Đồ thị luồng các khái niệm và tính chất

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VÀ ĐÀO TẠO HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Nguyễn Thị Thu Hằng ĐỒ THỊ LUỒNG: CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VÀ ĐÀO TẠO HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Nguyễn Thị Thu Hằng ĐỒ THỊ LUỒNG: CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS.TSKH Phan Thị Hà Dương Hà Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tòi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình cô Phan Thị Hà Dương Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 10 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Thu Hằng LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Phan Thị Hà Dương, người trực tiếp hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thời gian dài Cô quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô anh chị thuộc phòng Cơ sở Tốn - Tin, Viện Tốn học giúp đỡ tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Ngồi ra, trình học tập, nghiên cứu thực luận văn tơi nhận nhiều quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu quý thầy cô, anh chị bạn bè Viện Toán học Việt Nam Tôi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam q trình thực luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè ln sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 10 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Thu Hằng Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục hình vẽ đồ thị MỞ ĐẦU 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ 1.1 Đồ thị, đồ thị con, bậc đỉnh 1.2 Đường, chu trình 1.3 Liên thông thành phần liên thông 1.4 Mật độ, hệ số phân cụm tỷ lệ bắc cầu CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ LUỒNG VÀ MỐI QUAN HỆ VỚI ĐỒ THỊ 12 2.1 Định nghĩa đồ thị luồng luồng liên kết 13 2.2 Mở rộng khái niệm đỉnh cạnh 17 2.3 Đồ thị luồng 19 2.4 Hàng xóm bậc 20 2.5 Đường, chu trình đồ thị luồng 21 2.6 Liên thông thành phần liên thông 24 2.7 Mật độ, hệ số phân cụm tỷ lệ bắc cầu 29 MỘT SỐ TÍNH TỐN TRÊN ĐỒ THỊ LUỒNG VÀ LUỒNG LIÊN KẾT 33 3.1 Tìm clique cực đại luồng liên kết 33 3.1.1 Clique thuật tốn tìm clique cực đại đồ thị 34 3.1.2 Clique thuật tốn tìm -clique cực đại luồng liên kết 36 3.2 Tìm đường ngắn đường nhanh đồ thị luồng 42 3.2.1 Thuật tốn tìm đường ngắn 42 3.2.2 Thuật tốn tìm đường nhanh 46 KẾT LUẬN CHUNG TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 51 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ Số hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Trang 1.1 Ví dụ đơn đồ thị vơ hướng 1.2 Ví dụ đầy đủ K4 1.3 Ví dụ đồ thị cảm sinh 1.4 Ví dụ hàng xóm bậc đỉnh 1.5 Ví dụ đường chu trình 1.6 Ví dụ thành phần liên thơng K4 1.7 Ví dụ liên