Một Số Phương Pháp Đếm Trong Các Bài Toán Hình Học Tổ Hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THÚY QUỲNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẾM TRONG CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THÚY QUỲNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẾM TRONG CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP LUẬN VĂN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2016 i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Các quy tắc đếm 1.1.1 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.1.2 Tổ hợp chỉnh hợp Một số nguyên lý 1.2.1 Bất biến 1.2.2 Nguyên lí Dirichlet 1.2.3 Nguyên lí cực hạn Phân loại phương pháp giải toán đếm hình học tổ hợp 2.1 Phân loại toán đếm 2.1.1 Đếm đối tượng tạo điểm, đoạn thẳng, đường thẳng 2.1.2 Đếm đối tượng tạo thành miền mặt phẳng 12 Các phương pháp giải toán đếm 14 2.2.1 Phương pháp sử dụng nguyên lí bất biến 14 2.2.2 Phương pháp sử dụng nguyên lí Dirichlet 22 2.2.3 Phương pháp sử dụng nguyên lí cực hạn 38 2.2 Các dạng toán liên quan 49 3.1 Bài toán tơ màu hình vẽ 49 3.2 Đếm cấu hình 63 3.3 Phối hợp phương pháp đếm khác 64 Tài liệu tham khảo 71 Mở đầu Hình học tổ hợp phần quan trọng tốn học nói chung tổ hợp nói riêng, thường xuất đề thi học sinh giỏi Olympic cấp Bài tốn tổ hợp nói chung hình học tổ hợp nói riêng thường tốn khó, phong phú linh hoạt cách giải Tuy nhiên, nước ta nay, tài liệu tổ hợp chưa nhiều, tài liệu hình học tổ hợp lại Do đó, tơi viết luận văn với mong muốn cung cấp thêm cho em học sinh phổ thơng tài liệu hay bổ ích, nhằm đáp ứng phần lòng đam mê, yêu thích khám phá tốn học học sinh, đồng thời tơi mong tài liệu bổ ích để đồng nghiệp tham khảo Luận văn đề cập đến số phương pháp để giải tốn đếm hình học tổ hợp Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, nội dung luận văn gồm ba chương Chương nhắc lại số kiến thức chuẩn bị, liên quan đến công thức đếm tổ hợp Chương đưa phân loại số đối tượng đếm hình học tổ hợp nêu ba phương pháp để giải toán đếm Phương pháp sử dụng nguyên lí bất biến phương pháp hiệu để giải toán đếm Ta thường sử dụng ngun lí bất biến tốn có tính chất khơng thay đổi qua tác động, biến đổi hệ thống Phương pháp sử dụng nguyên lí Dirichlet phương pháp thơng dụng để giải tốn hình học tổ hợp Dùng ngun lí nhiều trường hợp ta dễ dàng chứng minh tồn đối tượng với tính chất xác định, với nguyên lí ta thường chứng minh tồn mà khơng đưa phương pháp tìm đối tượng cụ thể Phương pháp sử dụng nguyên lí cực hạn vào giải tốn hình học tổ hợp phương pháp vận dụng cho nhiều lớp tốn khác Ngun lí dùng để giải toán mà đối tượng phải xét tồn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ theo nghĩa thường kết hợp với phương pháp khác, đặc biệt phương pháp phản chứng Chương nêu số dạng tốn liên quan tốn tơ màu, tốn đếm cấu hình số tốn hình học tổ hợp đề thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Trong chương tập thường dẫn dắt theo chủ đề định Đồng thời, có lời giải chi tiết, ngắn gọn, sáng tạo bất ngờ Tác giả hi vọng, điều giúp người đọc tìm thấy cho kiến thức bổ ích kích thích ham hiểu biết lịng say mê học tốn người đọc Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình nghiêm túc thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tôi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy cô giảng viên quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian học tập nghiên cứu Trường Thái Nguyên, ngày 29 tháng năm 2016 Học viên Dương Thúy Quỳnh Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Các quy tắc đếm Quy tắc cộng quy tắc nhân Quy tắc cộng: Nếu cơng việc A có hai phương án thực (loại trừ lẫn nhau), phương án có n1 cách thực hiện, phương án có n2 cách thực cơng việc A có n1 + n2 cách thực Trên ngơn ngữ tập hợp: A∩B = ∅ |A ∪ B| = |A| + |B| Quy tắc nhân: Nếu cơng việc A chia thành cơng đoạn tiếp nối nhau, cơng đoạn có n1 cách thực hiện, cơng đọan có n2 cách thực cơng việc A có n1 n2 cách thực Trên ngôn ngữ tập hợp: |A.B| = |A|.