SKKN một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm cơ bản khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI NHANH CÁC BÀI ĐIỆN XOAY CHIỀU MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH CÓ YẾU TỐ THAY ĐỔI BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHỮNG SAI LẦM CƠ BẢN KHI GIẢI PHƯƠNG “CHUẨN HÓA GÁN SỐ LIỆU” TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI Người thực hiện: Nguyễn Thị Thiêm Chức vụ: Giáo viên Người thực hiện: Nguyễn Tất Thành SKKN thuộc mơn: Tốn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Vật lí THANH HỐ NĂM 2020 Mục lục Trang I.Mở đầu: 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .2 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp 2.3.2 Giải pháp 2.3.3 Giải pháp 2.3.4 Giải pháp 14 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục , với thân , đồng nghiệp nhà trường 16 III Kết luận, kiến nghị 17 3.1 Kết luận 17 3.2 Kiến nghị 18 Tài liệu tham khảo 19 Cac thuât ngữ viêt tắt bai: SKKN – sáng kiến kinh nghiệm KTM – không thỏa mãn THPT – trung hoc phổ thông THPT QG – trung hoc phổ thông Quốc gia HS – học sinh TB – trung bình HD – hướng dẫn PHÂN I: MỞ ĐÂU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong mơn tốn trường phởổ̉ thơng nói chung đại số lớp 10 nói riêng phần phương trình chứa ẩn dấu giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngồi việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn việc giải phương trình cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Các em học sinh học giải phương trình chứa ẩn dấu cụ thể với nội dung sách giáo khoa giới thiệu phương trình chứa dấu bậc hai dạng đơn giản Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần q nên q trình giảng dạy, giáo viên khơng thể đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đởổ̉i giải xác phương trình chứa ẩn dấu địi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao, phải có kỹ biến đởổ̉i toán học Một thực tế toán giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng đặc biệt đề thi THPT QG; khơng học sinh cịn phải giải phương trình chứa dạng tốn khác phương trình mũ logarit Do học giải phương trình chứa khơng để giải lớp tốn phương trình chứa mà cịn cơng cụ để em làm tốn dạng khác, nhiên giải phương trình loại nhiều học sinh gặp khó khăn thường mắc sai lầm Với lực học sinh, q trình giảng dạy tơi khơng hy vọng dạy cho em có kĩ để giải tốn khó phức tạp mà mục đích giúp học sinh giải thành thạo số dạng toán khơng bị mắc sai lầm q trình làm từ giúp em tiếp cận dạng tốn liên quan tốt Tư lý chon đê tai: “Một số giải pháp giúp học sinh tránh sai lầm giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai” 1.2 MỤC ĐICH NGHIÊN CƯU Giup cho hoc sinh năm chăc kiên thưc giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Giúp học sinh nhận dạng dạng kèm theo cách giải 1.3 ĐÔI TƯỢNG NGHIÊN CƯU - Các tốn giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai: Trang +) Bài tốn giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai dạng +) Bài toán giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai cách đặt ẩn phụ +) Bài tốn giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai cách biến đởổ̉i tương đương, bình phương nhiều lần +) Bài tốn giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai cách đặt hai ẩn phụ - Khi phân loại rõ phương pháp giải trường hợp giúp học sinh có nhận định nhanh chóng xác định đường nhanh để giải toán 1.4 PHƯƠNG PHAP NGHIÊN CƯU -Tổổ̉ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua tiết dạy), thông qua kiểm tra nhận thức học sinh để kiểm tra tính khả thi đề tài - Trao đổổ̉i ýý́ kiến với đồng nghiệp nội dung giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai - Nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa 10 nâng cao; Sách giáo viên; Sách