Đặc biệt là trong môn hình học với những giả thiết mà bài toán cho nếu không có tính sáng tạo học sinh không thể giải quyết đợc bài toán đó.. Do vậy khi gặp các bài toán này học sinh phả
Trang 1I Đặt vấn đề.
iải toán là việc làm thờng xuyên của ngời học toán, thông qua giải toán học sinh không những cũng cố và khắc sâu các kiến thức đã học, mà còn có vai trò rất quan trọng trong việc rèn luyện năng lực t duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc giải toán học sinh rèn luyện, phát triển nhiều kỹ năng nh: Kỹ năng phân tích, kỹ năng lập luận, kỹ năng phán đoán,
kỹ năng vận dụng thực tiễn dạy học cho thấy học sinh rất máy móc khi vận dụng các kiến… thức đã học vào việc giải bài tập Do vậy không phát triển đợc năng lực t duy sáng tạo và các
kỹ năng cho học sinh Khi gặp các bài toán không vận dụng trực tiếp các kiến thức đã học thì rất nhiều học sinh lúng túng không tìm đợc phơng pháp giải bài toán đó nh thế nào Đặc biệt là trong môn hình học với những giả thiết mà bài toán cho nếu không có tính sáng tạo học sinh không thể giải quyết đợc bài toán đó Do vậy khi gặp các bài toán này học sinh phải suy nghĩ
để vẽ thêm các đờng phụ, điểm phụ từ đó giúp học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng
và thuận lợi hơn Tuy nhiên vấn đề đặt ra là: khi gặp một bài toán học sinh không biết vẽ đ ờng phụ nh thế nào do đó rất nhiều học sinh " mò mẫm" để vẽ các đờng phụ nhằm tìm ra lời giải cho bài toán và đa số là thất bại kết quả bài tóan không đợc giải quyết, một số em khá tìm ra
đợc cách kẽ đờng phụ nhng không hợp lý dẫn đến lời giải dài dòng phức tạp Với học sinh lớp
7 thì vấn đề trên càng gặp nhiều khó khăn khi các em mới làm quen với phơng pháp suy luận, phơng pháp chứng minh bài toán hình học Việc các em vận dụng các kiến thức đã học vào việc lập luận, chứng minh bài toán hình học đã khó cha nói đến việc các em phải suy nghĩ tìm cách kẽ đờng phụ rồi mới vận dụng đợc các kiến thức đã học vào để giải quyết bài toán đó
Đứng trớc khó khăn chung của học sinh trong quá trình giảng dạy hình học lớp 7 tôi đã cố
gắng hớng dẫn các em tìm ra một số phơng pháp " kẻ đờng phụ" trong giải toán Việc làm đó
đã góp phần rất lớn trong việc rèn luyện kỹ năng cho học sinh, giúp các em rèn luyện đợc năng lực t duy sáng tạo khi giải các bài toán hình học Do đó việc" rèn luện kỹ năng kẻ đờng phụ
trong việc giải toán hình học" là việc làm hết sức khó khăn nhng không thể thiếu của giáo
viên Với lý
G
do trên tôi mạnh dạn trình bày chuyên đề " Rèn luện kỹ năng kẽ đờng phụ cho học sinh trong giải toán hình học lớp 7"
II Giải quyết vấn đề
I Các bài toán: Chứng minh hai góc bằng nhau.
1 Một số gợi ý để đi đến chứng minh đợc hai góc bằng nhau
Trang 2• Sử dụng hai góc cùng số đo
• Sử dụng góc thứ ba làm trung gian, 2 góc cùng phụ hoặc cùng bù với một góc
• Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của hai góc tơng ứng bằng nhau
• Sử dụng tính chất tia phân giác của 1 góc, góc đối đỉnh, tính chất 2 đờng thẳng song song
• Góc có cạnh tơng ứng vuông góc song song , góc của tam giác đặc biệt
• 2 góc tơng của hai tam giác bằng nhau
2 Một số bài toán
Bài toán 1: Cho tam giác ABC cân tại A có A∧ = 20 0 Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho AD
= BC Tính ACD∧
Nhận xét: B∧ =C∧ = 80 0 do đó B∧−A∧ = 80 0 − 20 0 = 60 0 là 1 góc của tam giác đều Do đó ta có thể suy nghĩ đến phơng pháp để vẽ đờng phụ nh sau:
Cách vẽ 1: Dựng điểm I nằm trong tam giác sao cho tam giác BIC là tam giác đều ( Hình
vẽ 1)
Giải: Ta có ∆ABI = ∆ABI( c.c.c)
0
10
=
=
⇒BAI∧ CAI∧ (1)
Mặt khác ∆ADC = ∆CIA( c.g.c)
∧
∧
=
⇒ ACD CAI
Từ (1), (2) ⇒ ACD∧ =100
Nh vậy việc kẻ đờng phụ là một việc làm rất quan trọng trong giải toán hình học Kẻ đờng phụ đúng giúp chúng ta gikải quyết bài toán một cách nhanh và gọn gàng hơn rất nhiều
Điều quan trọng nửa là nếu không kẻ đợc đờng phụ thì rất nhiều bài toán không giải quyết
đợc Sau khi tìm đợc ACD∧ = 100 bằng cách dựng tam giác đều BIC giáo viên có thế hớng học sinh dựng các tam giác đều khác xem thứ có tìm đợc đáp số hay không?
