SKKN một số bài toán phân số tối giản dạt học sinh đội tuyển toán 6 trường THCS nguyễn chích năm 2018 2019

MỤC LỤC Mục I II III Nội dung MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo 16 dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17 Kết luận 17 Kiến nghị 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng 20 SKKN Ngành GD huyện đánh giá đạt từ loại C I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Năm học 2018 – 2019 trường THCS Nguyễn Chích tiếp tục thực đề án xây dựng trường trọng điểm chất lượng cao giai đoạn 2018 – 2020 Với sứ mạng bồi dưỡng học sinh giỏi làm công tác dạy đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh hàng năm cho huyện Đông Sơn, nhà trường tiếp tục đăng ký thực mơ hình kiểu mẫu với chủ đề: “Xây dựng nhà giáo có lực bồi dưỡng học sinh giỏi đứng tốp đầu tồn tỉnh” Bản thân tơi giao nhiệm vụ phụ trách đội tuyển toán 6, nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi để tham gia kỳ thi giao lưu HSG Nguyễn Chích phòng giáo dục tổ chức vào trung tuần tháng 4/2019 Trong trình trực tiếp ơn luyện bồi dưỡng cho học sinh lớp 6, nhận thấy phần kiến thức phân số tối giản chủ đề nâng cao khó, mẻ với học sinh Trong tài liệu tham khảo chưa có chủ đề riêng nghiên cứu phần Khi giảng dạy chủ đề giáo viên phải lượm lặt nhiều tập nhỏ lẻ từ tài liệu khác nhau, giới thiệu tài liệu (một số bài) Để giúp học sinh rèn luyện tư logic với hệ thống tập phong phú, đa dạng khắc phục khó khăn trên; tơi học hỏi, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp có nhiều năm làm cơng tác bồi dưỡng HSG sưu tầm tài liệu có sẵn để hồn thành SKKN đề tài: “Một số toán phân số tối giản dạy học sinh đội tuyển tốn trường THCS Nguyễn Chích năm học 2018 - 2019” để làm tư liệu giảng dạy tài liệu lưu hành nội cho đồng nghiệp sau Mục đích nghiên cứu: Thơng qua việc tìm hiểu, nghiên cứu áp dụng đề tài để tìm phương pháp bồi dưỡng hiệu phát huy lực tự học toán cho học sinh, qua giúp em nắm kiến thức cách chủ động, sáng tạo Tạo niềm vui, hứng thú học tập cho em Bước đầu hình thành thói quen lao động tích cực sáng tạo, khoa học người lao động thời đại Kích thích khơi dậy lòng say mê nghiên cứu khoa học Ngồi mục đích nghiên cứu đề tài định hướng cho học sinh biết khai thác tốn dạng giúp em giải toán tương tự nhằm phát huy khả sáng tạo học sinh theo hướng tích cực hóa hoạt động, từ rèn luyện cho em khả tự học, tự tin yêu thích mơn tốn Đối tượng nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu toán thuộc phạm vi chương trình lớp phù hợp với đối tượng học sinh giỏi học loại toán liên quan đến phân số tối giản, phân số không tối giản (phân số rút gọn được) thông qua số tốn điển hình học luyện tập, ôn tập, bồi dưỡng học sinh giỏi Phương pháp nghiên cứu - Trò chuyện, trao đổi với học sinh, đồng nghiệp Phân tích, tổng hợp kết nhận thức học sinh Phương pháp thực nghiệm Nghiên cứu tài liệu tham khảo II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Tất dạng tốn đòi hỏi HS nắm vững kiến thức Phân tích quan hệ kiến thức vận dụng phù hợp, linh hoạt vào tình giải tốn cụ thể Việc hướng dẫn HS từ ôn tập kiến thức để giải toán sau nâng dần lên theo mức độ khả tiếp thu học sinh hoàn toàn phù hợp với trình nhận thức (từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể đến trừu tượng) Trong học tập nói chung, học tốn nói riêng người học tự xây dựng hệ thống kiến thức cho chủ đề khai thác ứng dụng kiến thức vào thực tế giải tốn khơng giúp người học nhớ lâu tránh lối tiếp thu thụ động mà tạo thói quen làm việc động, tích cực, sáng tạo đồng thời góp phần hướng tới mục tiêu đổi phương pháp dạy học nhằm tích cực hóa hoạt động học tập HS Đối tượng HS lớp thuộc lứa tuổi thích khám phá, thích thể khả sáng tạo tìm tòi thân nên việc thực đề tài có nhiều thuận lợi định Năng lực tự học học sinh khả tự khám phá, tự phát hiện, tự tìm đến kiến thức thông qua hoạt động học tập giáo viên tổ chức trao đổi với bạn bè Năng lực tự học học sinh thể qua tính tích cực chủ động sáng tạo người học, khả nhận biết tình có vấn đề giải tình Qua tự đánh giá nhận thức nội dung, kiến thức hay lĩnh vực Người học khơng biết làm theo, chép mà phải nghiên cứu tìm đúng, đồng thời vận dụng cách sáng tạo vào sống thực tế Năng lực tự học học sinh thể qua thao tác tư phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa vấn đề khả giải vấn đề cách nhanh gọn, độc đáo Một học sinh có lực tự học tốt có nhiều kết cao học tập, khả thích ứng nhanh với sống đầy biến động; ln đặt cho câu hỏi trước vấn đề hành động: “Làm tốt hơn?”, “Có cách tốt khơng?” “Làm có khơng?” Chính việc bồi dưỡng phát huy khả tự học cho học sinh cần thiết q trình dạy học Trong đó, giáo viên có vai trò quan trọng - Giáo viên khơng trực tiếp bồi dưỡng mà người phát huy khả tự học học sinh thông qua giảng Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Với học sinh: Bài toán phân số tối giản dạng tốn có nhiều cách sử dụng câu hỏi khác với yêu cầu Mặt khác thực tế, thường em HS lớp làm quen dừng lại dạng toán đơn giản, tường minh phân số tối giản Vì bắt gặp tốn mà phân số cho dạng tử mẫu biểu thức chứa chữ (tham số) với yêu cầu chứng minh phân số phân số tối giản tìm giá trị thích hợp tham số để phân số cho trở thành phân số tối giản đa số em gặp phải khó khăn, lúng túng chưa nắm vững chất dạng toán, thiếu kinh nghiệm việc huy động lượng kiến thức liên quan khả ngôn ngữ hạn chế chưa quen với việc sử dụng lập luận có Trước sử dụng SKKN vào giảng dạy học sinh giỏi, dạy HS giải số tốn phân số tối giản có sách tập tốn tập (Tơn Thân chủ biên), kiểm tra 20 học sinh đội tuyển thời gian 45 phút với câu hỏi: Câu (4,5 điểm) Trong phân số sau phân số phân số tối giản, phân số không phân số tối giản? 11 17 ; ; ; ; ; 11 15 −8 15 17 Câu (4 điểm) Chứng minh với n ∈ Z phân số sau tối giản n 2n +1 ( n khác 0) a, Câu 3.(1,5 điểm) 3n + b, 5n + Tìm tất số nguyên n để n −1 (n khác 1) phân số tối giản Kết làm em đạt sau: Điểm – 10 8-9 7- -7 5-6 Dưới Số lượng 5 (tỉ lệ) (0%) (10%) (25%) (20%) (25%) (30%) Như tỉ lệ học sinh biết giải tốn phân số tối giản nhóm học sinh đội tuyển thấp, đa phần tập mà tử mẫu có tham số em lung túng xác định cách giải cách lập luận Nhiều em chưa thể định hướng cách giải loại tốn này, em thiếu tự tin gặp dạng toán phân số tối giản 2.2 Với giáo viên Trên thực tế, chương trình SGK hành đưa khái niệm ban đầu phân số tối giản thời lượng hạn hẹp Sách tập nguồn sách tham khảo đưa số tập khác lời giải chưa cụ thể cho chưa có khái quát phân loại không định hướng cụ thể phạm vi kiến thức liên quan Chưa có sách tham khảo đề tài sáng kiến kinh nghiệm giới thiệu cách giải dạng toán liên quan đến phân số tối giản Vì trình giảng dạy giáo viên chưa thực coi trọng, quan tâm khai thác, thiếu đầu tư nghiên cứu dành thời gian để rèn luyện dạng toán phân số tối giản cho em Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 Giúp HS nắm vững kiến thức Trước hết GV giúp HS nắm vững kiến thức phân số phân số tối giản: a (a, b ∈ Z ; b ≠ 0) - Phân số số có dạng b - Phân số tối giản phân số rút gọn a (a, b ∈ Z ; b ≠ 0) a; b - Phân số b phân số tối giản ƯCLN( ) = ƯC(a,b) = { ± 1} - Mọi phân số đưa dạng tối giản - Dạng tối giản phân số 3.2 Bài tập áp dụng hướng dẫn khai thác Dạng 1: Chứng minh phân số với tham số n phân số tối giản Cách giải: GV cần làm rõ với HS: - Muốn chứng minh phân số tối giản cần tử mẫu phân số có ước chung -1 Nếu phân số có tử mẫu số nguyên dương ƯCLN tử mẫu - Một cách chứng minh phân số mà có tử mẫu chứa tham số phân số tối giản: Bước 1: Gọi d ước chung (hoặc ƯCLN tử mẫu số nguyên dương) tử mẫu phân số cho Bước 2: Suy tử chia hết cho d, mẫu chia hết cho d Bước 3: Từ điều kiện tử mẫu chia hết cho d, biến đổi để khử tham số tìm d ước ước -1 HS cần nắm tính chất chia hết tổng, tích sau để khử tham số bước 2: a m ⇒ ka m ( a, k , m ∈ Z ; m ≠ ) a m; bm ⇒ a ± b m ( a, b, m ∈ Z ; m ≠ 0) ; ka ± qb m ( a, b, m, k , q ∈ Z ; m ≠ 0) a m ; a ± b m ⇒ b m a m; a ± b  m ⇒ b m Bước 4: Sau khử n d ước -1 Vậy kết luận phân số cho phân số tối giản * Nhận xét: Muốn khử n từ điều kiện tử mẫu chia hết cho d bước 2, ta thường phải nhân biểu thức tử mẫu với thừa số phụ thích hợp khác cho số hạng chứa n phải giống nhau, sau ta trừ hai biểu thức cho (thường lấy biểu thức lớn trừ biểu thức nhỏ hơn) Muốn ta phân tích số hạng chứa tham số tử mẫu thừa số, tìm thừa số riêng Sau nhân tử với thừa số riêng vừa tìm số hạng chứa n mẫu, nhân mẫu với thừa số riêng vừa tìm số hạng chứa n tử Khi số hạng chứa n giống nhau, thực phép trừ khử n n +1 Bài 1: Chứng minh n ∈ N phân số 2n + tối giản Hướng dẫn tìm lời giải: Bước 1: Nếu n ∈ N n +1 2n + số nguyên dương Gọi d ước chung lớn n + 2n +  n + 1d ⇒ Bước 2: Suy  2n + 3d (1) ( 2) Phân tích: n = 1.n; 2n = 2.n nên (1) phải nhân với thừa số riêng số hạng chứa n (2) Bước 3: Nhân (1) với thừa số 2, ta được:  2n + d   2n + 3d (3) ( 4) Áp dụng tính chất chia hết tổng, trừ (3) (4) trừ (4) (3) để khử n Vì 2n + nhỏ 2n + n ∈ N ⇒ ( 2n + 3) − ( 2n + ) d ⇒ d Vậy d n +1 Bước 4: Kết luận phân số 2n + phân số tối giản với n số tự nhiên Giải: Goi d ước chung lớn n + 2n +  n + 1d  2n + d ⇒ ⇒ ⇒ ( 2n + 3) − ( 2n + ) d ⇒ d  2n + 3d  2n + 3d n +1 Nên d = 1, phân số 2n + phân số tối giản với n số tự nhiên Nhận xét: n +1 - Để chứng minh với n ∈ N phân số 2n + tối giản, n+1 2n + hai số tự nhiên nên tốn phát biểu dạng khác: chứng minh với n ∈ N n+1 2n + hai số nguyên tố n−5 Bài 2: Chứng minh 3n − 14 phân số tối giản với số nguyên n Giải Gọi d ước chung n – 3n – 14 n − d 3n − 15 d ⇒ ⇒ ⇒ ( 3n − 14) − ( 3n − 15) d ⇒ d ⇒ d = ± 3n −14 d 3n − 14 d n−5 Vậy phân số 3n − 14 phân số tối giản với số nguyên n Bài 3: Chứng minh phân số sau tối giản với n ∈ Z, : n2 + a, n (n ≠ 0) 7n + b, 7n + n + 15n + c, 30n + n + 2n d, n + 3n + Giải: a, Gọi d ước chung n2 + n n + d n + d ⇒ ⇒ ⇒ n + − n d ⇒ d n d n d ( ) ⇒ n = ±1 n2 + Vậy phân số n phân số tối giản * Nhận xét: Vì số hạng chứa n tử dạng: n2 = n.n; mẫu n = 1.n Vậy cần nhân mẫu với n tử giữ nguyên (nhân 1) khử n b, Gọi d ước chung 7n + 7n2 + n +   n + d 7 n + n d ⇒ ⇒ ⇒ ( n + n + 1) − ( n + n ) d ⇒ d  ⇒ n = ±1  n + n +1 d 7 n + n + d 7n + Vậy 7n + n + (với n ∈ Z) c, Gọi d ước 15n +1 30n +  15n +1 d 30n + d ⇒ ⇒ ⇒ ( 30n + ) − ( 30n + 1) d ⇒ d ⇒ n = ±1 30n + 1d 30n + d 15n + Vậy 30n + phân số tối giản d, Gọi d ước chung n3 + 2n n4 + 3n2 +    n + 2n d n + 2n d ⇒ ⇒ ⇒ ( n + 3n +1) − ( n + 2n ) d ⇒ n + d 2   n + 3n + 1d n + 3n + d Ta có: n + 2n d ⇒ n + 2n − n + n d ⇒ nd  n + nd ( ) ( ) n + 3n +1d ⇒ 1d  n  d ⇒ n = ±1 Từ:  n + 2n Vậy: n + 3n + phân số tối giản * Nhận xét: Khi số hạng chứa tham số tử mẫu có số mũ khác lớn 1, Ta khử dần từ số hạng có số mũ lớn phải thực phép khử nhiều lần kết (khử hết số hạng chứa tham số Trên toán dạng đưa hướng dẫn HS khai thác từ mức độ thấp đến cao dần phù hợp với trình tự nhận thức học sinh, vừa làm cho học sinh