suất MODE 4: BASE-N Tính tốn hệ đếm 2-8-10-16 MODE 5: EQN (EQUATION) Giải phương trình, hệ phương trình MODE 6: MAT (MATRIX) Tính tốn ma trận MODE 7: TABLE Tính tốn bảng MODE 8: VCT (VECTOR) Tính toán véctơ b) Biến nhớ cách sử dụng: Các biến gồm có A, B,C, D, E, F, X,Y, M, Ans, PrAns Ans biến nhận giá trị hành máy Biến PreAns giá nhận liền trước giá trị hành máy Biến M thay đổi thêm, giảm giá trị bấm M+, M− Lưu giá trị vào biến: Lưu 10 vào biến A, thao tác 10 Shift Sto A, sau ta viết tắc 10 → A Lưu 20+100 vào biến D, thao tác 20+ 100 Shift Sto D, viết tắc 20 + 100 → D Ví dụ: → M, sau ấn 7M+, biến M nhận giá trị 12 Gọi giá trị biến để sử dụng: = , kết quả: 10 (vì lưu 10 → A trên) Bấm Alpha A + Alpha D = , kết quả: 130 Bấm Alpha A Đối với biến Ans: Khi kết thúc phép tốn, máy tính tự động lưu lại giá trị hành vào biến Ans Bấm 2+8 = , bấm tiếp Ans +5 = , kết quả: 15 c) Ý nghĩa kí hiệu số phím chức thường dùng: AC (CANCEL): Hủy lệnh (cơng thức) vừa nhập DEL (DELETE), INS (INSERT): Xóa, chèn ký tự SHIFT: Gọi chức phím màu vàng ALPHA (ALPHABET): Gọi chức phím màu đỏ CLR (CLEAR): Xóa cài đặt Mode để trở trạng thái mặc định ban đầu máy CALC (CALCULATE): Tính giá trị biểu thức chứa biến (một nhiều biến) SOLVE: Giải gần phương trình dạng tổng quát f (x) = Dấu "=" màu đỏ, dấu ":" màu đỏ: Dùng vào lập trình Chú ý, sau viết giải thuật lập trình ta quy ước viết = hiểu dấu màu đỏ lập trình, viết hiểu dấu màu trắng = CONV (CONVERT) Đổi đơn vị vật lý (Yard ↔m, mile ↔ km,hp ↔ KW ) Xem thông số chuyển đổi nắp máy CONST (CONSTANT) Hằng số vật lý quốc tế (Xem nắp máy) ab/c, d/c: Chuyển đổi qua lại dạng số thập phân phân số DEC (DECIMAL) Hệ thập phân, HEX (HEXADECIMAL) Hệ thập lục phân, BIN (BINARY) Hệ nhị phân, OCT (OCTAL) Hệ bát phân Hyp (Hyperpolic): ex − e−x sinh x = , sin−1 : arcsin Hàm ngược hàm sin ex + e−x cosh x = (VD: sin π4 = √ 2 Mode COMP ⇒ arcsin( √ π ) = 4) ENG (ENGINE) Hiển thị kiểu số kỹ thuật a.10x i màu xanh (Imaginary): Đơn vị ảo i số phức Abs (Absolute) Trị tuyệt đối, môđun số phức Pol( (Polarity) Chuyển đổi dạng cực số phức Rec( (Rectangle) Chuyển đổi dạng đại số số phức z = a + bi Re↔Im (Real, Image): Gọi phần thực, phần ảo Rnd (Round): Làm trịn số tính tốn Ran # (Random): Gọi số ngẫu nhiên từ máy DRG (Degree, Radian, Grade): Tính tốn biểu thức có nhiều chế độ tính, ví dụ tính giá trị π biểu thức A = sin 300 + cos( ) − tan 26g 7r MATRIX: Tính tốn với ma trận (Dim (chiều, cỡ), Edit (sửa), Det (định thức), Trn (vết), ) VECTOR: Tính tốn với vectơ (Dim (chiều), Edit (sửa), Dot (tích vơ hướng), ) STAT/DIST (Statistic, Distribution) Tính thống kê, tính giá trị phân phối xác suất n! nPr: Chỉnh hợp Arn = (n − r)! n! nCr: Tổ hợp Cnr = r!(n − r)! S↔D: Chuyển đổi qua lại dạng số thập phân phân số SETUP: Cài đặt hiển thị d) Cài đặt số tính quan trọng: Bấm Shift SETUP để chọn chức cài đặt theo ý riêng sau: 1: MthIO Chọn hiển thị phân số dạng sách giáo khoa (dạng ab ) 2: LineIO Chọn hiển thị phân số dòng (dạng a b) 3→5: (Deg, Rad, Gra) Cài đặt chế độ góc, cung Ta có 900 = 100Gra Ấn tiếp dấu mũi tên , chọn chức sau: 1, 2: ab/c, d/c Hiển thị phân số dạng a b hay hổn số a bc tử số lớn mẫu số 3: CMPLX Hiển thị số phức dạng đại số hay dạng lượng giác 4: STAT Bật hay tắt cột tần số hình nhập liệu thống kê, hồi quy 5: TABLE Cài đặt chế độ bảng gồm có hàm f (x) hay hàm f (x) g(x) 7: Disp Cài đặt hiển thị dấu phẩy số thập phân dấu "," (comma) hay "." (Dot) 1.3 Máy Casio fx 580VN X Máy tính Casio fx 580 VN X Bộ Giáo dục Đào tạo cho phép thí sinh sử dụng phịng thi Tổng số tính máy 521 tính Sau số điểm hình thức chức máy Casio fx 580 VN X khơng có máy Casio fx 570 VN Plus (xem thêm chi tiết [2], [7]1 ): Ngôn ngữ tiếng Việt tiếng Anh Giao diện menu với biểu tượng trực quan, dễ nhìn sử dụng Độ phân giải hình ảnh, cơng