SKKN rèn luyện kỹ năng giải bài tập liên quan đến đường tròn bằng hình thức trắc nghiệm khách quan

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ' RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN BẰNG HÌNH THỨC TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN " Người thực hiện: Vũ Thị Hương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực ( mơn) : Tốn THANH HĨA NĂM 2020 MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: Cấu trúc đề tài PHẦN 2: NỘI DUNG I KHÁI QUÁT LÍ THUYẾT CƠ BẢN 1) Phương trình đường trịn 2) Nhận dạng phương trình đường trịn 3) Phương trình tiếp tuyến II Một số dạng tập minh họa thường gặp đường tròn phương pháp khác để giải vấn đề II.1 Dạng 1: * Tìm tọa độ tâm tính bán kính đường trịn * Tìm điều kiện để phương trình đường trịn * Tìm quỹ tích tâm đường tròn II.2 Dạng 2: Lập phương trình đường trịn II.3 Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến đường trịn Đường thẳng qua hai tiếp điểm 11 II.4 Dạng 4: Vị trí tương đối đường thẳng với đường trịn Bài tốn tương giao 15 PHẦN 3: TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ 18 3.1 Mục đích, tổ chức thực nghiệm 18 3.2 Nội dung dạy thử: 19 3.3 Kết thử nghiệm kết luận rút từ thử nghiệm 19 KẾT LUẬN 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình THPT, mơn Tốn có vai trị quan trọng Là mơn học địi hỏi học sinh phải có tư lơgic, sáng tạo khả tự nghiên cứu học hỏi cao Với học sinh lớp 10 khơng em gặp nhiều khó khăn mơn Tốn Một cấp học mới, môi trường mới, cần phương pháp mới, nhiều em lúng túng khơng tìm phương pháp học hiệu cho dẫn đến kết giảm sút so với năm học trước Hơn nữa, với đổi cách thức thi cử, kiểm tra, đánh giá học sinh yêu cầu cao khả thích ứng em Từ năm học 2016 - 2017, Giáo dục thay đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan với mơn Tốn Do đó, từ học lớp 10, học sinh phải có kiến thức, kĩ phương pháp cần thiết để học làm tốt thi theo hình thức Qua năm học vừa rồi, thực tế giảng dạy học sinh lớp 10 thấy em lúng túng, lo lắng với kiểu thi trắc nghiệm khách quan, em quen làm kiểu tự luận, tỉ mỉ, chậm rãi Nay chuyển sang phải làm nhiều, làm nhanh, làm Nhiều em khó khăn Đặc biệt với mơn tốn hình học Để em có phương pháp tư nhanh, khả giải vấn đề kĩ làm tốt, việc dạy học theo phương pháp mới, rèn luyện kĩ giải tập theo hình thức trắc nghiệm từ năm lớp 10 cần thiết cho học sinh Nhưng trước hết, học sinh phải thành thạo toán dạng tự luận biết chọn cách làm nhanh vào toán trắc nghiệm Các em phải trang bị kiến thức bản, phương pháp làm toán trắc nghiệm, kĩ giải toán nhanh, kĩ sử dụng máy tính thành thạo Khi đó, em tự tin, hứng thú học tập đạt kết cao Với lí trên, tơi chọn đề tài " Rèn luyện kĩ giải tập đường trịn hình thức trắc nghiệm khách quan" chương trình hình học lớp 10 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu: Đề tài đưa số hướng suy nghĩ, tư duy, phương pháp nhanh, hiệu trình rèn luyện kĩ giải tập liên quan đến đường trịn chương trình hình học lớp 10 ( ban ) Nhiệm vụ nghiên cứu: + Hệ thống hóa lí thuyết đường trịn + Đưa số phương pháp khả thi hiệu trình rèn luyện kĩ giải tập đường tròn + Tổ chức kiểm tra, đánh giá kiểm chứng tính khả thi hiệu đề tài Đối tượng nghiên cứu: + Nghiên