Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC BÀI TẬP RÈN LUYỆN TỔNG HỢP 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Gọi E giao điểm AB,CD F giao điểm AC BD Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác FDC điểm K khác D Tiếp tuyến (O) B,C cắt M a) Chứng minh tứ giác BK CM nội tiếp b) Chứng minh E , M , F thẳng hàng Cho đường tròn (O ) đường kính AB Trên tiếp tuyến A 2) (O) lấy điểm C Vẽ cát tuyến CDE (tia CD nằm tia CA,CO , D, E Ỵ ( O ) , D nằm C , E ) Gọi M giao điểm CO BD , F giao điểm AM (O) , F ¹ A) a) Vẽ tiếp tuyến CN (O) Chứng minh CNMD tứ giác nội tiếp b) Vẽ AH ^ OC H Chứng minh ADMH tứ giác nội tiếp c) Chứng minh E ,O, F thẳng hàng Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AD < BC ) Gọi I giao điểm 3) AC BD Vẽ đường kính CM , DN Gọi K giao điểm AN , BM Đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NOC điểm J khác C a) Chứng minh K BNJ tứ giác nội tiếp d) Chứng minh I , K ,O thẳng hàng Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC ) Đường tròn (I ) đường kính 4) 5) BC cắt AB, AC F , E BE cắt CF H AH cắt BC D Chứng minh tứ giác BFHD, IFED nội tiếp Cho tam giác nhọn ABC đường cao AD, BE ,CF cắt H Vẽ HI ^ EF I , HK ^ DE K , IK Ç AD = M , FM Ç DE = N Gọi S điểm đối xứng B qua D Chứng minh tứ giác FIMH , HMNK nội tiếp · · MAN = DAS 6) Từ điểm A nằm ngồi đường tròn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC B,C hai tiếp điểm) cát tuyến ADE đến (O) cho ( 74 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC ADE nằm tia AO, AB , D, E Ỵ ( O ) ,Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC , AB P ,Q Gọi K điểm đối xứng với B qua E Gọi H , I giao điểm BC với OA, DE a) Chứng minh OEDH tứ giác nội tiếp b) Ba điểm A, P , K thẳng hàng Từ điểm A nằm ngồi đường tròn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC ( 7) B,C hai tiếp điểm) Từ điểm K nằm cung BC ( K , A nằm phía BC ) dựng tiếp tuyến cắt AB, AC M , N BC cắt OM ,ON P ,Q Gọi I giao điểm MQ, NP Chứng minh 8) MBOQ, NCOP tứ giác nội tiếp Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC ) Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC E , D BD cắt CE H , tiếp tuyến (O) B, D cắt K , AK Ç BC = M , MH Ç BK = N Vẽ tiếp tuyến AS (O) với (S thuộc cung nhỏ CD) , a) b) c) d) 9) K D Ç AH = I , MH Ç OA = L Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt AK T Chứng minh tứ giác T K DB, BELO nội tiếp Ba điểm N , E , I thẳng hàng Ba điểm M , E , D thẳng hàng Ba điểm M , S , H thẳng hàng Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BE , CD cắt H Gọi M trung điểm BC Giả sử (O) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AED N a) Chứng minh N , H , M thẳng hàng b) Giả sử AN cắt BC K Chứng minh K , E , D thẳng hàng Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O) Gọi Q, R tiếp điểm 10) (O) với AB, AC Gọi M , N trung điểm BC , CA Đường thẳng BO cắt MN P a) Chứng minh ORPC tứ giác nội tiếp b) Ba điểm P, Q, R thẳng hàng 75 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 11) Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE , CF cắt H Từ A ta dựng tiếp tuyến AM , AN đến đường tròn đường kính BC a) Chứng minh tứ giác AMDN , MNDO nội tiếp b) Chứng minh ba điểm H , M , N thẳng hàng Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE , CF cắt 12) điểm H Gọi M , N trung điểm AH , BC Các phân giác góc ·ABH , ·ACH cắt P a) Chứng minh điểm B, C , E , P, F nằm đường tròn Điểm P trung điểm cung nhỏ EF b) Ba điểm M , N , P thẳng hàng Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE , CF cắt 13) điểm H Đường thẳng EF cắt điểm M Gọi O trung điểm BC Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác OBF , OCE cắt giao điểm thứ P a) Chứng minh tứ giác EFPH , BCHP, MEPB tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ∆OPM tam giác vuông Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm điểm H Gọi M , N 14) chân đường cao hạ từ B, C tam giác ABC Gọi D điểm cạnh BC Gọi ( w1 ) đường tròn qua điểm B, N , D gọi ( w2 ) đường tròn qua điểm C , D, M DP, DQ đường kính ( w1 ) , ( w2 ) Chứng minh P, Q, H thẳng hàng ( IMO − 2013) 15) Cho tam giác ABC có · góc lớn Các điểm P, Q BAC · · · · thuộc cạnh BC cho QAB Gọi M , N lần = BCA , CAP = ABC lượt điếm đối xứng A qua P, Q Chứng minh rằng: BN , CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( IMO − 2014) 76 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm 16) P cung BC không chứa điểm A (O) Gọi ( K ) đường tròn qua A, P tiếp xúc với AC ( K ) cắt PC S khác P Gọi ( L) đường tròn qua A, P đồng thời tiếp xúc với AB ( L) cắt PB T khác P Gọi D điểm đối xứng với A qua BC a) Chứng minh BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác DPC b) Ba điểm S , D, T thẳng hàng Cho tam giác ABC , hai cạnh AB,AC lấy hai 17) điểm E , D cho ·ABD = ·ACE Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt tia CE M , N Gọi H giao điểm BD, CE Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC cắt tia BD I , K a) Chứng minh điểm M , I , N , K nằm đường tròn b) Gọi F giao điểm thứ đường tròn ( ABD ) , ( AEC ) Chứng minh A, H , F thẳng hàng c) Chứng minh : Tam giác AMN cân A Cho tam giác ABC có (O), ( I ), ( I ) theo thứ tự tâm đường a 18) tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A tam giác Gọi D tiếp điểm ( I ) với BC; P điểm ¼ cung BAC (O) , PI a cắt ( O ) điểm K Gọi M giao điểm PO BC a) Chứng minh: IBI a C tứ giác nội tiếp b) Chứng minh NI a tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác I a MP · · c) Chứng minh: DAI = KAI a Cho đường tròn tâm ( O ) bán kính R dây cung BC 19) cố định có độ dài BC = R Điểm A thay đổi cung lớn BC Gọi E , F điểm đối xứng B, C qua AC , AB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE , ACF cắt giao điểm thứ K 77 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC a) Chứng minh điểm K thuộc đường tròn cố định b) Xác định vị trí điểm K để tam giác KBC có diện tích lớn tìm giá trị lớn theo R c) Gọi H giao điểm BE , CF Chứng minh tam giác ABH #∆AKC đường thẳng AK qua điểm cố định Từ điểm A nằm ngồi đường tròn (O) Vẽ hai tiếp tuyến 20) AB, AC B,C hai tiếp điểm) cát tuyến ADE đến (O) cho ( ADE nằm tia AO, AB , D, E Ỵ ( O ) , Gọi F điểm đối xứng D qua AO , H giao điểm EF , BC Chứng minh: A,O, H thẳng hàng Từ điểm A nằm ngồi đường tròn (O) Vẽ hai tiếp tuyến 21) AB, AC B,C hai tiếp điểm) cát tuyến AEF đến (O) · · cho ( AEF nằm tia AO, AB , F , E Ỵ ( O ) BAF ) < FAC Vẽ đường thẳng qua E vng góc với OB cắt BC M cắt BF N Vẽ OK ^ EF a) Chứng minh: EMK C nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng FM qua trung điểm AB Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) Các đường cao 22) AD, BE ,CF cắt H Tiếp tuyến B,C (O) cắt G GD Ç EF = S Gọi M trung điểm cạnh BC Giả sử EF Ç BC = T , AT Ç (O ) = K a) Chứng minh điểm A, K , F , E , H nằm đường tròn b) Chứng minh M , S, H thẳng hàng Cho (O) (d) không giao Vẽ OH ^ (d) lấy hai 23) điểm A, B thuộc (d) cho HA = HB Lấy điểm M thuộc đường tròn (O) Dựng cát tuyến qua H , A, B điểm M cắt đường tròn (O) C , D, E , DE Ç ( d) = S Dựng đường thẳng qua O ^ CE cắt tiếp tuyến E (O) K Dựng ON ^ DE N a) Chứng minh tứ giác HNCS tứ giác nội tiếp b) Ba điểm S,C , K thẳng hàng 78 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 24) Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (O) tiếp xúc với ba cạnh BC , AC , AB D, E , F Trên đoạn OD lấy điểm I dựng đường tròn tâm I bán kính I D Dựng BG,CH tiếp tuyến (I ) G, H Gọi M = BG Ç CH , N = EF Ç BC a) Chứng minh EHGF nội tiếp b) Ba điểm N ,G, H thẳng hàng Cho đường tròn (O),(O ),(O ) biết (O ),(O ) tiếp xúc 2 25) với điểm I (O1),(O2) tiếp xúc với (O) M 1, M Tiếp tuyến (O1) I cắt (O) A, A ' Đường thẳng AM cắt (O1) điểm N , đường thẳng AM cắt (O2) điểm N Chứng minh tứ giác M N N M nội tiếp OA ^ N N 1 2 a) Kẻ đường kính PQ (O) cho PQ ^ AI ( Điểm P nằm b) cung AM không chứa điểm M ) Chứng minh PM 1, PM khơng song song đường thẳng AI , PM 1,QM đồng quy Cho tam giác ABC khơng cân Đường tròn (O) nội tiếp tam 26) giác tiếp xúc với cạnh BC ,CA, AB M , N , P Đường thẳng NP cắt BO,CO E , F · · a) Chứng minh góc OEN ,OCA bù b) Chứng minh điểm B,C , E , F nằm đường tròn.Chứng minh O, M , K thẳng hàng Biết K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF 27) ( ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Kẻ AH ^ BC ( H Ỵ BC ) BE vng góc với đường kiính AD ( E Ỵ AD ) a) Chứng minh HE / / DC 79 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC b) Qua trung điểm K đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC M Chứng minh D MHE cân 28) ( ) Cho tam giác nhọn ABC AB < AC Vẽ đường cao AD đường phân giác AO tam giác ABC ( D,O thuộc BC ) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC M , N a) Chứng minh điểm M , N ,O, D, A thuộc đường tròn · · b) Chứng minh BDM = CDN c) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN I Đường thẳng AI cắt BC K Chứng minh K trung điểm cạnh BC 29) ( ) Cho nửa đường tròn O đường kính AB = 2R C , D hai điểm di động nửa đường tròn cho C · thuộc cung AD COD = 600 (C khác A D khác B ) Gọi M giao điểm tia AC BD , N giao điểm dây AD BC a) Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp đường tròn tính khoảng cách từ A, B đến đường thẳng CD b) Gọi H I trung điểm CD MN Chứng minh H , I ,O thẳng hàng DI = R c) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác MCD theo R 30) ( ) Cho nửa đường tròn O;R đường kính AB Giả sử M điểm chuyển động nửa đường tròn này, kẻ MH 80 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC vng góc với AB H Từ O kẻ đường thẳng song song ( ) với MA cắt tiếp tuyến B với nửa đường tròn O K a) Chứng minh bốn điểm O, B, K , M thuộc đường tròn b) Giả sử C , D hình chiếu H đường thẳng MA MB Chứng minh ba đường thẳng CD, MH , AK đồng quy c) Gọi E , F trung điểm AH BH Xác định vị trí M để diện tích tứ giác CDFE đạt giá trị lớn Cho hình vng ABCD , đường chéo BD lấy 31) điểm I cho BI = BA Đường thẳng qua I vng góc với BD cắt AD E , AI cắt BE H a) Chứng minh AE = ID b) Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD điểm thứ hai F Chứng minh rằng: DF DA = EH EB ( ) Cho đường tròn O;R điểm M nằm ngồi 32) đường tròn Đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O;R ) hai điểm E , F a) Chứng minh giao điểm I đoạn thẳng OM với đường ( ) tròn O;R tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF b) Cho A điểm thuộc cung EF chứa điểm M đường tròn đường kính OM ( A khác E F ) Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF B Chứng minh OAOB = R2 c) Cho biết OM = 2R N điểm thuộc cung EF ( ) chứa điểm I đường tròn O;R ( N khác E F ) Gọi d đường thẳng qua F vng góc với đường thẳng 81 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC EN điểm P , d cắt đường tròn đường kính OM điểm K ( K khác F ) Hai đường thẳng FN K E cắt điểm Q Chứng minh rằng: PN PK + QN QK £ R ( ) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn O 33) Gọi P điểm cung nhỏ AC Hai đường thẳng AP BC cắt M Chứng minh rằng: · · a) ABP = AMB b) MA.MP = BA.BM 34) J ( ) ( ) Cho hai đường tròn O;R O ';R ' cắt I ( R ' > R ) Kẻ tiếp tuyến chung hai đường tròn chúng cắt A Gọi B C tiếp điểm ( ) hai tiếp tuyến với O '; R ' , D tiếp điểm tiếp tuyến AB với ( O;R ) (điểm I điểm B nửa mặt phẳng ( ) bờ O 'A ) Đường thẳng AI cắt O ';R ' M (điểm M khác điểm I ) a) Gọi K giao điểm đường thẳng IJ với BD Chứng minh K B = K I K J , từ suy K B = K D b) AO ' cắt BC H Chứng minh bốn điểm I , H ,O ', M nằm đường tròn c) Chứng minh đường thẳng AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp VIBD Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB , nửa 35) đường tròn lấy điểm C (cung BC nhỏ cung AB ), qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn tâm O cắt AB D Kẻ 82 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC CH vng góc với AB (H Ỵ AB ) , kẻ BK vng góc với CD ( K Ỵ CD ) ; CH cắt BK E · a) Chứng minh CB phân giác DCE b) Chứng minh BK + BD < EC c) Chứng minh BH AD = AH BD ( ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O 36) Cho P điểm đoạn BC cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OBP cắt đoạn AB N khác B đường tròn ngoại tiếp tam giác OCP cắt đoạn AC M khác C · · a) Chứng minh OPM = OAC · · · · b) Chứng minh MPN OBC + BAC = 900 = BAC c) Chứng minh O trực tâm tam giác PMN 37) ( ) Trên nửa đường tròn O đường kính AB = 2R ( R độ dài cho trước) lấy hai điểm M , N ( M , N khác A, B ) ¼ tổng khoảng cách từ A, B đến cho M thuộc AN đường thẳng MN R a) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo R b) Gọi I giao điểm AN BM , K giao điểm AM BN Chứng minh bốn điểm M , N , I , K nằm đường tròn Tính bán kính đường tròn theo R c) Tìm GTLN diện tích tam giác K AB theo R M , N ( ) thay đổi nửa đường tròn O thỏa mãn giả thiết toán 83 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC ( ) ( ) A B Vẽ đường thẳng ( d) qua A cắt ( O ) C cắt (O ') D cho A nằm C D Tiếp tuyến (O ) C tiếp tuyến (O ') D cắt E 38) Cho hai đường tròn O O ' cắt hai điểm a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp b) Chứng minh BE DC = CB ED + BD.CE ( ) Cho đường tròn O;R có đường kính AB cố định 39) đường kính CD thay đổi cho CD khơng vng góc khơng trùng với AB Gọi d tiếp tuyến A (O;R ) Các đường thẳng BC BD cắt d tương ứng E F a) Chứng minh CDEF tứ giác nội tiếp b) Gọi M trung điểm EF , chứng minh BM ^ CD c) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF Chứng minh MK = R d) Gọi H trực tâm tam giác DEF , chứng minh H ln chạy đường tròn cố định Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Vẽ 40) đường tròn tâm O , đường kính AH , đường tròn cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác BDEC tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ba điểm D,O, E thẳng hàng c) Cho biết AB = 3cm, BC = 5cm Tính diện tích tứ giác BDEC 84 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 41) Cho tam giác ABC không tam giác cân, biết tam ( ) giác ABC ngoại tiếp đường tròn I Gọi D, E , F ( ) tiếp điểm BC ,CA, AB với đường tròn I Gọi M giao điểm đường thẳng EF đường thẳng BC , biết AD cắt đường tròn ( I ) điểm N ( N không trùng với D ), gọi K giao điểm AI EF a) Chứng minh điểm I , D, N , K thuộc đường tròn ( ) b) Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn I 42) ( ) Từ điểm P nằm ngồi đường tròn O kẻ hai ( ) tiếp tuyến PM , PN tới đường tròn O , ( M , N hai tiếp ¼ đường điểm) Gọi I điểm thuộc cung nhỏ MN ( ) ¼ ) Kéo dài PI tròn O , ( I khác điểm MN ( ) cắt MN điểm K , cắt đường tròn O điểm thứ hai J Qua điểm O kẻ đường thẳng vng góc với PJ điểm F cắt đường thẳng MN điểm Q Gọi E giao điểm PO MN a) Chứng minh PI PJ = PK PF b) Chứng minh năm điểm Q < I , E ,O,J thuộc đường tròn 43) ( ) Cho đường tròn O có đường kính AB cố định, M ( ) ( ) điểm thuộc O ( M khác A, B ) Các tiếp tuyến O ( ) A M cắt C Đường tròn I 85 qua M PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC tiếp xúc với đường thẳng AC C CD đường kính ( I ) Chứng minh rằng: a) Ba điểm O, M , D thẳng hàng b) Tam giác COD tam giác cân Đường thẳng qua D vng góc với BC ln qua c) ( ) điểm cố định M di động đường tròn O Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O , 44) đường cao BE CF Tiếp tuyến B C cắt S , BC OS cắt M a) Chứng minh AB MB = AE BS b) Hai tam giác AEM ABS đồng dạng c) Gọi AM cắt EF N , AS cắt BC P Chứng minh NP ^ BC 45) Cho tam giác ABC vng A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi D, E , F tiếp điểm (O ) với cạnh AB, AC , BC ; BO cắt EF I M điểm di chuyển đoạn CE · a) Tính BIF b) Gọi H giao điểm BM EF Chứng minh AM = AB tứ giác ABHI nội tiếp ( ) c) Gọi N giao điểm BM với cung nhỏ EF O , P Q hình chiếu N đường thẳng DE , DF Xác định vị trí điểm M để PQ lớn 86 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 46) ( ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O Giả sử M điểm thuộc đoạn thẳng AB ( M không trùng A, B ), N điểm thuộc tia CA ( N nằm đường thẳng CA cho C nằm A N ) cho MN cắt BC I I trung điểm MN Đường tròn ngoại tiếp tam ( ) giác AMN cắt O điểm P khác A a) Chứng minh tứ giác BMIP CNPI nội tiếp b) Giả sử PB = PC , chứng minh tam giác ABC cân 47) Cho D ABC có µ Đường tròn tâm I nội tiếp A = 600 tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC ,CA, AB D, E , F Đường thẳng ID cắt EF K , đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự M , N a) Chứng minh tứ giác IFMK IMAN nội tiếp b) Gọi J trung điểm cạnh BC Chứng minh ba điểm A, K ,J thẳng hàng ( ) c) Gọi r bán kính đường tròn I S diện tích tứ giác IEAF Tính S theo r Chứng minh SIMN ³ S ( SIMN diện tích D IMN ) ( ) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn O;R 48) Trên cung nhỏ AD lấy điểm E ( E không trùng với A D ) Tia EB cắt đường thẳng AD, AC I K Tia EC cắt đường thẳng DA, DB M , N Hai đường thẳng AN , DK cắt P a) Chứng minh tứ giác EPND tứ giác nội tiếp · M = DK · M b) Chứng minh EK 87 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC c) Khi điểm M vị trí trung điểm AD Hãy xác định độ dài đoạn AE theo R 49) Cho tam giác ABC Trên phân giác AD có hai · · điểm M , N cho ABN Chứng minh = CBM · · ACN = BCM Cho hình thoi ABCD có · Một đường BAD = 600 thẳng D thay đổi qua C cắt AB, AD N , M Gọi P giao điểm BM DN Chứng minh P thuộc đường tròn cố định 50) 51) Cho tam giác ABC vuông A AB < AC Gọi D điểm cạnh BC , E điểm cạnh BA kéo dài phía A cho BD = BE = CA Gọi C điểm AC cho E , B, D, P thuộc đường tròn, Q giao điểm thứ hai BP với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh AQ + CQ = BP 52) Cho tam giác ABC có µ µ > Cµ nội tiếp A >B đường tròn ( O ) , ngoại tiếp đường tròn ( I ) Cung nhỏ BC có M điểm N trung điểm cạnh BC Điểm