thức tốt Thao tác lưu giá trị vào biến nhanh (chỉ cần ấn phím STO khơng thơng qua SHIFT), có phím RECALL gọi lại giá trị biến nhớ Biến x thiết kế dạng phím ưu tiên Có phím OPTN (Option) chứa tùy chọn chế độ tính tốn, tạo thuận lợi tính tốn Tốc độ xử lí vượt trội, nhanh gấp lần máy Casio fx 570VN Plus Cực trị hàm số bậc ba Giải hệ phương trình bậc ẩn, giải phương trình bậc Tính ngun hàm, đạo hàm (nhớ máy tính tốn, khơng tính đạo hàm, nguyên hàm cụ thể) 45 dòng giá trị cho table (chế độ hàm f (x)), 30 dòng giá trị cho table (chế độ hàm f (x), g(x)) Đưa đạo hàm, nguyên hàm vào bảng Chỉnh sửa trực tiếp giá trị x bảng giá trị TABLE Tính góc hai vectơ Tính phần thực phần ảo số phức Kiểm tra số ngun tố có chữ số Báo vơ nghiệm giải phương trình bậc Lưu thương dư phép chia vào biến E F Kiểm tra đúng/sai biểu thức lôgic http://diendanmaytinhcamtay.vn/fx580vnx/Index.html Thống kê dễ sử dụng danh sách số đặc trưng mà không cần gọi giá trị máy cũ Tính số trung vị, phương sai, Có thêm số tính phân phối xác suất hồi quy hai biến x, y 47 số khoa học Các tính quan trọng lại máy Casio fx 570VN Plus trì máy Casio fx 580VN X Chiếc máy tính bỏ túi EL-801 (ELSI MINI) hãng Sharp Nhật Bản chế tạo năm 1972 Sharp coi khai sinh loại máy tính bỏ túi (calculator) Nguồn: vintagecalculators.com §2 2.1 Đại số sơ cấp Tính giá trị biểu thức không chứa biến chứa biến Giải theo nhiều cách: Dùng biến A, B,C, , Ans, PreAns, dùng phím Calc , dùng Table Chú ý, thiết lập chế độ tính tốn phù hợp (rad, độ) tốn có yếu tố lượng giác Bài tập √ √ tan sinh( 2) log √ 3 √ Cho biểu biểu thức A = , sinh x, cosh x sinhypercot cosh( 2) polic coshyperpolic x a) Tính A chế độ radian b) Tính A chế độ độ ĐS: 3a2 b Tính giá trị biểu thức I = √ a) a = π + 1, b = e, c = 2; √ − 2ac3 + 5bc 32 6ab2 + ac b) a = π5 , b = log e, c = C74 ĐS: sin x cos x2 x = 10, x = −1, 572, x = π ex √ √ sin2 x + (3 + 3) sin x cos x + ( − 1) cos2 x b) Tính gần giá trị hàm số f (x) = tan x − cot x + sin2 2x + cos 2x π 3π x = −2; ; 1, 25; Chế độ tính câu a) b) radian a) Tính giá trị hàm số f (x) = ĐS: √ + cos α 7, tính I = − sin α b) Biết cos 2x = 35 , tính J = sin3 x + cos3 x a) Cho biết tan α2 = ĐS: 4x3 − x4 Cho hàm số y = f (x) = , tính giá trị y x nhận giá trị từ đến với bước 5e−x nhảy 0,5 Nêu thêm số quy trình bấm phím khác (khơng dùng TABLE) ĐS: sin x + , tính tổng sau chế độ radian đặt số tốn mở x2 rộng khác (nếu có thể)? * Cho hàm số f (x) = a) A = f (1) + f (2) + f (3) + + f (40) π π π π b) B = f ( ) + f ( ) + f ( ) + + f ( ) 20 10 16 = 0, 326530612244897959183673469387755102040816 49 326530612244897959183673469387755102040816 Như chu kỳ số thập phân 326530612244897959183673469387755102040816 gồm 42 chữ số Ta có 1000 ≡ 34( mod 42) Do chu kỳ lặp lại nên chữ số thập phân thứ 1000 sau dấu phẩy phép chia chữ số thứ 34 chu kỳ, chữ số Cần óc "thẩm mỹ" ♦ Bài tốn minh họa 1: (Đề thi cấp khu vực dành cho sinh viên, năm 2008) Cho N = 20082008 , gọi a số chữ số N, b tổng chữ số a, c tổng chữ số b Tìm c? Ta cần tìm a, b, c suy dễ dàng Thử bấm máy ta có [log 1] = 0, , [log 9] = 0, [log 10] = 1, , [log 99] = 1, [log 100] = 2, , [log 999] = 2, v.v (trong [x] phần nguyên x) Từ tổng qt cơng thức sau6 : Số chữ số n = [log n] + Lưu ý: Cơng thức tính máy sai trường hợp n số lớn (có k chữ số) bắt đầu có giá trị gần 10k (điều thử máy tính cầm tay hồn tồn được) Ta thấy N khơng bắt đầu 9, áp dụng công thức ta có a = [log N] + = 6631 + = 6632 ♦ Bài tốn minh họa 2: Tính xác chữ số kết số sau: A = (1002010 + 5) (100k + 5) ta có: Thao tác: Thử máy với k = 1, 2, biểu thức Ak = A1 = 1225, A2 = 11122225, A3 = 111112222225, Áp dụng quy luật ta có A = 11 122 25 (có 2010.2-1 chữ số 1, 2010.2 chữ số 2, chữ số 5) Cần kiên trì, khơng nóng vội Khi giải toán Casio bạn gặp số toán gây khơng bực bội