- Cách vẽ 2: Dựng tam giác đều ADM ( M và C khác phía so với AB) ( Hình vẻ 2)
Ta có: ∆ABC = ∆CAM(c.g.c) ⇒ ACM∧ = 20 0và CM = AC
2
20 )
.
∆
=
∆ADC MDC c c c ACD∧ MCD∧
Cách vẽ 3: Dựng tam giác đều CAN ( B; N khác phía so với AC)
Trang 3Ta có : ∆ABC= ∆NAD(c.g.c) ⇒ AC =ND và AND∧ = 20 0
Xét ∆DNC ta có ND = NC ( cùng bằng AC)
CND
∆
⇒ cân tại N mà CND∧ = 60 0 −AND∧ = 60 0 − 20 0 = 40 0
0 0 0 0
0 0
10 60 70 70
2
40
=
Cách vẽ 4: Dựng tam giác đều ABK ( K; C cùng phía so với AB ) ( Hình vẽ 4)
Ta có ∆ACK cân tại A mà CAK∧ = 60 0 − 20 0 = 40 0
0 0 0
70 2
40
=
⇒ AKC∧
Mặt khác: ∆ADC = ∆BCK(c.g.c) ⇒ ACD∧ =BKC∧ = 70 0 − 60 0 = 10 0
Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A, A∧ = 80 0 Điểm D thuộc miền trong tam giác sao cho DBC∧ = 10 0 ;DCB∧ = 30 0 Tính ∧
ADB
Nhận xét: ĐÂy là bài toán khó bới h/s khó nhận ra mối quan hệ giữa giả thiết và kết luận
để tìm cách giải quyết bài toán Ta có: ABC∧ +DBC∧ = 60 0 là một góc của tam giác đều Từ đó giáo viên có thể hớng dẫn học sinh cách vẽ để tạo ra tam giác đều theo các hớng sau:
Cách 1: Dựng tam giác đều BCM ( A; M cùng phía so với BC)
Ta có: ∆ABM = ∆ACM(c.c.c)
0
30
=
=
⇒ AMB∧ AMC∧
Xét ∆ABM và ∆DBCcó
=
=
=
=
=
∧
∧
∧
∧
0
10
30
DBC ABM
DCM AMB
BC BM
ABD DB
AB g
c g DBC
∆
0 0 0
70 2
40
=
⇒ ADB∧
Cách 2: Dựng tam giác đều ABE ( C và E cùng phía so với AB)
Ta có: ∆ACE cân tại C, mà ∧ = 0 ⇒ ∧ = 0 − 0 = 80 0 ⇒
2
40 180
CAE
BAD BA
BE BD g
c g BEC BDC
Trang 4cân tại B
0 0 0
70 2
40 180
=
−
=
⇒ ADB∧
Cách 3: Dựng tam giác đều ACK ( B; K cùng phía so với AC)
Ta có∆ABKcân tại K, mà BAK∧ = 20 0 ⇒ABK∧ = 80 0
) ( 30
50
⇒ ∧
ABD CK
BD= ⇒ ∆
2
40 180
∧
ADB ABD
Cách 4: Ta có nhận xét: Để tính đợc góc ADB∧ ta cần chứng minh đợc tam giác ABD cân tại
B Do đó ta có thể giải bài toán trên theo các hớng khác
Kẻ Tia phân giác của góc ABD∧ cắt CD kéo dài tại M
ta có: MBC∧ =MCB∧ =30 0 ⇒∆BMC cân tại M ⇒BMC∧ = 120 0
Mặt khác ∆AMB= ∆ACM(c.c.c)
) ( 120
2
120
c c g DBM ABM
AMC
ABD DB
⇒ cân tại B, mà ABD∧ = 40 0
0 0 0
70 2
40
=
⇒ ADB∧
Bài toán 3: Cho tam giác vuông ABC vuông cân tại A Điểm D thuộc miền trong tam giác sao cho DAC∧ = 150 0 và tam giác DAC cân tại D Tính ∧
ADB
Nhận xét : Để tính đợc góc ADB ta cần chứng minh tam giác ABD cân tại B Ta có 1500 -
900 = 600 là một góc của tam giác đều Do vậy trong bàig toán này ta phải tìm cách vẽ kẻ để tạo ra tam giác đều từ đó tìm cách tính góc ADB Do đó giáo viên có thể hớng dẫn học sinh tìm cách vẽ đờng phụ theo các cách sau:
Cách 1: Dựng ∆ đều ADF ( B;F cùng phía so với AC)
0 0 0 0 0
0 0
15 ) 60 15 ( 90 15
2
150 180
= +
−
=
→
=
−
=
0
150 )
.