cứu dạng tốn đường trịn chương trình hình học lớp 10 ( ban bản) + Mẫu khảo sát: lớp 10A1, 10A2, trường THPT Lê Hồng Phong năm học 2019 - 2020 Phương pháp nghiên cứu: + Phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa nội dung có đề tài với phương pháp là: Với dạng tốn có ví dụ minh họa dạng tự luận sau cho tập dạng trắc nghiệm + Triển khai dạy thực nghiệm số giáo án để đánh giá tính khả thi hiệu đề tài + Kiểm tra, đánh giá, thống kê Cấu trúc đề tài + Phần 1: Mở đầu + Phần 2: Nội dung : I Khái quát lí thuyết II Đưa số dạng tập minh họa thường gặp đường tròn phương pháp khác để giải vấn đề Trong dạng, tác giả nêu kiến thức kĩ mà học sinh cần nắm được, lưu ý quan trọng Một số ví dụ chọn lọc có hệ thống tập vận dụng * Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường trịn * Dạng 2: Lập phương trình đường trịn * Dạng 3: Tiếp tuyến đường tròn * Dạng 4: Tương giao đường thẳng với đường trịn * Dạng 5: Vị trí tương đối hai đường tròn + Phần 3: Tổ chức thực nghiệm đánh giá kết PHẦN 2: NỘI DUNG y I KHÁI QUÁT LÍ THUYẾT CƠ BẢN y M 1) Phương trình đường trịn I * Trên mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C) b R có tâm I(a ; b) bán kính R Điểm M(x ; y) x O a x thuộc đường tròn (C) ↔ ℑ=R↔(x −a)2+( y−b)2=R2 (1) Phương trình (1) phương trình đường trịn (C) có tâm I(a ; b) bán kính R 2) Nhận dạng phương trình đường trịn 2 2 * Phương trình: x + y +2 ax +2 by +c=0, với điều kiện a + b + c >0 phương trình đường trịn có tâm I(-a ; -b) bán kính R=√a2+b2−c 3) Phương trình tiếp tuyến * Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường trịn (C) có tâm I, bán kính R ↔ d ( I , ∆ )=R Đường thẳng ∆ tiếp tuyến đường tròn II Một số dạng tập minh họa thường gặp đường tròn phương pháp khác để giải vấn đề II.1 Dạng 1: * Tìm tọa độ tâm tính bán kính đường trịn * Tìm điều kiện để phương trình đường trịn * Tìm quỹ tích tâm đường trịn 1.1 Tìm tọa độ tâm tính bán kính đường trịn Kiến thức bản: + Đường trịn (x−a)2 +( y−b)2=R2 có tâm I(a ; b) , bán kính R + Phương trình x2+ y2+2 ax +2 by +c=0,(a2+ b2+ c >0) phương trình đường trịn có tâm I(-a ; -b) bán kính R=√a2+b2−c Kĩ năng: Nắm rõ dạng phương trình đường trịn để tìm tâm bán kính Ví dụ 1: Điền vào trống Đường trịn (x−2) Tâm I +( y +3) =10 x +( y −5)2=16 x2+ y2=3 x2+ y2−8 x−2 y+4=0 x2+3 y2 +6 x−3 y−1=0 Đáp án: Bán kính R Đường trịn Tâm I I(2 ; -3) I(0 ; 5) I(0 ; 0) I(4 ; 1) I(−1; ¿ 1.( x−2) +( y +3) =10 x2+( y −5)2=16 x2+ y2=3 x2+ y2−8 x−2 y+4=0 x2+3 y2 +6 x−3 y−1=0 Bán kính R R=√ 10 R=4 R=√3 R=√ 13 R= 19 √12 Lưu ý: Trong câu 5, phải chia hai vế phương trình cho để đưa dạng tìm tâm bán kính theo cơng thức 1.2 Tìm điều kiện để phương trình đường trịn Kiến thức bản: Phương trình x2+ y2+2 ax +2 by +c=0 , ( a2+ b2+ c >0) phương trình đường trịn có tâm I(-a ; -b) bán kính R=√a2+b2−c Kĩ năng: Nắm dấu hiệu để nhận biết nhanh phương trình đường trịn Chẳng hạn c < Và không đường tròn khi: hệ số x y khơng đồng nhất, có chứa tích x.y, vi phạm điều kiện 2 a + b +c >0 Ví dụ 2: Phương trình sau đường tròn A.x2+ y2−2 x + y +4=0 B x2+ y2+3 x−5 y −1=0 C.x2+ y2+ xy −2 x −4=0 D x2− y2−4 x+2 y −3=0 Đáp án: B ( dùng phương pháp loại trừ ta kết B ) Ví dụ 3: Phương trình sau khơng phải đường trịn A x2 +2 