Một số bài toán phân số tối giản dạt học sinh đội tuyển toán 6 trường THCS nguyễn chích

Để giúp học sinh rèn luyện tư duy logic với hệ thống bài tập phong phú, đadạng cũng như khắc phục những khó khăn trên; tôi đã học hỏi, rút kinh nghiệm từ những đồng nghiệp đã có nhiều nă

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

16

Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng

SKKN Ngành GD huyện đánh giá đạt từ loại C

20

I MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Năm học 2018 – 2019 trường THCS Nguyễn Chích tiếp tục thực hiện đề

án xây dựng trường trọng điểm chất lượng cao giai đoạn 2018 – 2020 Với sứmạng bồi dưỡng học sinh giỏi và làm công tác dạy đội tuyển học sinh giỏi cấptỉnh hàng năm cho huyện Đông Sơn, nhà trường tiếp tục đăng ký thực hiện môhình kiểu mẫu với chủ đề: “Xây dựng nhà giáo có năng lực bồi dưỡng học sinhgiỏi đứng tốp đầu toàn tỉnh” Bản thân tôi được giao nhiệm vụ phụ trách độituyển toán 6, nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi để tham gia kỳ thi giao lưu HSGNguyễn Chích do phòng giáo dục tổ chức vào trung tuần tháng 4/2019

Trong quá trình trực tiếp ôn luyện và bồi dưỡng cho học sinh lớp 6, tôinhận thấy phần kiến thức phân số tối giản là chủ đề nâng cao rất khó, rất mới mẻvới học sinh Trong các tài liệu tham khảo chưa có chủ đề riêng nào nghiên cứuphần này Khi giảng dạy chủ đề này giáo viên phải lượm lặt rất nhiều bài tậpnhỏ lẻ từ các tài liệu khác nhau, được giới thiệu rất ít trong mỗi tài liệu (một sốbài) Để giúp học sinh rèn luyện tư duy logic với hệ thống bài tập phong phú, đadạng cũng như khắc phục những khó khăn trên; tôi đã học hỏi, rút kinh nghiệm

từ những đồng nghiệp đã có nhiều năm làm công tác bồi dưỡng HSG và sưu tầm

trong các tài liệu có sẵn để hoàn thành SKKN đề tài: “Một số bài toán phân số tối giản dạy học sinh đội tuyển toán 6 trường THCS Nguyễn Chích năm học

2018 - 2019” để làm tư liệu giảng dạy cũng như tài liệu lưu hành nội bộ cho các

đồng nghiệp sau này

2 Mục đích nghiên cứu:

Thông qua việc tìm hiểu, nghiên cứu và áp dụng đề tài để tìm ra phươngpháp bồi dưỡng hiệu quả và phát huy năng lực tự học toán cho học sinh, qua đógiúp các em nắm chắc kiến thức một cách chủ động, sáng tạo Tạo niềm vui,hứng thú học tập cho các em Bước đầu hình thành thói quen lao động tích cựcsáng tạo, khoa học của con người lao động trong thời đại mới Kích thích vàkhơi dậy lòng say mê nghiên cứu khoa học

Ngoài ra mục đích nghiên cứu của đề tài còn định hướng cho học sinh biếtkhai thác các bài toán cùng dạng và giúp các em có thể giải các bài toán tương

tự nhằm phát huy khả năng sáng tạo của học sinh theo hướng tích cực hóa cáchoạt động, từ đó rèn luyện cho các em khả năng tự học, tự tin hơn và yêu thích

bộ môn toán hơn

3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán thuộc phạm vi chương trình lớp 6phù hợp với các đối tượng học sinh giỏi trong khi học loại toán liên quan đếnphân số tối giản, phân số không tối giản (phân số rút gọn được) thông qua một

số bài toán điển hình tại các giờ học luyện tập, ôn tập, bồi dưỡng học sinh giỏi

4 Phương pháp nghiên cứu

- Trò chuyện, trao đổi với học sinh, đồng nghiệp

- Phân tích, tổng hợp kết quả nhận thức của học sinh.