thơng đồ thị có hướng 2.1 Ví dụ đồ thị luồng 15 2.2 Ví dụ luồng liên kết 16 2.3 Mối quan hệ đồ thị luồng liên kết 17 2.4 Ví dụ đồ thị luồng cảm sinh 21 2.5 Ví dụ đường đồ thị luồng 22 2.6 Ví dụ đồ thị luồng khơng liên thơng yếu 25 2.7 Ví dụ đồ thị luồng khơng liên thơng 26 mạnh 2.8 Ví dụ cluster liên thông mạnh cực đại 27 2.9 Ví dụ thành phần liên thơng đồ thị 28 luồng 3.1 Ví dụ clique đồ thị 3.2 Mơ tả thuật tốn liệt kê clique cực đại 36 đồ thị ví dụ 3.1.1 34 3.3 Ví dụ clique cực đại đồ thị 37 luồng 3.4 Ví dụ -clique luồng liên kết 37,38 3.5 Mơ thuật tốn liệt kê 4-clique 41 luồng liên kết ví dụ 3.1.5 3.6 Mơ thuật tốn liệt kê 4-clique 42 luồng liên kết ví dụ 3.1.5 3.7 Mơ thuật tốn tìm đường ngắn 46 đồ thị luồng hình 2.5 3.8 Mơ thuật tốn tìm đường ngắn 48 đồ thị luồng hình 2.5 MỞ ĐẦU Ngày nay, với phát triển mạnh mẽ khoa học công nghệ, lý thuyết đồ thị áp dụng rộng rãi để giải nhiều toán thực tế Việc sử dụng đồ thị, đồ thị cực lớn lại phát triển sâu rộng, đặc biệt việc biểu diễn mạng xã hội, mạng liên kết Tiếp theo nghiên cứu đó, việc nghiên cứu mạng liên kết có thay đổi theo thời gian đặt thách thức Cấu trúc đồ thị khơng hồn tồn phù hợp nữa, chưa biểu yếu tố thời gian Nhiều nhà khoa học cố gắng tìm mơ hình đồ thị phù hợp để thỏa mãn hai yếu tố Luận văn tìm hiểu mơ hình đồ thị luồng thỏa mãn hai yếu tố liên kết thời gian, đề xuất nhóm nghiên cứu Matthieu Latapy, Tiphaine Viard, Clémence Magnien [2] đại học Paris Trong luận văn này, tập trung trình bày chi tiết mơ hình đồ thị luồng, luồng liên kết rõ mối quan hệ với đồ thị Sau đó, chúng tơi tìm hiểu thuật toán liệt kê clique cực đại luồng liên kết đề xuất thuật tốn tìm đường ngắn nhất, đường nhanh đồ thị luồng Luận văn chia làm ba chương sau: Chương 1: Các định nghĩa đồ thị Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số khái niệm đồ thị Chương 2: Các định nghĩa đồ thị luồng mối quan hệ với đồ thị Ở phần này, chúng tơi trình bày chi tiết mơ hình đồ thị luồng luồng liên kết, tự xây dựng ví dụ giải thích cụ thể cho khái niệm, mối quan hệ ba khái niệm: đồ thị luồng, luồng liên kết đồ thị Chương 3: Một số tính tốn đồ thị luồng luồng liên kết Trong chương này, chúng tơi trình bày lại thuật tốn tìm clique cực đại luồng liên kết, sau đề xuất cải tiến nhỏ cho thuật toán Cuối chúng tơi đề xuất thuật tốn tìm đường nhanh đường ngắn đồ thị luồng Trong trình nghiên cứu luận văn, thân cố gắng nhiên khó tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Rất mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện 38 Hình 3.4: 4-clique:([0; 9] ; fa; bg) : Định nghĩa 3.1.6 Một -clique cực đại -clique không chứa -clique lớn khác Ví dụ 3.1.4 Ở hình 2.4: 4-clique ([0; 9] ; fa; bg) 4-clique cực đại BÀI TOÁN 2: Cho luồng liên kết L = (T; V; E) Liệt kê tất -clique cực đại có luồng liên kết Ý tưởng thuật tốn: Tương tự thuật tốn tìm clique đồ thị G = (V; E) - Khởi tạo tập S, R, M đó: S tập -clique đề cử lên, M tập -clique tìm (có thể cực đại khơng, giúp ghi nhớ đảm bảo việc kiểm tra clique không bị lặp lại) R tập -clique cực đại - Bước đầu đưa -clique tầm thường vào S, ([t; t] ; fu; vg) E - Với -clique thuộc S, kiểm tra đỉnh ngồi tập X -clique có liên kết với đỉnh X tạo -clique ([b; e] ; X [ fvg) hay không, 0 lúc ta tìm giá trị b < b cho ([b ; e] ; X) với b = max fbuv u;v2X -clique, tìm giá trị e > b với e = leuv + ([b; e ] ; X) -clique u;v2X cho 39 - Nếu tạo -clique lớn -clique ban đầu mà khơng thuộc M thêm -clique vào M S Nếu khơng clique cực đại, đưa vào R - Xét -clique S S tập rỗng thuật toán dừng trả tất -clique cực đại tìm THUẬT TỐN [4] -clique cực đại luồng liên kết Input: Một luồng liên kết L = (T; V; E) thời gian Output: Tập tất ;; R 1: Khởi tạo: S -clique cực đại luồng liên kết ;; M ;; 2: For (t; uv) E: Đưa tất ([t; t] ; fu; vg) vào tập S tập M; 3: While S 6= ; 4: Chọn -clique ([b; e] ; X) S xóa khỏi S; 5: 6: ([b; e] ; X) M ax ; For v V nX 7: If ([b; e] ; X [ fvg) -clique then 8: 9: ([b; e] ; X) N otM ax; If ([b; e] ; X [ fvg) 2= M then 10: 11: S := S [ ([b; e] ; X [ fvg); M := M [ ([b; e] ; X [ fvg); f := max fbuv; u;v2X 12: b := f; 13: If b 6= b then 14: ([b; e] ; X) N otM ax; 40 15: If ([b ; e] ; X) 2= M then 0 S := S [ ([b ; e] ; X); M := M [ ([b ; e] ; X); 16: 17: l := leuv; 13: 18: e := l + ; 19: If e 6= e then 0 20: ([b; e] ; X) N otM ax;; 21: If ([b; e ] ; X) 2= M then 22: 23: 0 S := S [ ([b; e ] ; X); M := M [ ([b; e ] ; X); Đưa phần tử M ax vào tập R 24: Return R Ví dụ 3.1.5 Cho luồng liên kết L = ([0; 10] ; fa; b; cg ; f(2; ab) ; (3; ac) ; (4; bc) ; (5; ab)g) Chạy thuật tốn tìm 4-clique mơ Hình 3.5 Nhận xét 3.1.1 Qua mơ thuật tốn trên, việc xét duyệt -clique ([b; e] ; X) bị lặp lại nhiều lần khoảng thời gian ngắn liên kết xuất Cho nên, xét -clique tầm thường ([t; t] ; fu; vg) lúc ban đầu thuật tốn chạy gây nhiều thời gian liệu luồng liên kết lớn Để giải vấn đề này, ta cần thay đổi việc xét -clique tầm thường ([t; t] ; fu; vg) cách xây dựng lại -clique ([b ; e ] ; fu; vg) có khoảng thời gian lớn sau: b = max (t ; b) e = (t + ; e) 41 Hình 3.5: Mơ thuật tốn tìm 4-clique luồng liên kết Và hiển nhiên ta thấy ([b ; e ] ; fu; vg) -clique liên kết uv xuất lần thời điểm t hay khoảng [t ; t] [t; t + ] Như với bước đầu -clique thuật tốn trở thành thuật tốn sau: Tất bước thuật toán giữ nguyên cho thuật toán 3, trừ dòng thứ thuật tốn Chúng tơi thay việc đưa tất ([t; t] ; fu; vg) cách đưa ([b ; e ] ; fu; vg) xây dựng vào tập S tập M Khi thuật tốn mơ Hình 3.6 Nhận xét 3.1.2 Trong thuật tốn 3, thay việc xét -clique tầm thường dòng xét -clique ([b ; e ] ; fu; vg) Các -clique có khoảng thời gian lớn -clique tầm thường, khoảng thời gian [t; t] -clique tầm thường mở rộng thành khoảng thời gian [t ; t + ] Với khoảng thời gian mở rộng, bước thực thuật tốn sau dòng thứ xét hết tất -clique có luồng liên kết mà khơng bỏ sót -clique 42 Hình 3.6: Mơ thuật tốn tìm 4-clique luồng liên kết Nhận xét 3.1.3 Khi liệu lớn thuật tốn gây tải nhớ để nhớ -clique nhỏ lẻ với khoảng thời gian xen kẽ Với cách cải tiến thuật toán thành thuật toán 3, rút gọn đáng kể lượng thời gian chạy thuật tốn tìm -clique cực đại luồng liên kết 3.2 Tìm đường ngắn đường nhanh đồ thị luồng Trong đồ thị, biết đến nhiều thuật toán tìm đường ngắn thuật tốn duyệt theo chiều rộng (BFS), thuật toán Dijkstra, thuật toán duyệt theo chiều sâu (DFS) Ở áp dụng thuật tốn duyệt theo chiều rộng để tìm đường ngắn đường nhanh hai đỉnh đồ thị luồng S = (T; V; W; E) 3.2.1 Thuật tốn tìm đường ngắn *[7] Thuật tốn duyệt theo chiều rộng đồ thị 43 BÀI TỐN 4: Cho đồ thị G = (V; E) Tìm đường ngắn hai đỉnh a; b G Ý tưởng thuật toán 4: - Xây dựng Q dãy đỉnh u thuộc V chờ để xét duyệt ưu tiên theo chiều rộng, p[u] với u thuộc V đỉnh kề với u xét duyệt để truy vết đường - Bước đầu thuật toán đưa đỉnh gốc a vào Q thăm tất đỉnh kề với a đưa đỉnh kề vào cuối dãy Q Xóa a khỏi Q - Lần lượt kiểm tra đỉnh dãy Q theo thứ tự Đỉnh kiểm tra thăm đỉnh kề đưa vào cuối dãy Q, đánh dấu vết đỉnh xóa khỏi Q Quá trình lặp lặp lại tìm đỉnh cuối b truy vết đường ngắn THUẬT TỐN Tìm đường ngắn hai đỉnh a b đồ thị Input: Một đồ thị G = (V; E), hai đỉnh a b thuộc V Output: Tìm đường ngắn hai đỉnh a b Bước 1: Q := fag; p[u] := ; với u V Q dãy đỉnh u thuộc V chờ để xét duyệt, p[u] với u thuộc V đỉnh trước đỉnh u đường từ a tới b Bước 2: Nếu Q 6= ; lặp lại bước sau: - Lấy đỉnh u dãy Q quan sát: + Nếu đỉnh u = b dừng trình tìm kiếm, sau truy vết đường từ a tới b trả kết + Nếu đỉnh u 6= b quan sát đỉnh v kề với u Sau đưa đỉnh v xếp thứ tự vào cuối dãy Q chờ để xét duyệt Truy vết p[v] := u 44 xóa u khỏi Q Nếu Q = ; mà chưa thấy đỉnh b dừng việc tìm kiếm trả lời "khơng có đường đi" Áp dụng thuật tốn duyệt theo chiều rộng (BFS) tìm đường ngắn đồ thị G = (V; E) để tìm đường ngắn đồ thị luồng S = (V; T; W; E) Mặc dù đồ thị luồng S có thêm yếu tố thời gian áp dụng thuật toán BFS Chúng ta vận dụng BFS cách xét đỉnh kề thời điểm lớn đến đỉnh đích cần tìm * Thuật tốn duyệt theo chiều rộng đồ thị luồng S = (T; V; W; E) BÀI TOÁN 5: Cho đồ thị luồng S = (T; V; W; E) Tìm đường ngắn hai đỉnh a; b S Ý tưởng thuật toán 5: - Xây dựng Q dãy dãy phần tử (t; a) thuộc W chờ để xét duyệt ưu tiên theo chiều rộng, p[u] với u thuộc V đỉnh kề với u xét duyệt để truy vết đường P dãy phần tử (t; p[u]; u) để xuất đường - Bước đầu thuật toán đưa phần tử (t; a) vào Q a có kết nối với đỉnh u V thời điểm t, phần tử (t; a) xếp theo thứ tự tăng dần theo thời gian t Q Lấy phần tử (t; a) khỏi dãy Q thăm tất phần tử có đỉnh kề với a thời điểm lớn t đưa phần tử chứa đỉnh kề vào cuối dãy Q - Lần lượt kiểm tra phần tử dãy Q theo thứ tự Phần tử kiểm tra đánh dấu vết đỉnh phần tử xóa khỏi Q - Q trình lặp lặp lại tìm phần tử chứa đỉnh b truy vết đường ngắn 45 THUẬT TOÁN Tìm đường ngắn hai đỉnh a b đồ thị luồng Input: Một đồ thị luồng S = (T; V; W; E), hai đỉnh a b thuộc V Output: Tìm đường ngắn hai đỉnh a b Bước 1: Q := f(t; a)g; p[u] := ; với u V , P := ; Q dãy phần tử (t; u) thuộc W chờ để xét duyệt, p[u] với u thuộc V đỉnh trước đỉnh u đường từ a tới b Bước 2: Nếu Q 6= ; lặp lại bước sau: - Lấy phần tử (t; u) dãy Q quan sát: + Nếu phần tử (t; u) có u = b dừng trình tìm kiếm, sau truy vết đường từ a tới b trả kết + Nếu phần tử (t; u) có u 6= b quan sát phần tử kề (t ; v) 0 v kề với u t t Sau đưa phần tử (t ; v) xếp thứ tự vào cuối dãy Q chờ để xét duyệt Truy vết p[v] := u P := P [ f(t ; p[v]; v)g Xóa (t; u) khỏi Q Nếu Q = ; mà chưa thấy phần tử có chứa đỉnh b dừng việc tìm kiếm trả lời "khơng có đường đi" Ví dụ 3.2.1 Cho đồ thị luồng Hình 2.5, sử dụng thuật tốn để tìm đường ngắn từ a đến c Thuật tốn mơ qua hình vẽ 3.7 trả kết là: (2; a; b); (9; b; c) Dãy Q thuật toán dùng để liên tục cập nhật phần tử có đỉnh kề thời điểm sau tìm đỉnh cuối đường Chúng ta nhận thấy thuật tốn tìm đường ngắn đồ thị mở rộng cho đồ thị luồng cách thêm yếu tố thời gian 46 Hình 3.7: Mơ thuật tốn tìm đường ngắn từ a đến c Trong đồ thị luồng, thuật toán xét phần tử (t; u) có W , phần tử đưa vào đưa Q nhiều lần Chúng ta xem (t; u) đỉnh Vì thuật toán phải xét tổng cộng số đỉnh tối đa với thời gian O(jT j : jV j) Sau kiểm tra phần tử (t; u), lại thăm dò phần tử chứa đỉnh kề với u duyệt phần tử nhiều lần Vì thuật tốn phải xét tổng cộng số liên kết tối đa với thời gian O(jT j : jEj) Vậy, độ phức tạp tính tốn thuật tốn là: O(jT j : (jV j + jEj)) , T khoảng thời gian phải xét Chúng ta xét mốc thời gian khoảng thời gian T , ví dụ T = [0; 10] ta xét mốc thời điểm 1; 2; : : : ; 9; 10 , jT j = 10 Nhận xét 3.2.1 Đồ thị luồng có đỉnh liên kết khơng thay đổi tồn thời gian T độ phức tạp thuật toán O(jT j : (jV j + jEj)) với jT j = 1, độ phức tạp tính tốn cho thuật tốn tìm đường ngắn đồ thị 3.2.2 Thuật toán tìm đường nhanh BÀI TỐN 6: Cho đồ thị luồng S = (T; V; W; E) Tìm đường nhanh hai đỉnh a; b S Tương tự thuật tốn tìm đường ngắn đồ thị luồng, chúng 47 ta xét phần tử có đỉnh kề với đỉnh gốc ban đầu Nhưng thuật tốn tìm đường nhanh thuật tốn tìm đường thời gian nhất, nên yếu tố thời gian quan trọng việc tìm kiếm Chúng ta cần