y2−4 x+ y+ 3=0 B x2+ y2−5=0 C x2+ y2+5 y +1=0 D x2+ y2−4 x + y +6=0 Đáp án: D ( vi phạm điều kiện a2+ b2+ c >0 ¿ Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x2+ y2−2(2 m−1)x +2 my+2 m=0 phương trình đường tròn? B m A m←2 hoặcm> D m2 C m< m>1 Đáp án: C ( dùng điều kiện a2+ b2+ c >0 ¿ Ví dụ 5: Tìm m để x2+ y2−2 mx−(m−1) y +2 m+1=0 phương trình đường trịn có bán kính R=3 √2 A m∈ {−4 ; 2} B m∈ {−3 ; 5} { } C m∈ ; D m∈ { −3 ;4 } Đáp án: B ( dùng công thức R=√a2+b2−c ) 1.3 Tìm quỹ tích tâm đường trịn Kiến thức bản: Cách tìm quỹ tích điểm M(x ; y) mặt phẳng tọa độ + Bước 1: Tìm điều kiện tham số để điểm M tồn + Bước 2: Tính tọa độ (x ; y) điểm M theo tham số ( chẳng hạn m ) + Bước 3: Khử tham số m x y ( ta gọi tìm hệ thức liên hệ x y mà không phụ thuộc tham số) + Bước 4: Giới hạn quỹ tích ( vào điều kiện bước 1) Chú ý: + Nếu xM y M không phụ thuộc tham số khơng phải làm bước + Nếu điểm M ln tồn khơng phải làm bước Kĩ năng: Thực phương pháp tìm quỹ tích để hồn thiện tốt làm Ví dụ 6: Tìm quỹ tích tâm đường trịn x2+ y2−2 mx+2 (m+2) y +2(m2 +m+1)=0 Bài giải: Bước 1: Tìm điều kiện m Để phương trình cho đường trịn a2+ b2+ c >0 , suy m > -1 { x =m Bước 2: Gọi I tâm đường tròn, yI =I−m−2 Bước 3: Cộng vế ta xI + y I=−2 Vậy tâm I thuộc đường thẳng cố định x + y +2 = Bước 4: giới hạn: m>−1nên xI >−1 Kết luận, quỹ tích điểm I nửa đường thẳng ∆ : x + y +2=0 ( thỏa mãn x > - 1) Ví dụ 7: Tâm đường trịn x2+ y2−mx−2 (1−3 m) y−1=0 thuộc đường thẳng cố định ? A x−3 y−2=0 B x+ y+2=0 C x−2 y−4=0 D x + y−1=0 Đáp án: D Bài tập vận dụng: Câu Phương trình sau phương trình đường trịn A x2+ y2−x− y +9=0 B x2+ y2−x=0 C x2+ y2−2 xy −1=0 D x2− y2−x +3 y−1=0 Câu Phương trình sau khơng phải đường trịn A x2+ y2−x− y +9=0 B x2+ y2− y=0 C x2+ y2=2 D x2+ y2−10 x+1=0 Câu Đường tròn (C): x2+ y2−6 x−8 y=0 có bán kính là: A 10 B 25 C D √ 10 Câu Đường trịn (C): x2+ y2−5 y=0 có bán kính là: A √5 B C 25 2 Câu Đường trịn (C): x + y + x−√3=0 có tâm là: √2 B −√2 √3 ) C (√2;√3) A 0; ; D Câu Đường tròn (C): x2 +2 y2−8 x +4 y−1=0 có tâm là: ( ( ) √2 D ( √2 ; 0) A (-2 ; 1) B (8 ; -4) C (-8 ; 4) D (2 ; -1) Câu Cho đường trịn (C): (x−2)2+ y2=2 Tìm mệnh đề sai: A (C) có tâm I(2 ; 0) B (C) có bán kính R=√2 C (C) cắt trục Ox hai điểm D (C) cắt trục Oy hai điểm Câu Cho đường tròn (C): x2 +2 y2−4 x+8 y+1=0 Tìm mệnh đề A (C) khơng cắt trục Oy B (C) cắt trục Ox điểm C (C) có tâm I(2 ; -4) D (C) khơng qua điểm M(2 ; 5) Câu Tìm m để phương trình x2+ y2−2 (m+1) x−2 (m+ 2) y +6 m+7=0 phương trình đường trịn A m1 C m Câu 10 Với giá trị m phương trình x2+ y2−2 mx+4 y+ 8=0 khơng phải phương trình đường trịn A m < - m > B m > 2C −2 ≤ m≤2 D m < -2 2 Câu 11.Tìm m để (Cm ) : x + y −mx−2 (1−3 m) y−1=0 đường trịn có bán kính A m = B m = C m = - D m = - Câu 12 Quỹ tích tâm đường trịn (Cm ) : x2 + y2−2(2 m−1) x+2 my+2m=0 thuộc đường thẳng sau A x +2 y +1=0 B x−2 y−1=0 C x+ y +1=0 D x−2 y +1=0 II.2 Dạng 2: Lập phương trình đường trịn Kiến thức bản: + Tìm tâm I(a ; b), bán kính R, có phương trình (x−a)2 +( y−b)2=R2 Đường trịn qua ba điểm phân biệt khơng thẳng hàng nên dùng phương trình x2+ y2+2 ax +2 by +c=0 + Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường trịn (C) có tâm I, bán kính R ↔ d ( I , ∆ )=R Đặc biệt: + Đường trịn (C) có tâm I(a ; b) tiếp xúc với trục Ox R=|b| ( h.1) + Đường trịn (C) có tâm I(a ; b) tiếp xúc với trục Oy R=|a| ( h + Đường trịn (C) có tâm I(a ; b) tiếp xúc với hai trục Ox, Oy R=|a|=|b| ( h.3) + y y b b O y R I I I b R a O x a ( h.1) R a x ( h.2) O x ( h.3) Kĩ năng: Nắm vững dạng viết phương trình đường trịn ( thường tìm tâm tính bán kính ) Liên hệ kiến thức đường tròn lớp để giải nhanh gọn tốn Chẳng hạn: + Khi đường trịn qua hai điểm A, B tâm I ln nằm đường trung trực đoạn AB + Khi đường tròn tiếp xúc với đường thẳng ∆ điểm M tâm I ln nằm thẳng vng góc với ∆ , điểm M + Khi đường tròn tâm I, bán kính R cắt đường thẳng ∆ hai điểm A, B IH vng góc AB trung điểm H AB IH = d(I , ∆ ) R I I R A H B M Ví dụ 1: Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(-1;3), B(-1 ; -2), C(3 ; -2) Bài giải: Bài tốn ta làm theo ba cách Cách 1: + Gọi phương trình dạng: x2+ y2+2 ax +2 by +c=0 + Thay tọa độ ba điểm A, B, C ta hệ phương trình ba ẩn a, b, c Giải hệ tìm nghiệm kiểm tra điều kiện a2+ b2+ c >0 thay giá trị a, b, c vào phương trình ban đầu ta kết Cách 2: + Gọi I(a ; b) tâm ta có IA = IB = IC + Giải hệ hai ẩn a, b ta tìm tâm tính R = IA + Viết phương trình đường tròn Cách 3: + Tâm I giao hai đường trung trực hai cạnh AB AC + Tính R = IA + Viết phương trình đường trịn Giáo viên lưu ý học sinh với hình thức trắc nghiệm học sinh nên dùng cách 1, sử dụng máy tính nhanh xác Đáp án: x2+ y2−2 x − y−9=0 Ví dụ 2: Lập phương trình đường trịn có tâm nằm trục tung qua hai điểm A(3 ; -3), B(5 ; 1) Bài giải: tốn làm theo ba cách Cách 1: + Gọi tâm I(0 ; b), cho IA = IB, tìm b, tìm tâm I + Tính R = IA, viết phương trình đường trịn Cách 2: + Viết phương trình đường trung trực ∆của AB + Cho ∆ giao trục tung tìm tâm I + Tìm R = IA, viết phương trình đường tròn Cách 3: + Gọi tâm I(0 ; b) , có phương trình x2+( y −b)2=R2 + Thay tọa độ A, B vào phương trình , giải hệ ta tìm được b R, suy phương trình đường tròn Giáo viên lưu ý học sinh, ba cách gần tương đương nhau, học sinh chọn theo kĩ Đáp án: x2+( y −1)2=25 Ví dụ 3: Lập phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng d : x+ y −1=0 tiếp xúc với đường thẳng d' : x −6 y−22=0 điểm A(-2 ; - 4) Bài gải: toán làm theo ba cách Cách 1: + Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A vng góc với d' + Tâm I giao ∆ d + Tính R = IA, viết phương trình đường trịn Cách 2: + Gọi tâm I(1-2t ; t) thuộc d, giải phương trình IA = d(I , d') tìm t, tìm tâm I + Tính R = IA, viết phương trình đường trịn + Cách 3: + Gọi phương trình đường trịn (x−a)2 +( y−b)2=R2 { A =3√5 √5 HB IH=d ( I , ∆)= R2=IA2=IH 2+HA2=125 2 + Đáp án: (x +4 ) +( y−1) =125 + Ví dụ 5: Lập phương trình đường trịn có tâm I(2 ; - 4) cắt đường thẳng hai điểm A, B cho IA IB Bài giải: + Gọi H trung điểm AB, tam giác IAB vng cân I nên ta có IH= AB R √2 2= IH =d (I , ∆)=|2+3 (−4)−5|= 15 √10 R =3 √10 √5 + Mặt khác, + Tìm + Đáp án: Ví dụ 6: Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với trục hồnh điểm A(-3 ; 0) qua điểm B(- ; 1) Bài giải: + Do đường tròn tiếp xúc với trục hoành A(-3 ; 0) nên tâm I thuộc đường thẳng x = -3, gọi tâm I(-3 ; b) + Cho IA = IB tìm b = 1, suy R = |b|=1 2 + Đáp án: (x +3) +( y−1) =1 Ví dụ 