cho Cảm thấy thật phiền tối khơng phải bạn chưa tìm thuật tốn mà đơi dạng tốn có sẵn thuật giải rõ ràng Vậy nguyên nhân đâu? Bạn bấm máy để tính tích phân, tính tổng chuổi dùng phím Solve mà kết 45 phút sau ấn phím = chưa? Tình trạng gọi "treo máy" tương tự máy vi tính gặp tính phức tạp Để giải toán bạn phải biến đổi toán trở dạng đơn giản bấm máy để tính nhanh Một tình xảy khác mà bạn thường gặp tìm nghiệm gần phương trình phương pháp lặp Đặc biệt phương pháp lặp đơn, bạn thật tâm đắc với cách rút x từ phương trình để chạy vịng lặp loay hoay nhiều thời gian mà vòng lặp khơng hội tụ Biết có tiêu chuẩn kiểm tra tính hội tụ cách rút hàm lặp thông thường việc kiểm tra tiêu chuẩn tốn khơng thời gian nên ta bỏ qua bước Như bạn cần phải có kiên trì khéo léo để tránh tự gây stress cho Cơng thức trình bày dạng tổng quát số giáo trình số học đại 57 Cần lãng mạn, hài hước Giải toán Casio thật thú vị bạn ạ! Cứ tìm lời giải hay cho tốn khó, tổng qt hóa lời giải cho dạng toán hay, thân thật hạnh phúc cảm thấy yêu quý máy Casio Chiếc máy "khơ khan" trở nên gắn bó với bạn bạn biết dùng phương tiện giải trí để tránh căng thẳng sau học lớp Đơi cịn đem lại hiệu khác đấy! ♦ Trò chơi 1: Xổ số máy Nhóm chơi phải có hai người, dùng phím Ran (radom) để gọi số ngẫu nhiên từ máy Bạn "điểm" lớn thắng Thao tác máy sau: Nhập vào hình Shift Ran Shift Ran × 1000 Mỗi bạn bấm = lần để số ngẫu nhiên điểm số ♦ Trị chơi 2: Chứng tỏ "đẳng cấp" xài máy Mời bạn tìm hiểu thêm internet thao tác bấm máy (rất phức tạp) để tạo hình kỳ lạ đẹp mắt máy như: Hình heo sữa, hình đơi giày, dòng chạy ma trận máy để khoe với bạn bè Thận trọng: Việc làm làm hao pin "tổn thọ" cho máy đấy! Ngồi ra, bạn chứng tỏ "pro" với người cách: Lập trình nâng cấp dịng máy 500 thành 570 (MS ES); nhìn tem vặn ốc tháo máy để kiểm tra hàng thật hàng giả Chú ý: Thao tác nâng cấp máy phức tạp chức tác dụng ấn phím On tắt máy, có "ý đồ" nâng cấp dịng máy 500 thành 570 để sử dụng lâu dài khơng khả thi rồi! ♦ Trị chơi 3: Viết tin nhắn Trò đùa thật đơn giản viết dịng tin nhắn hình để "vơ tình" gửi cho người khác Nhưng để thực điều đòi hỏi bạn phải am hiểu vận dụng nhịp nhàng chức Mode phím máy Trước hết, bạn thử thực hành tìm kết phép tốn hình bên xem, cho biến A = 2008,Y = 2009, E = 1000 Ấn = , kết 1, khơng phải "Syntax Error" nghĩ nhỉ?! Trị chơi 4: Đố vui toán Casio Bạn rành chức máy việc đặt câu đố vui cho bạn dễ dàng phải không Câu đố: Dùng phím máy Casio fx 570MS để gọi số lớn (máy mở chế độ Mode Comp)? Số theo bạn bao nhiêu? Bạn nêu cách cài đặt máy để tìm phần nguyên AB , với A B số nguyên dương bé 109 (phần nguyên lưu tự động vào máy) Bạn tham khảo thêm nhiều câu hỏi hay khác từ internet tài liệu máy tính cầm tay Trên tơi giới thiệu số vấn đề thú vị từ việc giải tốn máy tính cầm tay Casio Trong viết này, tơi khơng nêu dạng tốn mà tơi cảm thấy hay lập trình tìm số tự nhiên thỏa điều kiện ban đầu, phương trình nghiệm ngun, tốn hình học đặc biệt, phương trình hệ phương trình sai phân tuyến tính, tích phân suy rộng, Hy vọng bạn sinh viên bước đầu tiếp nhận hay làm quen với số dạng đặc trưng 58 loại tốn Các thơng tin tài liệu liên quan đến máy tính cầm tay bạn tải từ trang www.bitex.edu.vn, www.casiovn.com, www.maytinhdientu.com.vn www.mathvn.com Rất mong thời gian tới có nhiều bạn sinh viên đăng ký tham gia thi "Sinh viên giải toán máy tính cầm tay" cấp trường (do Khoa Tốn tổ chức vào khoảng đầu tháng 07) cấp khu vực (vào khoảng cuối tháng 10 đầu tháng 11)7 cho sinh viên trường cao đẳng, đại học hàng năm Chúc bạn vui khỏe thành công! LÊ TRUNG HIẾU (2009) B Trích Tập san Tốn học (2009): Xấp xỉ nghiệm toán Cauchy MT Casio fx570MS Với hỗ trợ cơng cụ tính tốn, việc giải tốn tốn mơn Giải tích số có phần thuận lợi Tơi muốn giới thiệu với bạn máy tính bỏ túi Fx-570MS