Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh trung học cơ sở

Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS M U 1.1 Lớ chn ti: i hi XII ca ng xỏc nh: i mi cn bn v ton din giỏo dc, o to theo hng m, hi nhp, xõy dng xó hi hc tp, phỏt trin ton din nng lc, th cht, nhõn cỏch, o c, li sng, ý thc tụn trng phỏp lut v trỏch nhim cụng dõn thc hin tt cỏc yờu cu ú, vic i mi giỏo dc cn trung vo hai vic: "i mi mnh m v ng b cỏc yu t c bn ca giỏo dc, o to; coi trng phỏt trin phm cht v nng lc ngi hc" Mt nhng nng lc m ngi Vit Nam núi chung v gii tr hin cũn yu ú l t phn bin T phn bin hay t phõn tớch l "mt quỏ trỡnh t bin chng gm phõn tớch v ỏnh giỏ mt thụng tin ó cú theo cỏc cỏch nhỡn khỏc cho ó t nhm lm sỏng t v khng nh li tớnh chớnh xỏc ca " T phn bin khụng ch n thun l s tip nhn v trỡ thụng tin th ng ú cú th túm tt l quỏ trỡnh t tỡm lp lun phn bỏc li kt qu ca mt quỏ trỡnh t khỏc xỏc nh li tớnh chớnh xỏc ca thụng tin í kin phn bin cú giỏ tr rt ln quyt nh ti s thnh bi ca t chc thm l s tin b ca loi ngi Vi tỡnh hỡnh ú, cỏc nh giỏo dc cho rng trng hc nờn trung hn vo vic dy hc sinh t phn bin Mi giỏo viờn quỏ trỡnh ging dy cn cú ý thc hỡnh thnh cho HS t phn bin i vi b mụn Toỏn mt nhng vic lm cú th gúp phn hỡnh thnh t phn bin ú l giỏo viờn cn chỳ ý hỡnh thnh cho HS phng phỏp chng minh bng phn chng Nu nm vng v dng tt phng phỏp chng minh phn chng thỡ s to cho HS thúi quen bit lt li , bit nhỡn nhiu mt ca mt , bit lp lun logic phõn tớch s vic, tỡm mt ti u ca ú l nhng c s vng chc hỡnh thnh t phn bin Phng phỏp chng minh bng phn chng c cp rt ớt chng trỡnh THCS Hin cha cú mt ti liu no nghiờn cu v vic ỏp dng phng phỏp ny nh th no mụn Toỏn THCS Nhng phng phỏp chng minh bng phn chng l "mt phng phỏp chng minh c ỏo v ph bin toỏn hc" Thm vi nhiu bi toỏn nú tr nờn nht, khụng dựng phng phỏp phn chng thỡ vic chng minh rt khú khn õy li l phng phỏp ũi hi kh nng t logic, kh nng khỏi quỏt, kh nng tng Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS tng nờn i vi a phn hc sinh núi n chng minh bng phng phỏp ny u cm thy rt m h, khú hiu v khụng bit phi bt u t õu, lm nh th no? Do ú giỏo viờn cn to iu kin cho hc sinh cú c nhng hiu bit y v chng minh Toỏn hc ú cú phng phỏp chng minh bng phn chng 1.2 Mc ớch nghiờn cu: Thụng qua ti nghiờn cu ny giỳp cho hc sinh: - Nm c cỏc bc cn thc hin chng minh mt bi toỏn bng phng phỏp phn chng - Dn hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh - To thúi quen dng phng phỏp chng minh bng phn chng chng minh Toỏn hc 1.3 i tng nghiờn cu: ti ny a cỏc tớnh cht, cỏc nh lớ v cỏc bi cp THCS cú th dng phng phỏp chng minh bng phn chng Phng phỏp nghiờn cu: - Nghiờn cu ti liu liờn quan n ti: nm vng c s lý lun chng minh Toỏn hc v chng minh bng phn chng - iu tra kho sỏt, tỡm hiu thc t - i chiu, so sỏnh, tớch lu thụng tin - ỏnh giỏ kt qu, rỳt bi hc kinh nghim 1.5 Nhng im mi ca SKKN Vi ti "Phng phỏp chng minh phn chng chng minh Hỡnh hc 7" chỳng ta ó thy rng phng phỏp chng minh bng phn chng l mt phng phỏp hay cn c hỡnh thnh cho hc sinh Nhng nu ch hỡnh thnh phm vi Hỡnh hc thỡ HS cú th b lóng quờn cỏc nm lp 8, lp Mt khỏc mt s bi toỏn S hc, i s cng cú th dng phng phỏp phn chng chng minh rt hiu qu Vỡ vy tụi mnh dn m rng ti trờn thnh ti "Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh Trung hc c s" ti ny s giỳp hc sinh c rốn luyn thng xuyờn phng phỏp chng minh bng phn chng, t ú nm vng v tr thnh cụng c chng minh hu ớch m hc sinh cú th dng cn Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS NI DUNG SNG KIN KINH NGHIM 2.1 C s lớ lun ca sỏng kin kinh nghim 2.1.1 Giỏo viờn b mụn phi bao quỏt ni dung chng trỡnh mụn hc Ni dung chng trỡnh mụn Toỏn THCS c xõy dng theo nguyờn tc "m bo tớnh chnh th ca chng trỡnh mụn Toỏn Nh trng ph thụng: Chng trỡnh Toỏn THCS phi c xõy dng cựng vi chng trỡnh Tiu hc v chng trỡnh Toỏn THPT theo mt h thng quan im ch o chung: m bo tớnh h thng gia cỏc lp ton cp THCS" Mt khỏc ni dung chng trỡnh tng lp phi phự hp vi c im tõm sinh lớ, kh nng tip nhn ca hc sinh Vớ d nh phn Toỏn c xõy dng trờn tinh thn tip ni cỏc kin thc ó hc bc Tiu hc ng thi b sung thờm mt s kin thc mi mc n gin Nhng lờn lp 7, chng trỡnh a vo nhiu ni dung kin thc mi v khú c bit, "cỏc kin thc hỡnh hc c trỡnh by theo ng kt hp trc quan v suy din Nh o c, gp hỡnh, hc sinh d oỏn cỏc s kin hỡnh hc v tip cn vi cỏc nh lớ Yờu cu v dt suy lun, chng minh tng dn qua cỏc chng" Vỡ vy i vi giỏo viờn b mụn núi chung v giỏo viờn dy Toỏn núi riờng, cn cú s nghiờn cu k ni dung chng trỡnh mụn hc, nm c nhng ni dung no cỏc em ó c hc, nhng ni dung no l s cng c m rng kin thc ó hc, nhng ni dung no hc sinh bt u c tip nhn iu ny s giỳp cho giỏo viờn ging dy cú c cỏch truyn t phự hp vi tng ni dung kin thc 2.1.2 Giỏo viờn dy b mụn Toỏn phi cú hiu bit y v chng minh Toỏn hc: Cỏc bi toỏn chng minh l mt phn khụng th thiu ca Toỏn hc Do ú quỏ trỡnh dy Toỏn, giỏo viờn cn cú c nhng hiu bit y v chng minh Toỏn hc dn hỡnh thnh cho hc sinh nhng kin thc v phng phỏp chng minh Toỏn hc Trong toỏn hc, chng minh l "mt cỏch trỡnh by thuyt phc (s dng nhng chun mc ó c chp nhn lnh vc ú) rng mt phỏt biu toỏn hc l ỳng n" Chng minh cú c t lp lun suy din, ch khụng phi l tranh lun kiu quy np hoc theo kinh nghim Cú ngha l, "mt chng minh Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS phi biu din cho thy mt phỏt biu l ỳng vi mi trng hp, khụng cú ngoi l" Mt mnh cha c chng minh nhng c chp nhn ỳng c gi l mt phng oỏn bc ph thụng cỏc em hc sinh c tip cn vi cỏc phng phỏp chng minh toỏn hc sau: + Phng phỏp suy lun trc tip + Phng phỏp quy np + Phng phỏp chng minh bng phn chng + Phng phỏp th + Phng phỏp bng + Phng phỏp s Cỏc bi toỏn chng minh THCS ch yu s dng phng phỏp suy lun trc tip Cỏc phng phỏp chng minh cũn li ớt gp nhng chỳng cú ý ngha rt quan trng, l phn khụng th thiu ca Toỏn hc Mt s bi toỏn khụng th dựng phng phỏp suy lun trc tip, hoc nu suy lun trc tip rt phc tp, khú khn i vi bi toỏn chng minh bng phn chng nu ta mun cụng nhn kt lun ca bi toỏn l ỳng thỡ phi chng minh iu ngc li l sai Phng phỏp chng minh bng phn chng rt hiu qu i vi nhng bi toỏn ớt d liu v khú cú th suy lun trc tip 2.2 Thc trng ca nghiờn cu Mc tiờu ca mụn Toỏn THCS l "cung cp cho hc sinh nhng kin thc, phng phỏp toỏn hc ph thụng, c bn, thit thc; hỡnh thnh v rốn luyn cỏc k nng; rốn luyn kh nng suy lun hp lớ v hp lụgic" Do ú bc vo THCS hc sinh phi dn lm quen vi suy lun, chng minh toỏn hc Nu nh lp hc sinh mi ch bc u lm quen vi suy din n gin thỡ yờu cu rốn luyn suy lun chng minh c tng dn t lp n lp Trong chng trỡnh Toỏn hc sinh bt u c lm quen vi cỏc phng phỏp chng minh c trc tip v giỏn tip Nhiu hc sinh c bit l hc sinh trung bỡnh, yu, kộm núi n bi toỏn chng minh l lỳng tỳng khụng bit bt u t õu Mt s giỏo viờn quỏ trỡnh ging dy li cha chỳ ý ỳng mc n vic hỡnh thnh nhng tri thc v mt phng phỏp cho hc sinh Phng phỏp chng minh bng phn chng c a vo chng trỡnh sỏch giỏo khoa Toỏn THCS bt u t lp Tuy nhiờn ti liu liờn quan n phng phỏp chng minh bng phn chng v cỏc bi chng trỡnh dng phng phỏp ny rt ớt Vỡ vy nhiu giỏo viờn khụng chỳ ý n phng phỏp ny quỏ trỡnh ging dy Cỏc em khụng hiu c phng phỏp chng minh phn chng l gỡ? Cỏch trỡnh by dng bi ny nh th no? Nhng bi toỏn no thỡ cú th chng minh bng phng phỏp phn chng Thm nhng em hiu c cỏch chng minh mt s bi gi ý ri thỡ vic tỡm c bi toỏn tng t dng cng rt khú khn 2.3 Gii phỏp gii quyt Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS Phng phỏp chng minh bng phn chng va cú th dng chng minh cỏc tớnh cht, cỏc nh lớ va cú th dng cỏc bi mt s phn kin thc ca chng trỡnh Toỏn THCS hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh, giỏo viờn cn nm c cỏc bc cn thc hin trỡnh by bi toỏn chng minh bng phng phỏp phn chng v nghiờn cu nm c cỏc bi hc nhng ni dung, nhng bi no cú th dng phng phỏp ny chng minh Trong quỏ trỡnh dy hc giỏo viờn cn cú s nghiờn cu tỡm tũi, tn dng c hi hc sinh c dng phng phỏp ny chng minh mt cỏch thng xuyờn hc sinh xem õy l cụng c hu hiu chng minh toỏn hc, cú th dng cn Giỏo viờn cng phi luụn gi m hc sinh dng nhiu cỏch lm mt bi toỏn v suy xột xem vi mi bi, cỏch chng minh, cỏch lm no hay hn, ti u hn 2.3.1 Cu trỳc ca bi trỡnh by theo phng phỏp chng minh bng phn chng chng minh bng phng phỏp phn chng ta thc hin theo cỏc bc sau: Bc 1: (Ph nh kt lun) Gi s cú iu trỏi vi kt lun Trong bc ny, HS cn bao quỏt kin thc, nm rừ vi mt , hay hin tng cú th xy nhng trng hp no Nu khụng xy iu nh kt lun thỡ iu gỡ s xy Vớ d: Khi xột hai ng thng thỡ xy ba trng hp: ct nhau, song song, trựng Khi xột mt im v mt ng thng thỡ xy hai trng hp: im thuc ng thng v im khụng thuc ng thng Khi xột hai s a v b thỡ xy ba trng hp: a = b , a > b, a < b v.v Bc 2: (dn n mõu thun) T iu gi s trờn v cựng vi cỏc gi thit, ta dựng cỏc kin thc ó hc lp lun suy iu mõu thun vi gi thit, hoc trỏi vi nhng iu ó bit (tiờn , nh lớ, h qu, cỏc iu ó c chng minh) Bc 3: (Khng nh kt lun) T iu mõu thun trờn, ta khng nh iu trỏi kt lun trờn l sai Vy kt lun cn phi chng minh l ỳng 2.3.2.Hỡnh thnh phng phỏp chng minh phn chng qua cỏc tit hc chớnh khoỏ *Lờn lp HS mi suy lun v lm quen vi chng minh Toỏn hc Qua nghiờn cu ni dung chng trỡnh cỏc tit dy, tụi thy rng chng trỡnh Toỏn lp phng phỏp chng minh bng phn chng c dng cỏc ni dung sau: a) Tớnh cht hai ng thng song song: Nu mt ng thng ct hai ng thng song song thỡ: + Hai gúc so le bng ; + Hai gúc ng v bng nhau; + Hai gúc cựng phớa bự Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS Vi tớnh cht ny sau hc sinh hiu v dng c thỡ cui gi hc giỏo viờn cú th hng dn hc sinh suy lun tớnh cht th nht qua vic tr li cõu hi gi ý bi 30 trang 79 Sỏch bi Toỏn 1: "Trờn hỡnh v , hai ng thng a, b song song vi nhau, a A ng thng c ct a ti A, ct b ti B a) Ly mt cp gúc so le ( chng hn cp A4, B1) b) ri o xem hai gúc ú cú bng hay khụng? P c) Hóy lớ lun vỡ A4 = B1 theo gi ý sau: b - Nu A4 B1 thỡ qua A ta v tia AP cho PAB = B1 B - Th thỡ AP // b, vỡ sao? c - Qua A va cú a // b, va cú AP // b thỡ sao? - Kt lun: ng thng AP v ng thng a ch l mt Núi cỏch khỏc PAB = A 41 t ú A = B1 " Giỏo viờn cho hc sinh thc hin cõu a sau ú hng dn hc sinh tr li cõu b nh sau: - Nu A4 B1 thỡ qua A ta v tia AP cho PAB = B1 - Do cú cp gúc so le ny bng nờn theo du hiu nhn bit hai ng thng song song thỡ AP // b - Khi ú, qua A va cú a // b, va cú AP // b, trỏi vi tiờn clit v ng thng song song -Vy ng thng AP v ng thng a ch l mt Núi cỏch khỏc PAB = A4 ngha l A4 = B1 Bi ny va giỳp HS suy lun tớnh cht th nht ca hai ng thng va cng c c tiờn clit Do ú giỏo viờn cn lu ý dnh thi gian cho HS lm V sau HS lm xong, giỏo viờn cú th gii thiu cỏch suy lun nh trờn chớnh l suy lun theo phng phỏp phn chng, giỳp HS cú c khỏi nim ban u v phng phỏp ny b) Tớnh cht ba ng thng song song: Hai ng thng phõn bit cựng song song vi mt ng thng th ba thỡ chỳng song song vi bi " T vuụng gúc n song song " hc sinh ó bit n cỏch chng minh tớnh cht ny bng cỏch chng minh cho hai ng thng cựng vuụng gúc vi ng thng th ba tit luyn sau ú, sỏch giỏo khoa hng dn hc sinh suy lun theo cỏch khỏc thụng qua bi 45 Trang 98 : a) V d' // d v d" // d ( d' v d" phõn bit) b) Suy d' // d" bng cỏch tr li cỏc cõu hi sau: + Nu d' ct d" ti im M thỡ M cú nm trờn d khụng? Vỡ sao? + Qua im M nm ngoi d, va cú d' // d, va cú d" // d thỡ cú trỏi vi Tiờn -clit khụng? + Nu d' v d" khụng th ct ( vỡ trỏi vi tiờn -lit) thỡ chỳng phi th no? Sau giỏo viờn cho hc sinh v hỡnh cõu a v hng dn tr li cỏc cõu hi cõu b, giỏo viờn trỡnh by thnh bi suy lun hon chnh chng minh tớnh cht d trờn nh sau: Gi s d ct d ti im M Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 d' d'' Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS Vỡ d / / d nờn d v d' khụng cú im chung M M thuc d ú M khụng th nm trờn d Khi ú qua im M nm ngoi d va cú d / / d va cú d / / d m d v d l hai ng thng phõn bit iu ny trỏi vi Tiờn clit Do ú d v d khụng th ct Vy d v d song song vi Sau trỡnh by bi xong, giỏo viờn gii thiu ta va suy tớnh cht ba ng thng song song bng phng phỏp phn chng Giỏo viờn gii thiu cỏc bc: + Bc 1: Ph nh kt lun: Gi s d ct d ti im M Vỡ d / / d nờn d v d' khụng cú im chung M M thuc d ú M khụng th nm trờn d + Bc 2: Dn n mõu thun Khi ú qua im M nm ngoi d va cú d / / d va cú d / / d m d v d l hai ng thng phõn bit iu ny trỏi vi Tiờn clit Do ú d v d khụng th ct + Bc 3: Kt lun: Vy d v d song song vi Qua bi ny hc sinh bt u bit n cỏch trỡnh by mt suy lun bng phng phỏp phn chng T ú tng t sau hc Bi " nh lớ" giỏo viờn yờu cu hc sinh trỡnh by bi 43 trang 81 SBT theo phng phỏp phn chng: Hóy chng minh nh lớ: "Nu mt ng thng ct hai ng thng song song thỡ hai gúc ng v bng nhau." Nh vy chng I hc sinh ó cú c hiu bit ban u v chng minh bng phn chng, bit trỡnh by bi chng minh theo phng phỏp ny b) Trong bi ụn chng II ca Hỡnh hc 7: Trong phn cng c cỏc kin thc ca chng, GV cho HS lm BT 67 SGK: in du "X" vo ch trng( ) mt cỏch thớch hp: Cõu ỳng Sai Trong mt tam giỏc, gúc nh nht l gúc nhn Trong mt tam giỏc, cú ớt nht hai gúc nhn Trong mt tam giỏc, gúc ln nht l gúc tự Trong mt tam giỏc vuụng, hai gúc nhn bự o Nu A l gúc ỏy ca mt tam giỏc cõn thỡ A < 90 o Nu A l gúc ỏy ca mt tam giỏc cõn thỡ A < 90 Qua bi ny, GV cú th rốn luyn chng minh bng phn chng cho HS gii thớch ti mi cõu trờn ỳng hay sai Vớ d nh: Trong mt tam giỏc, gúc nh nht l gúc nhn l cõu ỳng Gii thớch: Gi s mt tam giỏc gúc nh nht khụng phi l gúc nhn thỡ cú th l gúc tự hoc gúc vuụng Nu gúc nh nht l gúc tự thỡ hai gúc cũn li cng l gúc tự Khi ú tng ba gúc tam giỏc ln hn 180o iu ny trỏi vi nh lớ tng ba gúc tam giỏc Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS Nu gúc nh nht l gúc vuụng thỡ hai gúc cũn li l gúc vuụng hoc gúc tự Khi ú tng ba gúc tam giỏc ln hn 180 o iu ny trỏi vi nh lớ tng ba gúc tam giỏc Vy iu gi s trờn khụng th xy ra, hay mt tam giỏc, gúc nh nht l gúc nhn d) nh lớ v cnh i din vi gúc ln hn: Trong mt tam giỏc, cnh i din vi gúc ln hn l cnh ln hn nh lớ ny SGK khụng yờu cu chng minh Nhng sau HS nm c ni dung nh lớ, giỏo viờn yờu cu HS v nh lm BT 10 trang 25 SBT Toỏn 7: Cho tam giỏc ABC cú B > C A + Cú th xy AC < AB hay khụng? + Cú th xy AC = AB hay khụng? Qua bi toỏn ny hc sinh cú th trỡnh by B C thnh bi chng minh nh lớ trờn nh sau: Cho tam giỏc ABC vi B > C , ta gi s khụng th xy AC > AB Khi ú cú th xy : AC < AB hoc AC = AB + Nu AC < AB thỡ theo nh lớ v gúc i din vi cnh ln hn ta cú B < C iu ny trỏi vi gi thit l B > C + Nu AC = AB thỡ tam giỏc ABC cõn ti A Khi ú B = C iu ny cng trỏi vi gi thit l B > C Do ú iu gi s trờn khụng th xy Vy AC > AB e) Phn i s 7, bi hc: "Sụ vụ t Khỏi nim cn bc hai" a khng nh: "Khụng cú s hu t no m bỡnh phng bng 2" Vi khng nh ny cú th chng minh bng phn chng nh sau: Gi s l s hu t, tc l = T 2= m m , ú m, n *, ti gin hay ( m, n ) =1 n n m m2 = 2n2 m2 l s chn m l s chn m = 2k, k * n T m2 = 2n2 4k2 = 2n2 n2 = 2k2 n2 l s chn n l s chn Do ú m chn, n chn phõn s m cha ti gin Mõu thun gi thit n Vy khụng cú s hu t no m bỡnh phng bng hay l s vụ t *Lờn lp 8, hc sinh ch yu dng phng phỏp chng minh trc tip Tuy nhiờn, HS cú c hi dng phng phỏp chng minh phn chng trng hp sau: a) Trong bi "T giỏc" sau hc sinh hc xong nh lớ tng cỏc gúc ca mt t giỏc, Gv cú th cng c cho HS qua bi trang 61 SBT: "Chng minh cỏc gúc ca mt t giỏc khụng th u l gúc nhn, khụng th u l gúc tự" bng phng phỏp phn chng nh sau: Gi s bn gúc ca mt t giỏc l bn gúc nhn thỡ tng bn gúc ca t giỏc nh hn 360o, trỏi vi tớnh cht v tng cỏc gúc ca t giỏc Vy bn gúc ca t giỏc khụng th u l gúc nhn Gi s bn gúc ca mt t giỏc l bn gúc tự thỡ tng bn gúc ca t giỏc ln hn 360o, trỏi vi tớnh cht v tng cỏc gúc ca t giỏc Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS Vy bn gúc ca t giỏc khụng th u l gúc nhn, khụng th u l gúc tự b) Trong bi "a giỏc a giỏc u" GV cú th cho HS lm BT 10 SBT trang 126 cng c bi: Mt a giỏc li cú nhiu nht bao nhiờu gúc nhn tr li cõu hi ny trc ht HS cn nm c tng s o cỏc gúc ngoi ca mt a giỏc bng 360o t ú d oỏn cõu tr li Sau HS d oỏn, GV cht li: "Mt a giỏc li cú khụng quỏ ba gúc nhn" v GV hng dn HS chng minh bng phn chng nh sau: Gi s cú a giỏc cú quỏ ba gúc nhn M mt gúc ca a giỏc l nhn thỡ gúc ngoi tng ng l gúc tự Khi ú a giỏc cú quỏ ba gúc ngoi l gúc tự Nờn tng cỏc gúc ngoi ca a giỏc ln hn 360o, trỏi vi nh lớ ó chng minh Vy mt a giỏc li cú khụng quỏ ba gúc nhn *Trong chng trỡnh Toỏn 9, HS cú th c dng phng phỏp chng minh phn chng mt s ni dung sau: a) Trong bi "S xỏc nh ng trũn Tớnh cht i xng ca ng trũn" khng nh:"Khụng v c ng trũn no i qua ba im thng hng" c chng minh bng phn chng nh sau: Gi s ng trũn (O) i qua ba im thng hng A, B, C d d2 thỡ tõm O l giao im ca ng trung trc d1 ca AB (vỡ OA = OB) v ng trung trc d2 C ca BC (vỡ OB = OC) B A Do d1 // d2 nờn khụng tn ti giao im d1 v d2, mõu thun Vy khụng v c ng trũn no i qua ba im thng hng b) nh lớ: Nu mt ng thng l tip tuyn ca mt ng trũn thỡ nú vuụng gúc vi bỏn kớnh i qua tip