phải xét đỉnh kề theo thứ tự tăng dần theo thời gian sau lần xét duyệt ta tính lượng thời gian để việc tìm kiếm đường nhanh trở nên dễ dàng Ý tưởng thuật toán 6: - Xây dựng tập Q; p[u]; P Q dãy phần tử (t; u; d(u)) đó: t thuộc T , u thuộc V d(u) lượng thời gian nhỏ từ đỉnh a đến đỉnh u; p(u) với u thuộc V đỉnh kề với đỉnh u xét duyệt dùng để truy vết đường đi; tập P dãy phần tử (t; p[u]; u) để xuất đường Bước 1: Q := f(t; a; d(a))g đỉnh a có kết nối với u V thời điểm t T , d(a) := 0; p[u] := ; với u V ; P := ; Bước 2: Quan sát phần tử (t; u; d(u)) chứa u kề với a thời điểm t, d(u) := (Vì a liên kết với u thời điểm t nên thời gian từ a đến u) Chúng ta đưa phần tử (t; u; d(u)) vào Q xếp theo thứ tự tăng dần theo thời gian t Xóa phần tử (t; a; d(a)) khỏi Q Bước 3: Nếu Q 6= ; lặp lại bước sau: - Lấy phần tử (t; u; d(u)) dãy Q quan sát: + Nếu phần tử (t; u; d(u)) có u = b dừng q trình tìm kiếm, sau truy vết đường p[u] trả kết P := P [ f(t; p[u]; u)g + Nếu phần tử (t; u; d(u)) có u 6= b quan sát phần tử (t0 ; v; d(v)) có v kề với u thời điểm t0 t d(v) tính sau: Nếu t0 eau d(v) := Nếu t0 > eau d(v) := (t0 d(u) eau) 48 Chúng ta đưa phần tử (t ; v; d(v)) vào dãy Q theo xếp thứ tự giá trị d(v) tăng dần Sau truy vết đường p[u]; p[v] xuất đường có hai trường hợp P := P [ f(euv; p[u]; u) ; (t ; p[v]; v)g euv < eau P := P [ f(eau; p[u]; u) ; (t ; p[v]; v)g euv eau Xóa (t; u; d(u)) khỏi Q Nếu Q = ; mà chưa thấy phần tử chứa đỉnh đích b dừng việc tìm kiếm trả lời "khơng có đường đi" Ví dụ 3.2.2 Cho đồ thị luồng Hình 2.5, sử dụng thuật tốn để tìm đường nhanh từ a đến c Thuật tốn mơ qua hình vẽ 3.8 trả kết là: (4; a; b); (5; b; d); (8; d; c) Hình 3.8: Mơ thuật tốn tìm đường nhanh từ a đến c Thuật toán cho ta đường nhanh sau bước duyệt thêm đỉnh u, tính số lượng thời gian nhỏ từ đỉnh a đến u d(u) Trong số phần tử (t; u; d(u)) chờ để xét duyệt dãy Q, lại chọn phần tử có giá trị d(u) nhỏ để quan sát Sau lặp lại bước xét duyệt phần tử tìm phần tử có chứa đỉnh cuối đường cần tìm thuật toán cho đường hai đỉnh đầu đỉnh cuối với lượng thời gian Tương tự thuật tốn 5, độ phức tạp tính tốn thuật tốn O(jT j : (jV j + jEj)) Thuật toán xét tất phần tử (t; u; d(u)) phần tử có chứa đỉnh có liên kết với u đồ thị luồng S 49 Kết luận: Ở chương 3, chúng tơi trình bày chi tiết ba thuật toán: Liệt kê -clique cực đại luồng liên kết, tìm đường ngắn đường nhanh đồ thị luồng Những khái niệm đồ thị luồng luồng liên kết mở rộng cách gắn thêm yếu tố thời gian vào tập đỉnh tập cạnh, dựa vào mở rộng thuật toán đồ thị để sử dụng cho đồ thị luồng luồng liên kết 50 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận văn này, trình bày số vấn đề sau: - Giới thiệu đồ thị luồng luồng liên kết, hệ thống lại khái niệm cách