∆
=
∆
⇒ ADC AFB c g c AFB∧ và ABF∧ = 15 0 ⇒ DFB∧ = 360 0 − ( 60 0 + 150 0 ) = 150 0
Trang 5ABD DB
AB c
g c DFB
∆
⇒ ( ) cân tại B mà ABD∧ = 30 0
0 0 0
75 2
30
=
⇒ ADB∧
Cách 2: Dựng tam giác đều ACE ( E;B khác phiá so với AC)
Ta có: ∆ADE = ∆CDE(c.c.c) ⇒ ADE∧ =CDE∧ = 75 0
Mặt khác ∆ADE = ∆ADB ( c.g.c) ⇒ ADE∧ = ADB∧ = 75 0
Vậy ADB∧ = 75 0
Cách 3: Dựng tam giác đều CDK ( K;B cùng phiá so với AC)
Ta có: ∆DCB = ∆KCB ( c.g.c)
(*)
KB
DB=
→
Ta có ∆ADC = ∆ADK ( c.g.c) ⇒ AC = AK; AC = AB → AK =AB( 1 )
Mặt khác: CAD∧ =KAD∧ =150 ⇒KAB∧ =900 −300 =600(2)
Từ (1) (2) ⇒ ∆ABK là tam giác đều ⇒BK = BA(**)
Từ (*) (**) ⇒DB=BA⇒ ∆ABD cân tại B ⇒ BAD∧ = BDA∧ = 90 0 − 15 0 = 75 0
Vậy ADB∧ = 75 0
Cách vẽ 4: Dựng tia Bx sao cho ABx∧ =150(Bx và C cùng phía so với AB)
Ta có ∆BIC cân tại I ( IBC∧ =ICB∧ =300) ⇒ BI = CI ⇒ ∆ABI = ∆ACI( c.c.c)
0
45
=
=
⇒BAI∧ CAI∧ do ∆BIC cân tại I ⇒ BIC= 150 0 − ( 30 0 + 30 0 ) = 120 0
Mặt khác: ∆ACI có ACI∧ = 15 0 ;CAI∧ = 45 0 ⇒ AIC∧ = 180 0 − ( 15 0 + 45 0 ) = 120 0
Từ đó ta có: AIB∧ = 360 0 − ( 120 0 + 120 0 ) = 120 0
Vậy AIB = DIB = 1200 (*)
Xét tam giác: AID có
=
−
=
= +
=
∧
∧
∧
∧
0 0 0
0
30 15 45
30
DAI
CAD ACD
ADI
( Góc ngoài tam giác)
⇒ ∆AID cân tại I ⇒ IA = ID ( **)
Từ (*) và ( **) ⇒ ∆AIB = ∆DIB ( c.g.c) ⇒ AB = DB và ABI∧ =DBI∧ = 15 0
⇒ ∆ABD cân tại B.
Trang 60 0 0
75 2
30 180
=
−
=
⇒ ABD∧
Bài toán 4:
Cho tam giác ABC có AB >AC Điểm D thuộc AB sao cho BD = AC Gọi M;N là trung
điểm của BC; AD Tia MN cắt tia CA tại K Chứng minh rằng :
2
∧
∧
∧
=
=MKC A BNM
Nhận xét: ĐÂy là bài toán có M;N là trung điểm của BC và AD Do đó cách vẽ đơng phụ là tạo ra đờng trung trực của tam giác từ đó tìm cách giải Đối với bài toán này GV hớng dẫn h/s cách vẽ đfờng phụ theo các hớng sau:
Cách 1: Gọi I là trung điểm của CD Xét ∆ACD có IN là đờng trung bình
AC IN
2
1
=
⇒ và IN //AC (91)
Xét ∆BCD có IM là đờng trung bình ⇒ IM//BD và IM = ( 2 )
2
1
BD
Do AC = BD ( gt) (3)
Từ (1) (2) (3) ⇒ IN = IM ⇒ ∆MIN cân tại I ⇒ ∧ ∧ (*)
=IMN INM
Do IN //AC ⇒IN //KC ⇒ ∧ ∧ ∧ ∧ (**)
=
=INM hay MKC MNI CKN
Tơng tự: IM//BD ⇒IM // BN ⇒ ∧ ∧
=IMN BNM ( So le trong) ( ***)
Từ (*) (**) ( ***) ⇒ ∧ ∧
=MKC
Mặt khác ∆AKN cân tại A ⇒2
2
∧
∧
∧
∧
=
⇒
=BAC K BAC
Vậy:
2
∧
∧
∧
=
=MKC A
BNM
Cách 2: Trên tia đối của tia NB lấy điểm H sao cho NH = NB
Ta có NM là đờng trung bình của ∆BHC ⇒ NM // HC ⇒ BNM∧ = BHC∧ ( đồng vị) (1)
Do NH = NB; ND = NA ⇒ BD = AH mà BD = AC nên AH = AC ⇒∆AHC cân tại A ⇒
∧
∧
= ACH
∧
∧
=MKC ACH ( So le trong)(2)
Từ (1) (2) BNM∧ =MKC∧ (*)
Lập luận nh trên ta chứng minh đợc ∆AKN cân tại A ⇒ 2∧K =BAC∧ ( góc ngoài tam giác)
⇒ K∧ = BAC∧
2
1
Từ (*) (**) ⇒
2
∧
∧
∧
=
=MKC A BNM
Trang 7Cách 3: Gọi P là điểm Nằm trên tia đối NC sao cho NC = NP Nối PA; PD ; PB; DC Xét ∆BCP
ta có : MN là đờng trung bình ⇒ MN //BP ⇒
∧
∧
=NBP BNM ( So le trong)(*) Mặt khác ∆ANC =∆DNP(c.g.c) ⇒
∧
∧
=DPC ACP ⇒AC// PD hay KC //PD và AC = PD.
Theo giả thiết AC = BD ⇒BD = PD ⇒∆BPD cân tại D ⇒ DBP∧ =DPB∧ hay
∧
∧
=DPB NBP (**)
Từ (*) và (**) ⇒
∧
∧
=DPB
Lại có
∧
∧
=DPB MKC ( Góc có cạnh tơng ứng song song) (2)
Từ (1) và (2) ⇒
∧
∧
=MKC
Ta cũng dễ dàng chứng minh đợc ∆AKN cân tại A ⇒ 2K∧ =BAC∧ ⇒
2
∧
∧
= BAC
2
∧
∧
∧
=
=MKC A
BNM
Cách vẽ 4: Gọi H là trung điểm của AB, ta có HM // AC ( T/c đờng trung bình của tam giác)
⇒HM //KC ⇒ KMH∧ =MKC∧ (1)
Mặt khác HM = AC BD
2
1 2
1 = ( Do AC = BD) (*)
2
1 ) (
2
1 2
1 2
1
BD AD
AB AD
Từ (*) (**) ⇒∆MHN cân tại H ⇒
∧
∧
=NMH MNH hay
∧
∧
=KMH
Từ (1) (2) ⇒
∧
∧
=MKC BNM Lập luận tơng tự nh trên ta cũng chứng minh đợc
AKN
∆ cân tại A do đó
2
∧
∧
∧
=
=MKC A
Bài toán 5: Cho góc nhọn xOy trên Ox lấy 2 điểm A;B ( A nằm giữa O và B), trên tia Oy lấy 2
điểm C và D ( C nằm giữa O và D) sao cho AC = CD Gọi H, K là trung điểm của AC và BD Chứng minh rằng HK // với tia phân giác của góc xOy
Nhận xét: ĐÂy là bài tóan chứng minh đờng thẳng song song thông qua chứng minh hai góc
so le trong hoặc hai góc đồng vị bằng nhau Nên khi gặp dạng toán này GV cần hớng dẫn h/s
kẽ đờng phụ theo các hớng nh: Vẽ đờng trung bình của tam giác, kẻ đờng phụ để tạo ra hai tam giác có hai góc tơng ứng bằng nhau mà cặp góc đó là cặp góc so le trong hoặc đồng vị hoặc kẽ đờng phụ để tạo ra tam giác đặc biệt
Cách vẽ 1:Trên tia đối HB lấy điểm I sao cho HB = HI Nối IC, ID Gọi Oz là tia phân giác của góc xOy
Ta có: HK // ID ( T/c đờng trung bình của tam giác) (1)
) (c g c CHI
AHB= ∆
=BIC ABI ⇒ Ox // IC (*) Mặt khác AB = CD ⇒CI = CD ⇒ ∆CID cân tại C ⇒ ∧ = ∧
1
I ⇒ 2D∧ =OCI∧
Từ (*) ⇒ xOy∧ =OCI∧ ( So le trong) ( ***)
Từ ( **) và (***) ⇒ ∧ = ∧
1
2 D
1 1 1
Trang 8Từ (1) (2) ⇒HK //Oz.
Cách vẽ 2: kẽ AA1 vuông góc với Oz tại N ( A1 ∈ Oy)
Kẽ BB1 vuông góc với Oz tại M ( B1 ∈ Oy)
Dễ dàng chứng minh đợc OA = OA1; OB = OB1 ⇒ AB = A1B1 mà AB = CD ⇒A1B 1= CD ⇒
A1C = B1D (1)
Mặt khác: Ta chứng minh đợc NA = NA1; MB = MB1 Từ đó ta có NH // A1C
NH = A1C
2
1
và MK // B1D; MK = B1D
2
1
(2)
Từ (1) (2) ⇒NH = MK và NH // MK ⇒
∧
∧
=KMH NHM ⇒∆NHM =∆KMH( c.g.c)
⇒ ∧
KHM ⇒ NM //HK ⇒ Oz // HK
Cách vẽ 3: Kéo dài KH cắt Oy tại D, cắt Ox tại E Gọi I là trung điểm của BC nối IH và IK
Ta có: IK // CD ⇒IK // Oy và IK = CD
2
1
(1)
IH // AB ⇒ IH // Ox và IH = AB
2
1
(2)
Từ (1) và (2) kết hợp với AB = CD ta cóIH = IK nên ∆IHKcân tại I ⇒ ∧ = ∧
1
H
Từ (1) ⇒ K1 = D1 , Từ (2) ⇒ H1 = E Do K1 = H1 nên D1 = E ⇒∆OEDcân tại E
∧
∧
∧
=
+D xOy
E góc ngoài tam giác)
Hay 2D∧1 =2O∧2 ⇒ ∧ = ∧
2
D ⇒ EK // Oz ⇒ HK //Oz.
Nhận xét chung: Đối với dạng bài tập này GV cần chú ý h/s vẽ hình chính xác đungd với các
số liệu trong đề bài để có hớng chứng minh đúng Phát hiện các trờng hợp đặc biệt ( nếu có), chú ý liện hệ giữa goác của các tam giác bằng nhau Vẽ đờng phụ hợp lý nhằm xuất hiện : Những góc đặc biệt, những cặp góc bằng nhau, tam giác cân, tam giác đều Trong các đờng phụ kẽ thêm có thể là đờng phân giác, đờng trung bình, tam giác đều tùy từng bài toán cụ … thể
II Các bài toán chứng minh đoạn thẳng bằng nhau.
1 Một số gợi ý để đi đến chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
• Hai đoạn thẳng có cùng một số đo
• Hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba
• Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu của hai đoạn thẳng bằng nhau đôi một
• Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từa t/c của tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông
• Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau
• Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từ t/c đờng trung tuyến, trung trực, trung tuyến
ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 300 của tam giác vuông
• Định lý đờng trung bình của một tam giác
• T/c đoạn chắn
Trang 92 Các bài toán minh họa.
Bài toán 1( Bài tập 9 - SBT Toán 7)
Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 300 thì cạnh góc vuông đói diện với nó bằng nửa cạnh huyền
Nhận xét: Đây là bài toán khá đơn giản tuy nhiên không ít h/s gặp lúng túng khi giả bài toán này Do vậy khi gặp bài toán có một goác bằng 300 hoặc 600 thì cách vẽ đờng phụ là tạo ra tam giác đều
Cách vẽ 1: trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BA = BM ta có ∆ABM đều (tam giác cân có một
góc bằng 600) ⇒ AB = AM = BM (1)
Mặt khác ∆AMC cân tại M ( = =300
∧
∧
MCA MAC )⇒ AM = MC (2)
Từ (1) (2) ⇒AB = BC2
Cách vẽ 2: Nhận thấy ∆ABC là nửa tam giác đều nên ta có thể kẽ đờng phụ nh sau
Kẻ tia Cx sao cho =300
∧
ACx ( Cx khác phía so với CB).Cx cắt BA kéo dài tại D ta có
BDC
∆ là tam giác đều ⇒ BD = BC (1)
Mặt khác ∆ABC =∆ADC(c.g.c) ⇒ AB = AD ⇒AB = BD2 (2)
Từ (1) (2) ⇒AB = BC2
Bài toán 2: (Bài 12 SBT- Toán 7)
Cho ∆ABCvuông tại A M là trung điểm của BC Chứng minh rằng AM = BC
2 1
Cách vẽ : Gọi N là trung điểm của AC ta có NM // AB ( T/c đờng trung bình của tam giác) mà
AB⊥AC ⇒NM ⊥ AC ⇒∆AMN =∆CMN ( c.g.c) ⇒ AM =MC⇒ AM = BC2
Cách vẽ 2: Trên tia đối AB lấy điểm E sao cho AB = AE Ta có AM = CE
2
1
( T/c đờng trung bình của tam giác)
Mặt khác ∆ABC = ∆AEC(c.g.c)⇒BC =CE(2)
Từ (1) (2) .
2
1
BC
⇒
Cách vẽ 3: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD, ta chứng minh đợc
2
1
BC AM
AD BC CDA
∆
Bài toán 3: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC chứng minh rằng
AM < AB+2AC
Cách vẽ1: Trên tia đối MA lấy điểm D sao cho MA =MD ta có: ∆AMB=∆DMC⇒ AB=CD Mặt khác AD < AC +CD hay 2AM < AC +AB hay AM < AB+2AC
Cách vẽ 2: trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AB = AE Ta có
Trang 10CE =2AM(T/c đờng trung bình của tam giác)
Mặt khác CE < AE + AC hay CE < AC + AB
Hay 2AM < AB +AC ⇒ AM < AB+2AC
Cách vẽ 3: Gọi N là trung điểm của AC
Xét tam giác AMN ta có: MN + AN > AM
2
2
1
2
1
AM AC AB AM
AC
⇒
Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của AB Trên tia đối của tia BA lấy
điểm E sao cho BE = AB Chứng minh CD = CE
2
1
Cách vẽ 1: Lấy I là trung điểm của CE ta có: .
2
1 )
(c g c CD CI CD CE CIB
∆ Cách vẽ 2:Gọi M là trung điểm của AC ta có:
( 2
1 ,
) (c g c CD BM BM CE ACD
2
1
CE
CD=
⇒
Cách vẽ 3: Trên tia đối của tia CA lấy điểm H sao cho CA = CH
Ta có: ∆ACE = ∆ABH(c.g.c) ⇒CE =BH( 1 )
Mặt khác CD = (
2
1
BH T/c đờng trung bình của tam giác)(2)
Từ (1) (2) .
2
1
CE
CD=
⇒
Cách vẽ 4: Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CB ta có
) 1 ( )
(c g c CE AN EBC
∆
Mặt khác: CD = (
2
1
AN T/c đờng trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) (2) .
2
1
CE
CD=
⇒
Cách vẽ 5: Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho CD = DK
Ta có: ∆ADC= ∆BDK(c.g.c) ⇒ ∆CBK = ∆CBE(c.g.c)
2
1 2
1
CE CD
Cách vẽ 6: Gọi P, Q là trung điểm của BC và BE
Ta có: PQ = (
2
1
CE T/c đờng trung bình của tam giác) (1) Mặt khác: ∆PDC=∆BQP(c.g.c)⇒CD=PQ(2)
Từ (1) (2) .
2
1
CE
CD=
⇒
Bài toán 5: Cho tam giác ABC cân tại A, A∧ = 100 0 ,phân giác góc B cắt AC tại D Chứng minh
BC = AD +BD