thích ứng dần với dạng tốn vừa gây thích thú, lơi kích thích tìm tòi đồng thời cách khai thác sâu toán chứng minh phân số tối giản rèn luyện khả diễn đạt cho em Ngoài ra, cần để ý đến số sai lầm mà em hay mắc phải để giúp em tháo gỡ Chẳng hạn gặp toán sau: a Bài 4: Cho a số tự nhiên chia dư Phân số a + có PSTG khơng? Phân tích: Nếu ƯCLN (a; a + 2) = d a Md a + Md Md nên d = d = Đến đây, sai lầm mà HS mắc phải quên yếu tố a số tự nhiên chia dư Vì tìm d = d = HS vội vàng kết luận a a + phân số tối giản Giải: Gọi ƯCLN (a; a+2) = d a Md a +2 Md Md nên d = d = Vì a số tự nhiên chia dư nên a số lẻ nên d a Vậy phân số a + phân số tối giản Sau giải toán dạng 1, GV cần chốt lại hướng khai thác từ toán ban đầu thành toán dạng cho HS rèn luyện giải khai thác thông qua hệ thống tập đề xuất * Đề xuất toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải khai thác: Bài tập 1: Chứng minh với n số tự nhiên phân số sau tối giản 2n + a 2n(n + 1) 3n + c 5n + 3n + b 5n + n−5 d 3n − 14 Giải: a Gọi d ước chung 2n + 2n(n+1) 2n + d 2n + nd ⇒ ⇒ ⇒ 2n + 2n − 2n + n d ⇒ nd n ( n + )  d   2n + 2nd ( Ta có n ) ( ) d; 2n +  nên  d ⇒ n = ± 2n + Vậy phân số 2n(n +1) phân số tối giản b Gọi d ước chung 3n + 5n + 3n + d 15n + 10 d ⇒ ⇒ ⇒ (15n + 10 ) − (15n + ) d ⇒ 1d ⇒ d = ±1 5n + 3d 15n + 9d 3n + Vậy phân số 5n + phân số tối giản c Gọi d ước chung 3n + 5n + 3n + 4d 15n + 20 d ⇒ ⇒ ⇒ (15n + 21) − (15n + 20 ) d ⇒ d ⇒ d = ±1 5n + 7d 15n + 21d 3n + Vậy phân số 5n + phân số tối giản với số nguyên n d Gọi d ước chung n – 3n – 14 n − d 3n − 15 d ⇒ ⇒ ⇒ ( 3n − 14) − ( 3n − 15) d ⇒ d ⇒ d = ± 3n −14 d 3n − 14 d n−5 Vậy phân số 3n − 14 phân số tối giản với số nguyên n Khi HS nắm bắt cách chắn dạng tốn điển hình, mạnh dạn hướng dẫn HS khai thác dạng tốn liên quan Dạng 2: Tìm tham số n để phân số phân số tối giản(phân số rút gọn được) Cách giải: GV cần làm rõ: Điều kiện để phân số phân số tối giản điều kiện để phân số rút gọn Một phân số rút gọn tử mẫu có ước chung khác ± Muốn ta tìm ước nguyên tố chung tử mẫu Lập luận để tìm quan hệ chia hết tham số với ước nguyên tố vừa tt́m Từ suy điều kiện tham số để phân số cho không tối giản (rút gọn được) Để giải toán ta làm theo bước: Bước 1: Gọi d ước nguyên tố chung (nếu có) tử mẫu Bước 2: Suy tử mẫu chia hết cho d Bước 3: Khử tham số bước 2, suy d ước nguyên tố số nguyên Bước 4: Lập luận tìm quan hệ chia hết tham số với giá trị d (là số nguyên tố) bước Bước 5: Từ quan hệ chia hết tham số ước nguyên tố tử mẫu bước 4, tìm điều kiện tham số để phân số cho tối giản Chú ý: Nếu n chia hết cho d n có dạng: n = kd ( k ∈ Z) Nếu n – b chia hết cho d ( < b < d, b ∈ N*) n có dạng: n = kd + b Bài 5: Tìm tất số nguyên n để phân số 2n + phân số tối giản Hướng dẫn tìm lời giải: Bước 1: Gọi d ước nguyên tố chung (nếu có) 2n+1 Bước 2: Suy tử mẫu chia hết cho d 6d ⇒ 2n + 1d Bước 3: Suy d ước nguyên tố số nguyên tố 6, từ tìm giá trị d ⇒ d nên d = d = 3; mà 2n + số lẻ 2n +  d nên d số lẻ Vậy d = Bước 4: Lập luận tìm quan hệ chia hết tham số với giá trị d (là số nguyên tố) bước Khi 2n + 3 ⇒ 2n – + 3 ⇒ 2(n – 1) 3 Mà (2, 3) = ⇒ n – 3 Bước 5: Từ quan hệ chia hết tham số ước nguyên tố tử mẫu bước 4, tìm điều kiện tham số để phân số cho tối giản ⇒ n – = 3k (k ∈ Z) Vậy n = 3k + phân số 2n + khơng phải phân số tối giản Giải: Gọi d ước nguyên tố chung (nếu có) 2n + 6 d ⇒ 2n +1d Vì d ước nguyên tố nên d = d = 3; mà d ước 2n + số lẻ nên d lẻ Vậy d = ⇒ 2n + 3 ⇒ 2n – + 3 ⇒ 2n – 3 ⇒ 2(n - 1) 3 Do (2,3) = ⇒ n –  ⇒ n – = 3k (k ∈ Z) ⇒ n = 3k + (k ∈ Z) 10 Vậy n = 3k + (k ∈ Z) phân số 2n + khơng phải phân số tối giản * Nhận xét: Ở giải ta dùng