7: Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với trục tung điểm A(0 ; 1) có tâm thuộc đường thẳng ∆ : x−3 y +5=0 Bài giải: + Vì đường trịn tiếp xúc với trục tung điểm A(0 ; 1) nên tâm I thuộc đường thẳng y = 1, gọi I(a ; 1) − + Mà tâm I thuộc ∆ , thay tọa độ I vào phương trình ∆ tìm a= , R = |a|= + 1 Đáp án: ( x + )2+( y−1)2= Ví dụ 8: Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với hai trục tọa độ có tâm thuộc đường thẳng ∆ : x + y−2=0 Bài giải: + Gọi tâm I thuộc ∆ : x + y−2=0 nên I(t ; 2-t) + Vì đường trịn tiếp xúc với hai trục nên |t|=|2−t|, tìm t = 2 + Đáp án : (x−1) +( y −1) =1 Bài tập vận dụng: Câu Đường tròn tâm I(3;-1), bán kính R = có phương trình là: A (x +3)2+( y−1)2=4 B (x−3)2 +( y −1)2 =4 C (x−3)2 +( y +1)2=4 D (x +3)2+( y +1)2=2 Câu Đường tròn tâm I(-1 ; 2) qua M(2;1) có phương trình là: A x2+ y2+2 x−4 y−5=0 B x2+ y2+2 x−4 y−3=0 C x2+ y2−2 x −4 y −5=0 D x2+ y2+2 x +4 y−5=0 Câu Cho A(5 ; -1), B(-3 ; 7), đường tròn đường kính AB có phương trình là: A x2+ y2+2 x−6 y −22=0 B x2+ y2−2 x −6 y+ 22=0 C x2+ y2−2 x − y+1=0 D x2+ y2+ x +5 y +1=0 Câu Đường trịn có tâm I(4 ; 3) tiếp xúc với đường thẳng ∆ :3 x−4 y +5=0 có phương trình là: A (x +4 )2 +( y−3)2=1 C (x +4 )2 +( y +3)2=1 B (x−4)2+( y −3)2 =1 D (x−4)2+( y +3)2=1 Câu Đường tròn (C) qua hai điểm A(1;3) , B(3;1) có tâm thuộc đường thẳng ∆ :2 x− y +7=0 có phương trình là: A (x−7)2 +( y−7)2=102 B (x +7)2+( y +7)2=164 C (x−3)2 +( y −5)2=25 D (x +3)2+( y +5)2=25 Câu Đường tròn (C) tiếp xúc với trục tung điểm A(0 ; - 2) qua điểm B(4 ; - 2) có phương trình là: A (x−2)2+( y +2)2=4 B (x +2)2 +( y−2)2=4 C (x−3)2 +( y −2)2 =4 D (x−3)2 +( y +2)2=4 Câu Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(0 ; 2) , B(2 ; 2) , C(1 ; 1+√2¿ có phương trình là: A x2+ y2+2 x +2 y−√2=0 B x2+ y2−2 x −2 y =0 C x2+ y2−2 x −2 y −2=0 D x2+ y2+2 x−2 y +√2=0 Câu Đường tròn sau qua ba điểm A(- ; 1), B(3 ; 1) , C(1 ; 3): 10 A x2+ y2−2 x −2 y −2=0 C x2+ y2−2 x +2 y=0 B x2+ y2−2 x −2 y +2=0 D x2+ y2+2 x +2 y−2=0 Câu Đường tròn qua điểm A(2 ; 4) tiếp xúc với hai trục tọa độ có phương trình là: 2 2 A (x−2) +( y −2) =4 (x−10) +( y −10) =100 2 2 B (x +2) +( y +2) =4 (x−10) +( y −10) =100 2 2 C (x +2) +( y +2) =4 (x +10) +( y +10) =100 2 2 D (x−2) +( y −2) =4 (x +10) +( y +10) =100 Câu 10 Cho hai điểm A(- ; 2), B(2 ; - 3) Tập hợp điểm M(x ; y) thỏa mãn MA2 +MB2=31 có phương trình là: A x2+ y2+2 x +6 y +1=0 B x2+ y2−6 x−5 y +1=0 C x2+ y2−2 x −6 y−22=0 D x2+ y2+2 x +6 y +22=0 II.3 Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến đường trịn Đường thẳng qua hai tiếp điểm Kiến thức bản: Cho đường trịn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng ∆ Điều kiện cần đủ để ∆ tiếp xúc với (C) d ( I , ∆ )=R (*) * Dạng toán: Tiếp tuyến điểm: +Tiếp tuyến (C) điểm M đường thẳng qua điểm M nhận vecto ⃗ℑ làm pháp tuyến * Dạng tốn : Tiếp tuyến có phương cho trước: + Nếu tiếp tuyến ∆ (C) song song với đường thẳng ax +by +c =0 phương trình ∆ có dạng ax +by +m=0, m tham số Dùng điều kiện tiếp xúc (*) tìm m + Nếu tiếp tuyến tuyến ∆ (C) vng góc với đường thẳng ax +by +c =0 phương trình ∆ có dạng bx−ay+m=0, m tham số Dùng điều kiện tiếp xúc (*) tìm m + Đặc biệt: tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vng