cho vấn đề loại máy phổ biến thao tác đơn giản Bây giờ, tơi trình bày cách cài đặt thuật tốn máy tính bỏ túi để xấp xỉ nghiệm toán Cauchy sau: y = f (x, y); y(a) = y0 với a ≤ x ≤ b (*) Các cách cài đặt sau khơng khó để hiểu có chút kiến thức ngơn ngữ lập trình (chẳng hạn Pascal) Trước tiên, ta xóa tất ô nhớ máy thao tác đơn giản: SHIFT CLR = = Để xấp xỉ gần nghiệm toán (*), ta chia đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ điểm chia x0 = a, xk = x0 + k.h với k = 1, n (hay xk = xk−1 + h với k = 1, n) xn = b; đây, b−a h= bước chia Giá trị gần hàm điểm xk kí hiệu yk ≈ y(xk ) Giá trị n yk xấp xỉ công thức sau: Công thức Euler y(xk+1 ) ≈ yk+1 = yk + K k với k = 0, n − K k = h f (xk , yk ) Ta dùng ô nhớ X để chứa xk , ô nhớ Y để chứa yk ô nhớ A để chứa K k Trước tiên, ta gán y0 vào ô nhớ Y gán x0 − h vào ô nhớ X lập biểu thức sau lên hình: X=X + h : Y=Y + A : A=h f (X,Y) cuối việc ấn dấu = ghi kết Để minh họa, ta xét ví dụ sau: Hiện (2017), Casio khơng cịn tổ chức kỳ thi 59 Ví dụ Sử dụng cơng thức Euler để xấp xỉ nghiệm toán Cauchy y = y−x2 +1, ≤ x ≤ y(0) = 0.5 với n = 10 Ta có x0 = 0, y0 = 0.5 h = 0.2 Quy trình ấn phím máy Casio Fx-570MS sau: -0.2 SHIFT STO X ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 0.2 ALPHA : ALPHA Y ALPHA = ALPHA Y + ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = 0.2 ( ALPHA Y - ALPHA X x2 + ) Chú ý: phím = ấn sau phím ALPHA phím = màu đỏ ta sử dụng ý cho ví dụ sau Khi lập xong cơng thức trên, ta việc ấn dấu = ghi kết Kết sau lần ấn dấu = x0 , y0 , K , x1 , y1 , K , k xk 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 yk 0.500000 0.800000 1.152000 1.550400 1.988480 2.458176 Kk 0.300000 0.352000 0.398400 0.438080 0.469696 0.491635 k 10 xk 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 yk 2.949811 3.451773 3.950128 4.428154 4.865785 Kk 0.501962 0.498355 0.478026 0.437631 0.373157 Công thức Euler cải tiến K1k + K2k y(xk+1 ) ≈ yk+1 = yk + với k = 0, n − K1k = h f (xk , yk ) K2k = h f (xk + h, yk + K1k ) Ta dùng ô nhớ X để chứa xk , ô nhớ Y để chứa yk , ô nhớ A để chứa K1k ô nhớ B để chứa K2k Trước tiên, ta gán y0 vào ô nhớ Y gán x0 − h vào ô nhớ X lập biểu thức sau lên hình: X=X + h : Y=Y + (A + B) ÷ : A=h f (X,Y): B=h f (X + h, Y + A) cuối việc ấn dấu = ghi kết Để minh họa, ta xét ví dụ sau: Ví dụ Sử dụng cơng thức Euler cải tiến để xấp xỉ nghiệm toán Cauchy sau: y = y − x2 + 1, ≤ x ≤ y(0) = 0.5 với n = 10 Ta có x0 = 0, y0 = 0.5 h = 0.2 Quy trình ấn phím máy Casio Fx-570MS sau: -0.2 SHIFT STO X ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 0.2 ALPHA : ALPHA Y ALPHA = ALPHA Y + ( ALPHA A + ALPHA B ) ÷ ALPHA : ALPHA A ALPHA = 0.2 ( ALPHA Y - ALPHA X x2 + ) ALPHA : ALPHA B ALPHA = 0.2 ( ALPHA Y + ALPHA A - ( ALPHA X + 0.2 ) x2 + ) 60 Khi lập xong công thức trên, ta việc ấn dấu = ghi kết Kết sau lần ấn dấu = x0 , y0 , K10 , K20 , x1 , y1 , K11 , K21 , k xk 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 yk 0.500000 0.826000 1.206920 1.637242 2.110236 2.617688 K1k 0.300000 0.357200 0.409384 0.455448 0.494047 0.523538 K2k 0.352000 0.404640 0.451261 0.490538 0.520857 0.540245 k 10 xk 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 yk 3.149579 3.693686 4.235097 4.755619 5.233055 K1k 0.541916 0.546737 0.535019 0.503124 0.446611 K2k 0.546299 0.536085 0.506023 0.451748 0.367933 Công thức Runge-Kutta bậc bốn K1k + 2K2k + 2K3k + K4k y(xk+1 ) ≈ yk+1 = yk + K1k = h f (xk , yk ) K1k h k với k = 0, n − K2 = h f (xk + , yk + ) 2 Kk h K3k = h f (xk + , yk + ) 2 K4k = h f (xk + h, yk + K3k ) Nếu bạn nắm vững giải thuật cho công thức Euler cải tiến, hẳn bạn nói giải thuật cho Runge-Kutta bậc bốn thực tương tự hoàn toàn đồng ý với ý kiến Tuy nhiên, nhớ máy Casio Fx-570MS có giới hạn Vì vậy, việc cài đặt cơng thức q dài thực Để khắc