tường minh, rõ ràng ví dụ cụ thể - Trình bày lại thuật toán liệt kê clique cực đại luồng liên kết, đồng thời đề xuất cải tiến thuật tốn - Đề xuất hai thuật tốn là: tìm đường nhanh đường ngắn đồ thị luồng Về mặt tìm hiểu giải thích khái niệm, luận văn chủ yếu dựa hai báo "Stream Graphs and Link Streams for the Modeling of Interactions over Time" "Computing maximal cliques in link streams", báo viết vắn tắt cô đọng Vậy nên, giải thích tường minh định nghĩa bản, tự xây dựng ví dụ vẽ mối quan hệ mơ hình cũ mơ hình Về mặt thuật tốn, chúng tơi đưa cải thiện nhỏ cho thuật toán liệt kê clique cực đại giúp thuật toán chạy nhanh xét trường hợp hơn, sau chúng tơi đề xuất hai thuật tốn tìm đường ngắn đường nhanh đồ thị luồng Luận văn xem tài liệu rõ ràng giúp tìm hiểu đồ thị luồng luồng liên kết Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Ngô Đắc Tân, Lý thuyết Tổ hợp Đồ thị, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2003 Tài liệu Tiếng Anh [2] Matthieu Latapy, Tiphaine Viard, Clémence Magnien, Stream Graphs and Link Streams for the Modeling of Interactions over Time, Social Network Analysis and Mining, 8(1):61, 2018 [3] Douglas B West, Introduction to Graph Theory, University of Illinois - Urbana [4] Matthieu Latapy, Tiphaine Viard, Clémence Magnien, Computing maximal cliques in link streams, Theoretical Computer Science, 609, 245-252 [5] Tiphaine Viard, Link streams for the modelling of interactions over time and application to the analysis of IP traffic, Computer Science, Université Pierre et Marie Curie, 2016 [6] Matthieu Latapy, Tiphaine Viard, Clémence Magnien, Enumerating maxi-mal cliques in link streams with durations, Information Processing Letters, vol 133, pp 44-48, (Elsevier), 2018 51 52 [7] Cormen, Thomas H Leiserson, Charles E Rivest, Ronald L Stein, Clifford, Introduction to Algorithms (2nd ed.), MIT Press and McGraw-Hill, 2001 [8] Thomas H Cormen, Charles E Leiserson, Ronald L Rivest, Clifford Stein, Introduction to Algorithms, The MIT Press, 2001 [9] Huanhuan Wu, James Cheng, Silu Huang, Yiping Ke, Yi Lu, Yanyan Xu, Path Problems in Temporal Graphs, PVLDB 7(9): 721-732, 2014 ... hình đồ thị luồng luồng liên kết, tự xây dựng ví dụ giải thích cụ thể cho khái niệm, mối quan hệ ba khái niệm: đồ thị luồng, luồng liên kết đồ thị Chương 3: Một số tính tốn đồ thị luồng luồng... thơng đồ thị có hướng 2.1 Ví dụ đồ thị luồng 15 2.2 Ví dụ luồng liên kết 16 2.3 Mối quan hệ đồ thị luồng liên kết 17 2.4 Ví dụ đồ thị luồng cảm sinh 21 2.5 Ví dụ đường đồ thị luồng 22 2.6 Ví dụ đồ. .. CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ LUỒNG VÀ MỐI QUAN HỆ VỚI ĐỒ THỊ 12 2.1 Định nghĩa đồ thị luồng luồng liên kết 13 2.2 Mở rộng khái niệm đỉnh cạnh 17 2.3 Đồ thị luồng