im õy l mt nh lớ bi "V trớ tng i ca ng thng v ng trũn" chng minh nh lớ ny, GV hng dn HS chng minh bng phn chng nh sau: Cho ng thng a tip xỳc vi ng trũn (O) ti C, tc l ng thng a v ng trũn (O) cú mt im chung l C K OH vuụng gúc vi ng thng a Ta cn chng minh H trựng vi C Gi s H khụng trựng vi C Ta ly im D thuc ng thng a cho O H l trung im ca CD Khi ú C khụng trựng vi D nờn OH l ng trung trc ca CD a Theo tớnh cht im thuc ng trung trc H C D ta cú OC = OD m OC= R nờn OD =R cú ngha l D thuc ng trũn (O) Nh vy ng thng a cú hai im chung vi ng trũn (O), iu ny trỏi vi gi thit l ng thng a v ng trũn (O) ch cú mt im chung Vy H phi trựng vi C iu ú chng t OC a v OH = R c) Tớnh cht: Nu ng thng a v ng trũn (O;R) khụng giao thỡ khong cỏch t O n ng thng a ln hn R Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS õy l mt khng nh bi "V trớ tng i ca ng thng v ng trũn" Ni dung bi hc ny tng i di nờn khụng a phn chng minh ny vo bi hc Tuy nhiờn giỏo viờn cú th hng dn cho hc sinh v nh t chng minh nh sau: Gi s tn ti mt im ca ng thng a nm trờn ng trũn(O) thỡ ng thng a v ng trũn (O) cú im chung, trỏi vi gi thit Gi s tn ti mt im A ca ng thng a nm bờn ng trũn(O) Ta cú OH OA < R Trờn ng thng a, ta ly im M cho HM = R OH thỡ O 2 2 OM = OH + HM = R nờn OM = R, tc l im M nm trờn ng trũn(O), trỏi vi gi thit a A Vy mi im ca ng thng a u nm ngoi ng trũn(O) M H Do H thuc ng thng a nờn OH > R d) H thc gia khong cỏch t tõm ng trũn n ng thng v bỏn kớnh ca ng trũn Nu ng thng a v ng trũn (O) ct thỡ d < R Nu ng thng a v ng trũn (O) tip xỳc thỡ d = R Nu ng thng a v ng trũn (O) khụng giao thỡ d > R o li ta cng chng minh c: Nu d < R thỡ ng thng a v ng trũn (O) ct Nu d < R thỡ ng thng a v ng trũn (O) tip xỳc Nu d < R thỡ ng thng a v ng trũn (O) khụng giao Ta cú th chng minh cỏc nh lớ o bng phn chng Chng hn chng minh: Nu d < R thỡ ng thng a v ng trũn (O) ct nh sau: Gi s ng thng a v ng trũn (O) khụng ct thỡ chỳng tip xỳc hoc khụng giao Nu chỳng tip xỳc thỡ d = R, trỏi vi gi thit Nu chỳng khụng giao thỡ d > R, trỏi vi gi thit Vy ng thng a v ng trũn (O) phi ct Cỏc nh lớ o cũn li cng chng minh tng t e) nh lớ o ca nh lớ v gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung: Nu gúc BAx ( vi nh A nm trờn ng trũn, mt cnh cha dõy cung AB), cú s o bng na s o ca cung AB cng dõy ú v cung ny nm bờn gúc ú thỡ cnh Ax l mt tia tip tuyn ca ng trũn õy l yờu cu ca bi 30 SGK trang 79 SGK Vi bi ny va cú th chng minh trc tip va cú th chng minh bng phn chng chng minh bng phn chng ta lm nh sau: Gi s Ax khụng phi l tip tuyn ca ti A m l B cỏt tuyn i qua A v ct (O) ti C O x Ta xột hai trng hp: C + Trng hp 1: C thuc cung nh AB A Khi ú BAC l gúc ni tip v BAC = 1 S AB < S AB 2 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 10 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS iu ny trỏi vi gi thit BAC = S AB Vy cnh Ax khụng th l cỏt tuyn, m phi l tia tip tuyn + Trng hp 2: C thuc cung ln AB Khi ú BAC l gúc ni tip v BAC = S CB BAx = 180 BAC=180 - S CB 1 = (S AC + S AB ) > S AB 2 o o B O C A x iu ny trỏi vi gi thit BAC = S AB Vy cnh Ax khụng th l cỏt tuyn, m phi l tia tip tuyn g) nh lớ: Nu mt t giỏc cú tng s o hai gúc i bng 180 o thỡ t giỏc ú ni tip ng trũn Trong SGK ó hng dn cỏch chng minh nh lớ trờn bng cỏch s dng cung cha gúc Tuy nhiờn giỏo viờn cú th cho hc sinh chng minh cỏch khỏc n gin hn bng phng phỏp phn chng nh sau: Gi (O) l ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC, gi s D (O) Khi ú, ng thng CD ct (O) ti D v D D ' ABCD ni tip c B + D ' = 180o M B + D ' = 180o D = D ' , trỏi vi iu gi s trờn Vy mt t giỏc cú tng s o hai gúc i bng 180o thỡ t giỏc ú ni tip ng trũn 2.3.3 Mt s bi toỏn chng minh s dng phng phỏp phn chng : rốn luyn phng phỏp chng minh phn chng, cỏc tit luyn tp, cỏc bui hc ph o, hc thờm, bi dng, GV cn thng xuyờn to c hi cho hc sinh c lm cỏc bi cú th dng phng phỏp chng minh bng phn chng Tuy lp hc sinh mi c lm quen vi bi toỏn chng minh, phng phỏp chng minh bng phn chng nhng t lp giỏo viờn cú th cho hc sinh lm mt s bi suy lun n gin bng phn chng * Trong phn Hỡnh hc cú th dng phng phỏp chng minh bng phn chng lm cỏc bi sau: Bi tp1: Vỡ hai ng thng phõn bit hoc ch cú mt im chung hoc khụng cú im chung no? ( Toỏn bi dng HS lp ) Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 11 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS Nhn xột: Vi bi ny suy lun trc tip rt khú khn, ta cú th suy lun theo phng phỏp phỏp chng nh sau: Gi s hai ng thng phõn bit cú hai im chung M cú mt ng thng v ch mt ng thng i qua hai im nờn hai ng thng ú trựng iu ny vụ lớ Vy hai ng thng phõn bit hoc ch cú mt im chung hoc khụng cú im chung no Bi 2: Cho ba im A, B, C ú AB = 2cm, AC = 3cm, BC = 4cm Chng t rng A khụng nm gia B v C ( Toỏn bi dng HS lp ) Nhn xột: Vi bi toỏn ny, hc sinh lp cú th suy lun theo phng phỏp phn chng nh sau: Gi s im A nm gia im B v C Khi ú ta cú BA + AC = BC tc l 2cm + 3cm = 4cm, vụ lớ Vy A khụng nm gia B v C Bi tõp 3: Cho ng thng a song song vi ng thng b Chng minh rng nu ng thng c ct ng thng a thỡ cng ct ng thng b (ễn kin thc - luyn k nng Hỡnh hc 7) Phõn tớch: õy l bi toỏn chng minh hai ng thng ct Vi kin thc chng I Hỡnh hc cỏc em khụng cú mt du hiu no chng minh hai ng thng ct nhau, nhng cỏc em va hc mt s tớnh cht ca hai ng thng song song Do ú ta ngh n chng minh bng phn chng: gi s xy iu trỏi vi kt lun, tc l a v b song song ri dng cỏc tớnh cht v ng thng song song suy iu vụ lớ C th, yờu cu hc sinh lp lun nh sau: a c Gi giao im ca a v c l im M Gi s c khụng ct b Vỡ b // a nờn c v b M khụng trựng Suy c // b Nh vy qua im M cú hai ng thng b phõn bit l a v