cách tách: Nếu an + b chia hết cho d tách b = -qa + md ( q, m ∈ Z ), thông thường a số nguyên tố với d Ta biến đổi được: an + b = an - qa + md  d ⇒ a(n - q )  d , (a, d) = suy n - q  d Vậy n = kd + q (q ∈ N*, < d < q) Cụ thể toán ta tách từ 2n + 3 ⇒ 2n – + 3 ⇒ 2n – 3 ⇒ 2(n - 1) 3 (tách = -2 + 3) 3n + 2n + 2n + Bài 6: Tìm tất số nguyên n để phân số phân số tối giản Hướng dẫn tìm lời giải: Bước 1: Gọi d ước nguyên tố chung (nếu có) 3n +2n+3 2n+1 Bước 2: Suy tử mẫu chia hết cho d 3n + 2n + 3d ⇒ 2n + 1d Bước 3: Khử tham số bước 2(làm giống bước 2, 3, 1), suy d ước ngun tố số có, từ tìm d 3n + 2n + d 6n + 4n + 6d ⇒ ⇒ (6n + 4n + 6) − 6n + 3n d   2n + n d 6n + 3n d ( ) ⇒ n + d mà 2n +  d Ta có: n + d 2n +12d ⇒  2n + 1d 2n +1d ⇒ (2n + 12) – (2n + 1) d ⇒ 11 d, d số nguyên tố nên d = 11 Bước 4: Lập luận tìm quan hệ chia hết tham số với giá trị d (là số nguyên tố) bước Khi n +  11 ⇒ n – + 11 11 ⇒ n – 11 Bước 5: Từ quan hệ chia hết tham số ước nguyên tố tử mẫu bước 4, tìm điều kiện tham số để phân số cho tối giản ⇒ n – = 11k (k ∈ Z) Giải Gọi d ước nguyên tố chung (nếu có) 3n2 + 2n + 2n + 2 3n + 2n + 3d 3n + 2n + d 6n + 4n + 6d ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ (6n + 4n + 6) − 6n + 3n d 2n + n d 6n + 3n d 2n + 1d ( ) ⇒ n + d ⇒ 2n + 12  d; mà 2n +  d 11 ⇒ (2n + 12) – (2n + 1) d ⇒ 11 d, d số nguyên tố nên d = 11 Khi n +  11 ⇒ n – + 11 11 ⇒ n − 511 ⇒ n – = 11k (k ∈ Z) 3n + 2n + 2n + Vậy n = 11k + ( k ∈ Z) phân số khơng phải phân số tối giản * Đề xuất toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải khai thác: Bài tập 2: Tìm tất số nguyên n để phân số sau không phân số tối giản a, 20 3n + b, 4n + n +2 21n + c 6n + Giải: Gọi d ước nguyên tố chung (nếu có) 20 3n + 20d ⇒ 3n +1d Vì d ước nguyên tố 20 nên d = d = Nếu d = ⇒ 3n +  ⇒ 3n – + 2 ⇒ 3n – 2 ⇒ 3(n - 1) 2 Do (3,2) = ⇒ n –  ⇒ n – = 2k (k ∈ Z) ⇒ n = 2k + (k ∈ Z) Nếu d = ⇒ 3n + 5 ⇒ 3n – + 10 5 ⇒ 3n – 5 ⇒ 3(n - 3) 5 Do (3,5) = ⇒ n –  ⇒ n – = 5m (m ∈ Z) ⇒ n = 5m + (m ∈ Z) Vậy n lẻ, n chia cho dư 3, n số ngun có chữ số tận 20 phân số 3n + phân số tối giản b Gọi d ước nguyên tố chung (nếu có) 4n + n + 4n + 5d 4n + d ⇒ ⇒ ⇒ ( 4n + 8) − ( 4n + 5) d ⇒ d n + 2d 4n + 8d Vì d ước nguyên tố Vậy d = ⇒ n + 3 ⇒ n – + 3 ⇒ n - 3 ⇒ n – = 3k (k ∈ Z) ⇒ n = 3k + (k ∈ Z) 4n + Vậy n = 3k + (k ∈ Z) phân số n + phân số tối giản c Gọi d ước nguyên tố chung (nếu có) 21n + 6n + 21n + 3d 42n + 6d ⇒ ⇒ ⇒ ( 42n + 28) − ( 42n + ) d ⇒ 22 d 6n + 4d 42n + 28d Vì d ước nguyên tố 22 Vậy d = d = 11 Nếu d = ⇒ 21n +  ⇒ 21n – 21 + 24 2 ⇒ 21n – 21 2 ⇒ 21(n - 1) 2 Do (21,2) = ⇒ n –  ⇒ n – = 2k (k ∈ Z) ⇒ n = 2k + (k ∈ Z) 12 Nếu d = 11 ⇒ 6n + 11 ⇒ 6n – 18 + 22 11 ⇒ 6n – 18 11 ⇒ 6(n - 3) 11 Do (6,11) = ⇒ n –  11 ⇒ n – = 11m (m ∈ Z) ⇒ n = 11m + (m ∈ Z) 21n + Vậy n = 2k + (k ∈ Z) n = 11m + (m ∈ Z) phân số 6n + phân số tối giản Dạng 3: Tìm tham số n để phân số phân số tối giản Cách giải: GV cần làm rõ: Điều kiện để phân số tối giản điều kiện để phân số không rút gọn Vậy ta tìm điều kiện tham số để phân số rút gọn (dạng tốn 2) Sau ta lấy giá trị khác giá trị vừa tìm tham số ta điều kiện để phân số tối giản Để giải toán ta làm theo bước: Bước 1: Giả sử phân số cho khơng phải phân số tối giản Bước 2: Tìm điều kiện để phân số phân số tối giản (Dạng 2) Bước 3: Kết luận với giá trị khác giá trị vừa tìm tham số bước phân số cho phân số tối giản Bài 7: Tìm tất số nguyên n để n − (n ≠ 1) phân số tối giản Hướng dẫn cách giải: Bước 1: Giả sử phân số cho phân số tối giản Giả sử phân số n − phân số tối giản Bước 2: Tìm điều kiện để phân số khơng phải phân số tối giản (Dạng 2) Vì số nguyên tố nên để n − (n ≠ 1) phân số rút gọn ⇒ n − 7 ⇒ n – = 7k ( k ∈ Z) ⇒ n = 7k + 1( k ∈ Z) Bước 3: Kết luận với giá trị khác giá trị vừa tìm tham số bước phân số cho phân số tối giản Vậy phân số n − (n ≠ 1) phân số tối giản n ≠ 7k + 1( k ∈ Z, k ≠ 0) Giải: Giả sử phân số n − phân số tối giản Vì số nguyên tố nên để n − (n ≠ 1) phân số rút gọn ⇒ n − 7 ⇒ n – = 7k ( k ∈ Z) ⇒ n = 7k + 1( k ∈ Z) Vậy phân số n − (n ≠ 1) phân số tối giản n ≠ 7k + 1( k ∈ Z, k ≠ 0) 13 18n + Bài : Tìm tất số nguyên n để phân số 21n + phân số tối giản Giải Gọi d ước nguyên tố chung (nếu có ) 18n + 21n + 18n + d 7(18n + 3) d 126n + 21 d ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ (126n + 42) − (126n + 21) d 21n + d 6 (21n + 7) d 126n + 42 d ⇒ 21d Vì d ước nguyên tố nên d = d = * Nếu d = 3, suy 21n +  3, vô lí * Nếu d = ⇒ 18n +3  ⇒ 4n +  ⇒ 4n – +  ⇒ 4( n - 1)  Vì hai số nguyên tố ⇒ n –  ⇒ n – = 7k ( k ∈ Z ) ⇒ n = 7k + 1( k ∈ Z ) 18n + Vậy n ≠ n = 7k + 1( k ∈ Z ) phân số 21n + * Đề xuất toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải khai thác: Bài tập 3: Tìm tất số nguyên n để phân số sau phân số tối giản a, 2n − (n ≠1) n −1 b, 4n + ( n ≠ − 2) n+2 c, 4n + 6n + ( n ≠ − 3) n +3 d, n −1 2n − 2n − Giải a Gọi d ước nguyên tố chung (nếu có) 2n – n - 2n − d  2n − d ⇒ ⇒ ⇒ ( 2n − 2) − ( 2n − ) d ⇒ 7d n − d 2n − d Vì d số nguyên tố nên d = ⇒ n − d ⇒ n – = 7k ⇒ n = 7k + (k ∈ Z) 2n − Vậy phân số n −1 phân số tối giản n ≠ 7k + (k ∈ Z; k ≠ ) b.Gọi d ước nguyên tố chung (nếu có) 4n + n + 4n + 5d 4n + d ⇒ ⇒ ⇒ ( 4n + 8) − ( 4n + 5) d ⇒ d n + 2d 4n + d Vì d số nguyên tố nên d = ⇒ n + 23 ⇒ n − + 3 ⇒ n − 13 ⇒ n – = 3k ⇒ n = 3k + 1(k ∈ Z) 4n + Vậy phân số: n + phân số tối giản n ≠ 3k + (k ∈ Z) c, Gọi d ước nguyên tố chung (nếu có) 4n2 + 6n + n +  4n + 6n + d 4n + 6n + d ⇒ ⇒ ⇒ ( 4n + 6n + 3) − ( 4n + 3n ) d ⇒ 3n + 3d 4n + 3n d n + 3d Ta có n + d ; 3n +  ⇒ 3.(n + 3) – (3n + 3) ⇒  d, mà d số nguyên tố ⇒ d = d = * Nếu d = 14 ⇒ n +  ⇒ n 3 ⇒ n = 3k (k ∈ Z ) * Nếu d = ⇒ 4n2 + 6n +  ⇒ 2, vơ lí 4n + 6n + n +3 Vậy n ≠ 3k (k ∈Z ) phân số phân số tối giản d Gọi d ước nguyên tố chung (nếu có) n – 2n2 – 2n – 2n − 2n d n −1d ⇒ ⇒ ⇒ 2n − 2n − 2n − 2n − d ⇒ d 2n − 2n − d 2n − 2n − d Mà d số nguyên tố ⇒ d = ( ) ( ) ⇒ n - 7 ⇒ n – = 7k ⇒ n = 7k + ( k∈ Z ) Vậy n ≠ 7k + ( k∈ Z ) Dạng 4: Tìm số tự nhiên nhỏ để có nhiều phân số tối giản Đây dạng khó, trừu tượng nên GV cần ý dẫn dắt cho phù hợp với đối tượng HS Cách giải: - Dạng chung phân số là: Tử (hoặc mẫu) số tự nhiên liên tiếp mẫu (hoặc tử) số tự nhiên liên tiếp có chứa tham số Bước 1: Tách phần tử (hoặc mẫu) có tham số thành số tự nhiên mẫu (hoặc tử) cộng với biểu thức chứa tham số dạng + (n + 3) (hoặc dạng + ( n + b) ) ai + ( n + b) Bước 2: Để phân số có dạng + (n + 3) (hoặc dạng ) phân số tối giản n + b phải số nguyên tố đơi (vì chúng chia hết cho ước chung d khác phân số rút gọn cho d) Bước 3: Do n số tự nhiên nhỏ nên n + b số nguyên tố nhỏ lớn số Bước 4: chọn cho n + b giá trị thích hợp tìm n Bài 9: Tìm số tự nhiên nhỏ để có nhiều phân số tối giản: n + n + n + n + 10 n + 11 ; ; ; ; Giải Viết phấn số cho dạng: ( n + 4) + ( n + 4) + ( n + 4) + ( n + 4) + ( n + 4) + ; ; ; ; 15 Để phân số phân số tối giản n + phải nguyên tố với 3; 4; 5; 6; 7; mà n số tự nhiên nhỏ nên n + số nguyên tố nhỏ lớn 7.Vậy n + = 11 ⇒ n = 14 15 16 17 18 ; ; ; ; Vậy n = 7, số cho là: 13 Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ để có nhiều phân số tối giản: 17 ; ' ; , n + n + n + 10 n + 20 Giải Viết phấn số cho dạng: 17 ; ; .; + (n + 3) + (n + 3) 17 + (n + 3) a Để phân số có dạng a + (n + 3) phân số tối giản a n + phải hai số nguyên tố (vì chúng chia hết cho ước chung d khác phân số rút gọn cho d) Suy phân số phân số tối giản n + phải nguyên tố với 5; 6; 7; .; 17; mà n số tự nhiên nhỏ nên n + số nguyên tố nhỏ lớn 17 Vậy n + = 19 ⇒ n = 16 Vậy n = 16 * Đề xuất toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải khai thác: Bài tập 4: Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau tối giản: 31 ; ' ; , n + n + 10 n + 11 n + 33 a Gợi ý: Tách phân số có dạng a + (n + 2) phân số tối giản a n + phải hai số nguyên tố ( chúng chia hết cho ước chung d khác phân số rút gọn cho d) Vậy n số tự nhiên nhỏ nguyên tố với 7; 8; 9; ; 31 nên n số nguyên tố nhỏ lớn 31 Vậy n + = 37 ⇒ n = 39 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau hoàn thành SKKN này, thân tơi tích lũy nhiều dạng tốn khó liên quan đến phân số tối giản, rút phương pháp giải dạng để có hệ thống tập phong phú giúp học sinh ôn luyện có hiệu tập dạng Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy hướng dẫn học sinh nhận biết dạng toán hướng dẫn học sinh phân tích kiến thức kiên quan, tt́m ṭi cách giải 16 góp phần nâng cao chất lượng dạy học, tạo hứng thú học tập cho học sinh, pháp huy tính tích cực chủ động học sinh đồng thời tăng cường rèn luyện khả tư cho học sinh Thông qua hệ thống tập giới thiệu, áp dụng vào giảng dạy cho học sinh, sau buổi ôn luyện (3 tiết) học sinh gặp tinh “Có vấn đề” liên quan đến phân số tối giản học sinh tìm cách giải vấn đề cách nhanh chóng Ngồi việc áp dụng SKKN giảng dạy giúp xây dựng cho học sinh thói quen lập luận, trình bày lời giải, tìm lời giải ngắn gọn, khoa học nhất, phát huy óc ðộc lập, sáng tạo học sinh.Sau tiết học, học sinh hồn thiện kiến thức phát kiến thức cần tìm hiểu, nghiên cứu Kết thúc chuyên đề, kiểm tra đánh giá định kỳ để rút kinh nghiệm đánh giá mũi nhọn, chất lượng làm học sinh nâng lên rõ rệt Kiểm tra 20 học sinh đội tuyển thời gian 45 phút với câu hỏi: Câu (4 điểm) Chứng minh với n ∈ Z phân số sau tối giản a) 2n + 3n + b) 21n + 14n + Câu (4 điểm) 21n + a) Tìm tất số nguyên n để phân số 6n + phân số chưa tối giản 8n + 193 b) Tìm tất số nguyên n để phân số 4n + phân số tối giản a 11a + 2b Câu (1,5 điểm) Cho phân số tối giản b xét xem phân số 18a + 5b có phân số tối giản khơng? Kết làm em đạt sau: Điểm – 10 8-9 7- -7 5-6 Dưới Số lượng 4 (tỉ lệ) (0,5%) (25%) (30%) (20%) (20%) ( 0%) Như tỉ lệ học sinh biết giải toán phân số tối giản nhóm học sinh đội tuyển tăng lên nhiều, đa phần tập mà tử mẫu có tham số em xác định cách giải biết lập luận Nhiều em tự tin gặp dạng toán phân số tối giản đề thi HSG toán III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Để bồi dưỡng phát huy tốt lực tự học học sinh giúp em học sinh giỏi tiếp cận kiến thức nâng cao, kiến thức khó cách thuận tiện, hứng khởi giải pháp cần làm giáo viên toán là: Một là: Xác định rõ mục chuyên đề cần bồi dưỡng 17 Hai là: Xác định rõ kiến thức bản, trọng tâm Từ tổ chức, dẫn dắt học sinh lĩnh hội kiến thức Đồng thời lường trước khó khăn học sinh mắc phải Ba là: Không áp đặt cho học sinh kiến thức sẵn có mà phải hình dung yêu cầu mức độ khác nhóm học sinh Để đảm bảo tính vừa sức cho học sinh làm việc nỗ lực Muốn phải chuẩn bị tốt đồ dung dạy học: bảng phụ, phiếu học tập…Ln tạo tình có vấn đề” cho học sinh có hứng thú học tập Bốn là: Khi giải tập khó phải tổ chức hoạt động học tập để phân tích giúp học sinh tiếp cận kiến thức từ dễ đến khó, giản đơn đến phức tạp Yêu cầu học sinh giải nhiều phương án lựa chọn phương án tốt Sau giáo viên giới thiệu phương án tối ưu nhất, gọn nhất, nhanh gặp sai lầm tình tốn làm mẫu cho HS Năm là: Phải tổng hợp, hệ thống hóa