tập; Các đề thi; Internet, PHÂN II: NÔI DUNG CƠ SỞỞ̉ LÝ LUẬN Đề tài nghiên cứu thực thực tế kinh nghiệm giảng dạy nội dung chủ đề giải phương trình chứa thức mà trọng tâm tốn giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Khi giải tập , học sinh phải trang bị kiến thức , kỹ phân tích đề bài, kỹ nhận dạng tốn để từ suy luận quan hệ kiến thức cũ kiến thức mới, toán làm tốn làm, hình thành phương pháp giải toán bền vững sáng tạo Hệ thống tập phải giúp học sinh tiếp cận nắm bắt kiến thức , phát triển khả suy luận, khả vận dụng kiến thức học cách linh hoạt sáng tạo vào tốn Từ học sinh có hứng thú tạo động học tập tốt nội dung 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤỤ̣NG SÁNG KIẾN Khi gặp phương trình chứa ẩn dấu đa số học sinh thường giải sai, giải không triệt để, kết luận thường thừa thiếu nghiệm Với dạng toán khác mà triển khai đến bước phải giải phương trình chứa ẩn dấu học sinh thường giải sai lúng túng Trang Trong đề thi THPTQG thường xuất phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Học sinh lớp 12 thường quên cách giải dẫn đến giải sai Trong q trình dạy học đơi giáo viên mắc sai lầm, tơi xin mạnh dạn đưa số giải pháp sau để góp phần tránh sai lầm cho học sinh 2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 2.3.1 Giải pháp 1: Định hướng cho học sinh giải theo phương pháp biến đổi tương đương hai dạng phương trình để khắc phục số sai lầm học sinh giải theo phương pháp biến đổi hệ Dạng 1: fx Dạng 2: fx gx gx Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng f x g x trình bày phương pháp giải cách biến đổổ̉i hệ quả, trước giải đặt điều kiện f x Nhưng nên để ýý́ điều kiện xác định phương trình khơng phải điều kiện có nghiệm phương trình, q trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện f x điều kiện cần đủ phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình x x (1) [2] Sách giáo khoa đại số 10 giải sau: Điều kiện xác định phương trình (1) x (*) 2 (1) 2x x 4x x 6x Phương trình cuối có nghiệm x x Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay giá trị nghiệm tìm vào phương trình (1) giá trị x bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) x Một số học sinh mắc sai lầm cho sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x để lấy nghiệm nghiệm phương trình x x Trang Nhưng số học sinh cẩn thận có thử lại nghiệm Tuy nhiên với cách giải phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai Từ bất tiện giáo viên nêu phân tích cách giải phương pháp biến đởổ̉i tương đương sau : 2x x x x 2x x 2 x x x 2 6x x 2 x Ví dụ 2: Giải phương trình 3x 2x 3x (2) [3] Với học sinh nắm vững kiến thức làm cẩn thận mà làm theo phương pháp biến đổổ̉i hệ gặp khó khăn q trình giải là: Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổổ̉i hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để x 2 x thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm Do nên cho học sinh giải theo định hướng ví dụ sau: x 3x Ta có: 2 3x 2x x 2 3x 3x Vậy nghiệm phương trình (2) x x 4x x x Qua ví dụ giáo viên tởổ̉ng quát cách giải dạng phương trình f x g x để học sinh khắc sâu phương pháp sau : gx D¹ng 1: f x =g x fx=gx Chú ý: Không cần đặt điều kiện xác định phương trình f x *Bài tập tự luyện : Giải phương trình sau : a) x x Trang b) x 6x 2x d) x x 3x Đáp số : a) x b) x c) x 4; x Ví dụ 3:Giải phương trình x x 7x (3) [4] Học sinh thường đặt điều kiện x x sau bình phương hai vế để x giải phương trình Khi ,học sinh gặp phải trở ngại thời gian để biểu thị hệ điều kiện phương trình mà khơng biết cần điều kiện x điều kiện cần đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện Nên định hướng cho học sinh giải sau : x x x x Ta có : (3) 6x x x 10 x 2 5x 5x Vậy tập nghiệm phương trình (3) T x x 2;1 Việc định hướng từ ban đầu yêu cầu học sinh giải theo cách