SKKN hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh trung học cơ sở

Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Đại hội XII Đảng xác định: “Đổi toàn diện giáo dục, đào tạo theo hướng mở, hội nhập, xây dựng xã hội học tập, phát triển toàn diện lực, thể chất, nhân cách, đạo đức, lối sống, ý thức tôn trọng pháp luật trách nhiệm công dân ” Để thực tốt yêu cầu đó, việc đổi giáo dục cần tập trung vào hai việc: "Đổi mạnh mẽ đồng yếu tố giáo dục, đào tạo; coi trọng phát triển phẩm chất lực người học" Một lực mà người Việt Nam nói chung giới trẻ cịn yếu tư phản biện Tư phản biện hay tư phân tích "một trình tư biện chứng gồm phân tích đánh giá thơng tin có theo cách nhìn khác cho vấn đề đặt nhằm làm sáng tỏ khẳng định lại tính xác vấn đề" Tư phản biện không đơn tiếp nhận trì thơng tin thụ động Đó tóm tắt q trình tư tìm lập luận phản bác lại kết q trình tư khác để xác định lại tính xác thơng tin Ý kiến phản biện có giá trị lớn định tới thành bại tổ chức chí tiến lồi người Với tình hình đó, nhà giáo dục cho trường học nên tập trung vào việc dạy học sinh tư phản biện Mỗi giáo viên q trình giảng dạy cần có ý thức hình thành cho HS tư phản biện Đối với mơn Tốn việc làm góp phần hình thành tư phản biện giáo viên cần ý hình thành cho HS phương pháp chứng minh phản chứng Nếu nắm vững vận dụng tốt phương pháp chứng minh phản chứng tạo cho HS thói quen biết lật lại vấn đề, biết nhìn nhiều mặt vấn đề, biết lập luận logic để phân tích việc, tìm mặt tối ưu vấn đề Đó sở vững để hình thành tư phản biện Phương pháp chứng minh phản chứng đề cập chương trình THCS Hiện chưa có tài liệu nghiên cứu việc áp dụng phương pháp mơn Tốn THCS Nhưng phương pháp chứng minh phản chứng "một phương pháp chứng minh độc đáo phổ biến tốn học" Thậm chí với nhiều tốn trở nên nhất, khơng dùng phương pháp phản chứng việc chứng minh khó khăn Đây lại phương pháp đòi hỏi khả tư logic, khả khái quát, khả tưởng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS tượng nên đa phần học sinh nói đến chứng minh phương pháp cảm thấy mơ hồ, khó hiểu khơng biết phải đâu, làm nào? Do giáo viên cần tạo điều kiện cho học sinh có hiểu biết đầy đủ chứng minh Tốn học có phương pháp chứng minh phản chứng 1.2 Mục đích nghiên cứu: Thơng qua đề tài nghiên cứu giúp cho học sinh: - Nắm bước cần thực chứng minh toán phương pháp phản chứng - Dần hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh - Tạo thói quen vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh Toán học 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài đưa tính chất, định lí tập cấp THCS vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài: nắm vững sở lý luận chứng minh Toán học chứng minh phản chứng - Điều tra khảo sát, tìm hiểu thực tế - Đối chiếu, so sánh, tích luỹ thơng tin - Đánh giá kết quả, rút học kinh nghiệm 1.5 Những điểm SKKN Với đề tài "Phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh Hình học 7" thấy phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp hay cần hình thành cho học sinh Nhưng hình thành phạm vi Hình học HS bị lãng quên năm lớp 8, lớp Mặt khác số toán Số học, Đại số vận dụng phương pháp phản chứng để chứng minh hiệu Vì tơi mạnh dạn mở rộng đề tài thành đề tài "Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh Trung học sở" Đề tài giúp học sinh rèn luyện thường xuyên phương pháp chứng minh phản chứng, từ nắm vững trở thành cơng cụ chứng minh hữu ích mà học sinh vận dụng cần Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Giáo viên mơn phải bao qt nội dung chương trình mơn học Nội dung chương trình mơn Tốn THCS xây dựng theo nguyên tắc "đảm bảo tính chỉnh thể chương trình mơn Tốn Nhà trường phổ thơng: Chương trình Tốn THCS phải xây dựng với chương trình Tiểu học chương trình Tốn THPT theo hệ thống quan điểm đạo chung: đảm bảo tính hệ thống lớp toàn cấp THCS" Mặt khác nội dung chương trình lớp phải phù hợp với đặc điểm tâm sinh lí, khả tiếp nhận học sinh Ví dụ phần Tốn xây dựng tinh thần tiếp nối kiến thức học bậc Tiểu học đồng thời bổ sung thêm số kiến thức mức độ đơn giản Nhưng lên lớp 7, chương trình đưa vào nhiều nội dung kiến thức khó Đặc biệt, "các kiến thức hình học trình bày theo đường kết hợp trực quan suy diễn Nhờ đo đạc, gấp hình, học sinh dự đốn kiện hình học tiếp cận với định lí Yêu cầu tập dượt suy luận, chứng minh tăng dần qua chương" Vì giáo viên mơn nói chung giáo viên dạy Tốn nói riêng, cần có nghiên cứu kĩ nội dung chương trình mơn học, nắm nội dung em học, nội dung củng cố mở rộng kiến thức học, nội dung học sinh bắt đầu tiếp nhận Điều giúp cho giáo viên giảng dạy có cách truyền đạt phù hợp với nội dung kiến thức 2.1.2 Giáo viên dạy mơn Tốn phải có hiểu biết đầy đủ chứng minh Toán học: Các tốn chứng minh phần khơng thể thiếu Tốn học Do q trình dạy Tốn, giáo viên cần có hiều biết đầy đủ chứng minh Tốn học để dần hình thành cho học sinh kiến thức phương pháp chứng minh Toán học Trong tốn học, chứng minh "một cách trình bày thuyết phục (sử dụng chuẩn mực chấp nhận lĩnh vực đó) phát biểu tốn học đắn" Chứng minh có từ lập luận suy diễn, Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS tranh luận kiểu quy nạp theo kinh nghiệm Có nghĩa là, "một chứng minh phải biểu diễn cho thấy phát biểu với trường hợp, khơng có ngoại lệ" Một mệnh đề chưa chứng minh chấp nhận gọi đốn Ở bậc phổ thơng em học sinh tiếp cận với phương pháp chứng minh toán học sau: + Phương pháp suy luận trực tiếp + Phương pháp quy nạp + Phương pháp chứng minh phản chứng + Phương pháp đồ thị + Phương pháp bảng + Phương pháp sơ đồ Các toán chứng minh THCS chủ yếu sử dụng phương pháp suy luận trực tiếp Các phương pháp chứng minh lại gặp chúng có ý nghĩa quan trọng, phần khơng thể thiếu Tốn học Một số tốn khơng thể dùng phương pháp suy luận trực tiếp, suy luận trực tiếp phức tạp, khó khăn Đối với tốn chứng minh phản chứng ta muốn công nhận kết luận tốn phải chứng minh điều ngược lại sai Phương pháp chứng minh phản chứng hiệu tốn liệu khó suy luận trực tiếp 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Mục tiêu mơn Tốn THCS "cung cấp cho học sinh kiến thức, phương pháp tốn học phổ thơng, bản, thiết thực; hình thành rèn luyện kĩ năng; rèn luyện khả suy luận hợp lí hợp lơgic" Do bước vào THCS học sinh phải dần làm quen với suy luận, chứng minh toán học Nếu lớp học sinh bước đầu làm quen với suy diễn đơn giản yêu cầu rèn luyện suy luận chứng minh tăng dần từ lớp đến lớp Trong chương trình Tốn học sinh bắt đầu làm quen với phương pháp chứng minh trực tiếp gián tiếp Nhiều học sinh đặc biệt học sinh trung bình, yếu, nói đến tốn chứng minh lúng túng không Một số giáo viên trình giảng dạy lại chưa ý mức đến việc hình thành tri thức mặt phương pháp cho học sinh Phương pháp chứng minh phản chứng đưa vào chương trình sách giáo khoa Toán THCS lớp Tuy nhiên tài liệu liên quan đến phương pháp chứng minh phản chứng tập chương trình vận dụng phương pháp Vì nhiều giáo viên khơng ý đến phương pháp q trình giảng dạy Các em không hiểu phương pháp chứng minh phản chứng gì? Cách trình bày dạng nào? Những tốn chứng minh phương pháp phản chứng Thậm chí em hiểu cách chứng minh số gợi ý việc tìm tốn tương tự để vận dụng khó khăn 2.3 Giải pháp để giải vấn đề Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS Phương pháp chứng minh phản chứng vừa vận dụng chứng minh tính chất, định lí vừa vận dụng tập số phần kiến thức chương trình Tốn THCS Để hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh, giáo viên cần nắm bước cần thực trình bày tốn chứng minh phương pháp phản chứng nghiên cứu để nắm học nội dung, tập vận dụng phương pháp để chứng minh Trong trình dạy học giáo viên cần có nghiên cứu tìm tịi, tận dụng hội để học sinh vận dụng phương pháp chứng minh cách thường xuyên để học sinh xem cơng cụ hữu hiệu chứng minh tốn học, vận dụng cần Giáo viên phải gợi mở để học sinh vận dụng nhiều cách làm toán suy xét xem với bài, cách chứng minh, cách làm hay hơn, tối ưu 2.3.1 Cấu trúc trình bày theo phương pháp chứng minh phản chứng Để chứng minh phương pháp phản chứng ta thực theo bước sau: Bước 1: (Phủ định kết luận) Giả sử có điều trái với kết luận Trong bước này, HS cần bao quát kiến thức, nắm rõ với vấn đề, hay tượng xảy trường hợp Nếu không xảy điều kết luận điều xảy Ví dụ: Khi xét hai đường thẳng xảy ba trường hợp: cắt nhau, song song, trùng Khi xét điểm đường thẳng xảy hai trường hợp: Điểm thuộc đường thẳng điểm không thuộc đường thẳng Khi xét hai số a b xảy ba trường hợp: a = b , a > b, a < b v.v Bước 2: (dẫn đến mâu thuẫn) Từ điều giả sử với giả thiết, ta dùng kiến thức học lập luận để suy điều mâu thuẫn với giả thiết, trái với điều biết (tiên đề, định lí, hệ quả, điều chứng minh) Bước 3: (Khẳng định kết luận) Từ điều mâu thuẫn trên, ta khẳng định điều trái kết luận sai Vậy kết luận cần phải chứng minh 2.3.2.Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng qua tiết học khố *Lên lớp HS tập suy luận làm quen với chứng minh Toán học Qua nghiên cứu nội dung chương trình tiết dạy, tơi thấy chương trình Tốn lớp phương pháp chứng minh phản chứng vận dụng nội dung sau: a) Tính chất hai đường thẳng song song: Nếu đương thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: + Hai góc so le ; + Hai góc đồng vị nhau; + Hai góc phía bù Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS Với tính chất sau học sinh hiểu vận dụng cuối học giáo viên hướng dẫn học sinh suy luận tính chất thứ qua việc trả lời câu hỏi gợi ý 30 trang 79 Sách tập Toán tập 1: "Trên hình vẽ , hai đường thẳng a, b song song với nhau, a A đường thẳng c cắt a A, cắt b B a) Lấy cặp góc so le ( chẳng hạn cặp A4, B1) P b) đo xem hai góc có hay khơng? ˆ c) Hãy lí luận A4 ˆ - Nếu A4 ˆ ˆ B1 theo gợi ý sau: B1 qua A ta vẽ tia AP cho PAB B1 ˆ b B - Thế AP // b, sao? c - Qua A vừa có a // b, vừa có AP // b sao? - Kết luận: Đường thẳng AP đường thẳng a Nói cách khác ˆ từ ˆ ˆ PAB A A B " Giáo viên cho học sinh thực câu a sau hướng dẫn học sinh trả lời câu b sau: ˆ ˆ ˆ B qua A ta vẽ tia AP cho PAB B - Nếu A - Do có cặp góc so le nên theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song AP // b - Khi đó, qua A vừa có a // b, vừa có AP // b, trái với tiên đề Ơclit đường thẳng song song 41 -Vậy đường thẳng AP đường thẳng a Nói cách khác PAB A ˆ A Bˆ ˆ nghĩa Bài tập vừa giúp HS suy luận tính chất thứ hai đường thẳng vừa củng cố tiên đề Ơclit Do giáo viên cần lưu ý dành thời gian cho HS làm Và sau HS làm xong, giáo viên giới thiệu cách suy luận suy luận theo phương pháp phản chứng, để giúp HS có khái niệm ban đầu phương pháp b) Tính chất ba đường thẳng song song: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với Ở " Từ vng góc đến song song " học sinh biết đến cách chứng minh tính chất cách chứng minh cho hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ ba Ở tiết luyện tập sau đó, sách giáo khoa hướng dẫn học sinh suy luận theo cách khác thông qua tập 45 Trang 98 : a) Vẽ d' // d d" // d ( d' d" phân biệt) b) Suy d' // d" cách trả lời câu hỏi sau: + Nếu d' cắt d" điểm M M có nằm d khơng? Vì sao? + Qua điểm M nằm ngồi d, vừa có d' // d, vừa có d" // d có trái với Tiên đề Ơ-clit không? + Nếu d' d" cắt ( trái với tiên đề Ơ-lit) chúng phải nào? Sau giáo viên cho học sinh vẽ hình câu a hướng dẫn trả lời câu hỏi câu b, giáo viên trình bày thành suy luận hồn chỉnh chứng minh tính chất d sau: Giả sử d căt d điểm M Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 d ' d'' Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS d / /d d / /d Vì nên d d' khơng có điểm chung Mà M thuộc d M khơng thể nằm d Khi qua điểm M nằm ngồi d vừa có vừa có d / /d mà d d hai đường thẳng phân biệt Điều trái với Tiên đề Ơ clit Do d d khơng thể cắt Vậy d d song song với Sau trình bày xong, giáo viên giới thiệu ta vừa suy tính chất ba đường thẳng song song phương pháp phản chứng Giáo viên giới thiệu bước: + Bước 1: Phủ định kết luận: Giả sử d căt d điểm M Vì d / /d nên d d' khơng có điểm chung Mà M thuộc d M khơng thể nằm d + Bước 2: Dẫn đến mâu thuẫn Khi qua điểm M nằm ngồi d vừa có d / /d vừa có d / /d mà d d hai đường thẳng phân biệt Điều trái với Tiên đề Ơ clit Do d d khơng thể cắt + Bước 3: Kết luận: Vậy d d song song với Qua học sinh bắt đầu biết đến cách trình bày suy luận phương pháp phản chứng Từ tương tự sau học Bài " Định lí" giáo viên u cầu học sinh trình bày tập 43 trang 81 SBT theo phương pháp phản chứng: Hãy chứng minh định lí: "Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song hai góc đồng vị nhau." Như chương I học sinh có hiểu biết ban đầu chứng minh phản chứng, biết trình bày chứng minh theo phương pháp b) Trong ôn tập chương II Hình học 7: Trong phần củng cố kiến thức chương, GV cho HS làm BT 67 SGK: Điền dấu "X" vào chỗ trống( ) cách thích hợp: Câu Đúng Sai Trong tam giác, góc nhỏ góc nhọn Trong tam giác, có hai góc nhọn Trong tam giác, góc lớn góc tù Trong tam giác vng, hai góc nhọn bù o ˆ ˆ Nếu A góc đáy tam giác cân A 90 Nếu A góc đáy tam giác cân A 90 ˆ ˆ o Qua tập này, GV rèn luyện chứng minh phản chứng cho HS giải thích câu hay sai Ví dụ như: Trong tam giác, góc nhỏ góc nhọn câu Giải thích: Giả sử tam giác góc nhỏ khơng phải góc nhọn góc tù góc vng Nếu góc nhỏ góc tù hai góc cịn lại góc tù Khi tổng ba góc tam giác lớn 180o Điều trái với định lí tổng ba góc tam giác Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS Nếu góc nhỏ góc vng hai góc cịn lại góc vng góc tù Khi tổng ba góc tam giác lớn 180 o Điều trái với định lí tổng ba góc tam giác Vậy điều giả sử khơng thể xảy ra, hay tam giác, góc nhỏ góc nhọn d) Định lí cạnh đối diện với góc lớn hơn: Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Định lí SGK khơng u cầu chứng minh Nhưng sau HS nắm nội dung định lí, giáo viên yêu cầu HS nhà làm BT 10 trang 25 SBT Tốn 7: ˆ Cho tam giác ABC có B C ˆ A + Có thể xảy AC < AB hay khơng? + Có thể xảy AC = AB hay khơng? B C Qua tốn học sinh trình bày thành chứng minh định lí sau: Cho tam giác ABC với Bˆ Cˆ , ta giả sử xảy AC > AB Khi xảy : AC < AB AC = AB + Nếu AC < AB theo định lí góc đối diện với cạnh lớn ta có Bˆ Cˆ Điều trái với giả thiết Bˆ Cˆ + Nếu AC = AB tam giác ABC cân A Khi Bˆ Cˆ Điều trái với giả thiết Bˆ Cˆ Do điều giả sử khơng thể xảy Vậy AC > AB e) Phần Đại số 7, học: "Sô vô tỉ Khái niệm bậc hai" đưa khẳng định: "Khơng có số hữu tỉ mà bình phương 2" Với khẳng định chứng minh phản chứng sau: Giả sử số hữu tỉ, tức m , m, n *, m tối giản hay ( m, n ) =1 Từ m m2 = 2n2 n n n m2 số chẵn m số chẵn m = 2k, k * Từ m2 = 2n2 4k2 = 2n2 n2 = 2k2 n2 số chẵn n số chẵn Do m chẵn, m n chẵn phân số n chưa tối giản Mâu thuẫn giả thiết Vậy khơng có số hữu tỉ mà bình phương số vô tỉ *Lên lớp 8, học sinh chủ yếu vận dụng phương pháp chứng minh trực tiếp Tuy nhiên, HS có hội vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng trường hợp sau: a) Trong "Tứ giác" sau học sinh học xong định lí tổng góc tứ giác, Gv củng cố cho HS qua tập trang 61 SBT: "Chứng minh góc tứ giác khơng thể góc nhọn, khơng thể góc tù" phương pháp phản chứng sau: Giả sử bốn góc tứ giác bốn góc nhọn tổng bốn góc tứ giác nhỏ 360o, trái với tính chất tổng góc tứ giác Vậy bốn góc tứ giác khơng thể góc nhọn Giả sử bốn góc tứ giác bốn góc tù tổng bốn góc tứ giác lớn 360o, trái với tính chất tổng góc tứ giác Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS Nhận xét: Với tập suy luận trực tiếp khó khăn, ta suy luận theo phương pháp pháp chứng sau: Giả sử hai đường thẳng phân biệt có hai điểm chung Mà có đường thẳng đường thẳng qua hai điểm nên hai đường thẳng trùng Điều vơ lí Vậy hai đường thẳng phân biệt có điểm chung khơng có điểm chung Bài tập 2: Cho ba điểm A, B, C AB = 2cm, AC = 3cm, BC = 4cm Chứng tỏ A khơng nằm B C ( Tốn bồi dưỡng HS lớp ) Nhận xét: Với toán này, học sinh lớp suy luận theo phương pháp phản chứng sau: Giả sử điểm A nằm điểm B C Khi ta có BA + AC = BC tức 2cm + 3cm = 4cm, vơ lí Vậy A khơng nằm B C Bài tâp 3: Cho đường thẳng a song song với đường thẳng b Chứng minh đường thẳng c cắt đường thẳng a cắt đường thẳng b (Ôn kiến thức - luyện kĩ Hình học 7) Phân tích: Đây tốn chứng minh hai đường thẳng cắt Với kiến thức chương I Hình học em khơng có dấu hiệu để chứng minh hai đường thẳng cắt nhau, em vừa học số tính chất hai đường thẳng song song Do ta nghĩ đến chứng minh phản chứng: giả sử xảy điều trái với kết luận, tức a b song song vận dụng tính chất đường thẳng song song để suy điều vơ lí Cụ thể, yêu cầu học sinh lập luận sau: a c Gọi giao điểm a c điểm M Giả sử c khơng cắt b Vì b // a nên c b M không trùng Suy c // b Như qua điểm M có hai đường thẳng b phân biệt a c song song với b Điều trái với tiên đề Ơclit Vậy điều giả sử không xảy ra, suy c phải cắt b Bài tập 4: Cho tam giác ABC có góc B góc C góc nhọn, kẻ AH vng góc với đường thẳng BC Chứng minh điểm H nằm hai điểm B C (Nâng cao phát triển Toán 7) Phân tích: Đây tốn xét quan hệ ba điểm thẳng hàng Cần cho HS hình dung quan hệ ba điểm đường thẳng: Hoặc điểm trùng điểm phân biệt Khi điểm phân biệt điểm phải nằm hai điểm lại Đồng thời tốn cịn liên quan đến góc tam giác nên vận dụng tính chất góc Giải: Giả sử điểm H khơng nằm hai điểm B C A Khi đó, xảy trường hợp: + Trường hợp 1: Điểm H trùng với điểm B (hoặc điểm C) B (hoặc C ) 90 ˆ ˆ o Trái với giả thiết góc B góc C góc nhọn Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 H B C12 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS + Trường hợp 2: Điểm B nằm hai điểm H C Ta có ABC góc ngồi B tam giác AHB nên theo tính chất góc ngồi ta suy ABC AHB Mà AHB = 90 o ABC 90 o , trái giả thiết góc B góc nhọn A + Trường hợp 3: Điểm C nằm hai điểm H B Tương tự ta suy góc C góc tù, trái giả thiết góc B H C góc nhọn Điều giả sử xảy C Vậy điểm H phải nằm hai điểm B C Bài tập 5: Cho tam giác ABC đều, đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Trên nửa mặt phẳng bờ DB không chứa A vẽ tia Dx cho BDx 15o Tia Dx cắt tia AB E Chứng minh HD = HE (Nâng cao phát triển Toán 7) Phân tích: Đây tốn chứng minh hai đoạn thẳng nhau, phần ta thường đưa chứng minh hai tam giác hình khơng có tam giác có hai cạnh tương ứng HD HE Tuy nhiên hình có nhiều góc biết số đo, ta dùng phương pháp phản chứng, vận dụng quan hệ góc cạnh đối diện tam giác đưa so sánh góc Giải: Giả sử HD khơng HE HD > HE HD < HE A + Nếu HD > HE HED HDE HED 15o (1) Mặt khác HA = HD suy HA > HE, HEA HAE HEA 30o (2) B H CD Từ (1) (2) suy BED > 45o Mà theo tính chất góc ngồi tam giác ta có 45 15 ABD BED o BDE o x o E Suy ABD > 60 , trái với giả thiết ABD = 60o + Nếu HD < HE, tương tự ta có ABD < 60o, trái với giả thiết Vậy HD = HE Bài tập 6: Cho tam giác ABC có góc góc nhọn Đường cao AD kẻ từ đỉnh A cắt trung tuyến BE kẻ từ đỉnh B phân giác CF góc C theo thứ tự điểm M, N; BE CF cắt P Chứng minh tam giác MNP khơng phải tam giác Phân tích: Việc chứng minh tam giác khơng nghe mơ hồ Ta thử giả sử tam giác MNP xem có dẫn đến điều mâu thuẫn khơng? Giải: Giả sử tam giác MNP tam giác Ta có: góc N = 600.Như vậy: C1 = 300 Vì CF tia phân giác góc C Nên ta có C2 = 300 MNP cho ta P1 = 60 P2 = 60 0 Do đó: P2 + C2 =90 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 13 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS Trong tam giác PEC, tổng hai góc đỉnh P đỉnh C 900, suy ra: E = 900 BE AC hay BE đường cao tam giác ABC Như tam giác ABC có trung tuyến BE đường cao nên tam giác = 60 , nên ABC tam giác cân, đỉnh B Nó lại có góc ba đường AD, BE, CF phải đồng quy điểm Điều trái với giả thiết chúng cắt điểm M, N, P Vậy tam giác MNP tam giác Bài tập 7: Cho tứ giác ABCD thoã mãn: AB BD AC CD Chứng minh AB < AC ( Bồi dưỡng Tốn tập ) Phân tích: Từ biểu thức AB BD AC CD để suy AB < AC khó khăn Ta thử giả sử AB AC xét quan hệ góc cạnh tam giác để suy điều trái với BĐT cho Giải: A B C Giả sử AB AC (1) suy BCA ABC Do BCD BCA ABC DBC Xét tam giác BCD ta có BCD DBC Nên BD > CD (2) Từ (1) (2) suy ra: AB + BD > AC + CD, trái giả thiết Vậy AB < AC D C Bài tập 8: Cho hình vng ABCD có cạnh a M trung điểm cạnh AD a Trên cạnh BC lấy điểm E cho CE Qua M kẻ đường thẳng song song với AE cắt cạnh CD F Chứng minh hình thang AMEF khơng thể hình thang cân Phân tích: Đây tốn chứng minh điều xảy Với dạng ta thường nên nghĩ đến chứng minh phản chứng Giải: Giả sử AMEF hình thang cân AM = EF(1)Và = Mà = ( hai góc so le trong) = MAE AEF MAE AEB AEF AEB AE tia phân giác góc FEB Mà AC tia phân giác góc FCE (tính chất tam giác vng) Suy A tâm đường trịn bàng tiếp góc A BEF tam giác EFC, đường trịn tiếp xúc với CE B, tiếp xúc với CF D Suy EF = EB + FD M a BE a EF > EB> a Mà0 CE 2 B E Suy EF > AM, trái với (1) Vậy AMEF khơng thể hình thang cân Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 D F C 14 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS Bài tập 9: Cho tam giác ABC có I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng d chia tam giác ABC thành hai phần có chu vi diện tích Chứng minh đường thẳng d qua I Giải: Giả sử đường thẳng d không qua điểm I I nằm tam giác AMN I nằm tứ giác BMNC Ta có I giao điểm ba đường phân giác nên I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC A Vì chu vi tam giác AMN chu vi tứ giác BMNC nên AM+AN=MB+BC+CN (1) Và SAMN SBMNC (2) I N M Gọi r khoảng cách từ I tới cạnh tam giác ABC Từ (1) ta có: AM AN r ( BM BC CN ).r SIAM SIAN SIMB SIBC SINC (3) B C + Nếu I nằm bên tam giác AMN Khi trừ vế với vế (2) cho (3) ta có SAMN SIAM SIAN SBMNC SIMB SIBC SINC SIMN SIMN , vơ lí + Nếu I nằm bên tứ giác BCNM Khi trừ vế với vế (2) cho (3) ta có SAMN SIAM SIAN SBMNC SIMB SIBC SINC SIMN SIMN , vơ lí Vậy I phải nằm cạnh MN, hay đường thẳng d qua điểm I Trong tốn trên, ngồi cách giải phản chứng cách giải khác khó khăn Tuy nhiên ta cịn gặp mà có nhiều cách giải, giải phản chứng đặc biệt số toán chứng minh phản chứng ngắn gọn, đơn giản cách khác Bài tập 10: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường phân giác BD Chứng minh 45o ADB 90o ( Tuyển chọn thi HSG Tốn THCS) Ta giải toán dựa vào quan hệ góc tam giác sau: Ta có tam giác ABD vng A nên ADB < 90o Vì BD tia phân giác góc B nên B ˆ o ˆ B ABC B 2 ADB o ˆ 90 90 B ABC 2 Mặt khác tam giác ABC vuông A nên ABC < 90o, suy ABC 45o ABC Do ADB > 45 45o 90 o o A ABC 90 o 45o ADB < 90 Vậy 45 o o M C Ta dùng phương pháp phản chứng để chứng minh sau: Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 ADB > 45o đơn giản 15 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS ˆ ˆ Giả sử ADB < 45o mà ADB B1 90o nên B 45o , suy B 45o Khi ABC 90o tức tam giác ABC tam giác tù, trái giả thiết tam giác ABC vuông A Vậy ADB > 45o Bài tập 11: Ở miền hình vuông ABCD lấy điểm E cho EAB EBA = 15o Chứng minh tam giác CDE tam giác ( Giáo trình Thực hành giải Tốn tập II) Đây toán chứng minh tam giác Ta chứng minh sau: Ta có tam giác AEB có EAB EBA = 15o A B E AEB nên I cân E EA = EB D C Khi AED BEC (c.g.c) ED EC (hai cạnh tương ứng) (1) Trong tam giác AED dựng tam giác AIE Suy DAI 15o Vì AB = AD, AE = AI DAI BAE 15o nên AID AEB (c - g - c) Suy DIA BEA 150o EID = 360o - 60o - 150o = 150o DIA EID Xét tam giác AID tam giác EID ta có AI = IE; DIA EID ; ID chung Nên AID EID ( c g c ) Suy AD = ED mà AD = DC (ABCD hình vng)(2) Từ (1) (2) suy ED = DC = CE Vậy tam giác EDC tam giác Tuy nhiên cách làm ta phải biết cách vẽ đường phụ, điều học sinh nghĩ Để chứng minh ED = DC ta dùng phương pháp phản chứng để chứng minh tiếp sau: Giả sử EDC tam giác nên DC > ED DC < ED + Nếu DC > ED 90o DAE Mà AEB BEC CED DEA = 360 mà o EAB 90 AD 15o 75 = DC(gt) nên AD o > EDDEA EAD mà o DEA 75 o ED = EC < DC DCE CDE 60 o BEC DEA AEB 150 > 75 nên DEC 60 o o DCE CDE DEC 180 o mà , trái với định lí o tổng ba góc tam giác + Nếu DC < ED lập luận tương tự ta có tổng ba góc tam giác DEC lớn 180o, trái với định lí tổng ba góc tam giác Như xảy DC = ED Bài tập 12 : Cho tam giác ABC với đường cao AH Gọi M N chân đường vng góc hạ từ H đến AB AC Chứng minh BM = CN tam giác ABC cân A.(Tuyển chọn thi Học sinh giỏi Toán THCS) Nhận xét: Với này, hai cách chứng minh: A - Sử dụng định lí Pyta go để chứng minh trực tiếp - So sánh cạnh góc tam giác với hai trường hợp: N + Với H nằm B C Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 16 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS + Với H nằm ngồi đoạn BC M Ta giải tốn theo phương pháp phản chứng sau: B H C Giả sử tam giác ABC không cân Không tính tổng qt, ta giả sử AB > AC Khi đó: HB > HC (quan hệ đường xiên hình chiếu) Theo định lí Pytago ta có BH BM HM ;CH CN2 HN2 Mà BM = CN(gt) Suy HM > HN Ta lại có AH AM HM ; AH AN HN (theo định lí Pytago) Suy AM HM AN HN mà HM > HN nên AM < AN Kết hợp với BM = CN suy AB < AC, trái với điều giả sử Vậy AB = AC hay ABC cân A Bài tập 13: Cho tam giác ABC có AH vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác kẻ từ A Chứng minh tam giác ABC cân A Bài toán lớp HS chứng minh suy luận trực tiếp sau: Trên tia đối HA lấy điểm D cho AH = HD Ta chứng minh AB = HC, HC =AC nên AC= AB tức tam giác ABC cân A Lên lớp sau học tính chất đường trung bình tam giác, ta A chứng minh phản chứng sau: Giả sử tam giác ABC khơng cân A AC > AB AC< AB + Nếu AC > AB Trên AC lấy điểm D cho AD = AB D Gọi K giao điểm AH BD K Xét hai tam giác ABK ADK ta có: AB = AD; BAK DAK ; AK cạnh chung C Do ABK ADK (c.g.c) B H Suy AK = KD (hai cạnh tương ứng) Tam giác BDC có K H trung điểm BD BC nên KH đường trung bình Suy KH song song với DC, trái với đề KH DC cắt A Do khơng thể xảy AC > AB + Nếu AC < AB chứng minh tương tự xảy Vậy AC = AB hay tam giác ABC cân A Bài tập tự luyện o o Tia Ox Bài tập 1: Cho hai góc kề xOy, xOz cho xOy 100 , xOz 130 có nằm hai tia Oy, Oz khơng? ( Tốn bồi dưỡng HS lớp ) Bài tập 2: Cho góc xOy góc nhọn Vẽ đường thẳng a vng góc với đường thẳng Ox Chứng minh đường thẳng a cắt đường thẳng Oy ( Ơn kiến thức - luyện kĩ Hình học 7) Bài tập 3: Chứng tỏ hai đường thẳng vng góc với hai cạnh góc ( khác góc bẹt) cắt (Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 7) Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 17 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS Giải: Bài tập 4: Cho xOy = mo ( < m < 180) Tia Ot tia phân giác góc xOy, lấy điểm A tia Ox (khác điểm O) Qua A vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox Chứng minh tia Ot đường thẳng a cắt (Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 7) Bài tập 5: Chứng minh với tam giác tồn góc ngồi khơng lớn 120o (Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 7) Bài tập 6: Cho tam giác ABC cân A D điểm nằm tam giác, biết ADB ADC Chứng minh DC > DB (Toán nâng cao chuyên đề Hình học 7) Bài tập 7: Nếu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a b 5c2 cạnh c độ dài cạnh nhỏ tam giác (Toán nâng cao chuyên đề HH ) Bài tập 8: Mặt phẳng tơ kín hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn điểm màu cách đơn vị Bài tập 9: Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh a, b, c, d số nguyên dương Biết a, b, c, d ước a + b + c + d Chứng minh tồn hai cạnh tứ giác Bài tập 10: Cho hình bình hành ABCD có AB < AD, góc A góc tù E điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Đường thẳng a qua đỉnh C cắt AB B AD H K Chứng minh E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK đường thẳng a chứa đường phân giác góc BCD Bài tập 11: Gọi P điểm tam giác ABC, đường thẳng AP, BP, CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC K, N, M Tiếp tuyến C cắt cạnh AB kéo dài S Biết MK = MN Chứng minh SC = SP *Phần Số học Đại số vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng để làm tập sau: Bài tập 1: Cô giáo chủ nhiệm phân phối 95 cho 30 học sinh lớp 6A Chứng tỏ có em nhận nhiều Giải: Giả sử khơng có học sinh lớp 6A nhận nhiều Như tối đa số phát cho 30 em 30 = 90 < 95 Trong giáo viên cần phân phối 95 Điều vơ lí Vậy có em nhận nhiều Bài tập 2: Cho a số tự nhiên khác Chứng minh a a + hai số nguyên tố Giả sử a a + hai số nguyên tố Tức (a, a+1) = d với d >1 Khi : nên a d ; ( a 1) d a a d , vơ lí d > 1 d Vậy a a + hai số nguyên tố Bài tâp 3: Nếu x2 + y2 = x = y = Giải: Giả sử x y x2 > y > x2 + y2 > , trái giả thiết Vậy x2 + y2 = x = y = Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 18 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS Bài tâp 4: Chứng minh : Với m, n số nguyên dương m n chia hết cho m n2 chia hết cho Giải: Phần thuận : m chia hết cho m2 chia hết cho n chia hết cho n2 chia hết cho đó, m2 + n2 chia hết cho Đảo lại , m2 + n2 chia hết cho ta cần chứng minh m n chia hết cho Chứng minh phản chứng : Giả sử m n khơng chia hết cho 3, : * m = 3k n = 3p 1, k, p m2 + n2 = 9k2 6k +1 + 9p2 6p + = 3(3k2 2k + 3p2 2p) + Vì 3(3k2 2k + 3p2 2p) nên m2 + n2 không chia hết cho trái giả thiết Vậy m2 + n2 chia hết cho m n chia hết cho Bài tập 5: Cho x số hữu tỉ khác 0, y số vô tỉ Chứng tỏ x + y số vô tỉ ( SBT Toán tập ) Giải: Giả sử x + y = z số hữu tỉ Như ta có y = z - x mà hiệu hai số hữu tỉ số hữu tỉ Suy y số hữu tỉ Điều trái với đề y số vô tỉ Vậy x + y số vô tỉ Bài tâp 6: Cho đa thức f (x) ax b a Chứng minh có hai số x1 , x2 hai nghiệm đa thức x1 x2 (Tuyển chọn tốn hay khó ĐS 7) Giải: Giả sử x1 x2 Vì x1 nghiệm đa thức f(x) nên ax1 b (1) Vì x2 nghiệm đa thức f(x) nên ax b (2) Từ (1) (2) suy ra: ax1 b ax b a x1 x2 Mà x1 x2 x1 x2 Do a = 0, trái giả thiết Vậy x1 x2 Bài tâp 7: Nếu x y x + y + xy Giải: Giả sử x + y + xy = x + y + xy + = y(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(y +1) = x + = y + = x= y = 1, trái giải thiết Vậy x y x + y + xy Bài tập 8: Cho ba số a, b, c (0 ; 1) Chứng minh có bất đẳng thức sau sai : a.(1 b) (1); b.(1 c) 1 (2); c.(1 a) (3) (Nâng cao phát triển Toán tập 2) Giải: Giả sử ba bất đẳng thức (1), (2), (3) Khi đó, nhân theo vế (1) , (2), (3) ta : a.(1 b ).b.(1 c ).c.(1 a) 1 hay : a.(1 a ).b.(1 b ).c.(1 c) (*) 4 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 64 19 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS 12 1 Ta có : a(1 – a) = a2 + a = a (4) Tương tự : b(1 – b) (5); 4 c(1 – c) (6) Vì ba số a, b, c (0 ; 1) nên a, (1 – a), b, (1 – b), c, (1 – c) Nhân vế với vế (4), (5), (6) ta : a(1 – a) b(1 – b) c(1 – c) số dương (**) 64 Bất đẳng thức (**) mâu thuẫn (*), ba bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thời Vậy có bất đẳng thức sai (đpcm) Bài tập : Chứng minh nếu: a b c (1); ab bc ca (2); abc (3) a 0, b 0, c (Nâng cao phát triển Toán tập 2) Giải: Giả sử ba số a, b, c không đồng thời số dương Vậy có số khơng dương Do a, b, c có vai trị bình đẳng nên ta giả sử : a + Nếu a = mâu thuẫn với (3) + Nếu a từ (3) bc Ta có (2) ab ac bc a (b c ) mà a < nên b + c < Khi a b c , mâu thuẫn (1) Do khơng thể xảy a , có nghĩa a Chứng minh tương tự : b , c Vậy a , b , c Bài tập 10: Chứng minh “Nếu a, b, c ba số dương a3 + b3 + c3 3abc” Giải: Giả sử : a3 + b3 + c3 < 3abc (*) Khi : (*) (a + b +c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) < (a + b + c)[(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ] < Do giả thiết a, b, c > nên bất đẳng thức cuối sai Vậy a3 + b3 + c3 3abc Bài tập 11 : Cho hai phương trình: x2 + ax + b= ; x2 + cx + d = Biết ac 2(b + d), chứng minh phương trình cho có nghiệm Giải: Giả sử hai phương trình vơ nghiệm Khi : = a2 – 4b < 0, = c2 – 4d < 2 2 + < a – 4b + c – 4d < a + c < 4(b + d) (1) Mà (a – c)2 a2 + c2 – 2ac a2 + c2 2ac (2) Từ (1) (2) 2ac 4(b + d)ac 2(b + d) Trái giả thiết Do phải có hai số , lớn Vậy phương trình x2 + ax + b= 0, x2 + cx + d = có nghiệm Bài tập 12: Cho a.b.c 0, chứng minh có ba phương trình sau có nghiệm : ax bx c 0(1) ; bx cx a 0(2) ; cx ax b 0(3) Giải: Giả sử ba phương trình vơ nghiệm, thì: 2 2 2 b ac ; c ab ; a 4bc a b c ac 4bc ab Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 20 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS 1a b 2 b c2 c a 20 Điều vơ lí Vậy có ba phương trình có nghiệm Một số tốn tự luyện: Bài tập 1: Nếu a + b < hai số a b nhỏ Bài tập 2: Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh a a + b nguyên tố Bài tập 3: Chứng minh n số tự nhiên n2 chia hết cho n chia hết cho Bài tập 4: Cho x số hữu tỉ khác 0, y số vô tỉ Chứng tỏ x.y số vô tỉ (Sách tập Toán Tập 1) Bài tập 5: Cho đa thức f(x) có hệ số nguyên Biết f(1).f(2) = 35 Chứng minh f(x) khơng có nghiệm ngun (Tổng ôn tập Toán THCS thi vào 10) Bài tập 6: Cho a b3 Chứng minh a b (Nâng cao phát triển Toán tập 2) Bài tập 7: Chứng minh a 3, b 3; a b2 25 a b (Nâng cao phát triển Toán tập 2) Bài tập 8: Cho ba số khác đôi Chứng minh tồn ba số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ ( a b c)2 (Nâng cao phát triển Toán tập 2) Bài tập 9: Chứng minh khơng có ba số dương a, b, c thoã mãn ba bất đẳng thức: a 2; b 2; c (Nâng cao phát triển Toán tập 2) b c a Bài tập 10: Cho hai phương trình: x 2bx c ; x 2cx b Chứng minh b c hai phương trình có nghiệm (Bài tập Nâng cao số chuyên đề Toán ) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Đối với phương pháp chứng minh phản chứng giáo viên dạy hời hợt, khơng nghiên cứu chương trình cách kĩ lưỡng bỏ qua hội hình thành cho em phương pháp chứng minh độc đáo Trong q trình dạy tơi cho em tiếp cận từ từ, cung cấp cho em kiến thức phương pháp này, tận dụng hội để em vận dụng chứng minh Đồng thời ý lồng ghép toán liên quan đến nội dung kiến thức phần, chương mà vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng Với cách làm trên, theo kiểu mưa dầm thấm lâu, thấy điều kiện em tiếp cận chứng minh Toán học, phương pháp chứng minh phản chứng lại phương pháp khó với khả tư em dần trở nên dễ hiểu Học sinh trung bình hiểu số chứng minh đơn giản, học sinh giỏi vận dụng phương pháp chứng minh Đề tài vừa áp dụng tiết học khố, vừa vận dụng buổi học thêm, buổi học bồi dưỡng từ lớp đến lớp Qua thời gian áp dụng đề tài thấy học sinh bước vào THPT trang bị kiến thức cần thiết chứng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 21 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS minh Tốn học nói chung chứng minh phản chứng nói riêng Trước tốn chứng minh, em biết phân tích để lựa chọn phương pháp chứng minh phù hợp, biết dạng vận dụng chứng minh phương pháp phản chứng, cách trình bày toán chứng minh phản chứng KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Phương pháp chứng minh phản chứng nói vũ khí quan trọng tốn học Nó cho phép chứng minh khơng tính chất đó, cho phép biến thuận thành đảo, biến đảo thành thuận, cho phép lý luận đối tượng mà khơng rõ có tồn hay khơng Trong Tốn học, từ xa xưa người ta áp dụng phép suy luận để chứng minh diễn giải khẳng định Toán học Trong lịch sử Toán học phương pháp sử dụng sớm chứng minh ngun lí Dirichle, tốn khẳng định hệ thức đúng, khẳng định nghiệm phương trình, hệ phương trình chứng minh bất đẳng thức, Trong đại số, hình học, số học vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng Như việc hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh từ THCS việc làm cần thiết Sau thời gian kiên trì, nghiêm túc nỗ lực thực với giúp đỡ đồng nghiệp, tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài "Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh Trung học sở" Qua đề tài tơi trình bày kinh nghiệm việc để học sinh tiếp cận, nắm vững vận dụng thành thạo phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh Toán học Tơi hi vọng đề tài đóng góp phần nhỏ việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy tốn học tốn, từ nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn nhà trường Tuy cố gắng kinh nghiệm cá nhân hạn chế nên nội dung sáng kiến kinh nghiệm chắn không tránh khỏi khiếm khuyết Tôi Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 22 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS mong nhận trao đổi, đóng góp ý kiến thầy, giáo để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Xác nhận Hiệu trưởng Thanh Hoá, ngày 28 tháng 05 năm 2017 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm mình, khơng chép nội dung người khác Người viết Đỗ Thị Dung DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo viên Toán 6, 7, 8, tập 1, tập Tác giả: Phan Đức Chính ( Tổng chủ biên) Sách giáo khoa Toán 7, 8, tập 1, tập Tác giả: Phan Đức Chính ( Tổng chủ biên) Sách tập Toán 7, 8, tập 1, tập Tác giả: Tôn thân ( Chủ biên) Phương pháp dạy học mơn Tốn Tác giả: Nguyễn Bá Kim (chủ biên) Toán Nâng cao chuyên đề Hình học 7, 8, Tác giả: Vũ Dương Thuỵ (chủ biên) Giáo trình Thực hành Giải tốn tập II Tác giả: Đặng Đình Lăng - Vũ Hữu Túc Bài tập Nâng cao số chuyên đề Toán 7, 8, Tác giả: Bùi Văn Tuyên Nâng cao phát triển Toán 7, 8, Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 23 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS Tác giả: Vũ Hữu Bình Ôn kiến thức - Luyện kĩ Hình học Tác giả: Tôn Thân (chủ biên) 10 Tuyển chọn thi học sinh giỏi Toán THCS Tác giả: Lê Hồng Đức ( Chủ biên) 11.Tuyển tập Toán hay khó Đại số Tác giả: Phan Văn Đức, Nguyễn Hồng Khanh 13 Tổng ơn tập Tốn THCS thi vào 10 Tác giả: Mai Công Mãn (Chủ biên) 14.Bồi dưỡng Toán 8, tập Tác giả: Đỗ Đức Thái, Đỗ Thị Hồng Thuý 15.Toán bồi dưỡng học sinh lớp Tác giả Vũ Hữu Bình, Tơn Thân Đỗ Quang Thiều MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.3 Giải pháp để giải vấn đề Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 24 Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh THCS 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 21 Kết luận, kiến nghị 22 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017 25 ... rút học kinh nghiệm 1.5 Những điểm SKKN Với đề tài "Phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh Hình học 7" thấy phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp hay cần hình thành cho học sinh. .. chứng minh toán phương pháp phản chứng - Dần hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh - Tạo thói quen vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh Toán học 1.3 Đối tượng... "Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh Trung học sở" Đề tài giúp học sinh rèn luyện thường xuyên phương pháp chứng minh phản chứng, từ nắm vững trở thành cơng cụ chứng minh hữu