phục hạn chế trên, tơi trình bày phương pháp khác có thủ cơng khơng phải ghi kết trung gian giấy Nhìn vào biểu thức Kik ta thấy chúng có phần tương tự Nếu ta đặt biểu thức g(xk , yk ) có dạng: α α g(xk , yk ) = h f (xk + h , yk + Kik ) 2 ta thấy rằng: • Nếu α = g(xk , yk ) = K1k • Nếu α = i = g(xk , yk ) = K2k • Nếu α = i = g(xk , yk ) = K3k • Nếu α = i = g(xk , yk ) = K4k Ta dùng ô nhớ X để chứa xk , ô nhớ Y để chứa yk , ô nhớ E để chứa α, ô nhớ M biến tạm ô nhớ A, B, C D dùng để chứa K1k , K2k , K3k K4k Trước tiên, ta gán y0 vào ô nhớ Y, gán x0 vào ô nhớ X gán vào ô nhớ E Từ nhận xét trên, ta lập biểu thức sau lên hình: E E M=h f (X + h , Y + M ) 2 Kik ; Với giá trị xk , yk giá trị E (E nhận giá trị 0, 1, 1, 2), ta tính M gán vào ô nhớ A, B, C, D (tương ứng với giá trị E) Và cuối ta tính yk+1 theo 61 cơng thức sau: Y=Y + (A + 2B + 2C + D) ÷ Biểu thức M cịn lưu hình Do đó, để tính giá trị khác ta cần gán lại giá trị X E dùng trỏ dịch chuyển hình biểu thức M Để hiểu rõ phương pháp trên, ta xét ví dụ sau: Ví dụ Sử dụng cơng thức Runge-Kutta bậc bốn để xấp xỉ nghiệm toán Cauchy y = y − x2 + 1, ≤ x ≤ y(0) = 0.5 với n = 10 Ta có h = 0.2, x0 = y0 = 0.5 Quy trình ấn phím máy Casio Fx-570MS sau: 0.5 SHIFT STO Y SHIFT STO X SHIFT STO E ALPHA M ALPHA = 0.2 ( ALPHA Y + ALPHA M ALPHA E ÷ - ( ALPHA X + 0.2 ALPHA E ÷ ) x2 + ) = (**) Ans SHIFT STO A —–> ghi kết K1 SHIFT STO E = Ans SHIFT STO B —–> ghi kết K2 = Ans SHIFT STO C —–> ghi kết K3 SHIFT STO E = Ans SHIFT STO D —–> ghi kết K4 ALPHA Y ALPHA = ALPHA Y + ( ALPHA A + ALPHA B + ALPHA C + ALPHA D ) ÷ = ——> ghi kết y Để tính tiếp y2 , ta gán thực hiện: SHIFT STO E 0.2 SHIFT STO X sau đó, dùng trỏ dịch chuyển hình biểu thức (**) ấn dấu = ; tiếp theo, ta thực tương tự thu kết bảng sau (với chữ số thập phân) k 10 xk 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 yk 0.500000 0.829293 1.214076 1.648922 2.127203 2.640823 3.179894 3.732340 4.283409 4.815086 5.305363 K1k 0.300000 0.357859 0.410815 0.457784 0.497441 0.528165 0.547979 0.554468 0.544682 0.515017 0.461073 K2k 0.328000 0.383645 0.433897 0.477563 0.513185 0.538981 0.552777 0.551915 0.533150 0.492519 0.425180 K3k 0.330800 0.386223 0.436205 0.479541 0.514759 0.540063 0.553257 0.551659 0.531997 0.490269 0.421591 K4k 0.358160 0.411103 0.458056 0.497693 0.528392 0.548177 0.554630 0.544800 0.515081 0.461071 0.377391 Máy tính Casio Fx-570MS khơng phải cơng cụ tối ưu hàm f (x, y) phức tạp máy khơng đủ nhớ để lưu cơng thức vừa tính Do vậy, để tận dụng tối đa khả máy giải thuật vừa trình bày, bạn đọc cần tham khảo thêm tài liệu hướng dẫn sử 62 dụng máy để hiểu rõ thứ tự ưu tiên phép tốn mà tránh ấn phím dư thừa (tức phím có được, mà khơng có khơng ảnh hưởng gì) để khơng tốn nhiều nhớ máy Đối với toán như: xấp xỉ tích phân, tìm nghiệm gần phương trình, hệ phương trình tuyến tính, máy tỏ hiệu xin hẹn lại viết sau Rất mong nhận trao đổi đóng góp quý độc giả TRẦN HỒI DƯƠNG8 C Giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1, Q trình tìm số hạng tổng quát un dãy số dạng truy hồi xem tìm nghiệm tổng quát phương trình dãy số Cấp 1: A Dãy số truy hồi dạng u1 = a un+1 = Aun , n ≥ , a, A ∈ R Đây cấp số nhân với cơng bội A, un = u1 An−1 B Dãy số truy hồi dạng u1 = a un+1 = Aun + B, n ≥ , a, A, B ∈ R Ta có u2 = Au1 + B u3 = Au2 + B = A2 u1 + AB + B u4 = Au3 + B = A3 u1 + A2 B + AB + B un = An−1 u1 + An−2 + An−3 + + A + B (1 − An−1 ) n−1 un = A u1 + B , 1−A A=1 Trường hợp A = tốn trở nên đơn giản, tương tự ta có un = An−1 u1 + B(n − 1) Cấp 2: C Dãy số truy hồi dạng u1 = a , u2 = b un+2 = Aun+1 + Bun , n ≥ , a, b, A, B ∈ R Giải phương trình đặc trưng tương ứng: k2 − Ak − B = Cựu sinh viên lớp ĐHSToán2005A, Khoa Sư phạm Toán học 63 (1) Có ba trường hợp sau Phương trình đặc trưng có nghiệm thực phân biệt