|B| Quy tắc phần bù: |A| = |X| − |A|, A phần bù A X 1.1.2 Tổ hợp chỉnh hợp Xét tập hợp X gồm n phần tử Từ tập hợp này, ta xây dựng đối tượng tổ hợp phong phú Tập tập tập X : Tập tập X ký hiệu P (X) Dễ thấy |P(X)| = 2n Các tập tập hợp đối tượng xuất nhiều toán đếm Chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập k tập hợp k phần tử phân biệt thứ tự tập hợp Ví dụ X = {1, 2, 3} k = ta có chỉnh hợp (1, 2), (1,3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu Akn Hoán vị: Hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử đó, nói cách khác, cách thứ tự phần tử Hốn vị X cịn định nghĩa song ánh từ X vào X Số hoán vị n phần tử ký hiệu Pn Tổ hợp: Tổ hợp chập k tập hợp k phần tử phân biệt không thứ tự tập hợp Nói cách khác, tập k phần tử Ví dụ X = {1, 2, 3} k = ta có tổ hợp {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} Số tổ chập k n phần tử ký hiệu Cnk Chỉnh hợp lặp: Chỉnh hợp lặp chập k tập hợp k phần tử không thiết phân biệt thứ tự tập hợp Ví dụ X = {1, 2, 3} k = ta có chỉnh hợp lặp {1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {3, 2}, {3, 3} Số chỉnh hợp lặp chập k k n phần tử ký hiệu An Tổ hợp lặp: Tổ hợp lặp chập k tập hợp k phần tử không thiết phân biệt không thứ tự tập hợp Ví dụ X = {1, 2, 3} k = ta có tổ hợp lặp {1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 3} Số tổ hợp lặp chập k n phần tử ký hiệu k C n 1.2 1.2.1 Một số nguyên lý Bất biến a) Khái niệm bất biến Giả sử ta có hệ thống (X) đại lượng phép biến đổi theo thứ tự Tính chất P gọi bất biến sau s bước hệ thống (X) sau s bước biến đổi ta nhận lại tính chất P b) Ứng dụng nguyên lý bất biến Bất biến đại lượng (hay tính chất) khơng thay đổi trình thực phép biến đổi Chẳng hạn thực phép tịnh tiến khoảng cách hai điểm khơng thay đổi Với phép vị tự khác, khoảng cách thay đổi có bất biến khác, tỉ lệ hai đoạn thẳng Có hai mẫu toán tổng quát thường giải bất biến Bài tốn tổng qt 1.1 Có tập hợp trạng thái X tập hợp phép biến đổi T từ X vào X Có hai trạng thái a b thuộc X , hỏi dùng hữu hạn phép biến đổi thuộc T để đưa trạng thái a trạng thái b khơng? Bài tốn tổng qt 1.2 Có tập hợp trạng thái X tập hợp phép biến đổi T từ X vào X Cần chứng minh trạng thái a bất kì, sau số hữu hạn phép biến đổi từ T , ta đến trạng thái kết thúc (trong nhiều trường hợp trạng thái ổn định, tức không thay đổi tiếp tục tác động phép biến đổi từ T ) 1.2.2 Nguyên lí Dirichlet a) Nguyên lí Dirichlet Nguyên lí Dirichlet - cịn gọi ngun lí chuồng chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) - nguyên lý lồng nhốt thỏ nguyên lí xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer Principle) Ngun lí nhà tốn học người Đức Johann Dirichlet phát biểu năm 1834 ơng đề cập tới với tên gọi "ngun lí ngăn kéo" Vì vậy, tên gọi thơng dụng khác nguyên lý chuồng bồ câu "ngun lí ngăn kéo Dirichlet" hay đơi gọi gọn "ngun lí Dirichlet" Trong số ngơn ngữ tiếng Pháp, tiếng Ý tiếng Đức, nguyên lí gọi tên "ngăn kéo" "chuồng bồ câu" Nguyên lí Dirichlet bản: Nếu nhốt n + thỏ vào n chuồng có chuồng chứa hai thỏ, với n số ngun dương Ngun lí Dirichlet tổng qt: Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp tồn hộp chứa N đồ vật (ở kí hiệu [α] để phần nguyên số α) k Chứng minh N Giả sử hộp chứa vật Khi tổng số đồ vật là: k N N k −1