c cựng song song vi b iu ny trỏi vi tiờn clit Vy iu gi s trờn khụng xy ra, suy c phi ct b Bi 4: Cho tam giỏc ABC cú gúc B v gúc C l cỏc gúc nhn, k AH vuụng gúc vi ng thng BC Chng minh rng im H nm gia hai im B v C (Nõng cao v phỏt trin Toỏn 7) Phõn tớch: õy l bi toỏn xột v quan h gia ba im thng hng Cn cho HS hỡnh dung v quan h gia ba im bt kỡ trờn mt ng thng: Hoc cỏc im trựng hoc cỏc im phõn bit Khi cỏc im phõn bit thỡ mt im phi nm gia hai im cũn li ng thi bi toỏn cũn liờn quan n cỏc gúc ca tam giỏc nờn cú th dng tớnh cht v gúc Gii: Gi s im H khụng nm gia hai im B v C Khi ú, xy cỏc trng hp: A + Trng hp 1: im H trựng vi im B (hoc im C) thỡ B (hoc C ) bng 90o Trỏi vi gi thit gúc B v gúc C l gúc nhn Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 H B 12 C Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS + Trng hp 2: im B nm gia hai im H v C Ta cú ABC l gúc ngoi ti B ca tam giỏc AHB nờn ã ã theo tớnh cht gúc ngoi ta suy ABC > AHB A ã ã M AHB = 90o ABC > 90o , trỏi gi thit gúc B l gúc nhn + Trng hp 3: im C nm gia hai im H v B Tng t ta suy gúc C l gúc tự, trỏi gi thit gúc C l gúc nhn iu gi s trờn khụng th xy B H C Vy im H phi nm gia hai im B v C Bi 5: Cho tam giỏc ABC u, ng cao AH Trờn tia HC ly im D cho HD = HA Trờn na mt phng b l DB khụng cha A v tia Dx cho ã BDx = 15o Tia Dx ct tia AB E Chng minh rng HD = HE (Nõng cao v phỏt trin Toỏn 7) Phõn tớch: õy l bi toỏn chng minh hai on thng bng nhau, phn ny ta thng a v chng minh hai tam giỏc bng nhng trờn hỡnh khụng cú tam giỏc no bng cú hai cnh tng ng l HD v HE Tuy nhiờn trờn hỡnh cú nhiu gúc ó bit s o, ta cú th dựng phng phỏp phn chng, dng quan h gia gúc v cnh i din tam giỏc a v so sỏnh cỏc gúc Gii: Gi s HD khụng bng HE thỡ HD > HE hoc HD < HE A ã ã ã + Nu HD > HE thỡ HED > HDE HED > 15o (1) Mt khỏc HA = HD suy HA > HE, ú ã ã ã HEA > HAE HEA > 30o (2) ã T (1) v (2) suy BED > 45o H C B D M theo tớnh cht gúc ngoi tam giỏc ta cú ã ã ã ABD = BED + BDE > 45o + 15o x E ã ã Suy ABD > 60o, trỏi vi gi thit ABD = 60o ã + Nu HD < HE, tng t ta cng cú ABD < 60o, trỏi vi gi thit Vy HD = HE Bi 6: Cho tam giỏc ABC cú gúc u l gúc nhn ng cao AD k t nh A ct trung tuyn BE k t nh B v phõn giỏc CF ca gúc C theo th t ti cỏc im M, N; BE v CF ct ti P Chng minh rng tam giỏc MNP khụng phi l tam giỏc u Phõn tớch: Vic chng minh mt tam giỏc khụng u nghe cú v m h Ta th gi s tam giỏc MNP u xem cú dn n iu mõu thun khụng? Gii: Gi s tam giỏc MNP l tam giỏc u = 300 = 600.Nh vy: C Ta cú: gúc N Vỡ CF l tia phõn giỏc ca gúc Cà Nờn ta cng cú Cả = 300 = 600 P = 600 MNP u cng cho ta P + C ả = 900 Do ú: P 2 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 13 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS = 900 Trong tam giỏc PEC, tng hai gúc nh P v nh C l 90 0, suy ra: E BE AC hay BE l ng cao ca tam giỏc ABC Nh vy tam giỏc ABC cú trung tuyn BE cng l ng cao nờn nú l tam giỏc cõn, nh B Nú li cú gúc Cà = 600, nờn ABC l tam giỏc u v nh vy thỡ c ba ng AD, BE, CF phi ng quy ti mt im iu ny trỏi vi gi thit l chỳng ct ti im M, N, P Vy tam giỏc MNP khụng th l tam giỏc u Bi 7: Cho t giỏc ABCD thoó món: AB +BD AC + CD Chng minh rng AB < AC ( Bi dng Toỏn ) Phõn tớch: T biu thc AB +BD AC + CD suy AB < AC cú v khú khn Ta th gi s AB AC ri xột quan h gia gúc v cnh tam giỏc suy iu trỏi vi BT ó cho Gii: ã B Gi s AB AC (1) suy BCA A ãABC ã ã ã Do ú BCD > BCA ãABC > DBC ã ã Xột tam giỏc BCD ta cú BCD Nờn BD > CD (2) > DBC T (1) v (2) suy ra: AB + BD > AC + CD, trỏi gi thit Vy AB < AC C D Bi 8: Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a M l trung im ca cnh AD a Trờn cnh BC ly im E cho < CE < Qua M k ng thng song song vi AE ct cnh CD ti F Chng minh hỡnh thang AMEF khụng th l hỡnh thang cõn Phõn tớch: õy l bi toỏn chng minh mt iu khụng th xy Vi dng bi ny ta thng nờn ngh n chng minh bng phn chng Gii: Gi s AMEF l hỡnh thang cõn thỡ AM = EF(1)V = MAE AEF M = ( hai gúc so le trong) = MAE AEB AEF AEB AE l tia phõn giỏc ca gúc FEB M AC l tia phõn giỏc ca gúc FCE (tớnh cht ca tam giỏc vuụng) Suy A l tõm ng trũn bng tip gúc A B BEF ca tam giỏc EFC, ng trũn ny tip xỳc vi CE ti B, tip xỳc vi CF ti D Suy EF = EB + FD a a a M M < CE < BE > EF > EB> 2 E Suy EF > AM, trỏi vi (1) Vy AMEF khụng th l hỡnh thang cõn D C F Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 14 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS Bi 9: Cho tam giỏc ABC cú I l giao im ca ba ng phõn giỏc ng thng d chia tam giỏc ABC thnh hai phn cú chu vi v din tớch bng Chng minh ng thng d i qua I Gii: Gi s ng thng d khụng i qua im I thỡ I nm tam giỏc AMN hoc I nm t giỏc BMNC Ta cú I l giao im ca ba ng phõn giỏc nờn I l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABC A Vỡ chu vi tam giỏc AMN v chu vi t giỏc BMNC bng nờn AM + AN = MB + BC + CN (1) V S AMN = S BMNC (2) N I M Gi r l khong cỏch t I ti cỏc cnh ca tam giỏc ABC T (1) ta cú: ( AM + AN ) r = ( BM + BC + CN ).r S IAM + S IAN = S IMB + S IBC + S INC (3) B C + Nu I nm bờn tam giỏc AMN Khi ú tr v vi v ca (2) cho (3) ta cú S AMN ( S IAM + S IAN ) = S BMNC ( S IMB + S IBC + S INC ) S IMN = S IMN , vụ lớ + Nu I nm bờn t giỏc BCNM Khi ú tr v vi v ca (2) cho (3) ta cú S AMN ( S IAM + S IAN ) = S BMNC ( S IMB + S IBC + S INC ) S IMN = S IMN , vụ lớ Vy I phi nm trờn cnh MN, hay ng thng d i qua im I Trong cỏc bi toỏn trờn, ngoi cỏch gii bng phn chng thỡ cỏch gii khỏc l rt khú khn Tuy nhiờn ta cũn cú th gp nhng bi m cú nhiu cỏch gii, ú cú th gii bng phn chng c bit mt s bi toỏn chng minh bng phn chng ngn gn, n gin hn cỏc cỏch khỏc Bi 10: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A V ng phõn giỏc BD Chng ã minh rng 45o < ADB ( Tuyn chn bi thi HSG Toỏn THCS) < 90o Ta cú th gii bi toỏn ny da vo quan h gia cỏc gúc tam giỏc nh sau: ã Ta cú tam giỏc ABD vuụng ti A nờn ADB < 90o Vỡ BD l tia phõn giỏc gúc B nờn B ã ã ABC ABC ã ADB B1 = B = = 90o B1 = 90o 2 12 Mt khỏc tam giỏc ABC vuụng ti A ã ABC ã nờn ABC < 90o, suy < 45o ãABC ãABC > 45o 90o > 90o 45o 2 o ã ã Do ú ADB > 45 Vy 45o < ADB < 90o A M C ã Ta cú th dựng phng phỏp phn chng chng minh ADB > 45o n gin hn nh sau: Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 15 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS ã = 90o nờn B > 45o , suy B > 45o ã +B Gi s ADB < 45o m ADB o ã Khi ú ABC > 90 tc l tam giỏc ABC l tam giỏc tự, trỏi gi thit tam giỏc ã ABC vuụng ti A Vy ADB > 45o Bi 11: ca hỡnh vuụng ABCD ly mt im E cho ã ã = 15o Chng minh rng tam giỏc CDE l tam giỏc u EAB = EBA ( Giỏo trỡnh Thc hnh v gii Toỏn II) õy l bi toỏn chng minh mt tam giỏc u Ta cú th chng minh nh sau: ã ã Ta cú tam giỏc AEB cú EAB = 15o A = EBA B E nờn AEB cõn ti E EA = EB Khi ú AED = BEC (c.g.c) ED = EC (hai cnh tng ng) (1) I Trong tam giỏc AED dng tam giỏc AIE u ã Suy DAI = 15o ã ã Vỡ AB = AD, AE = AI v DAI = BAE = 15o C D nờn AID = AEB (c - g - c) o o o o o ã ã ã ã ã Suy DIA = 360 - 60 - 150 = 150 DIA = BEA = 150 v EID = EID Xột tam giỏc AID v tam giỏc EID ta cú ã ã AI = IE; DIA ; ID chung = EID Nờn AID = EID(c.g c) Suy AD = ED m AD = DC (ABCD l hỡnh vuụng)(2) T (1) v (2) suy ED = DC = CE Vy tam giỏc EDC l tam giỏc u Tuy nhiờn cỏch lm trờn ta phi bit cỏch v c ng ph, iu ny khụng phi hc sinh no cng ngh chng minh ED = DC ta cú th dựng phng phỏp phn chng chng minh tip nh sau: Gi s EDC khụng phi l tam giỏc u nờn DC > ED hoc DC < ED ã ã + Nu DC > ED m AD = DC(gt) nờn AD > ED DEA m > EAD o ã ã ã ã ã > 75 = 90o 15o = 75o DEA DAE = 90o EAB > 75o BEC = DEA ã ã ã ã ã ã M AEB = 360o v AEB + BEC + CED + DEA = 150o nờn DEC < 60o m ã ã ã ã ã ED = EC < DC DCE = CDE < 60o DCE + CDE + DEC < 180o , trỏi vi nh lớ tng ba gúc ca tam giỏc + Nu DC < ED lp lun tng t ta cú tng ba gúc ca tam giỏc DEC ln hn 180o, trỏi vi nh lớ tng ba gúc ca tam giỏc Nh vy ch cú th xy DC = ED Bi 12 : Cho tam giỏc ABC vi ng cao AH Gi M v N ln lt l chõn ng vuụng gúc h t H n AB v AC Chng minh rng nu BM = CN thỡ tam giỏc ABC cõn ti A (Tuyn chn bi thi Hc sinh gii Toỏn THCS) Nhn xột: Vi bi ny, ngoi hai cỏch chng minh: A - S dng nh lớ Pyta go chng minh trc tip - So sỏnh cnh v gúc tam giỏc vi hai trng hp: N + Vi H nm gia B v C Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 16 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS + Vi H nm ngoi on BC M Ta cú th gii bi toỏn ny theo phng phỏp phn chng nh sau: B H C Gi s tam giỏc ABC khụng cõn Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s AB > AC Khi ú: HB > HC (quan h gia ng xiờn v hỡnh chiu) Theo nh lớ Pytago ta cú BH = BM + HM ; CH = CN + HN M BM = CN(gt) Suy HM > HN Ta li cú AH = AM + HM ; AH = AN + HN (theo nh lớ Pytago) Suy AM + HM = AN + HN m HM > HN nờn AM < AN Kt hp vi BM = CN suy AB < AC, trỏi vi iu gi s trờn Vy AB = AC hay ABC cõn ti A Bi 13: Cho tam giỏc ABC cú AH va l ng trung tuyn va l ng phõn giỏc k t A Chng minh tam giỏc ABC cõn ti A Bi toỏn ny lp HS cú th chng minh bng suy lun trc tip nh sau: Trờn tia i ca HA ly im D cho AH = HD Ta chng minh c AB = HC, HC =AC nờn AC= AB tc l tam giỏc ABC cõn ti A Lờn lp sau hc tớnh cht ng trung bỡnh ca tam giỏc, ta cú th chng minh bng phn chng nh sau: A Gi s tam giỏc ABC khụng cõn ti A thỡ AC > AB hoc AC< AB + Nu AC > AB Trờn AC ly im D cho AD = AB Gi K l giao im ca AH v BD D Xột hai tam giỏc ABK v ADK ta cú: K ã ã AB = AD; BAK ; AK l cnh chung = DAK C Do ú ABK = ADK (c.g.c) B Suy AK = KD (hai cnh tng ng) H Tam giỏc BDC cú K v H ln lt l trung im ca BD v BC nờn KH l ng trung bỡnh Suy KH song song vi DC, trỏi vi bi KH v DC ct ti A Do ú khụng th xy AC > AB + Nu AC < AB chng minh tng t khụng th xy Vy AC = AB hay tam giỏc ABC cõn ti A Bi t luyn ã ã = 100o , xOz = 130o Tia Ox Bi 1: Cho hai gúc k xOy, xOz cho xOy cú nm gia hai tia Oy, Oz khụng? ( Toỏn bi dng HS lp ) Bi 2: Cho gúc xOy l gúc nhn V ng thng a vuụng gúc vi ng thng Ox Chng minh rng ng thng a ct ng thng Oy ( ễn kin thc - luyn k nng Hỡnh hc 7) Bi 3: Chng t rng hai ng thng vuụng gúc vi hai cnh ca mt gúc ( khỏc gúc bt) thỡ ct (Bi nõng cao v mt s chuyờn Toỏn 7) Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 17 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS ã Bi 4: Cho xOy = mo ( < m < 180) Tia Ot l tia phõn giỏc ca gúc xOy, ly im A trờn tia Ox (khỏc im O) Qua A v ng thng a vuụng gúc vi Ox Chng minh rng tia Ot v ng thng a ct (Bi nõng cao v mt s chuyờn Toỏn 7) Bi 5: Chng minh rng vi mi tam giỏc bao gi cng tn ti mt gúc ngoi khụng ln hn 120o (Bi nõng cao v mt s chuyờn Toỏn 7) Bi 6: Cho tam giỏc ABC cõn ti A D l mt im nm tam giỏc, bit ã ã Chng minh rng DC > DB ADB > ADC (Toỏn nõng cao v cỏc chuyờn Hỡnh hc 7) Bi 7: Nu a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc v a + b > 5c thỡ cnh c l di cnh nh nht ca tam giỏc (Toỏn nõng cao v cỏc chuyờn HH 7) Bi 8: Mt phng c tụ kớn bi hai mu xanh Chng minh rng tn ti im cựng mu cỏch ỳng mt n v Bi 9: Cho t giỏc ABCD cú di cỏc cnh a, b, c, d u l cỏc s nguyờn dng Bit rng a, b, c, d u l c ca a + b + c + d Chng minh rng tn ti hai cnh ca t giỏc bng Bi 10: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú AB < AD, gúc A l gúc tự E l mt im trờn ng trũn ngoi tip tam giỏc ABD ng thng a i qua nh C ct AB ti B v AD ln lt ti H v K Chng minh rng nu E l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AHK thỡ ng thng a cha ng phõn giỏc ca gúc BCD Bi 11: Gi P l mt im tam giỏc ABC, cỏc ng thng AP, BP, CP ct ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ln lt ti K, N, M Tip tuyn ti C ct cnh AB kộo di ti S Bit MK = MN Chng minh rng SC = SP *Phn S hc v i s cú th dng phng phỏp chng minh bng phn chng lm cỏc bi sau: Bi 1: Cụ giỏo ch nhim phõn phi 95 quyn v cho 30 hc sinh lp 6A Chng t rng ớt nht cú mt em nhn c nhiu hn quyn v Gii: Gi s khụng cú hc sinh no lp 6A nhn c nhiu hn quyn v Nh vy ti a s v phỏt cho 30 em l 30 = 90 < 95 Trong giỏo viờn cn phõn phi 95 quyn iu ny vụ lớ Vy ớt nht cú mt em nhn c nhiu hn quyn v Bi 2: Cho a l s t nhiờn khỏc Chng minh rng a v a + luụn l hai s nguyờn t cựng Gii: Gi s a v a + khụng phi l hai s nguyờn t cựng Tc l (a, a+1) = d vi d >1 Khi ú : a Md ; (a + 1)Md nờn ( a + 1) a Md Md , vụ lớ vỡ d > Vy a v a + luụn l hai s nguyờn t cựng Bi tõp 3: Nu x2 + y2 = thỡ x = v y = Gii: Gi s x hoc y thỡ ú x2 > hoc y > x2 + y2 > , trỏi gi thit Vy x2 + y2 = thỡ x = v y = Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 18 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS Bi tõp 4: Chng minh rng : Vi m, n l cỏc s nguyờn dng thỡ m v n chia ht cho v ch m + n chia ht cho Gii: Phn thun : m chia ht cho m2 chia ht cho n chia ht cho n2 chia ht cho ú, m2 + n2 chia ht cho o li , m2 + n2 chia ht cho ta cn chng minh m v n chia ht cho Chng minh bng phn chng : Gi s m v n khụng chia ht cho 3, ú : m = 3k v n = 3p 1, k, p * m2 + n2 = 9k2 6k +1 + 9p2 6p + = 3(3k2 2k + 3p2 2p) + Vỡ 3(3k2 2k + 3p2 2p) M3 v M3 nờn m2 + n2 khụng chia ht cho trỏi gi thit Vy m2 + n2 chia ht cho thỡ m v n chia ht cho Bi 5: Cho x l mt s hu t khỏc 0, y l mt s vụ t Chng t rng x + y l s vụ t ( SBT Toỏn ) Gii: Gi s x + y = z l mt s hu t Nh vy ta cú y = z - x m hiu hai s hu t l mt s hu t Suy y l s hu t iu ny trỏi vi bi y l s vụ t Vy x + y l mt s vụ t Bi tõp 6: Cho a thc f (x) = ax + b ( a ) Chng minh rng nu cú hai s x1 , x2 l hai nghim ca a thc thỡ x1 = x2 (Tuyn chn cỏc bi toỏn hay v khú S 7) Gii: Gi s x1 x2 Vỡ x1 l nghim ca a thc f(x) nờn ax1 + b = (1) Vỡ x2 l nghim ca a thc f(x) nờn ax + b = (2) T (1) v (2) suy ra: ( ax1 + b ) ( ax + b ) = a ( x1 x2 ) = M x1 x2 x1 x2 Do ú a = 0, trỏi gi thit Vy x1 = x2 Bi tõp 7: Nu x v y thỡ x + y + xy Gii: Gi s x + y + xy = x + y + xy + = y(x + 1) + (x + 1).1 = (x + 1)(y +1) = x + = hoc y + = x = hoc y = 1, trỏi gii thit Vy nu x v y thỡ x + y + xy Bi 8: Cho ba s a, b, c (0 ; 1) Chng minh rng cú ớt nht mt cỏc bt ng thc sau l sai : a.(1 b) > 1 (1); b.(1 c) > (2); c.(1 a) > (3) 4 (Nõng cao v phỏt trin Toỏn 2) Gii: Gi s c ba bt ng thc (1), (2), (3) u ỳng Khi ú, nhõn theo v ca (1) , (2), (3) ta c : 1 1 a.(1 b).b.(1 c).c.(1 a ) > hay : a.(1 a ).b.(1 b).c.(1 c) > (*) 4 64 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 19 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS 1 Ta cú : a(1 a) = a + a = a ữ + (4) 4 1 Tng t : b(1 b) (5); c(1 c) (6) 4 Vỡ ba s a, b, c (0 ; 1) nờn a, (1 a), b, (1 b), c, (1 c) l cỏc s dng Nhõn v vi v (4), (5), (6) ta c : a(1 a) b(1 b) c(1 c) (**) 64 Bt ng thc (**) mõu thun (*), ú c ba bt ng thc (1), (2), (3) khụng th ng thi ỳng Vy cú ớt nht mt cỏc bt ng thc ny l sai (pcm) Bi : Chng minh rng nu: a + b + c > (1); ab + bc + ca > (2); abc > (3) thỡ a > 0, b > 0, c > (Nõng cao v phỏt trin Toỏn 2) Gii: Gi s ba s a, b, c khụng ng thi l s dng Vy cú ớt nht mt s khụng dng Do a, b, c cú vai trũ bỡnh ng nờn ta cú th gi s : a + Nu a = thỡ mõu thun vi (3) + Nu a < thỡ t (3) bc < Ta cú (2) ab + ac > bc a(b + c) > m a < nờn b + c < Khi ú a + b + c < , mõu thun (1) Do ú khụng th xy a , cú ngha l a > Chng minh tng t : b > , c > Vy a > , b > , c > Bi 10: Chng minh rng Nu a, b, c l ba s dng thỡ a + b3 + c3 3abc Gii: Gi s : a3 + b3 + c3 < 3abc (*) Khi ú : (*) (a + b +c)(a2 + b2 + c2 ab bc ca) < (a + b + c)[(a b)2 + (b c)2 + (c a)2 ] < Do gi thit a, b, c > nờn bt ng thc cui cựng sai Vy a3 + b3 + c3 3abc Bi 11: Cho hai phng trỡnh: x2 + ax + b= ; x2 + cx + d = Bit ac 2(b + d), chng minh rng ớt nht phng trỡnh ó cho cú nghim Gii: Gi s c hai phng trỡnh trờn vụ nghim Khi ú : = a2 4b < 0, = c2 4d < + < a2 4b + c2 4d < a2 + c2 < 4(b + d) (1) M (a c)2 a2 + c2 2ac a2 + c2 2ac (2) T (1) v (2) 2ac 4(b + d) ac 2(b + d) Trỏi gi thit Do ú phi cú ớt nht hai s , ln hn Vy ớt nht phng trỡnh x2 + ax + b= 0, x2 + cx + d = cú nghim Bi 12: Cho a.b.c 0, chng minh rng cú ớt nht mt ba phng trỡnh sau cú nghim : ax + bx + c = 0(1) ; bx + cx + a = 0(2) ; cx + ax + b = 0(3) Gii: Gi s c ba phng trỡnh trờn u vụ nghim, thỡ: Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 20 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS = b 4ac < ; = c 4ab < ; = a 4bc < + + = a + b + c 4ac 4bc 4ab < 2 ( a b ) + ( b c ) + ( c a ) < iu ny l vụ lớ Vy cú ớt nht mt ba phng trỡnh trờn cú nghim Mt s bi toỏn t luyn: Bi 1: Nu a + b < thỡ mt hai s a v b nh hn Bi 2: Cho a v b l hai s nguyờn t cựng Chng minh rng a v a + b cng nguyờn t cựng Bi 3: Chng minh rng nu n l s t nhiờn v n chia ht cho thỡ n chia ht cho Bi 4: Cho x l mt s hu t khỏc 0, y l mt s vụ t Chng t rng x.y l s vụ t (Sỏch bi Toỏn Tp 1) Bi 5: Cho a thc f(x) cú cỏc h s nguyờn Bit rng f(1).f(2) = 35 Chng minh rng f(x) khụng cú nghim nguyờn (Tng ụn Toỏn THCS v thi vo 10) Bi 6: Cho a + b3 = Chng minh rng a + b (Nõng cao v phỏt trin Toỏn 2) Bi 7: Chng minh rng nu a 3, b 3; a + b 25 thỡ a + b (Nõng cao v phỏt trin Toỏn 2) Bi 8: Cho ba s khỏc ụi mt Chng minh tn ti mt ba s 9ab, 9bc, 9ca nh hn (a + b + c) (Nõng cao v phỏt trin Toỏn 2) Bi 9: Chng minh rng khụng cú ba s dng a, b, c no thoó c ba bt 1 < 2; b + < 2; c + < (Nõng cao v phỏt trin Toỏn 2) b c a Bi 10: Cho hai phng trỡnh: x + 2bx + c = ; x + 2cx + b = Chng minh rng nu b + c thỡ ớt nht mt hai phng trỡnh trờn cú nghim ng thc: a+ (Bi Nõng cao v mt s chuyờn Toỏn ) 2.4 Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim i vi phng phỏp chng minh bng phn chng nu nh giỏo viờn dy hi ht, khụng nghiờn cu chng trỡnh mt cỏch k lng thỡ s b qua c hi hỡnh thnh cho cỏc em mt phng phỏp chng minh rt c ỏo Trong quỏ trỡnh dy tụi cho cỏc em tip cn t t, cung cp cho cỏc em nhng kin thc c bn nht v phng phỏp ny, tn dng mi c hi cú th cỏc em c dng chng minh ng thi tụi cng luụn chỳ ý lng ghộp nhng bi toỏn liờn quan n ni dung kin thc ca tng phn, tng chng m cú th dng c phng phỏp chng minh phn chng Vi cỏch lm trờn, theo kiu ma dm thm lõu, tụi thy rng iu kin cỏc em mi c tip cn chng minh Toỏn hc, phng phỏp chng minh phn chng li l mt phng phỏp khú vi kh nng t ca cỏc em nhng dn tr nờn d hiu hn Hc sinh trung bỡnh thỡ cú th hiu c mt s chng minh n gin, hc sinh khỏ gii thỡ cú th dng phng phỏp ny chng minh ti ny va cú th ỏp dng cỏc tit hc chớnh khoỏ, va cú th dng cỏc bui hc thờm, Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 21 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS cỏc bui hc bi dng t lp n lp Qua thi gian ỏp dng ti ny tụi thy hc sinh bc vo THPT ó c trang b kin thc cn thit v chng minh Toỏn hc núi chung v chng minh bng phn chng núi riờng Trc mi bi toỏn chng minh, cỏc em bit phõn tớch la chn phng phỏp chng minh phự hp, bit c nhng dng bi no cú th dng chng minh bng phng phỏp phn chng, cỏch trỡnh by bi toỏn chng minh bng phn chng nh th no KT LUN, KIN NGH Phng phỏp chng minh bng phn chng cú th núi l mt nhng v khớ quan trng ca toỏn hc Nú cho phộp chỳng ta chng minh s cú th v khụng cú th ca mt tớnh cht no ú, nú cho phộp chỳng ta bin thun thnh o, bin o thnh thun, nú cho phộp chỳng ta lý lun trờn nhng i tng m khụng rừ l cú tn ti hay khụng Trong Toỏn hc, t xa xa ngi ta ó ỏp dng phộp suy lun ny chng minh v din gii nhng khng nh Toỏn hc Trong lch s Toỏn hc phng phỏp ny ó c s dng rt sm nh chng minh nguyờn lớ Dirichle, nhng bi toỏn v khng nh mt h thc ỳng, khng nh nghim ca mt phng trỡnh, h phng trỡnh hoc chng minh bt ng thc, Trong i s, hỡnh hc, s hc u cú th dng phng phỏp chng minh bng phn chng Nh vy vic hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh t THCS l vic lm cn thit Sau mt thi gian kiờn trỡ, nghiờm tỳc v n lc thc hin vi s giỳp ca ng nghip, tụi ó hon thnh sỏng kin kinh nghim vi ti "Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh Trung hc c s" Qua ti ny tụi ó trỡnh by kinh nghim ca mỡnh vic lm hc sinh tip cn, nm vng v dng thnh tho phng phỏp chng minh bng phn chng chng minh Toỏn hc Tụi hi vng ti ny s úng gúp mt phn nh vic b sung hiu bit, gúp phn lm ti liu tham kho cho cụng tỏc ging dy toỏn cng nh hc toỏn, t ú nõng cao c cht lng dy v hc mụn toỏn nh trng Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 22 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS Tuy ó c gng nhng kinh nghim cỏ nhõn cũn hn ch nờn ni dung ca sỏng kin kinh nghim ny chc chn khụng trỏnh khim khuyt Tụi rt mong nhn c s trao i, úng gúp ý kin ca cỏc thy, cụ giỏo ti c hon thin hn Tụi xin chõn thnh cm n ! Xỏc nhn ca Hiu trng Thanh Hoỏ, ngy 28 thỏng 05 nm 2017 Tụi xin cam oan õy l sỏng kin kinh nghim ca mỡnh, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Ngi vit Th Dung DANH MC TI LIU THAM KHO Sỏch giỏo viờn Toỏn 6, 7, 8, 1, Tỏc gi: Phan c Chớnh ( Tng ch biờn) Sỏch giỏo khoa Toỏn 7, 8, 1, Tỏc gi: Phan c Chớnh ( Tng ch biờn) Sỏch bi Toỏn 7, 8, 1, Tỏc gi: Tụn thõn ( Ch biờn) Phng phỏp dy hc mụn Toỏn Tỏc gi: Nguyn Bỏ Kim (ch biờn) Toỏn Nõng cao v cỏc chuyờn Hỡnh hc 7, 8, Tỏc gi: V Dng Thu (ch biờn) Giỏo trỡnh Thc hnh v Gii toỏn II Tỏc gi: ng ỡnh Lng - V Hu Tỳc Bi Nõng cao v mt s chuyờn Toỏn 7, 8, Tỏc gi: Bựi Vn Tuyờn Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 23 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS Nõng cao v phỏt trin Toỏn 7, 8, Tỏc gi: V Hu Bỡnh ễn kin thc - Luyn k nng Hỡnh hc Tỏc gi: Tụn Thõn (ch biờn) 10 Tuyn chn bi thi hc sinh gii Toỏn THCS Tỏc gi: Lờ Hng c ( Ch biờn) 11.Tuyn cỏc bi Toỏn hay v khú i s Tỏc gi: Phan Vn c, Nguyn Hong Khanh 13 Tng ụn Toỏn THCS v thi vo 10 Tỏc gi: Mai Cụng Món (Ch biờn) 14.Bi dng Toỏn 8, Tỏc gi: c Thỏi, Th Hng Thuý 15.Toỏn bi dng hc sinh lp Tỏc gi V Hu Bỡnh, Tụn Thõn Quang Thiu MC LC M u .1 1.1 Lớ chn ti 1.2 Mc ớch nghiờn cu .1 1.3 i tng nghiờn cu 1.4 Phng phỏp nghiờn cu .2 1.5 Nhng im mi ca sỏng kin kinh nghim 2 Ni dung sỏng kin kinh nghim .3 2.1 C s lớ lun ca sỏng kin kinh nghim 2.2 Thc trng ca nghiờn cu Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 24 Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS 2.3 Gii phỏp gii quyt .4 2.4 Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim .21 Kt lun, kin ngh 22 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2016 - 2017 25 ... chng minh bng phn chng cho hc sinh THCS Bi tõp 4: Chng minh rng : Vi m, n l cỏc s nguyờn dng thỡ m v n chia ht cho v ch m + n chia ht cho Gii: Phn thun : m chia ht cho m2 chia ht cho n chia ht cho. .. chng minh rt hiu qu Vỡ vy tụi mnh dn m rng ti trờn thnh ti "Hỡnh thnh phng phỏp chng minh bng phn chng cho hc sinh Trung hc c s" ti ny s giỳp hc sinh c rốn luyn thng xuyờn phng phỏp chng minh. .. n chia ht cho n2 chia ht cho ú, m2 + n2 chia ht cho o li , m2 + n2 chia ht cho ta cn chng minh m v n chia ht cho Chng minh bng phn chng : Gi s m v n khụng chia ht cho 3, ú : m = 3k v n = 3p