k1 , k2 : Khi nghiệm tổng quát (số hạng tổng quát) dãy số cho có dạng un = c1 k1n + c2 k2n , c1 , c2 ∈ R Thay n = 1, n = vào biểu thức un ta có hệ pt ẩn c1 , c2 Bấm máy tìm c1 , c2 dễ dàng Như ta tìm un Phương trình đặc trưng có nghiệm kép k1 = k2 = α : Khi nghiệm tổng quát dãy số cho có dạng un = c1 α n + c2 nα n , c1 , c2 ∈ R Thay n = 1, n = vào biểu thức un ta có hệ pt ẩn c1 , c2 Bấm máy tìm c1 , c2 dễ dàng Như ta tìm un Phương trình đặc trưng có nghiệm phức k1 = α + iβ = r(cos θ + i sin θ ) k2 = α − iβ = r(cos θ − i sin θ ) Khi nghiệm tổng quát dãy số cho có dạng un = rn c1 cos(θ n) + c2 sin(θ n) , c1 , c2 ∈ R Thay n = 1, n = vào biểu thức un ta có hệ pt ẩn c1 , c2 Bấm máy tìm c1 , c2 dễ dàng Như ta tìm un u1 = a , u2 = b un+2 = Aun+1 + Bun + f (n), n ≥ 1, R, f (n) hàm số biến n D Dãy số truy hồi dạng (1) với a, b, A, B,C ∈ ? ta xét f (n) có dạng sau: f (n) = α n Pm , Pm đa thức bậc m ≥ Tìm nghiệm tổng quát un gồm hai bước sau: u1 = a , u2 = b un+2 = Aun+1 + Bun , n ≥ 1, phương pháp trình bày mục (tuy nhiên chưa cần giải tìm c1 , c2 ) Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát un dãy (thuần nhất) tương ứng (2) Bước 2: Tìm nghiệm riêng un (1): Giải phương trình đặc trưng k2 − Ak − B = (3) để xác định dạng nghiệm un : n un = α Qm : Nếu α không nghiệm (3) un = nα n Qm : Nếu α nghiệm đơn (3) un = n2 α n Qm : Nếu α nghiệm kép (3) đó, Qm đa thức bậc m (cùng bậc với Pm ) Thay nghiệm riêng un vừa tìm vào (1), dùng phương pháp đồng hệ số, tìm Qm Kết luận: Nghiệm tổng quát un = un + un Lần lượt cho n = 1, n = 2, ta tìm c1 , c2 từ tìm số hạng tổng qt dãy số cho u1 = , u2 = 11 un+2 = 4un+1 − 3un + n2 , n ≥ 1, E Ví dụ: Tìm số hạng tổng qt dãy số sau Tính u1000 ? ? ta có: f (n) = n2 , ta có α = 1, P2 = n2 64 (*) Tìm nghiệm tổng quát un dãy (thuần nhất) u1 = , u2 = 11 un+2 = 4un+1 − 3un , n ≥ 1, Phương trình đặc trưng k2 − 4k2 + = có hai nghiệm phân biệt k1 = 1, k2 = Nghiệm tổng quát un có dạng: un = c1 1n + c2 3n = c1 + c2 3n Vậy un = c1 + c2 3n Vì nghiệm phương trình đặc trưng P2 = n2 (bậc 2) nên dạng nghiệm riêng un (*) là: un = n(An2 + Bn +C) = An3 + Bn2 +Cn thay vào (*) ta có un+2 − 4un+1 + 3un = n2 ⇔ A(n + 2)3 + B(n + 2)2 +C(n + 2) − A(n + 1)3 ) + B(n + 1)2 +C(n + 1) + An3 + Bn2 + Cn = n2 ⇔ −6An2 − 4Bn + 4A − 2C= n2 −6A = A = −1/6 Đồng hệ số ta có −4B = ⇒ B=0 4A − 2C = C = −1/3 1 Suy nghiệm riêng un = − n3 − n Vậy: Nghiệm tổng quát của phương trình dãy số (*) 1 un = un + un = c1 + c2 3n − n3 − n Lần lượt thay n = 1, vào biểu thức un ta có: 1 1 = c1 + 3c2 − − 11 = c1 + 9c2 − 23 − 6 Giải c1 = 7/4, c2 = 5/4 1 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho là: un = + 3n − n3 − n Thế n=1000 vào un 4 ta tính u1000 F Chú ý: Các bạn tìm số hạng tổng qt dãy số dạng u1 = a , u2 = b, u3 = c; un+3 = Aun+2 + Bun+1 +Cun , n ≥ 1, a, b, c, A, B,C ∈ R Bằng cách giải phương trình đặc trưng: k3 − Ak2 − Bk −C = (SV tham khảo thêm) D Dùng máy tính cầm tay (Casio fx 570MS, 570VN Plus) hỗ trợ xử lý số liệu thống kê A VÀI PHÉP TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH XÁC SUẤT VÀ TÌM GIÁ TRỊ HÀM PHÂN PHỐI: ♦ Tổ hợp, chỉnh hợp, hốn vị, lũy thừa ex Tính Tổ hợp Cnr Chỉnh hợp Arn Hốn vị n! Phím chức nCr nPr x! 65 Lũy thừa ex ex e ∧ b ♦ Tích phân f (x)dx a , dx f (X) + Thao tác máy fx 570MS: a , b = + Thao tác máy fx 570ES: Dùng phím chức Biến mặc định để tính tích phân X, thao tác bấm phím để gọi biến Alpha + Ví dụ: Tính X xe−x dx máy fx 570MS Thao tác: dx quả: 0,536611 Alpha X × ex ( Shift ♦ Hàm phân phối chuẩn tắc N(0, 1) : Φ(x) = √ 2π x Alpha t2 e− dt, X ) , , = Kết x ∈ R −∞ + Thao tác tính Φ(a) (với a ∈ R) máy fx 570MS: Bước 1: Vào chế độ thống kê, thao tác Mode Mode (chọn SD) Bước 2: Tính giá trị Φ(a), thao tác Shift Distr (chọn P() a = Ví dụ: Tính Φ(1, 96), thao tác Mode Mode (nếu