biến đổổ̉i tương đương giúp cho học sinh không lệch hướng tránh sai lầm đáng tiếc Tổổ̉ng quát phương pháp để học sinh khắc sâu sau : gx Dạng 2: fx= fx= fx fx=gx gx gx fx=gx Chú ý: Không cần đặt đồng thời g x f x Biểu thức dễ giải điều kiện nên chọn biểu thức *Bài tập tự luyện: Giải phương trình sau: a) b) x 2x2 2x 3x 7x Trang c) x2 5x Đáp số: 2x2 3x 12 a) x b) x c) x Nhận xét: Đối với hai dạng phương trình nêu giải theo phương pháp biến đởổ̉i hệ phải đặt điều kiện phải thử lại nghiệm nên rườm rà dẫn đến dễ mắc sai lầm thiếu sót Cịn giải theo phương pháp biến đởổ̉i tương đương đơn giản thuận tiện Do dạy giáo viên nên lấy ví dụ cụ thể phân tích thơng qua định hướng cách giải tối ưu giúp học sinh khắc sâu phương pháp cho dạng 2.3.2 Giải pháp 2: Khắc phục khó khăn cho học sinh giải phương trình dạng theo phương pháp biến đổi tương đương cách đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Khi gặp tốn x x 5x x (1) [1] Nếu học sinh biến đổổ̉i tương đương sau: 3x (1) x 3x 3x x 2 3x dẫn đến phương trình bậc bốn để giải kết cuối khơng phải lúc thuận lợi Do ta phải có phương pháp khác đặt ẩn phụ từ hình thành cho học sinh lớp tốn giải phương trình chứa phương pháp đặt ẩn phụ Khi hướng dẫn học sinh biến đởổ̉i sau : Ta có: (1) Đặt t2 x t 12 x 3x 3x t (t t x x 12 0) Khi phương trình trở thành : t ( KTM ) ta x x x1 x4 Vậy tập nghiệm phương trình (1) : T 1;4 Nâng lên tởổ̉ng qt ta có phương pháp giải cho dạng sau : Trang Phương pháp: Chuyển phương trình dạng af x b f x c Sau đặt ẩn phụ: f x t t Đưa phương trình dạng: at bt c Ví dụ : Giải phương trình x 12 x 11 x Theo mạch học sinh giải sau : 12 x 15 (2) [6] Ta có : (2) x 12 x 11 x 12 x 11 Đặt (t 0) x 12 x 11 t ,( t 0) t (thoả mãn điều kiện t) Phương trình trở thành : t 5t 4 t (phương trình vơ 2 +) Với t ta x 12 x 11 x 12 x 10 nghiệm) 14 x 2 +) Với t 4ta 4x 12x 11 4x 12x 14 x 14 14 ; Vậy tập nghiệm phương trình là: T 2 Ví dụ 3: [6] 2 2 Giải phương trình: x x x x Ta biến đởổ̉i để phương trình có biểu thức giống sau: 2x Đặt 2x 2x 22x 32x t , (t 1) Khi ta phương trình bậc ba với ẩn t: t 2t 3t t t t 3 t t (KTM) +) Với t 2x2 x +) Với t 2x2 3x1 Trang Vậy phương trình có tập nghiêm là: T1;1 ; Nhận xét : Khi việc bình phương hai vế mà dẫn đến phương trình phức tạp ta nên nghĩ đến việc biến đởổ̉i để phương trình có biểu thức chứa biến giống để giải theo phương pháp đặt ẩn phụ Trong hai ví dụ này, ta khái qt thành dạng tổổ̉ng quát sau: ax ax bx bxax t2 , 2 bx , ta đởổ̉i biến ax bx t 0,t Tuy nhiên vài trường hợp, phương trình có nghiệm từ hai nghiệm hửu tỉ trở lên (có thể trùng nhau) ta giải cách bình phương hai vế phương trình Ví dụ 4: Giải phương trình: 2x x 3x (ĐH Khối D – 2006) [5] Ta có: (4)2x x x 3x x 2 x 6x 4x 2 11x 8x x x x 2 Thử lại ta thấy phương trình có tập nghiệm : T 1;2 * Bài tập tự luyện: Giải phương trình sau: a) x x 2x 2x2 b) x x c) x2 x Đáp số: 3x 3x 5x 5x a) x b) x 1; x Trang c) x 2; x 2.3.3 Giải pháp 3: Định hướng cho học sinh nên đặt điều kiện trước giải phương trình chứa nhiều thơng qua số phương pháp giải khác để tránh sai lầm lấy nghiệm phương trình Phương pháp : Đối với phương trình chứa nhiều bậc hai ta nên đặt điều kiện trước giải a Phương trình chứa nhiều giải phương pháp biến đổi tương đương, bình phương nhiều lần Ví dụ : Giải phương trình 3x x (1) [4] 3x 7 x Điều kiện: x1 x (1') x Với điều kiện (11’) ta có: (1)3x x 3x x x x x (với điều kiện (1’) ta tiếp tục bình phương hai vế) 2 4x x 2x x 2x (thoả mãn điều kiện (1’) x x Vậy tập nghiệm phương trình (1) là: T1;3 Ví dụ 2: Giải phương trình x x 2x 4x 16 (2) [1] Khi gặp toán nhiều học sinh đưa lời giải sai sau : Ta có : (2) x x 2x 4x 16 x x 2x x 2x 4(x 4) x x 1x x 2x 3x Vậy phương trình cho có nghiệm x Ta nhận x nghiệm phương trình cho học sinh khơng tìm điều kiện phương trình x Lời giải