Phần III: Hàm số liên tục

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số" Chủ đề 1: Hàm số liên tục Chủ đề 2: Ứng dụng tính liên tục của hàm số giải phương trình

Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN III: HM S LIấN TC Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 1 1 Phần III: Hàm số liên tục Phần III hàm số liên tục mở đầu 1. Hàm số liên tục tại một điểm 1.1. Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b). Hàm số f(x) đợc gọi là liên tục tại điểm x 0 (a, b) nếu: )x(flim 0 xx = f(x 0 ) Nếu tại điểm x 0 hàm số f(x) không liên tục, thì đợc gọi là gián đoạn tại x 0 và điểm x 0 đợc gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x). Chú ý. Hàm số f(x) đợc gọi là liên tục tại điểm x 0 nếu ba điều kiện sau đợc đồng thời thoả mãn: (i) f(x) xác định tại x 0 . (ii) )x(flim 0 xx tồn tại. (iii) )x(flim 0 xx = f(x 0 ) Hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x 0 nếu một trong ba điều kiện không đợc thoả mãn. Chú ý. Nếu sử dụng giới hạn một phía thì: " )x(flim 0 xx tồn tại và )x(flim 0 xx =f(x 0 ) - gọi là liên tục trái tại x 0 , )x(flim 0 xx + tồn tại và )x(flim 0 xx + =f(x 0 ) - gọi là liên tục phải tại x 0 ." Hàm số liên tục tại điểm x 0 )x(flim 0 xx + = )x(flim 0 xx =f(x 0 ). 1.2. Đặc trng khác của tính liên tục tại một điểm 1.2.1. Số gia đối số và số gia hàm số Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b). Giả sử x O và x(x x O ) là hai phần tử của (a; b). - Hiệu x - x O , ký hiệu là x (đọc là đenta x), đợc gọi là số gia của đối số tại điểm x O . Ta có: x = x - x O . Từ đó x = x O + x. - Hiệu y-y O = f(x) - f(x O ), kí hiệu là y, đợc gọi là số gia tơng ứng của hàm số tại điểm x O . Ta có: y = y - y O - f(x) - f(x O ) = f(x O + x) - f(x O ). 1.2.2. Đặc trng Dùng khái niệm số gia, ta có thể đặc trng tính liên tục của hàm số y=f(x) tại điểm x O nh sau: Định lí 1. Một hàm số y = f(x), xác định trên (a; b), là liên tục tại x O (a; b) nếu và chỉ nếu: ylim 0x =0. Chứng minh. 2 Chủ đề 1: Hàm số liên tục Thật vậy, ta có: )x(flim 0 xx = f(x O ) 0 xx lim (f(x) - f(x O )) =0 ylim 0x = 0. 2. Hàm số liên tục trên một khoảng 2.1. Định nghĩa - Hàm số f(x) đợc gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mỗi điểm của khoảng đó. - Hàm số f(x) đợc gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó Liên tục trong khoảng (a; b), )x(flim ax + =f(a) (liên tục bên phải tại điểm a), )x(flim bx =f(b) (liên tục bên trái tại điểm b). Chú ý. 1. Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một "đờng liền" trên khoảng đó. 2. Khi ta nói hàm số y=f(x) liên tục mà không chỉ ra trên khoảng nào thì có nghĩa là hàm số liên tục trên tập xác định của nó. 2.2. Các định lí về hàm số liên tục Định lí 2. Tổng, hiệu, tích, thơng (với mẫu khác 0) của các hàm số liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó. Định lí 3. Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ, hàm số lợng giác là liên tục trên tập xác định của chúng. Định lí 4. Nếu hàm số f(x) liên tục và dơng khi x=a thì nó dơng trên một khoảng nào đó chứa điểm a. Định lí 5. Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b], thì nó đạt đợc giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó. Giải thích. Tồn tại ít nhất một điểm x 1 [a, b] và một điểm x 2 [a, b] sao cho với mọi x[a, b] ta có: f(x 1 )f(x)f(x 2 ). Khi đó: - Đặt m= f(x 1 ) thì m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a, b]. - Đặt M= f(x 2 ) thì M là giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [a, b]. Với mọi giá trị trung gian L giữa m và M, tức là sao cho mLM, tồn tại ít nhất một điểm c[a, b] sao cho f(c)=L. Hệ quả. - Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a)f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm x 0 (a, b) sao cho f(x 0 )=0. 3 y m M a b x 1 x 2 x L O c 0 c 1 c 2 c 3 c 4 Phần III: Hàm số liên tục - Nới cách khác: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a)f(b)<0 thì phơng trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a, b). 4 Chủ đề 1: Hàm số liên tục chủ đề 1 hàm số liên tục II. Kiến thức cơ bản 1. Hàm số liên tục tại một điểm Bài toán 1. Cho hàm số f(x)= = 02 01 xxkhi)x(f xxkhi)x(f . Xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x 0 . phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Tính )x(flim 0 xx = )x(flim 1 xx 0 =L. Bớc 2 : Tính f(x 0 )= f 2 (x 0 ). Bớc 3 : Đánh giá hoặc giải phơng trình L= f 2 (x 0 ), từ đó đa ra kết luận. Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 0 =1: f(x)= =+ 1xkhiax 1xkhi 1x 1x 2 . Giải. Hàm số xác định với mọi xR. Ta có: )x(flim 1x = 1x lim 1x 1x 2 = 1x lim (x+1)=2 & f(1)=a+1. Vậy: Nếu a=1 thì f(1)=2= )x(flim 1x , do đó hàm số liên tục tại điểm x 0 =1. Nếu a1 thì f(1) 2= )x(flim 1x , do đó hàm số gián đoạn tại điểm x 0 =1. Bài toán 2. Cho hàm số f(x)= < 02 01 xxkhi)x(f xxkhi)x(f . Xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x 0 . phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: 5 Phần III: Hàm số liên tục Bớc 1 : Tính f(x 0 )= f 2 (x 0 ). Bớc 2 : ( Liên tục trái ) Tính )x(flim 0 xx = )x(flim 1 xx 0 =L 1 . Đánh giá hoặc giải phơng trình L 1 =f 2 (x 0 ), từ đó đa ra lời kết luận về liên tục trái. Bớc 3 : ( Liên tục phải ) Tính )x(flim 0 xx + = )x(flim 2 xx 0 + =L 2 . Đánh giá hoặc giải phơng trình L 2 =f 2 (x 0 ), từ đó đa ra lời kết luận về liên tục phải. Bớc 4 : Đánh giá hoặc giải phơng trình L 1 =L 2 , từ đó đa ra lời kết luận. Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 0 =0: f(x)= + <+ 0xkhi1x 0xkhiax 2 . Giải. Hàm số xác định với mọi xR. Ta có: + 0x lim f(x)= + 0x lim (x 2 +1)=1 và 0x lim f(x)= 0x lim (x+a)=a. f(0)=1. Vậy: - Nếu a=1 thì + 0x lim f(x) = 0x lim f(x)=f(0)=1 hàm số liên tục tại x 0 =1. - Nếu a1 thì + 0x lim f(x) 0x lim f(x) hàm số gián đoạn tại x 0 =1. 2. Hàm số liên tục trên một khoảng Bài toán 3. Xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục trên khoảng I phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn Bớc 2 : Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao Bớc 3 : Kết luận. Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số sau trên toàn trục số: f(x)= + <+ 1xkhi1ax 1xkhixx 2 . Giải. Hàm số xác định với mọi xR. 1. Khi x<1, ta có f(x)=x 2 +x nên hàm số liên tục với x<1. 2. Khi x>1, ta có f(x)=ax+1 nên hàm số liên tục với x>1. 