máy chế độ SD bỏ qua thao tác này) Shift Distr 1,96 = Kết quả: 0,975 + Thao tác máy Casio fx 570VN PLus: Bước 1: Vào chế độ thống kê, thao tác Mode (chọn STAT) (chọn 1- Var) Bước 2: Tính giá trị Φ(a), thao tác Shift STAT (chọn Distr) (chọn P() a = Ví dụ: Tính Φ(1, 96), thao tác Mode (nếu máy chế độ STAT bỏ qua thao tác này) Shift STAT 1,96 = Kết quả: 0,975 B TÍNH CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG MẪU Tính số đặc trưng mẫu x, s2 , s, s2 , s mẫu số liệu thực nghiệm biểu diễn dạng x1 x2 xk Xi bảng tần số sau Tần số ni n1 n2 nk ♦ Thao tác máy Casio fx 570MS: Bước 1: Vào chế độ thống kê SD Máy 570MS: Mode Mode Nếu máy vào chế độ SD để tính tốn trước bạn nên vào chế độ SD trở lại để xóa liệu cũ Bước 2: Nhập liệu vào máy, thao tác liên tục sau x1 Shift ; n1 M+ (nếu n1 = thao tác rút gọn x1 M+ ) x2 Shift ; n2 M+ (nếu n2 = thao tác rút gọn x2 M+ ) xk Shift ; nk M+ (nếu nk = thao tác rút gọn xk M+ ) Ấn ON (hoặc tắt máy), lúc số liệu vừa nhập lưu lại 66 Bước 3: Kiểm tra lại số liệu nhập (bước phụ) Dùng phím di chuyển trỏ lên xuống để kiểm tra số liệu nhập vào Trong trình di chuyển để kiểm tra, thấy giá trị hình "x1 =" giá trị x1 , "Freq1 =" giá trị tần số x1 Nếu liệu nhập vào cho x1 sai hình "x1 = " bạn nhập lại giá trị đúng, ấn = , máy lưu giá trị vào cho x1 , tương tự cho việc sửa tất giá trị lại Nếu số liệu nhập vào hồn tồn tiến hành gọi kết bước sau Bước 4: Gọi liệu ra, ấn Shift S-Var , hình máy sau Chọn: = = = ◦ Chú ý: Để tính s2 , ấn Shift Để tính s2 , ấn Shift S-Var x2 S-Var x2 Tương tự, thao tác Shift để tính x để tính s để tính s = = S-Sum , máy Chọn: = để tính ∑ xi2 ni = để tính ∑ xi ni = để tính n i i ♦ Thao tác máy Casio f x 570VN PLus: Bước (Vào chế độ thống kê STAT): Thao tác Mode (chọn STAT, 1-Var) Nếu máy vào chế độ STAT để tính tốn trước bạn nên vào chế độ STAT trở lại để xóa liệu cũ Màn hình hai cột: Cột nhập giá trị xi cột nhập tần số ni X — — Freq — — — — ◦ Chú ý: Khi chọn Mode máy khơng có cột tần số Freq chỉnh lại cài đặt thao tác Shift Setup (chọn STAT, chọn ON) Bước (Nhập liệu vào máy): Tại trỏ, ta nhập giá trị x ấn = Dùng phím di chuyển trỏ qua lại lên xuống để nhập sửa số liệu Khi thấy số liệu hoàn toàn đúng, ấn ON , lúc máy lưu lại số liệu vừa nhập, bạn tắt máy số liệu lưu lại Bước (Gọi liệu ra): 67 Thao tác Shift STAT (Var), máy 1: n 3: σx 2: x 4: sx chọn −→ = = = = để tính n để tính x để tính s để tính s ◦ Chú ý: Để tính s2 , ấn Shift STAT x2 (phím bình phương) = Để tính s2 , ấn Shift STAT 4 x2 Tương tự thao tác Shift 1: ∑ x2 2: ∑ x = STAT (Sum), máy chọn để tính ∑i xi2 ni −→ để tính ∑i xi ni ♦ Ví dụ: Cho mẫu số liệu trọng lượng X (đơn vị kg) 15 sinh viên nam khoa chọn ngẫu nhiên để đo, kết trọng lượng cho bảng tần số sau X(kg) 47 49 52 55 60 Tần số ni Hãy tính số đặc trưng mẫu x, s2 , s, s2 , s mẫu số liệu thực nghiệm Giải Ta có 1 42553 x = ∑ xi ni = 53, 1333; x2 = ∑ xi2 ni = = 2836, 8667 n i n i 15 s2 = x2 − (x)2 = 13, 7156 ⇒ s = s2 = 3, 7035 √ n n s = s2 = [x2 − (x)2 ] = 14, 6953 ⇒ s = s2 = 3, 8334 n−1 n−1 Yêu cầu bạn thao tác lại máy để kiểm tra kết C TƯƠNG QUAN, HỒI QUY TUYẾN TÍNH: Tìm hệ số tương quan mẫu rxy , lập phương trình hồi quy tuyến tính y theo x bảng số liệu thu hai biến ngẫu nhiên X,Y sau X x1 x2 x3 xk X x1 x2 x3 xk Y y1 y2 y3 yk ; Có tần số: Khơng có tần số: Y y1 y2 y3 yk Tần số ni n1 n2 n3 nk ♦ Thao tác máy Casio fx 570MS: Bước 1: Vào chế độ hồi quy tuyến tính REG Mode Mode (chọn REG) (chọn Lin) Nếu máy tính bạn vào chế độ REG để tính tốn trước bạn nên vào lại chế độ REG lần để xóa liệu cũ máy Bước 2: Nhập liệu vào máy x1 x2 , , y1 Shift ; n1 M+ (nếu n1 = rút gọn x1 y2 Shift ; n2 M+ (nếu n2 = rút gọn x2 68 , , y1 M+ ) y2 M+ ) xk , yk Shift ; nk M+ (nếu nk = rút gọn xk , yk M+ ) Ấn ON (hoặc tắt máy), lúc số liệu vừa nhập lưu lưu