E đối xứng với I qua N Đường thẳng ME cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai Q Lấy điểm K thuộc BQ cho QK = QA Chứng minh rằng: a) Điểm Q thuộc cung nhỏ AC đường tròn ( O ) b) Tứ giác AI K B nội tiếp BQ = AQ + CQ Cho O điểm nằm tam giác ABC 53) Gọi A ', B ',C ' điểm đối xứng A, B,C qua O Chứng minh đường tròn ngoại tiếp 88 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC tam giác A ' B 'C ', A 'BC , B 'CA, C 'AB có điểm chung Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) Hai 54) phân giác BM CN góc B C Tia MN cắt (O ) P Gọi X ,Y , Z hình chiếu vng góc P xuống BC ,CA, AB Chứng minh rằng: a) PY = PX + PZ 1 b) = + PB PA PC Cho tam giác nhọn ABC ( AB ¹ AC ) Đường tròn 55) đường kính BC cắt cạnh AB, AC tương ứng M , N Gọi O trung điểm BC Đường phân giác · · BAC MON cắt R Chứng minh đường tròn ngoai tiếp tam giác BMR CNR qua điểm nằm cạnh BC Cho tứ giác ABCD có đường chéo BD khơng 56) phân giác góc ABC CDA Một điểm P nằm · · · · tứ giác cho: PBC = DBA;PDC = BDA Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp AP = CP Ba tia Ix, Iy, Iz chung gốc I Lấy cặp điểm A, A ' 57) Ix , lấy cặp điểm B, B ' I y , lấy cặp điểm C ,C ' Iz theo thứ tự kể từ I cho I A.I A ' = IB I B ' = I C I C ' Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , A 'B 'C ' I thẳng hàng Cho BC dây cung khác đường kính 58) đường tròn ( O ) Điểm A thay đổi cung lớn BC Đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC ,CA, AB M , N , P 89 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC a) Tìm vị trí A để chu vi tam giác MNP đạt giá trị lớn b) Chứng minh đường thẳng Ơ-le tam giác MNP qua điểm cố định Cho hai đường tròn (O ;r ) (O ;r ) tiếp xúc 59) 1 2 ngồi với Một đường tròn ( O ) thay đổi tiếp xúc với ( O1) (O2 ) Giả sử AB đường kính ( O ) cho AO1O2B hình thang ( AB / /O1O2 ) Gọi I giao điểm AO2 với BO1 Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định Cho tam giác ABC có I tâm đường tròn nội 60) tiếp, O tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm G · A = 900 Chứng minh IG BC Giả sử OI song song Cho hình chữ nhật ABCD bốn đường tròn 61) ( A;R ) ,( B;R ) ,(C ;R ) ,( D;R ) cho R1 + R3 = R2 + R4 < AC Gọi D 1, D hai tiếp tuyến chung ( A;R1) ( C ;R3 ) ; D 1, D hai tiếp tuyến chung ( B ;R2 ) ( D;R4 ) Chứng minh tồn đường tròn tiếp xúc với bốn đường thẳng D 1, D 2, D 3, D Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD 62) vng góc với S Gọi M , N , P ,Q đối xứng với S qua AB, BC ,CD, DA Đường tròn ngoại tiếp tam giác SPQ cắt AP S Chứng minh bốn điểm M , E , F ,Q thuộc đường tròn 90 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Cho tam giác ABC cân A , cạnh BC lấy 63) D cho BD : DC = : đoạn AD lấy P 1· · · · cho BAC Chứng minh DPC = BAC = BPD Cho tứ giác ABCD nội tiếp Gọi P ,Q, R 64) chân đường vng góc D xuống BC ,CA, AB Chứng tỏ PQ = QR phân giác góc ABC ADC cắt AC Trong mặt phẳng cho hai đường tròn ( O ) ( O 65) ) cắt hai điểm A B Các tiếp tuyến A B ( O1) cắt điểm K Giả sử M điểm nằm ( O1) không trùng vào A B Đường thẳng AM cắt ( O2 ) điểm thứ hai P , đường thẳng K M cắt ( O1) điểm thứ hai C đường thẳng AC cắt (O ) điểm thứ hai Q Chứng minh trung điểm PQ nằm đường thẳng MC Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) 66) Đường tròn ( O ') nằm ( O ) tiếp xúc với ( O ) T thuộc cung AC (cung không chứa B ) Kẻ tiếp tuyến AA ', BB ',CC ' tới ( O ') Chứng minh BB '.AC = AA '.BC +CC '.AB Cho hai đường tròn ( O 67) ) ( O ) tiếp xúc với đường tròn ( O ) Tiếp tuyến chung ( O1) ( O2 ) cắt (O ) bốn điểm Gọi B,C hai bốn điểm cho B,C nằm phía O1O2 Chứng 91 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC minh BC song song với tiếp tuyến chung ( O1) ( O2 ) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) 68) AC BC CD + AB BD = BD BC BA + DC DA Cho tam giác ABC cân A Kí hiệu x, y, z lần Chứng minh 69) lượt khoảng cách MA ', MB ', MC ' từ điểm M nằm tam giác tới đường thẳng BC ,CA, AB Giả sử x2 = yz , chứng minh M thuộc đường tròn cố định Cho tam giác nhọn ABC Điểm O thay đổi 70) BC Đường tròn tâm O bán kính OA cắt AB, AC điểm thứ hai M , N Chứng minh trực tâm tam giác AMN thuộc đường thẳng cố định Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O 71) Gọi H 1, H 2, H 3, H trực tâm tam giác BCD,CDA,DAB , ABC Chứng minh bốn điểm H 1, H 2, H 3, H nằm đường tròn Điểm I nằm tam giác ABC thỏa mãn 72) · B = BI · C = CIA · AI = 1200 Chứng minh ba đường thẳng Ơ-le tam giác ABI , BCI CAI đồng quy Gọi O, I H tâm đường tròn ngoại 73) tiếp, nội tiếp trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: Nếu đường tròn ngoại tiếp tam giác OIH qua đỉnh tam giác ABC phải qua đỉnh khác tam giác ABC 92 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 74) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O , trực tâm H , đường cao AK (K Ỵ BC ) Giả sử đường thẳng qua K vng góc với OK cắt AB, AC M , N Các tia MH , NH cắt AC , AB thứ tự P ,Q Chứng minh tứ giác APHQ nội tiếp Tam giác ABC có trực tâm H , đường cao BE 75) Điểm P đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vẽ hình bình hành PAQB PARC Giao điểm AQ HR X Chứng minh EX song song với AP Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O 76) Một đường tròn ( O1) qua B C cắt cạnh AB, AC D, E Đường tròn (O2 ) qua ba điểm A, D, E · O = 900 cắt ( O ) K ( K ¹ A ) Chứng minh AK 77) Cho hai đường tròn ( O ) ( O ') cắt A B Giả sử CD, EF hai tiếp tuyến chung hai ( ) đường tròn C , E Ỵ (O ) ;D, F Ỵ ( O ') , điểm A gần CD B ) Gọi D đường thẳng qua A tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF D đường thẳng qua B tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Chứng minh đường thẳng D 1, D 2,CD, EF đồng quy Cho hai đường tròn ( O ) (O ') tiếp xúc 78) M ( ( O ') chứa ( O ) ) Giả sử P N hai điểm thuộc (O ') Qua P N kẻ tiếp tuyến với (O ') 93 cắt ( O ) A,C B, D Chứng minh tâm PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC đường tròn nội tiếp tam giác ACD, BCD nằm NP Cho hai đường tròn ( O ) (O ) tiếp xúc 79) với I tiếp xúc với ( O ) Kẻ tiếp tuyến chung với ( O1) (O2 ) cắt ( O ) B,C Qua I kẻ tiếp tuyến chung với ( O1) (O2 ) cắt ( O ) A ( A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC với ( O1) ,( O2 ) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Cho tam giác ABC cân đỉnh A Điểm M nằm 80) 1µ · tam giác cho BMC Qua M kẻ đường = 900 + A thẳng song song với BC cắt AB, AC X ,Y Vẽ MZ, MT song song với AB, AC Gọi N giao điểm XZ Y T Chứng minh tứ giác ABNC tứ giác nội tiếp Cho tam giác nhọn ABC AB < AC 81) ( ( ) nội tiếp đường ) tròn O;R , đường cao AD, BE ,CF cắt H a) Chứng minh AE AC = AF AB b) Chứng minh tứ giác BFHD, ABDE nội tiếp đường tròn ( ) c) Vẽ tia Ax tia tiếp tuyến đường tròn O , tia Ax nằm nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C Chứng minh Ax / / EF Từ suy OA ^ EF d) Gọi K giao điểm hai đường thẳng EF BC Đường thẳng qua F song song với AC cắt AK , AD M , N Chứng minh MF = NF Cho đường tròn tâm O , đường kính AB Lấy C 82) ( ) thuộc O (C không trùng với A, B ), M điểm 94 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC cung nhỏ AC Các đường thẳng AM BC cắt I , đường thẳng AC , BM cắt K · · a) Chứng minh ABM D ABI cân = IBM b) Chứng minh tứ giác MICK nội tiếp ( ) c) Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến A O N ( Chứng minh đường thẳng NI tiếp tuyến B, BA ) NI ^ MO d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK cắt đường tròn ( B, BA) D ( D không trùng với I ) Chứng minh A,C , D thẳng hàng ( ) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O tâm O , 83) đường kính AD Hai đường chéo AC BD cắt I Gọi H hình chiếu I lên AD M trung điểm ( ) ( ) ID Đường tròn HMD cắt O N ( N khác D ) Gọi P giao điểm BC HM a) Chứng minh tứ giác BCMH nội tiếp b) Chứng minh ba điểm P , D, N thẳng hàng ( ) bên ngồi đường tròn ( O ) , kẻ tiếp tuyến AM 84) Cho đường tròn O cố định Từ điểm A cố định AN với đường tròn ( M , N tiếp điểm) Đường thẳng qua A cắt đường tròn ( O ) hai điểm B C ( B nằm A C ) Gọi I trung điểm dây BC a) Chứng minh AMON tứ giác nội tiếp b) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh AK AI = AB AC c) Khi cát tuyến ABC thay đổi điểm I chuyển động cung tròn nào? Vì sao?Xác định vị trí cát tuyến ABC để IM = 2IN Cho tam giác ABC nhọn AB < AC , đường cao 85) AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB cắt AC N Gọi E điểm đối xứng H qua AC , EN cắt AB ( ) M cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai D 95 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC a) Chứng minh AD = AE · b) Chứng minh HA phân giác MHN c) Chứng minh điểm A, E ,C , H , M thuộc đường tròn tâm O1 Và ba đường thẳng CM , BN , AH đồng quy điểm ( ) d) DH cắt đường tròn O1 điểm thứ hai Q Gọi I , K lần 86) lượt trung điểm DQ BC Chứng minh I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC , AC = 2a Gọi M , N trung điểm AB AD , tam giác ABD a) Tính BC CN theo a b) Gọi H trực tâm tam giác CMN ; MH cắt CN E , MN cắt AC K Chứng minh năm điểm B, M , K , E ,C thuộc đường tròn (T ) ( ) c) Đường tròn T ( ) cắt BD F F ¹ B , tính DF theo a d) K F cắt ME I Chứng minh K M tiếp xúc với đường 87) · tròn ngoại tiếp tam giác MIF Tính IND Cho điểm M nằm ngồi đường tròn O;R Vẽ hai ( ) tiếp tuyến MA, MB cát tuyến MCD ( A, B,C , D thuộc ( ) đường tròn O ), tia MC nằm hai tia MO MB Gọi H giao điểm MO AB a) Chứng minh MA = MC MD b) Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp, D MHC : D DHO · · c) Chứng minh ADH = CDB ( ) d) MO cắt đường tròn O E , F ( E nằm M ,O ) 88) Chứng minh đường thẳng DE ,CF cắt điểm đường thẳng AB Cho A đường tròn O;R Vẽ tiếp tuyến ( ) AB, AC với ( O ) S điểm tia đối tia OA,OS < R Đường thẳng vng góc với (OA S cắt AB, AC 96 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC ( ) D, E ; cắt đường tròn O F ,T ( F nằm D,T ) AF cắt ( O ) M G điểm đối xứng F qua D , L điểm đối xứng F qua T Chứng minh hai đường ( ) ( ) tròn O MGL tiếp xúc 97 ... đường cao AK (K Ỵ BC ) Giả sử đường thẳng qua K vuông góc với OK cắt AB, AC M , N Các tia MH , NH cắt AC , AB thứ tự P ,Q Chứng minh tứ giác APHQ nội tiếp Tam giác ABC có trực tâm H , đường cao. .. điểm P, Q, R thẳng hàng 75 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 11) Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE , CF cắt H Từ A ta dựng tiếp tuyến AM , AN đến đường tròn đường kính BC a) Chứng minh... AMDN , MNDO nội tiếp b) Chứng minh ba điểm H , M , N thẳng hàng Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE , CF cắt 12) điểm H Gọi M , N trung điểm AH , BC Các phân giác góc ·ABH , ·ACH cắt