6 Chủ đề 1: Hàm số liên tục 3. Khi x=1, ta có: 1x lim f(x) = 1x lim (x 2 +x)=2 và + 1x lim f(x) = + 1x lim (ax+1)=a+1. f(1)=a+1. Do đó: Nếu a=1 thì 1x lim f(x) = + 1x lim f(x)=f(1)=2, do đó hàm số liên tục tại x 0 =1. Nếu a1 thì + 0x lim f(x) 0x lim f(x), do đó hàm số gián đoạn tại x 0 =1. Kết luận: - Nếu a=1, hàm số liên tục trên toàn trục số. - Nếu a1, hàm số liên tục trên (-, 1)(1,+) và gián đoạn tại x 0 =1. III.Các bài toán chọn lọc Bài 1. (ĐH Huế/Khối A-99): Chứng tỏ rằng hàm số sau liên tục trên R: f(x)= = 0xkhi0 0xkhi)x/1cos(x 2 . bài giải Hàm số f(x) liên tục với mọi x0. Xét tính liên tục của f(x) tại điểm x=0. Ta có: |xcos 2 x 1 |=|x|.|cos 2 x 1 ||x| -|x| xcos 2 x 1 |x| 0x lim ( xcos 2 x 1 ) =0 Mặt khác f(0)=0. Do đó, 0x lim f(x)=f(0) hàm số liên tục tại điểm x=0. Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số thực R. Bài 2. Cho hàm số f(x)= = + 1xkhia 1xkhi |1x| 2x3x 2 . a. Tìm a để f(x) liên tục trái tại điểm x=1. b. Tìm a để f(x) liên tục phải tại điểm x=1. c. Tìm a để f(x) liên tục trên R. bài giải 7 Phần III: Hàm số liên tục Ta có: f(x)= < = > 1xkhix2 1xkhia 1xkhi2x . a Để f(x) liên tục trái tại điểm x=1 )x(flim 1x tồn tại và )x(flim 1x =f(1). Ta có: )x(flim 1x = 1x lim (2-x)=1 và f(1)=a Vậy, điều kiện là a=1. b Để f(x) liên tục phải tại điểm x=1 )x(flim 1x + tồn tại và )x(flim 1x + =f(1). Ta có: )x(flim 1x + = + 1x lim (x-2)=-1 và f(1)=a Vậy, điều kiện là a=-1. c Hàm số liên tục trên R trớc hết phải có )x(flim 1x = )x(flim 1x + 1=-1 (mâu thuẫn). Vậy, không tồn tại a để hàm số liên tục trên R. Bài 3. (ĐH Huế/Khối A&B-97): Cho f là hàm số liên tục trên [0, +) mà f(t)=f(1/t) t>0. Chứng tỏ rằng hàm số g(x) cho bởi công thức g(x)= = < 2/xkhi)0(f 2/x0khi)tgx(f cũng liên tục trên [0, 2 ]. bài giải Hàm số g(x) liên tục trên khoảng (0, 2 ). Xét tính liên tục phải của g tại điểm x=0. Giả sử (x n )(0, 2 ) mà n lim x n =0, ta xét: n lim g(x n )= n lim f(tgx n )=f(tg0)=g(0) Tức là hàm số liên tục phải tại x=0. Xét tính liên tục trái của g tại điểm x= 2 . Giả sử (x n )(0, 2 ) mà n lim x n = 2 , ta xét: 8 Chủ đề 1: Hàm số liên tục n lim g(x n )= n lim f(tgx n )= n lim f( n tgx 1 )= n lim f(cotgx n ) =f(cotg0)=f(0)=g( 2 ) Tức là hàm số liên tục trái tại x= 2 . Vậy hàm số liên tục trên [0, 2 ]. IV.Bài tập đề nghị Bài tập 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số: a. f(x)= =+ + 1xkhiax3 1xkhi 1x 2x2xx 23 . b. f(x)= = = 3xkhib 0x3xkhi )3x(x 6xx 0xkhia 2 2 . c. f(x)= ++ <+ 0xkhi1xx 0xkhia2x 2 . d. f(x)= > 1|x|khi|1x| 1|x|khi 2 x cos . Bài tập 2 Cho hàm số f(x)= >+ 2/|x|khibax 2/|x|khixsin . Xác định a, b để hàm số liên tục trên toàn trục số. Bài tập 3 Tổng hai hàm f(x)+g(x) có nhất thiết phải gián đoạn tại điểm x 0 đã cho hay không, nếu: a. Hàm f(x) liên tục còn hàm g(x) gián đoạn tại x=x 0 . b. Cả hai hàm f(x) và g(x) đều gián đoạn tại x=x 0 . Nêu các ví dụ tơng ứng. Bài tập 4 Có thể khẳn định rằng bình phơng của một hàm gián đoạn cũng là một hàm gián đoạn hay không ? Tìm ví dụ minh hoạ. Bài tập 5 Xét tính liên tục của hàm hợp y=f(u) trong đó u=g(x) nếu: 9 PhÇn III: Hµm sè liªn tôc f(u)=    ≤− > 0ukhi1u 0ukhiu vµ g(x)=    ≤− > 0|x|khi1x 0|x|khix Bµi tËp 6 CMR nÕu f(x) lµ hµm liªn tôc th× F(x)=|f(x)| còng lµ mét hµm liªn tôc. 10 . 1x 1x 2 = 1x lim (x +1) =2 & f (1) =a +1. Vậy: Nếu a =1 thì f (1) =2= )x(flim 1x , do đó hàm số liên tục tại điểm x 0 =1. Nếu a1 thì f (1) 2= )x(flim 1x. với x> ;1. 6 Chủ đề 1: Hàm số liên tục 3. Khi x =1, ta có: 1x lim f(x) = 1x lim (x 2 +x)=2 và + 1x lim f(x) = + 1x lim (ax +1) =a +1. f (1) =a +1. Do đó: