Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh trung học cơ sở

1.5 Những điểm mới của SKKN Với đề tài "Phương pháp chứng minh phản chứng trong chứng minh Hình học 7" chúng ta đã thấy rằng phương pháp chứng minh bằng phản chứng là một phươngpháp hay

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Đại hội XII của Đảng xác định: “Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, đàotạo theo hướng mở, hội nhập, xây dựng xã hội học tập, phát triển toàn diện nănglực, thể chất, nhân cách, đạo đức, lối sống, ý thức tôn trọng pháp luật và tráchnhiệm công dân ” Để thực hiện tốt các yêu cầu đó, việc đổi mới giáo dục cầntập trung vào hai việc: "Đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố cơ bản của giáodục, đào tạo; coi trọng phát triển phẩm chất và năng lực người học" Một trongnhững năng lực mà người Việt Nam nói chung và giới trẻ hiện nay còn yếu đó là

tư duy phản biện Tư duy phản biện hay tư duy phân tích là "một quá trình tưduybiện chứng gồm phân tích và đánh giá một thông tin đã có theo các cách nhìnkhác cho vấn đề đã đặt ra nhằm làm sáng tỏ và khẳng định lại tính chính xác củavấn đề" Tư duy phản biện không chỉ đơn thuần là sự tiếp nhận và duy trì thôngtin thụ động Đó có thể tóm tắt là quá trình tư duy tìm lập luận phản bác lại kếtquả của một quá trình tư duy khác để xác định lại tính chính xác của thông tin Ýkiến phản biện có giá trị rất lớn quyết định tới sự thành bại của tổ chức thậm chí

là sự tiến bộ của loài người

Với tình hình đó, các nhà giáo dục cho rằng trường học nên tập trung hơn vàoviệc dạy học sinh tư duy phản biện Mỗi giáo viên trong quá trình giảng dạy cần

có ý thức hình thành cho HS tư duy phản biện Đối với bộ môn Toán một trongnhững việc làm có thể góp phần hình thành tư duy phản biện đó là giáo viên cầnchú ý hình thành cho HS phương pháp chứng minh bằng phản chứng Nếu nắmvững và vận dụng tốt phương pháp chứng minh phản chứng thì sẽ tạo cho HS thóiquen biết lật lại vấn đề, biết nhìn ra nhiều mặt của một vấn đề, biết lập luận logic

để phân tích sự việc, tìm ra mặt tối ưu của vấn đề Đó là những cơ sở vững chắc

để hình thành tư duy phản biện

Phương pháp chứng minh bằng phản chứng được đề cập rất ít trong chươngtrình THCS Hiện nay chưa có một tài liệu nào nghiên cứu về việc áp dụngphương pháp này như thế nào trong môn Toán THCS Nhưng phương phápchứng minh bằng phản chứng là "một phương pháp chứng minh độc đáo và phổbiến trong toán học" Thậm chí với nhiều bài toán nó trở nên duy nhất, khôngdùng phương pháp phản chứng thì việc chứng minh rất khó khăn Đây lại làphương pháp đòi hỏi khả năng tư duy logic, khả năng khái quát, khả năng tưởng

tượng nên đối với đa phần học sinh khi nói đến chứng minh bằng phương phápnày đều cảm thấy rất mơ hồ, khó hiểu và không biết phải bắt đầu từ đâu, làm nhưthế nào? Do đó giáo viên cần tạo điều kiện cho học sinh có được những hiểu biếtđầy đủ về chứng minh Toán học trong đó có phương pháp chứng minh bằng phảnchứng.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Thông qua đề tài nghiên cứu này giúp cho học sinh:

- Nắm được các bước cần thực hiện khi chứng minh một bài toán bằng phươngpháp phản chứng

- Dần hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh

- Tạo thói quen vận dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng trongchứng minh Toán học

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài này đưa ra các tính chất, các định lí và các bài tập ở cấp THCS có thể vậndụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng

1 4 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài: nắm vững cơ sở lý luận chứng minhToán học và chứng minh bằng phản chứng

- Điều tra khảo sát, tìm hiểu thực tế

- Đối chiếu, so sánh, tích luỹ thông tin

- Đánh giá kết quả, rút ra bài học kinh nghiệm

1.5 Những điểm mới của SKKN

Với đề tài "Phương pháp chứng minh phản chứng trong chứng minh Hình học 7"

chúng ta đã thấy rằng phương pháp chứng minh bằng phản chứng là một phươngpháp hay cần được hình thành cho học sinh Nhưng nếu chỉ hình thành trongphạm vi Hình học 7 thì HS có thể bị lãng quên ở các năm lớp 8, lớp 9 Mặt khácmột số bài toán Số học, Đại số cũng có thể vận dụng phương pháp phản chứng đểchứng minh rất hiệu quả Vì vậy tôi mạnh dạn mở rộng đề tài trên thành đề tài

"Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh Trung học cơ sở" Đề tài này sẽ giúp học sinh được rèn luyện thường xuyên phương

pháp chứng minh bằng phản chứng, từ đó nắm vững và trở thành công cụ chứngminh hữu ích mà học sinh có thể vận dụng khi cần

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Giáo viên bộ môn phải bao quát nội dung chương trình môn học

Nội dung chương trình môn Toán THCS được xây dựng theo nguyên tắc "đảmbảo tính chỉnh thể của chương trình môn Toán trong Nhà trường phổ thông:Chương trình Toán THCS phải được xây dựng cùng với chương trình Tiểu học vàchương trình Toán THPT theo một hệ thống quan điểm chỉ đạo chung: đảm bảo

tính hệ thống giữa các lớp trong toàn cấp THCS" Mặt khác nội dung chương

trình trong từng lớp phải phù hợp với đặc điểm tâm sinh lí, khả năng tiếp nhậncủa học sinh Ví dụ như phần Toán 6 được xây dựng trên tinh thần tiếp nối cáckiến thức đã học ở bậc Tiểu học đồng thời bổ sung thêm một số kiến thức mới ởmức độ đơn giản Nhưng lên lớp 7, chương trình đưa vào nhiều nội dung kiếnthức mới và khó Đặc biệt, "các kiến thức hình học được trình bày theo con đườngkết hợp trực quan và suy diễn Nhờ đo đạc, gấp hình, học sinh dự đoán các sựkiện hình học và tiếp cận với các định lí Yêu cầu về tập dượt suy luận, chứngminh tăng dần qua các chương" Vì vậy đối với giáo viên bộ môn nói chung vàgiáo viên dạy Toán nói riêng, cần có sự nghiên cứu kĩ nội dung chương trình mônhọc, nắm được những nội dung nào các em đã được học, những nội dung nào là

sự củng cố mở rộng kiến thức đã học, những nội dung nào học sinh bắt đầu đượctiếp nhận Điều này sẽ giúp cho giáo viên khi giảng dạy có được cách truyền đạtphù hợp với từng nội dung kiến thức

2.1.2 Giáo viên dạy bộ môn Toán phải có hiểu biết đầy đủ về chứng minh Toán học:

Các bài toán chứng minh là một phần không thể thiếu của Toán học Do đótrong quá trình dạy Toán, giáo viên cần có được những hiều biết đầy đủ về chứngminh Toán học để dần hình thành cho học sinh những kiến thức về phương phápchứng minh Toán học

Trong toán học, chứng minh là "một cách trình bày thuyết phục (sử dụng

những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toánhọc là đúng đắn" Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải làtranh luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm Có nghĩa là, "một chứng minh

phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không cóngoại lệ" Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúngđược gọi là một phỏng đoán.

Ở bậc phổ thông các em học sinh được tiếp cận với các phương pháp chứngminh toán học sau:

+ Phương pháp suy luận trực tiếp

có thể suy luận trực tiếp

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Mục tiêu của môn Toán THCS là "cung cấp cho học sinh những kiến thức,phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực; hình thành và rèn luyện các

kĩ năng; rèn luyện khả năng suy luận hợp lí và hợp lôgic" Do đó bước vào THCShọc sinh phải dần làm quen với suy luận, chứng minh toán học Nếu như ở lớp 6học sinh mới chỉ bước đầu làm quen với suy diễn đơn giản thì yêu cầu rèn luyệnsuy luận chứng minh được tăng dần từ lớp 7 đến lớp 9 Trong chương trình Toán 7học sinh bắt đầu được làm quen với các phương pháp chứng minh cả trực tiếp vàgián tiếp Nhiều học sinh đặc biệt là học sinh trung bình, yếu, kém nói đến bàitoán chứng minh là lúng túng không biết bắt đầu từ đâu Một số giáo viên trongquá trình giảng dạy lại chưa chú ý đúng mức đến việc hình thành những tri thức

về mặt phương pháp cho học sinh

Phương pháp chứng minh bằng phản chứng được đưa vào chương trình sáchgiáo khoa Toán THCS bắt đầu từ lớp 7 Tuy nhiên tài liệu liên quan đến phươngpháp chứng minh bằng phản chứng và các bài tập trong chương trình vận dụngphương pháp này rất ít Vì vậy nhiều giáo viên không chú ý đến phương pháp nàytrong quá trình giảng dạy Các em không hiểu được phương pháp chứng minhphản chứng là gì? Cách trình bày dạng bài này như thế nào? Những bài toán nàothì có thể chứng minh bằng phương pháp phản chứng Thậm chí những em hiểuđược cách chứng minh một số bài gợi ý rồi thì việc tìm được bài toán tương tự đểvận dụng cũng rất khó khăn

2.3 Giải pháp để giải quyết vấn đề

Phương pháp chứng minh bằng phản chứng vừa có thể vận dụng trong chứngminh các tính chất, các định lí vừa có thể vận dụng trong các bài tập ở một sốphần kiến thức của chương trình Toán THCS.

Để hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh, giáoviên cần nắm được các bước cần thực hiện khi trình bày bài toán chứng minhbằng phương pháp phản chứng và nghiên cứu để nắm được trong các bài họcnhững nội dung, những bài tập nào có thể vận dụng phương pháp này để chứngminh Trong quá trình dạy học giáo viên cần có sự nghiên cứu tìm tòi, tận dụng

cơ hội để học sinh được vận dụng phương pháp này trong chứng minh một cáchthường xuyên để học sinh xem đây là công cụ hữu hiệu trong chứng minh toánhọc, có thể vận dụng khi cần Giáo viên cũng phải luôn gợi mở để học sinh vậndụng nhiều cách làm trong một bài toán và suy xét xem với mỗi bài, cách chứngminh, cách làm nào hay hơn, tối ưu hơn

2.3.1 Cấu trúc của bài trình bày theo phương pháp chứng minh bằng phản chứng

Để chứng minh bằng phương pháp phản chứng ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: (Phủ định kết luận) Giả sử có điều trái với kết luận.

Trong bước này, HS cần bao quát kiến thức, nắm rõ với một vấn đề, hay hiện

tượng có thể xảy ra những trường hợp nào Nếu không xảy ra điều như kết luậnthì điều gì sẽ xảy ra

Ví dụ: Khi xét hai đường thẳng thì xảy ra ba trường hợp: cắt nhau, song song,trùng nhau

Khi xét một điểm và một đường thẳng thì xảy ra hai trường hợp: Điểm thuộcđường thẳng và điểm không thuộc đường thẳng

Khi xét hai số a và b thì xảy ra ba trường hợp: a = b , a > b, a < b

.v.v

Bước 2: (dẫn đến mâu thuẫn)

Từ điều giả sử trên và cùng với các giả thiết, ta dùng các kiến thức đã học lậpluận để suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết, hoặc trái với những điều đã biết (tiên

đề, định lí, hệ quả, các điều đã được chứng minh)

a) Tính chất hai đường thẳng song song:

Nếu một đương thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

+ Hai góc so le trong bằng nhau ;

+ Hai góc đồng vị bằng nhau;

+ Hai góc trong cùng phía bù nhau.

Với tính chất này sau khi học sinh hiểu và vận dụng được thì cuối giờ học giáoviên có thể hướng dẫn học sinh suy luận ra tính chất thứ nhất qua việc trả lời câu

hỏi gợi ý ở bài 30 trang 79 Sách bài tập Toán 7 tập 1:

"Trên hình vẽ , hai đường thẳng a, b song song với nhau,

đường thẳng c cắt a tại A, cắt b tại B.

a) Lấy một cặp góc so le trong ( chẳng hạn cặp A 4 , B 1 )

b) rồi đo xem hai góc đó có bằng nhau hay không?

c) Hãy lí luận vì sao Aˆ4 =Bˆ1theo gợi ý sau:

- Nếu Aˆ4 ≠Bˆ1 thì qua A ta vẽ tia AP sao cho PAB B= ˆ1

- Thế thì AP // b, vì sao?

- Qua A vừa có a // b, vừa có AP // b thì sao?

- Kết luận: Đường thẳng AP và đường thẳng a chỉ là một Nói cách khác

41

ˆ

PAB A= từ đó Aˆ 4 =Bˆ 1."

Giáo viên cho học sinh thực hiện câu a sau đó hướng dẫn học sinh trả lời câu b như sau:

- Nếu Aˆ 4 ≠Bˆ 1 thì qua A ta vẽ tia AP sao cho PAB B= ˆ 1

- Do có cặp góc so le trong này bằng nhau nên theo dấu hiệu nhận biết hai đườngthẳng song song thì AP // b

- Khi đó, qua A vừa có a // b, vừa có AP // b, trái với tiên đề Ơclit về đường thẳngsong song

-Vậy đường thẳng AP và đường thẳng a chỉ là một Nói cách khác PAB A= ˆ 4 nghĩa

là Aˆ 4 =Bˆ 1.

Bài tập này vừa giúp HS suy luận ra tính chất thứ nhất của hai đường thẳngvừa củng cố được tiên đề Ơclit Do đó giáo viên cần lưu ý dành thời gian cho HSlàm Và sau khi HS làm xong, giáo viên có thể giới thiệu cách suy luận như trênchính là suy luận theo phương pháp phản chứng, để giúp HS có được khái niệmban đầu về phương pháp này

b) Tính chất ba đường thẳng song song:

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Ở bài " Từ vuông góc đến song song " học sinh đã biết đến cách chứng minhtính chất này bằng cách chứng minh cho hai đường thẳng cùng vuông góc vớiđường thẳng thứ ba Ở tiết luyện tập sau đó, sách giáo khoa hướng dẫn học sinh

suy luận theo cách khác thông qua bài tập 45 Trang 98 :

a) Vẽ d ' // d và d " // d ( d ' và d " phân biệt).

b) Suy ra d ' // d " bằng cách trả lời các câu hỏi sau:

+ Nếu d ' cắt d " tại điểm M thì M có nằm trên d không? Vì sao?

+ Qua điểm M nằm ngoài d, vừa có d ' // d, vừa có d" // d thì có trái với Tiên đề Ơ-clit không? + Nếu d' và d " không thể cắt nhau ( vì trái với tiên đề Ơ-lit) thì chúng phải thế nào?

Sau khi giáo viên cho học sinh vẽ hình ở câu a và hướng dẫn trả lời các câu hỏi

ở câu b, giáo viên trình bày thành bài suy luận hoàn chỉnh chứng minh tính chấttrên như sau:

Giả sử d′ căt d′′ tại điểm M

c

d

d'

d''

Vì d′ / /d nên d và d' không có điểm chung.

Mà M thuộc d′do đó M không thể nằm trên d

Khi đó qua điểm M nằm ngoài d vừa có d′ / /d

vừa có d′′ / /d mà d′ và d′′ là hai đường thẳng

phân biệt Điều này trái với Tiên đề Ơ clit

Do đó d′ và d′′ không thể cắt nhau.

Vậy d′ và d′′ song song với nhau.

Sau khi trình bày bài xong, giáo viên giới thiệu ta vừa suy ra tính chất ba đường thẳng song song bằng phương pháp phản chứng Giáo viên giới thiệu các bước:

+ Bước 1: Phủ định kết luận: Giả sử d′căt d′′ tại điểm M

Vì d′ / /d nên d và d' không có điểm chung Mà M thuộc d′do đó M không thể nằm trên

d

+ Bước 2: Dẫn đến mâu thuẫn

Khi đó qua điểm M nằm ngoài d vừa có d′ / /d vừa có d′′ / /d mà d′ và d′′ là hai đường thẳng phân biệt Điều này trái với Tiên đề Ơ clit Do đó d′ và d′′ không thể cắt nhau

+ Bước 3: Kết luận: Vậy d′ và d′′ song song với nhau.

Qua bài này học sinh bắt đầu biết đến cách trình bày một suy luận bằng phương pháp phản chứng Từ đó tương tự sau khi học Bài " Định lí" giáo viên yêu cầu học

sinh trình bày bài tập 43 trang 81 SBT theo phương pháp phản chứng:

Hãy chứng minh định lí: "Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau."

Như vậy ở chương I học sinh đã có được hiểu biết ban đầu về chứng minh

bằng phản chứng, biết trình bày bài chứng minh theo phương pháp này

b) Trong bài ôn tập chương II của Hình học 7:

Trong phần củng cố các kiến thức của chương, GV cho HS làm BT 67 SGK:

Điền dấu "X" vào chỗ trống( ) một cách thích hợp:

Câu Đúng Sai

1 Trong một tam giác, góc nhỏ nhất là góc nhọn

2 Trong một tam giác, có ít nhất hai góc nhọn

3 Trong một tam giác, góc lớn nhất là góc tù

4 Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn bù nhau

5 Nếu ˆA là góc ở đáy của một tam giác cân thì Aˆ 90 < o

6 Nếu ˆA là góc ở đáy của một tam giác cân thì Aˆ 90 < o

Qua bài tập này, GV có thể rèn luyện chứng minh bằng phản chứng cho HS khi giải thích tại sao mỗi câu trên đúng hay sai

Ví dụ như:

1 Trong một tam giác, góc nhỏ nhất là góc nhọn là câu đúng

Giải thích: Giả sử trong một tam giác góc nhỏ nhất không phải là góc nhọn thì

có thể là góc tù hoặc góc vuông

Nếu góc nhỏ nhất là góc tù thì hai góc còn lại cũng là góc tù Khi đó tổng ba góc trong tam giác lớn hơn 180o Điều này trái với định lí tổng ba góc trong tam giác

Nếu góc nhỏ nhất là góc vuông thì hai góc còn lại là góc vuông hoặc góc tù Khi

đó tổng ba góc trong tam giác lớn hơn 180o Điều này trái với định lí tổng ba góctrong tam giác

Vậy điều giả sử trên không thể xảy ra, hay trong một tam giác, góc nhỏ nhất là góc nhọn.d) Định lí về cạnh đối diện với góc lớn hơn:

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Định lí này SGK không yêu cầu chứng minh Nhưng sau khi HS nắm được nộidung định lí, giáo viên yêu cầu HS về nhà làm BT 10 trang 25 SBT Toán 7:

Cho tam giác ABC có ˆB C> ˆ

+ Có thể xảy ra AC < AB hay không?

+ Có thể xảy ra AC = AB hay không?