là: Điều kiện x x (2’) 2x Trang Với điều kiện (2’) ta có: (2) x x 2x x x x x ( không thỏa mãn) Vậy phương trình cho vơ nghiệm Chú ý: A B A A C B C Tuy nhiên khơng phải ta cố tìm cho điều kiện cụ thể phương trình, chẳng hạn ví dụ sau: Ví dụ : Giải phương trình x x x 2x x2 (3) [6] x2 x x x x2 (3’) HD : Điều kiện x Lưu ý: Hệ điều kiện phức tạp nên ta không cần giải cụ thể Với điều kiện (3’) nên hai vế khơng âm , bình phương hai vế ta (3) x x x 2x x2 x2x x x 52 x x2 x x 16 x 16 x x x x x x 16 x 16 x Vậy nghiệm phương trình (3) x ( thỏa mãn điều kiện (3’)) Ví dụ 4: Giải phương trình: x x x (4) [6] Điều kiện phương trình x (4’) Ta thấy: Biểu thức dấu x x có dạng đẳng thức (a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổổ̉i sau: x 12 x x x x x x x thỏa mãn điều kiện (4’) Vậy nghiệm phương trình x b Phương trình chứa nhiều bậc hai giải phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình: x xx x [6] Trang 10 Trong dạng phương trình học sinh cần nhận xét là: x 27 x ( số ), ta đặt t2 x x x t ta có: x , cần ý đến điều kiện biến trung gian để việc giải tốn có nhiều thuận lợi Điều kiện x Đặt t x x Ta suy t2 ( t 0) x x t Ta phương trình: t2 t t2 t t ( KTM) Với t ta x x x x 18 x x x x Vậy phương trình có nghiệm x x Tuy nhiên có sau: Ví dụ 2: Giải phương trình 2x x 3x 2x2 x 16 (2) [1] x x 1(2’) x Ta thấy ( x 3) x x khác số HD: Điều kiện Tuy nhiên ta giải phương pháp Đặt 2x x t , (Điều kiện t 0) x 2 x2 x t Phương trình (2) trở thành : Với t ta 2 x2 t t 20 t t ( KTM) x 21 3x ( phương trình thuộc dạng 1) 21 3x 2x2 5x 441 126x 9x2 x x2 146x 429 x x 3x x 143 So sánh với điều kiện (2’) ta có nghiệm phương trình x Trang 11 Ví dụ : Giải phương trình : x x 2 x 2x [1] Hướng dẫn : đặt điều kiện x Cũng với hướng giải ta đặt : x x t (t 0) t2 x x2 Phương trình trở thành t t t t 2( KTM ) Với t 2 x x 4( x 4) x Vậy phương trình cho có nghiệm x 4x x 17 17 Có thể tổng qt cho phương trình đặt ẩn phụ dạng sau: m f xg x 2n f x g x n f x g x p , đặt f x g x t (t 0) , bình phương hai vế để biểu diễn đại lượng lại qua ẩn t c Phương trình chứa nhiều khác bậc giải phương pháp đặt hai ẩn phụ : Ví dụ 1: Giải phương trình: 24 x 12 x [5] Với phưong trình có chứa hai loại bậc hai bậc ba, phương pháp binh phương hai vế hay mũ ba hai vế không đem lại kết thuận lợi cho việc giải, đặt ẩn phụ khơng thể đưa phương trình dạng khơng chứa Đó lí để hướng học sinh đến việc phải đặt hai ẩn phụ Ta cần đặt điều kiện cho bậc hai x 12 24 x u 12 x v , v Đặt Ta nhận thấy u v 36 ( số) u v Do ta có hệ u u Với v v 36 24 x 12 x u u v v u v 10 x 24 Trang 12 Với Với u 3 24 x v 12 x u 24 x x v 10 12 x 10 x 88 Vậy phương trình có tập nghiệm : T Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 24;3; 88 3 [1] Với phương trình chứa loại để ta phải mũ ba hai vế việc làm dẫn đến phương trình phức tạp khó giải Nhưng ta lại thấy x 3 x 3 ( số) x u Do ta đặt v x 3 u v Khi ta có hệ u v 3 u v 3 Vậy phương trình có nghiệm x Ta tởổ̉ng qt dạng sau: F f x , n a *Bài tập tự luyện: a) x x b) x x2 c) x Đáp số: x x 3 x f x,mb f x 2x x x2 x1 a) x 0; x b) x c) x Trang 13 2.3.4 Giải pháp 4:Tránh sai lầm cho học sinh khai bình phương biểu thức, đưa biểu thức hay vào bậc hai Phương pháp: A A, A A A,A Ví dụ 1: Khi gặp phương trình: x x x x (1) [6] x 12 Bài toán HS mắc sai lầm sau: Lời giải sai: (1) x 7x 12x x x x x 4x x x x x 4x x x x x x x Giải ta có: x x x x x x (*) x Vậy phương trình cho có tập nghiệm : T HS kết luận với x x x x 14 x 3;7 hai nghiệm thoả mãn phương trình Mà khơng ngờ phương trình cho cịn có nghiệm x 2cũng thoả mãn Lời giải phải là: Ta có (1) x 7x 12 x x x x x 4x x x x x 4x x x Giải (2): (2)x x x x x x x x x x x Trang 14 x x x x x x x x Giải (3): (3)x x x x x x x x x x x x Vậy phương trình cho có tập nghiệm : T 2;3;7 A=0 Chú ý: A B = A B = A B A>0 -A B A