xác định mối liên hệ dạng toán, giúp học sinh phân biệt định hướng kiến thức học Chọn tập (số lượng nội dung) phù hợp với quy luật từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp, phù hợp với đối tượng học sinh yêu cầu sống Kiến nghị Qua thực tế giảng dạy rút kinh nghiệm bước đầu, tơi có vài kiến nghị đề xuất với cấp quản lí giáo dục nói chung BGH Trường THCS Nguyễn Chích nói riêng sau: Ln quan tâm tạo điều kiện cho giáo viên tổ thường xuyên trao đổi, rút kinh nghiệm dạy chuyên đề khó q trình dạy học bồi dưỡng HSG áp dụng, thử nghiệm PPDH nhiều hình thức Tôi mong muốn nhà trường cấp quản lí giáo dục quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để tơi mở rộng nghiên cứu, áp dụng, thử nghiệm kinh nghiệm cho lớp học khác, khoá học khác, khai thác dạng tốn khó khác chương trình tốn học phổ thơng, góp phần tồn trường, tồn ngành tồn xã hội nâng cao chất lượng hiệu dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 09 tháng năm 2019 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN 18 Nguyễn Thị Minh Hải TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách Bài tập tốn tập - Tơn Thân (Chủ biên) – Phạm Gia Đức Dạng tập: Chứng tỏ phân số phân số tối giản Sách Các dạng toán phương pháp giải toán tập - Tơn Thân (Chủ biên) – Vũ Hữu Bình – Nguyễn Vũ Thanh – Bùi Văn Tuyên Dạng tập: Chứng tỏ phân số phân số tối giản Sách Các chuyên đề chọn lọc toán tập - Tôn Thân (Chủ biên – Bùi Văn Tuyên Dạng tập: Chứng tỏ phân số phân số tối giản; Tìm điều kiện tham số để phân số tối giản phân số phân số tối giản Sách Nâng cao phát triển tốn tập – Vũ Hữu Bình Dạng tập: Chứng tỏ phân số phân số tối giản; Tìm điều kiện tham số để phân số tối giản phân số phân số tối giản Sách Tài liệu chuyên toán trung học sở toán tập một: Số học – Vũ Hữu Bình (Chủ biên) – Nguyễn Tam Sơn Dạng tập: Chứng tỏ phân số phân số tối giản; Tìm điều kiện tham số để phân số tối giản phân số phân số tối giản Sách Toán nâng cao chuyên đề toán – Vũ Dương Thụy (Chủ biên) – Nguyễn Ngọc Đạm Dạng tập: Chứng tỏ phân số phân số tối giản; Tìm điều kiện tham số để phân số tối giản phân số phân số tối giản 19 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Minh Hải Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác:Trường THCS Nguyễn Chích TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) (A, B, C) Giúp HS giỏi lớp trường THCS Nguyễn Chích áp dụng định lí Vi ét giải tốn Huyện A 2013 Rèn luyện kỹ giải toán cách lập phương trình thơng qua tiết 53 – 54: luyện tập đại số lớp cho học sinh trường THCS Nguyễn Chích Huyện B 2016 20 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT HUYỆN ĐƠNG SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÂN SỐ TỐI GIẢN DẠY HỌC SINH ĐỘI TUYỂN TOÁN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH NĂM HỌC 2018 - 2019 Người thực hiện: Nguyễn Thị Minh Hải Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: Trường THCS Nguyễn Chích Huyện Đơng Sơn, tỉnh Thanh Hóa SKKN thuộc mơn: Tốn 21 THANH HỐ NĂM 2019 ... tham số bước phân số cho phân số tối giản Bài 7: Tìm tất số nguyên n để n − (n ≠ 1) phân số tối giản Hướng dẫn cách giải: Bước 1: Giả sử phân số cho phân số tối giản Giả sử phân số n − phân số tối. .. Chứng tỏ phân số phân số tối giản; Tìm điều kiện tham số để phân số tối giản phân số phân số tối giản Sách Tài liệu chuyên toán trung học sở toán tập một: Số học – Vũ Hữu Bình (Chủ biên) – Nguyễn. .. tham số bước phân số cho phân số tối giản Vậy phân số n − (n ≠ 1) phân số tối giản n ≠ 7k + 1( k ∈ Z, k ≠ 0) Giải: Giả sử phân số n − phân số tối giản Vì số nguyên tố nên để n − (n ≠ 1) phân số