cân hệ số góc tiếp tuyến - * Dạng toán: Tiếp tuyến qua điểm M ( x0 ; y0 )cho trước + Gọi phương trình tiếp tuyến là: a ( x−x0 )+b ( y− y0 )=0, với n⃗=(a,b)≠ ⃗0 + Điều kiện tiếp xúc d ( I , ∆ )=R, quy đồng phương trình, bình phương, chọn ⃗ n⃗=(a,b)≠ + Kết luận phương trình tiếp tuyến * Chú ý: + Từ điểm M nằm đường trịn (C) khơng có tiếp tuyến với (C) + Từ điểm M nằm (C) kẻ tiếp tuyến đến (C) 11 + Từ điểm M nằm noài (C) kẻ hai tiếp tuyến đến (C) Khi gọi A, B tiếp điểm đường thẳng AB vng góc với đường thẳng IM trung điểm H AB Kĩ năng: + Thành thạo dạng phương trình tiếp tuyến + Vận dụng tính chất tiếp tuyến với đường trịn để xử lí tốn liên quan đến tiếp tuyến Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): x2+ y2−4 x +8 y +10=0 điểm A(-1;-3) Bài giải: + (C) có tâm I(2 ; -4), bán kính R = √10 ∆ + Gọi ∆: tiếp tuyến A(-1 ; -3), qua A (−1 ;−3) {có vecto pháp tuyến ⃗n=⃗AI =(3 ;−1) + Phương trình ∆ :3 x− y =0 Ví dụ 2: Cho đường trịn (C): x2+ y2+ x −2 y −10=0 Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: x−4 y+1=0 Bài giải: + (C) có tâm I(-3 ; 1), bán kính R = √20 + Gọi ∆ tiếp tuyến (C), ∆ // d nên phương trình ∆: x−2 y +c=0 , c≠ + d ( I , ∆ )=R, tìm c=−5 hoặcc=15 Đáp án: x−2 y−5=0 , x−2 y+15=0 Ví dụ 3: Cho đường tròn (C): x2+ y2+ x +4=0 Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: x+2 y−7=0 Bài giải: + (C) có tâm I(-3 ; 0), bán kính R = √5 + Gọi ∆ tiếp tuyến (C), ∆ vng góc d nên phương trình + ∆: x−2 y +c=0 + d ( I , ∆ )=R, tìm c=4 c=8 Đáp án: x−2 y +4=0 , x−2 y +8=0 Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): (x +1)2 +( y−2)2=5 biết tiếp tuyến qua điểm M (√5−1 ; 1) Bài giải: + (C) có tâm I(-1 ; 2), bán kính R = √5 + Đường thẳng ∆ qua M có phương trình 2 a ( x−√5+1)+ b ( y−1)=0 ,a +b ≠ + + d ( I , ∆ )=|a (−1−√5+1)+ b(2−1)|=|−√5 a+b| √ a2 +b2√a2 +b2 +Để∆là tiếp tuyến (C) + + |− √5 a+ b| √ =√5 ↔|−√5 a+ b|=√5 a2+5 b2 a2+b2 Từ đó, b (2 b+√5 a)=0, suy rab=0 b+√5 a=0 Nếu b = 0, ta chọn a = tiếp tuyến ∆1 : x−√5+1=0 12 + Nếu b+√5 a=0, ta chọn a=2, b=−√5 , tiếp tuyến ∆ : x− y+1=0 ∆2 :2 x−√5 y+2−√5=0 Giáo viên nhấn mạnh học sinh, toán tiếp tuyến qua điểm phải làm phương pháp nêu Nếu học sinh gọi tiếp tuyến theo dạng y=k ( x−x0 )+ y0 ( hệ số góc ) làm tiếp tuyến dạng x=x0 đường thẳng x=x0 khơng có hệ số góc Ví dụ 5: Biết từ điểm M(0 ; - 1) ta vẽ hai tiếp tuyến đến(C): x2+ y2+ x −4 y + 4=0 Viết phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm Bài giải: + (C) có tâm I(-3 ; 2) R = Gọi A ( x1 ; y1 ) B( x2 ; y2) hai tiếp điểm k { + Tiếp tuyến AB ( quađiểm A x1 ; y1 ) có vtpt ⃗IA =(x1+3 ; y1−2) Phương trình tiếp tuyến AB là: (x1 +3)(x−x1 )+( y1−2)( y − y1)=0 + Tiếp tuyến AB qua M(0 ; - 1) nên (x1 +3)(0−x1 )+( y1−2)(−1− y1 )=0 hay x21+ y21+3 x1− y1−2=0 (1) Mà A ( x1 ; y1 )∈(C) nên x21+ y21+ x1−4 y1 +4=0 (2) Lấy (2)-(1) ta x1− y1 +2=0 Vậy A ( x1 ; y1 )∈ ∆ : x− y+ 2=0 Tương tự ta có B(x2 ; y2 ) ∈ ∆ : x− y+ 2=0 + Vậy đường thẳng AB x− y +2=0 Giáo viên lưu ý học sinh: + Dùng toán tiếp qua điểm M ta tìm hai tiếp tuyến + Xét tương giao tiếp tuyến với đường tròn ta tìm tiếp điểm A + Viết phương trình đường thẳng AB qua A vng góc với IM Ví dụ 6: Cho đường trịn (C): (x−2)2+( y +3)2=4 điểm M đường thẳng y + = Xác