- Phương pháp thực nghiệm

- Nghiên cứu tài liệu tham khảo

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Tất cả mọi dạng toán đều đòi hỏi HS nắm vững kiến thức cơ bản Phân tíchquan hệ giữa các kiến thức đó và vận dụng phù hợp, linh hoạt vào các tìnhhuống giải toán cụ thể

Việc hướng dẫn HS đi từ ôn tập kiến thức cơ bản để giải quyết các bài toán

cơ bản sau đó nâng dần lên theo mức độ và khả năng tiếp thu của học sinh làhoàn toàn phù hợp với quá trình nhận thức (từ thấp đến cao, từ đơn giản đếnphức tạp, từ cụ thể đến trừu tượng)

Trong học tập nói chung, học toán nói riêng nếu người học được tự mìnhxây dựng hệ thống kiến thức cho mỗi chủ đề và khai thác ứng dụng các kiếnthức đó vào thực tế giải toán thì không chỉ giúp người học nhớ lâu tránh đượclối tiếp thu thụ động mà còn tạo được thói quen làm việc năng động, tích cực,sáng tạo đồng thời góp phần hướng tới mục tiêu đổi mới phương pháp dạy họcnhằm tích cực hóa hoạt động học tập của HS

Đối tượng HS lớp 6 thuộc lứa tuổi thích khám phá, thích thể hiện khả năngsáng tạo tìm tòi của bản thân nên việc thực hiện đề tài cũng có nhiều thuận lợinhất định

Năng lực tự học của học sinh là khả năng tự khám phá, tự phát hiện, tựtìm đến kiến thức mới thông qua các hoạt động học tập do giáo viên tổ chứchoặc trao đổi với bạn bè

Năng lực tự học của học sinh còn thể hiện qua tính tích cực chủ động sángtạo của người học, khả năng nhận biết các tình huống có vấn đề và giải quyếtđược các tình huống ấy Qua đó tự đánh giá được nhận thức của mình về mộtnội dung, một kiến thức hay một lĩnh vực nào đó Người học không chỉ biết làmtheo, sao chép những cái đúng mà phải nghiên cứu tìm ra cái đúng, đồng thờivận dụng được cái đúng một cách sáng tạo vào cuộc sống thực tế

Năng lực tự học của học sinh còn được thể hiện qua các thao tác tư duyphân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa vấn đề và khả năng giải quyếtvấn đề một cách nhanh gọn, độc đáo Một học sinh có năng lực tự học tốt sẽ cónhiều kết quả cao trong học tập, khả năng thích ứng nhanh với cuộc sống đầybiến động; luôn đặt cho mình các câu hỏi trước mọi vấn đề khi hành động: “Làmthế nào tốt hơn?”, “Có cách nào tốt hơn không?” hoặc “Làm như thế có đượckhông?”

Chính vì vậy việc bồi dưỡng và phát huy khả năng tự học cho học sinh là rất cần thiết trong quá trình dạy học Trong đó, giáo viên có vai trò quan trọng

nhất Giáo viên không chỉ trực tiếp bồi dưỡng mà còn là người phát huy khả năng tự học của học sinh thông qua các bài giảng của mình.

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Với học sinh:

Bài toán về phân số tối giản là một trong những dạng toán có nhiều cách sửdụng câu hỏi khác nhau với cùng một yêu cầu Mặt khác trong thực tế, thườngthì các em HS lớp 6 chỉ mới làm quen và dừng lại ở dạng toán đơn giản, tườngminh về phân số tối giản Vì thế khi bắt gặp những bài toán mà phân số cho dướidạng tử và mẫu là những biểu thức chứa chữ (tham số) với yêu cầu chứng minhphân số đó là phân số tối giản hoặc tìm giá trị thích hợp của tham số để phân số

đã cho trở thành phân số tối giản thì đa số các em gặp phải khó khăn, lúng túng

do chưa nắm vững bản chất của dạng toán, thiếu kinh nghiệm trong việc huyđộng lượng kiến thức liên quan cũng như khả năng ngôn ngữ hạn chế và chưaquen với việc sử dụng các lập luận có căn cứ

Trước khi sử dụng SKKN vào giảng dạy học sinh giỏi, tôi đã dạy HS giảimột số bài toán về phân số tối giản có trong sách bài tập toán 6 tập 2 (Tôn Thânchủ biên), kiểm tra 20 học sinh đội tuyển trong thời gian 45 phút với 3 câu hỏi:

Câu 1 (4,5 điểm) Trong các phân số sau phân số nào là phân số tối giản, phân

số nào không là phân số tối giản?





n n

Câu 3.(1,5 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên n để 1

7



n (n khác 1) là phân số tối giản

Kết quả làm bài của các em đạt được như sau:

Số lượng

(tỉ lệ)

0(0%)

2(10%)

5(25%)

4(20%)

5(25%)

6(30%)Như vậy là tỉ lệ học sinh biết giải toán phân số tối giản của nhóm học sinhđội tuyển còn rất thấp, đa phần các bài tập mà tử hoặc mẫu có tham số các emđều còn đang lung túng khi xác định cách giải cũng như cách lập luận Nhiều emchưa thể định hướng được cách giải loại toán này, vì vậy các em thiếu tự tin khigặp dạng toán phân số tối giản

2.2 Với giáo viên

Trên thực tế, chương trình SGK hiện hành chỉ đưa ra khái niệm ban đầu vềphân số tối giản trong một thời lượng hạn hẹp Sách bài tập và các nguồn sáchtham khảo chỉ đưa ra một số ít bài tập khác nhau và lời giải chưa cụ thể cho mỗibài và chưa có sự khái quát phân loại cũng như không định hướng cụ thể phạm

vi kiến thức liên quan Chưa có sách tham khảo nào hoặc đề tài sáng kiến kinhnghiệm nào giới thiệu cách giải của từng dạng toán liên quan đến phân số tốigiản Vì vậy trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa thực sự coi trọng, quantâm khai thác, thiếu sự đầu tư nghiên cứu và cũng ít dành thời gian để rèn luyệndạng toán về phân số tối giản cho các em

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

3.1 Giúp HS nắm vững kiến thức cơ bản

Trước hết GV giúp HS nắm vững các kiến thức cơ bản về phân số và phân số tối giản:

- Mọi phân số đều có thể đưa về dạng tối giản

- Dạng tối giản của một phân số là duy nhất

3.2 Bài tập áp dụng và hướng dẫn khai thác

Dạng 1: Chứng minh phân số với tham số n là phân số tối giản

Cách giải:

GV cần làm rõ với HS:

- Muốn chứng minh một phân số tối giản thì cần chỉ ra tử và mẫu của phân số đóchỉ có ước chung là 1 và -1 Nếu phân số có tử và mẫu là số nguyên dương thìchỉ ra ƯCLN của tử và mẫu bằng 1

- Một cách chứng minh phân số mà có tử hoặc mẫu chứa tham số là phân số tốigiản:

Bước 1: Gọi d ước chung (hoặc ƯCLN nếu tử và mẫu là số nguyên dương) của

tử và mẫu của phân số đã cho

Bước 2: Suy ra tử chia hết cho d, mẫu chia hết cho d

Bước 3: Từ điều kiện cả tử và mẫu cùng chia hết cho d, biến đổi để khử tham số

và tìm được d là ước của 1 hoặc ước của -1

HS cần nắm các tính chất chia hết của tổng, tích sau để khử tham số ở

; ,

, (

;b m ab m a b mZ m

m

a   ; ka qbma,b,m,k,qZ;m0

m b m

Bước 4: Sau khi khử n thì d chỉ có thể là ước của 1 hoặc -1 Vậy kết luận phân

số đã cho là phân số tối giản

* Nhận xét: Muốn khử n từ điều kiện tử và mẫu cùng chia hết cho d ở bước 2, tathường phải nhân biểu thức của tử và mẫu với một thừa số phụ thích hợp khác 0sao cho các số hạng chứa n phải giống nhau, sau đó ta trừ hai biểu thức cho nhau(thường lấy biểu thức lớn hơn trừ biểu thức nhỏ hơn) Muốn thế ta phân tích sốhạng chứa tham số ở tử và mẫu ra thừa số, tìm thừa số riêng Sau đó nhân tử vớithừa số riêng vừa tìm ở số hạng chứa n của mẫu, nhân mẫu với thừa số riêng vừatìm ở số hạng chứa n của tử Khi đó các số hạng chứa n giống nhau, thực hiệnphép trừ sẽ khử được n

Bài 1: Chứng minh rằng nếu n  N thì phân số 2 3

Hướng dẫn tìm lời giải:

Bước 1: Nếu n  N thì n +1 và 2n + 3 là số nguyên dương

Gọi d là ước chung lớn nhất của n + 1 và 2n + 3

2

) 1 ( 1

d n

d n

2

) 3 ( 2

d n d

2 3 2 3

2

2 2 3

là phân số tối giản với n là số tự nhiên

tối giản, do n+1 và 2n + 3 là hai

số tự nhiên nên bài toán này cũng có thể phát biểu dạng khác: chứng minh với n

 N thì n+1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau

15 3 14

d n

là phân số tối giản với mọi số nguyên n

Bài 3: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi n Z, :







n n

n n

Giải:

a, Gọi d là ước chung của n2 + 1 và n

d n

d n

1

2

2 2

Vậy cần nhân mẫu với n và tử giữ nguyên (nhân 1) thì sẽ khử được n

b, Gọi d là ước chung của 7n + 1 và 7n2 + n + 1

d n n

d n n d

1 7

1 7

7 1

d n

30 2 30 1

30

2 30 1

là phân số tối giản

d, Gọi d là ước chung của n3 + 2n và n4 + 3n2 + 1

n n  n n  d n d d

n n

d n n d n

n

d n

1 3 1

3

2 1

3

2 4

2 4

Từ:

d d

n

d n

n





 1 1

là phân số tối giản

* Nhận xét: Khi số hạng chứa tham số ở tử hoặc mẫu có số mũ khác nhau lớnhơn 1, Ta khử dần từ số hạng có số mũ lớn nhất và phải thực hiện phép khửnhiều lần mới được kết quả (khử hết số hạng chứa tham số

Trên đây là các bài toán của cùng một dạng được đưa ra và hướng dẫn HSlần lượt khai thác từ mức độ thấp đến cao dần phù hợp với trình tự nhận thứchọc sinh, vừa làm cho học sinh thích ứng dần với dạng toán vừa gây được sựthích thú, lôi cuốn kích thích sự tìm tòi đồng thời cũng là một cách khai thác sâuhơn bài toán chứng minh phân số tối giản và rèn luyện được khả năng diễn đạtcho các em

Ngoài ra, cũng cần để ý đến một số sai lầm mà các em hay mắc phải đểgiúp các em tháo gỡ Chẳng hạn khi gặp bài toán sau:

Bài 4: Cho a là số tự nhiên chia 4 dư 3 Phân số 2

a

a  có là PSTG không?

Phân tích: Nếu ƯCLN (a; a + 2) = d thì a  d và a + 2  d do đó 2  d nên

d = 1 hoặc d = 2 Đến đây, sai lầm mà HS mắc phải là quên yếu tố a là số tựnhiên chia 4 dư 3 Vì thế khi tìm được d = 1 hoặc d = 2 HS đã vội vàng kết luận2

a

a  không phải là phân số tối giản

Giải:

Gọi ƯCLN (a; a+2) = d thì a  d và a +2  d do đó 2  d nên d = 1 hoặc d = 2

Vì a là số tự nhiên chia 4 dư 3 nên a là số lẻ nên d chỉ có thể bằng 1

Vậy phân số 2

a

a  là phân số tối giản

Sau khi giải các bài toán dạng 1, GV cần chốt lại các hướng khai thác từbài toán ban đầu thành các bài toán mới cùng dạng và cho HS rèn luyện giải vàkhai thác thông qua hệ thống bài tập đề xuất

* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác:

Bài tập 1: Chứng minh với n là số tự nhiên các phân số sau tối giản

d n n d

2

2 )





n n

n

là phân số tối giản

b Gọi d là ước chung của 3n + 2 và 5n + 3

d n

d n

15 10 15 9

15

10 15 3





n

n

là phân số tối giản

c Gọi d là ước chung của 3n + 4 và 5n + 7

15 21 15 20 1 1 21

15

20 15 7

d n





n

n

là phân số tối giản với mọi số nguyên n

d Gọi d là ước chung của n – 5 và 3n – 14

14 3

15 3 14

d n

là phân số tối giản với mọi số nguyên n

Khi HS đã nắm bắt một cách chắc chắn các dạng toán điển hình, tôi mạnhdạn hướng dẫn HS khai thác các dạng toán liên quan

Dạng 2: Tìm tham số n để phân số không phải là phân số tối giản(phân số rút gọn được).

Cách giải:

GV cần làm rõ: Điều kiện để phân số không phải là phân số tối giản cũng là điềukiện để phân số rút gọn được Một phân số chỉ có thể rút gọn được khi tử vàmẫu có ước chung khác 1 Muốn vậy ta tìm các ước nguyên tố chung của tử vàmẫu Lập luận để tìm quan hệ chia hết giữa tham số với ước nguyên tố vừa t́m

Từ đó sẽ suy ra điều kiện của tham số để phân số đã cho không tối giản (rút gọnđược)

Để giải bài toán này ta làm theo các bước:

Bước 1: Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của tử và mẫu

Bước 2: Suy ra tử và mẫu chia hết cho d

Bước 3: Khử tham số ở bước 2, suy ra d là ước nguyên tố của một số nguyên.Bước 4: Lập luận tìm quan hệ chia hết giữa tham số với giá trị của d (là sốnguyên tố) ở bước 3

Bước 5: Từ quan hệ chia hết của tham số và ước nguyên tố của tử và mẫu ởbước 4, tìm được điều kiện của tham số để phân số đã cho tối giản

Chú ý:

Nếu n chia hết cho d thì n có dạng: n = kd ( k  Z)

Nếu n – b chia hết cho d ( 0 < b < d, b  N*) thì n có dạng: n = kd + b

Bài 5: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số 2 1

6



n không phải là phân số tốigiản

Hướng dẫn tìm lời giải:

Bước 1: Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của 6 và 2n+1

Bước 2: Suy ra tử và mẫu chia hết cho d

Vậy n = 3k + 1 (k  Z) thì phân số 2 1

6



n không phải là phân số tối giản

* Nhận xét: Ở bài giải trên ta đã dùng cách tách:

Nếu an + b chia hết cho d thì tách b = -qa + md ( q, m Z ), thông thường a là sốnguyên tố cùng nhau với d Ta sẽ biến đổi được:

an + b = an - qa + md  d  a(n - q )  d , vì (a, d) = 1 suy ra n - q  d

không phải là phân sốtối giản

Hướng dẫn tìm lời giải:

Bước 1: Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của 3n2 +2n+3 và 2n+1Bước 2: Suy ra tử và mẫu chia hết cho d

n



 1

2

3 2

n n

d n n d

n

n

d n

6

6 4 6 2

3 2

d n

d n

d n

12 2 1

n n

d n n d

n n

d n n d

n

d n

6

6 4 6 2

3 2 3 1

2

3 2

không phải là phân số tối giản

* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác:

Bài tập 2: Tìm tất cả các số nguyên n để các phân số sau không là phân số tối

giản

2

5 4 , 1

3

20 ,





n b n

a

c 6 4

3 21





n n

n không phải là phân số tối giản

b Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của 4n + 5 và n + 2

 n   n  d d d

n

d n d

4 8 4 8

4

5 4 2





n

n

không phải là phân số tối giản

c Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của 21n + 3 và 6n + 4

d n

d n d

42 28 42 28

42

6 42 4