lại Bước 3: Kiểm tra lại số liệu nhập (bước phụ) Dùng phím di chuyển trỏ lên xuống tương tự mục B nói để kiểm tra số liệu nhập vào hay sai Bước 4: Gọi liệu Tương tự việc tính số đặc trưng mẫu Mục B, bạn dùng Shift S-Var Shift S-Sum , kết hợp phím di chuyển trỏ để tính x, sx , sx , y, sy , sy , hệ số tương quan mẫu rxy , hệ số A B phương trình hồi quy tuyến tính y theo x dạng y = A + Bx ♦ Thao tác máy Casio fx 570VN Plus: Bước (Vào chế độ hồi quy tuyến tính REG): Mode (chọn STAT) (chọn A + Bx) Nếu máy tính bạn vào chế độ REG để tính tốn trước bạn nên vào lại chế độ REG lần để xóa liệu cũ máy Màn hình ba cột: Cột nhập giá trị xi , yi ni X — — Y — — Freq — — — — — ◦ Chú ý: Khi chọn Mode máy khơng có cột tần số Freq chỉnh lại cài đặt thao tác Shift Setup (chọn STAT) (chọn ON) Bước (Nhập liệu vào máy): Nhập giá trị vào máy ấn = để lưu Dùng phím di chuyển trỏ qua lại lên xuống để nhập sửa số liệu Khi thấy số liệu hoàn toàn đúng, ấn ON , lúc máy lưu lại số liệu vừa nhập Bước (Gọi liệu ra): Shift STAT (Sum) 1: ∑ x2 2: ∑ x 3: ∑ y 4: ∑ y 5: ∑ xy 6: ∑ x3 7: ∑ x2 y 8: ∑ x4 Shift 1: n 3: sx 5: y 7: sy STAT (Var) 2: x 4: sx 6: sy 69 Shift 1: A 3: rxy 5: y STAT (Reg) 2: B 4: x ♦ Ví dụ: Cho bảng số liệu công ty mức doanh thu X (tỉ đồng) số tiền dành cho quảng cáo Y (triệu đồng) số tháng sau X Y 45 60 75 11 90 80 a) Hãy xác định hệ số tương quan mẫu rxy b) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm y theo x n n n Giải a) x = ∑ xi = 8; y = ∑ yi = 70; xy = ∑ xi yi = 2955 = 591 n i=1 n i=1 n i=1 s2x = x2 − (x)2 = ⇒ sx = 2; s2y = y2 − (y)2 = 250 ⇒ sy = 15.8114 xy − x.y Vậy r = = 0, 9803 sx sy b) Phương trình hồi quy tuyến tính y theo x y = ax + b (phương trình máy y=A+Bx) a = xy − x.y ; a = 7, 75 (giá trị B máy tính) s2x ⇒ b=8 (giá trị A máy tính) b = y − bx Vậy phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm y theo x : y = 7, 75x + E Cách đổi năm dương lịch năm âm lịch Câu hỏi 1: Năm 2009 năm Kỷ Sửu, năm 2010 năm gì? Câu hỏi 2: Người thân bạn sinh năm 1951, năm năm (chi can gì)? Trả lời: Bảng CAN CHI CAN: - Giáp, - Ất, - Bính, - Đinh, - Mậu, - Kỷ, - Canh, - Tân, - Nhâm, 10 - Quý CHI: - Tý, - Sửu, - Dần, - Mão, - Thìn, - Tỵ, - Ngọ, - Mùi, - Thân, 10 - Dậu, 11 Tuất, 12 - Hợi Như 10 năm can lặp lại; 12 năm chi lặp lại (gọi cách giáp) Cách tính : Câu 1: Dựa theo bảng can chi ta thấy: Sau Kỷ Canh, sau Sửu Dần Vậy sau năm Kỷ Sửu năm Canh Dần Câu hỏi mở rộng: Sau năm gặp lại năm Canh Dần? Vì sao? Trả lời: 60 năm, BSCNN(10;12) = 60 70 Bạn tưởng tượng bạn có bánh răng, bánh xe có 10 bánh xe có 12 Đánh dấu hai bánh điểm chúng tiếp xúc Ta thấy bánh lớn sau quay vòng (60/12=5), bánh nhỏ sau quay vịng (60/10=6) hai điểm đánh dấu lại tiếp xúc lần nữa! Câu 2: Cách tính tổng quát cho năm Giả sử năm a 1) Tìm CAN: Lấy a − 3, chữ số hàng đơn vị a − tính cho CAN theo bảng (0 tương đương với Q) Ví dụ: Tìm can năm 1951, 1951 - = 1948, chữ số hàng đơn vị 8, tương đương với can Tân 2) Tìm CHI: Lấy a − chia cho 12, số dư r tìm tính cho CHI theo bảng (0 tương đương với Hợi) Ví dụ: 1951 - = 1948, 1948 : 12 = 162 dư r = Số dư 4, ứng với chi Mão (Mẹo) Vậy năm 1951 năm Tân Mão Bạn thử giải thích điều đồng dư số học xem! 71 ... thức P (x) = + x + x2 + x3 + + x2 009 Q (x) = x1 1 + x1 2 + x1 3 + + x2 010 x = 0, 570038 ĐS: Tìm dư phép chia P (x) = x7 − 2x5 − 3x4 + x − cho (x + 5) ĐS: Tìm dư chia đa thức P (x) = 3x4 0 + x1 1 − 2x8 −... Máy Casio fx 58 0VN X Máy tính Casio fx 580 VN X Bộ Giáo dục Đào tạo cho phép thí sinh sử dụng phịng thi Tổng số tính máy 521 tính Sau số điểm hình thức chức máy Casio fx 580 VN X khơng có máy Casio. .. = C74 ĐS: sin x cos x2 x = 10, x = −1, 572, x = π ex √ √ sin2 x + (3 + 3) sin x cos x + ( − 1) cos2 x b) Tính gần giá trị hàm số f (x) = tan x − cot x + sin2 2x + cos 2x π 3π x = −2; ; 1, 25;