định tọa độ M để từ M kẻ hai tiếp tuyến đến (C) hai tiếp tuyến vng góc với Bài giải: + (C) có tâm I(2 ; - 3) , bán kính R = + Gọi M(m ; -5) thuộc đường thẳng y + = + Yêu cầu tốn dẫn đến tứ giác MAIB hình vng cạnh R (A, B hai tiếp điểm) nên ta có ℑ=R √2 , giải phương trình tìm m = m = + Kết luận M(0 ; - 5) , M(4 ; - 5) + Ví dụ 7: Cho đường thẳng đường trịn (C): (x +1)2 +( y−2)2=5 13 Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ để từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) ^ AMB=600 Bài giải: + (C) có tâm I(- ; -2) , bán kính R = √5 + Gọi M(t ; t+1) thuộc đường thẳng ∆ Yêu cầu toán dẫn đến tam giác MAB (A, B hai tiếp điểm) nên ta có ℑ=2 R , giải phương trình tìm t=± + Kết luận M(3 ; -4) , M(- ; - 2) Ví dụ 8: Biết từ điểm M(1 ; 3) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C): x2+ y2+ y−9=0 hai tiếp tuyến vng góc với Viết phương trình đường thẳng AB Bài giải: + (C) có tâm I(0 ; - 4) , bán kính R = + Vì tứ giác MAIB hình vng nên IM vng góc với AB trung điểm H + { qua điểm H ( ;− ) + Khi đường thẳng AB: 2 có vtpt n⃗=⃗ℑ=(1; 7) + Đáp án: x +7 y +3=0 Giáo viên lưu ý học sinh: giải tốn theo Ví dụ dài, sử dụng tính chất tiếp tuyến yêu cầu tốn ta suy có tâm 1 H ( ;− ) hình vng MAIB giải nhanh chóng đáp án Thưc tế, dạy học tập này, học sinh Đạt lớp 10A1 làm theo cách viết phương trình tiếp tuyến đia qua điểm M, sau viết đường thẳng AB Tôi định hướng cho em học sinh khác để nhớ biết cách làm ngắn gọn Với toán này, học sinh Phong lớp 10A1 dùng toán tiến tuyến qua điểm M để tìm hai tiếp điểm A, B rối tính đoạn AB Tơi nhấn mạnh với học sinh, tất tốn tiếp tuyến đường trịn, ta phải có hình vẽ sử dụng tính chất tiếp tuyến học lớp để vận dụng làm theo cách nhanh Bài tập áp dụng: Câu Từ điểm A(2 ; - 1) vẽ tiếp tuyến với đường tròn x2+ y2−6 x−4 y +8=0 A B C D Câu Tìm để từ điểm A(m ; 0) vẽ hai tiếp tuyến đến (C): x2+ y2+ x−2 y−5=0 14 A m < - 4; m > - C < m < B m < - ; m > D - < m < Câu Tìm m để đường thẳng ∆ : x + y−m+3=0 cắt (C): (x−3)2 +( y +1)2=16 hai điểm phân biệt A, B cho tiếp tuyến (C) A B vng góc với A m = ; m = C m = B m = - ; m = - D m = Câu Cho đường tròn (C): (x−3)2 +( y −1)2 =10 Tiếp tuyến (C) A(4 ; 4) là: A x-3y+5=0 B x+3y-4=0 C x-3y+16=0 D x+3y-16=0 Câu Cho đường tròn (C): (x−2)2+( y −2)2=9 Tiếp tuyến (C) qua điểm M(- ; 1) là: A x+y-4=0; x-y-2=0 B x=5; y=-1 C 2x-y-3=0;3x+2y-2=0 D 3x-2y-2=0; 2x+3y+5=0 Câu Cho (C): x2+ y2+2 x−6 y +5=0 Tiếp tuyến (C) song song với d: x+2y-5=0 là: A x+2y=0; x+2y-10=0 B x-2y=0; x+2y+10=0 C x+2y-1=0; x+2y-3=0 D x-2y-1=0; x-y-3=0 Câu Cho (C): x2+ y2−6 x+ y +5=0 d: x+(m−2) y −m−7=0 Tìm m để d tiếp tuyến (C) A m = B m = 15 C m = 13 D m = ; m = 13 Câu Đường tròn (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d: 3x-4y+5=0 điểm H Tìm tọa độ H? −1 7 C ;−5 D ; ) Câu Đường tròn (C): x2+ y2=1 tiếp xúc với đường thẳng đây: A x+y=0 B 3x+4y-1=0 C 3x-4y+5=0 D x+y-1=0 Câu 11 Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): A ( −1 ;− ) B (51; 57) ( ) ( x2+ y2+ x +4 y−17=0 biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: 3x-4y+1=0 A 4x+3y+12=0; 4x+3y-7=0 C 3x-4y+39=0; 3x-4y-11=0 B 4x+3y+39=0; 4x+3y-11=0 D 4x+3y-21=0; 4x+3y+13=0 II.4 Dạng 4: Vị trí tương đối đường thẳng với đường