Qua bài toán này học sinh có thể trình bày

thành bài chứng minh định lí trên như sau:

Cho tam giác ABC với ˆB C> ˆ, ta giả sử không thể

xảy ra AC > AB Khi đó có thể xảy : AC < AB hoặc AC = AB

+ Nếu AC < AB thì theo định lí về góc đối diện với cạnh lớn hơn ta có ˆB C< ˆ

Điều này trái với giả thiết là ˆB C> ˆ

+ Nếu AC = AB thì tam giác ABC cân tại A Khi đó ˆB C= ˆ.Điều này cũng trái vớigiả thiết là ˆB C> ˆ Do đó điều giả sử trên không thể xảy ra

Vậy AC > AB

e) Phần Đại số 7, trong bài học: "Sô vô tỉ Khái niệm căn bậc hai" đưa ra khẳng

định: "Không có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng 2" Với khẳng định này có

thể chứng minh bằng phản chứng như sau:

n chưa tối giản Mâu thuẫn giả thiết

Vậy không có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng 2 hay 2 là số vô tỉ *Lên lớp 8, học sinh chủ yếu vận dụng phương pháp chứng minh trực tiếp Tuynhiên, HS vẫn có cơ hội vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng trongtrường hợp sau:

a) Trong bài "Tứ giác" sau khi học sinh học xong định lí tổng các góc của một tứ

giác, Gv có thể củng cố cho HS qua bài tập 6 trang 61 SBT: "Chứng minh các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù" bằng

phương pháp phản chứng như sau:

Giả sử bốn góc của một tứ giác là bốn góc nhọn thì tổng bốn góc của tứ giácnhỏ hơn 360o, trái với tính chất về tổng các góc của tứ giác

Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn

Giả sử bốn góc của một tứ giác là bốn góc tù thì tổng bốn góc của tứ giác lớnhơn 360o, trái với tính chất về tổng các góc của tứ giác

A

Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù b) Trong bài "Đa giác Đa giác đều" GV có thể cho HS làm BT 10 SBT trang

126 để củng cố bài: Một đa giác lồi có nhiều nhất bao nhiêu góc nhọn

Để trả lời câu hỏi này trước hết HS cần nắm được tổng số đo các góc ngoài củamột đa giác bằng 360o từ đó dự đoán câu trả lời Sau khi HS dự đoán, GV chốt

lại: "Một đa giác lồi có không quá ba góc nhọn" và GV hướng dẫn HS chứng

minh bằng phản chứng như sau:

Giả sử có 1 đa giác có quá ba góc nhọn

Mà một góc của đa giác là nhọn thì góc ngoài tương ứng là góc tù

Khi đó đa giác có quá ba góc ngoài là góc tù Nên tổng các góc ngoài của đa giáclớn hơn 360o, trái với định lí đã chứng minh

Vậy một đa giác lồi có không quá ba góc nhọn

*Trong chương trình Toán 9, HS có thể được vận dụng phương pháp chứngminh phản chứng ở một số nội dung sau:

a) Trong bài "Sự xác định đường tròn Tính chất đối xứng của đường tròn"

khẳng định:"Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng" được

chứng minh bằng phản chứng như sau:

Giả sử đường tròn (O) đi qua ba điểm thẳng hàng A, B, C

thì tâm O là giao điểm của đường trung trực d1

của AB (vì OA = OB) và đường trung trực d2

của BC (vì OB = OC)

Do d1 // d2 nên không tồn tại giao điểm d1 và d2, mâu thuẫn

Vậy không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng

b) Định lí: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Đây là một định lí trong bài "Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn"

Để chứng minh định lí này, GV hướng dẫn HS chứng minh bằng phản chứng như sau:

Cho đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O) tại C, tức là đường thẳng a và

đường tròn (O) có một điểm chung là C

Kẻ OH vuông góc với đường thẳng a Ta cần chứng minh H trùng với C

Giả sử H không trùng với C

Ta lấy điểm D thuộc đường thẳng a sao cho

H là trung điểm của CD Khi đó C không trùng

với D nên OH là đường trung trực của CD

Theo tính chất điểm thuộc đường trung trực

ta có OC = OD mà OC= R nên OD =R

có nghĩa là D thuộc đường tròn (O)

Như vậy đường thẳng a có hai điểm chung với đường tròn (O), điều này trái vớigiả thiết là đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung

Vậy H phải trùng với C Điều đó chứng tỏ OC⊥a và OH = R

c) Tính chất: Nếu đường thẳng a và đường tròn (O;R) không giao nhau thì

khoảng cách từ O đến đường thẳng a lớn hơn R.

C

Đây là một khẳng định trong bài "Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn" Nội dung bài học này tương đối dài nên không đưa phần chứng minh này

vào bài học Tuy nhiên giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh về nhà tự chứngminh như sau:

Giả sử tồn tại một điểm của đường thẳng a nằm trên đường tròn(O) thì đườngthẳng a và đường tròn (O) có điểm chung, trái với giả thiết

Giả sử tồn tại một điểm A của đường thẳng a nằm bên trong đường tròn(O)

Ta có OH OA R≤ <

Trên đường thẳng a, ta lấy điểm M sao cho HM = R2 −OH2 thì

OM =OH +HM =R nên OM = R, tức là điểm M

nằm trên đường tròn(O), trái với giả thiết

Vậy mọi điểm của đường thẳng a đều nằm ngoài đường tròn(O)

Do H thuộc đường thẳng a nên OH > R

d) Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính củađường tròn

Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau thì d < R.

Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau thì d = R.

Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau thì d > R.

Đảo lại ta cũng chứng minh được:

Nếu d < R thì đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau

Nếu d < R thì đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau

Nếu d < R thì đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau

Ta có thể chứng minh các định lí đảo bằng phản chứng Chẳng hạn chứng minh:

Nếu d < R thì đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau như sau:

Giả sử đường thẳng a và đường tròn (O) không cắt nhau thì chúng tiếp xúcnhau hoặc không giao nhau

Nếu chúng tiếp xúc nhau thì d = R, trái với giả thiết

Nếu chúng không giao nhau thì d > R, trái với giả thiết

Vậy đường thẳng a và đường tròn (O) phải cắt nhau

Các định lí đảo còn lại cũng chứng minh tương tự

e) Định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:

Nếu góc BAx ( với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có

số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc

đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.

Đây là yêu cầu của bài 30 SGK trang 79 SGK Với bài này vừa có thể chứngminh trực tiếp vừa có thể chứng minh bằng phản chứng Để chứng minh bằngphản chứng ta làm như sau:

Giả sử Ax không phải là tiếp tuyến của tại A mà là

cát tuyến đi qua A và cắt (O) tại C

Ta xét hai trường hợp:

+ Trường hợp 1: C thuộc cung nhỏ AB

Khi đó BAC là góc nội tiếp và BAC =1

Điều này trái với giả thiết BAC = 1

2Sđ AB.Vậy cạnh Ax không thể là cát tuyến, mà phải là tia tiếp tuyến

+ Trường hợp 2: C thuộc cung lớn AB

Khi đó BAC là góc nội tiếp và BAC =1

Vậy cạnh Ax không thể là cát tuyến, mà phải là tia tiếp tuyến

g) Định lí: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180 o thì tứ giác

đó nội tiếp đường tròn

Trong SGK đã hướng dẫn cách chứng minh định lí trên bằng cách sử dụng cungchứa góc Tuy nhiên giáo viên có thể cho học sinh chứng minh cách khác đơngiản hơn bằng phương pháp phản chứng như sau:

Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, giả sử D ∉

(O)

Khi đó, đường thẳng CD cắt (O) tại D’ và D Dˆ ≠ ˆ '

⇒ABCD’ nội tiếp được B Dˆ + ˆ ' =180oMà B Dˆ + ˆ ' =180o

⇒ =D Dˆ ˆ ', trái với điều giả sử trên

Vậy một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180o thì tứ giác đó nộitiếp đường tròn

2.3.3 Một số bài toán chứng minh sử dụng phương pháp phản chứng :

Để rèn luyện phương pháp chứng minh phản chứng, trong các tiết luyện tập,các buổi học phụ đạo, học thêm, bồi dưỡng, GV cần thường xuyên tạo cơ hội chohọc sinh được làm các bài tập có thể vận dụng phương pháp chứng minh bằngphản chứng Tuy ở lớp 7 học sinh mới được làm quen với bài toán chứng minh,phương pháp chứng minh bằng phản chứng nhưng ngay từ lớp 6 giáo viên có thểcho học sinh làm một số bài tập suy luận đơn giản bằng phản chứng

* Trong phần Hình học có thể vận dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng để làm các bài tập sau:

Bài tập1: Vì sao hai đường thẳng phân biệt hoặc chỉ có một điểm chung hoặc

không có điểm chung nào? ( Toán bồi dưỡng HS lớp 6 )

Nhận xét: Với bài tập này suy luận trực tiếp rất khó khăn, ta có thể suy luận theo

phương pháp pháp chứng như sau:

Giả sử hai đường thẳng phân biệt có hai điểm chung

Mà có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm nên hai đườngthẳng đó trùng nhau Điều này vô lí

Vậy hai đường thẳng phân biệt hoặc chỉ có một điểm chung hoặc không có điểm chung nào

Bài tập 2: Cho ba điểm A, B, C trong đó AB = 2cm, AC = 3cm, BC = 4cm.

Chứng tỏ rằng A không nằm giữa B và C ( Toán bồi dưỡng HS lớp 6 )

Nhận xét: Với bài toán này, học sinh lớp 6 có thể suy luận theo phương pháp

phản chứng như sau:

Giả sử điểm A nằm giữa 2 điểm B và C

Khi đó ta có BA + AC = BC tức là 2cm + 3cm = 4cm, vô lí

Vậy A không nằm giữa B và C

Bài tâp 3: Cho đường thẳng a song song với đường thẳng b Chứng minh rằng

nếu đường thẳng c cắt đường thẳng a thì cũng cắt đường thẳng b

(Ôn kiến thức - luyện kĩ năng Hình học 7)

Phân tích: Đây là bài toán chứng minh hai đường thẳng cắt nhau Với kiến thức

ở chương I Hình học 7 các em không có một dấu hiệu nào để chứng minh hai đường thẳng cắt nhau, nhưng các em vừa học một số tính chất của hai đường thẳng song song Do đó ta nghĩ đến chứng minh bằng phản chứng: giả sử xảy ra điều trái với kết luận, tức là a và b song song rồi vận dụng các tính chất về đường thẳng song song để suy ra điều vô lí.

Cụ thể, yêu cầu học sinh lập luận như sau: a c

Gọi giao điểm của a và c là điểm M

Giả sử c không cắt b Vì b // a nên c và b M

không trùng nhau Suy ra c // b

Như vậy qua điểm M có hai đường thẳng b

phân biệt là a và c cùng song song với b

Điều này trái với tiên đề Ơclit

Vậy điều giả sử trên không xảy ra, suy ra c phải cắt b

Bài tập 4: Cho tam giác ABC có góc B và góc C là các góc nhọn, kẻ AH vuông

góc với đường thẳng BC Chứng minh rằng điểm H nằm giữa hai điểm B và C

(Nâng cao và phát triển Toán 7)

Phân tích: Đây là bài toán xét về quan hệ giữa ba điểm thẳng hàng Cần cho

HS hình dung về quan hệ giữa ba điểm bất kì trên một đường thẳng: Hoặc các điểm trùng nhau hoặc các điểm phân biệt nhau Khi các điểm phân biệt nhau thì một điểm phải nằm giữa hai điểm còn lại Đồng thời bài toán còn liên quan đến các góc của tam giác nên có thể vận dụng tính chất về góc.

Giải: Giả sử điểm H không nằm giữa hai điểm B và C

Khi đó, xảy ra các trường hợp:

+ Trường hợp 1: Điểm H trùng với điểm B (hoặc điểm C)

thì ˆB(hoặc Cˆ) bằng 90o

Trái với giả thiết góc B và góc C là góc nhọn

A