trịn Bài tốn tương giao Kiến thưc bản: Để tìm vị trí tương đối đường thẳng ∆ với đường tròn (C) có tâm I, bán kính R ta có hai cách 15 Cách 1: So sánh khoảng cách d(I; ∆)=IH với R I I I R A H H B H Cách 2: Giải hệ phương trình ∆ (C), từ số nghiệm ta suy số giao điểm, suy vị trí tương đối ( Theo kiến thức lớp 9) Kĩ năng: + Để tìm tọa độ giao điểm đường thẳng đường tròn, ta giải hệ phương trình + Với tốn đường thẳng cắt đường trịn hai điểm phân biệt A, B ta quy tính khoảng cách từ tâm đường trịn tới đường thẳng + Vận dụng tốt kiến thức tương giao đường thẳng đường trịn, tính chất đường kính dây cung để giải toán Lưu ý: + Dây cung lớn đường tròn qua tâm đường tròn + Dây cung dài khoảng cách từ tâm đường tròn đến dây cung ngắn ngược lại + Hai dây cung khoảng cách từ tâm đến hai dây cung + Từ điểm M nằm đường tròn (C), kẻ dây cung AB qua M cho độ dài AB ngắn AB qua M vng góc với IM, M trung điểm AB Khi dây AB: {đi quađiểm M cóvtpt n⃗=⃗ℑ Ví dụ 1: Cho đường trịn (C): x2+ y2−2 x +6 y −10=0 Điền số thích hợp vào ô trống: Đường thẳng Số giao điểm x−3 y−1=0 x+4 y −18=0 x +2 y −5=0 Đáp án: Đường thẳng Số giao điểm đường thẳng ∆ : x−4 y +6=0 (C): x−3 y−1=0 x+4 y −18=0 x +2 y −5=0 Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm x2+ y2+2 x +6 y−7=0 16 { x−4 y +6=0 Bài giải: + Giải hệ phương trình x2 + y2 +2 x+ y−7=0 phương pháp + Đáp án :( - ; 1) Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng ∆ : x + y +m=0 cắt (C): x2+ y2=1 hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB đạt lớn ( I tâm )? 1 Bài giải: + SIAB= IA IB sinI = R2 sinI ^ ^ + Do diện tích lớn sin I =1 ↔ I =90 √ + d ( I ,∆ )=IH=R sin 45 = + Đáp án: m=± Lưu ý học sinh nhớ dùng cơng thức tính để tính diện tích tam giác tốn Ví dụ 4: Cho đường tròn (C): x2+ y2−4 x +2 y−8=0 Lập phương trình đường thẳng qua M(-3;1) cắt (C) A, B cho AB = 6? Bài giải: + (C) có tâm I(2 ; -1) , R = √13 ∆: + Đường thẳng quaM (−3 ;1) {có vtpt ⃗n=(a;b)≠ R 0⃗ ∆có dạng: a ( x +3)+b ( y −1)=0 A I H B + Gọi H trung điểm AB ta có IH =√R2−HB2=2 |5 a−2 b| + Mặt khác, IH =d (I , ∆)= |5 a−2 b| √a2+b2 =2 + Có √a2+b2 , tìm a=0 21 a=20 b + Chọn cặp số (a ; b) ta đáp số: y−1=0 ;20 x+21 y +39=0 Bài tập vận dụng: Câu Cho đường tròn (C): x2+ y2+4 x−6 y +5=0 Đường thẳng d qua điểm A(3;2) cắt (C) theo dây cung dài có phương trình là: A x+y-5=0 B x-y-5=0 C x+2y-5=0 D x-2y+5=0 Câu Cho đường tròn (C): (x +1)2 +( y−3)2=4 Đường thẳng d' song song với d: 3x-4y+5=0 d' chắn (C) dây cung có độ dài lớn Phương trình d' là: A 4x+3y+13=0 B 3x-4y+25=0 C 3x-4y+15=0 D 4x+3y+20=0 Câu Cho đường tròn (C): x2+ y2+4 x−6 y +5=0 Đường thẳng d qua điểm A(3;2) cắt (C) theo dây cung ngắn có phương trình là: A 2x-y+2=0 B x+y-1=0 C x-y-1=0 D x+y+1=0 17 Câu Cho đường tròn (C): x2+ y2+ x −2 y +5=0 đường thẳng d qua điểm M(-4;2), d cắt (C) hai điểm A, B cho M trung điểm AB Phương trình d là: A x-y+6=0 B 7x-3y+34=0 C 7x-3y+30=0 D 7x-y+35=0 Câu Đường tròn (x−a)2 +( y−b)2=R2 cắt đường thẳng d: x+y-a-b=0 theo dây cung có độ dài là: A 2R B R√2 C R √2 D R Câu Tọa độ giao điểm ∆ : x + y−7=0 (C): x2+ y2−25=0 là: A (3;4); (-4;3) B (4;3) C (3;4) D (3;4); (4;3) 2 Câu Tìm m để đường thẳng ∆ :2 x− y +m=0 cắt (C): x + y + x +6 y−7=0 hai điểm phân biệt A 0