Bài giảng: Đại số tuyến tính và Hình học giải tích

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HY ĐỨC MẠNH Bài giảng: Đại số tuyến tính Hình học giải tích Tài liệu học tập cho sinh viên Học viện KTQS Lưu hành nội Hà Nội — 2014 Mục lục Chương Lời nói đầu Những kí hiệu Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính 1.1 11 Logic, tập hợp, ánh xạ cấu trúc đại số 11 1.1.1 Logic mệnh đề vị từ 11 1.1.2 Tập hợp 15 1.1.3 Ánh xạ Lực lượng tập hợp 19 1.1.4 Sơ lược cấu trúc đại số 21 1.1.5 Số phức: 23 Ma trận 30 1.2.1 Ma trận 30 1.2.2 Các phép toán ma trận 31 Định thức 34 1.3.1 Định thức tính chất 34 1.3.2 Cách tính định thức: 37 Hạng ma trận, ma trận nghịch đảo 39 1.4.1 Hạng ma trận 39 1.4.2 Điều kiện tồn ma trận nghịch đảo 41 1.4.3 Tìm ma trận nghịch đảo biến đổi sơ cấp 42 1.4.4 Phân tích LU LU P 45 1.5 Hệ phương trình tuyến tính 48 1.2 1.3 1.4 1.6 1.5.1 Các định nghĩa ví dụ 48 1.5.2 Hệ Cramer 49 1.5.3 Điều kiện cần đủ để hệ tổng quát có nghiệm 51 Thực hành tính tốn Maple 53 1.6.1 Các phép toán ký hiệu đặc biệt 53 1.6.2 Tính tốn với biểu thức đại số 53 1.6.3 Tính tốn ma trận 54 Khơng gian vector ánh xạ tuyến tính 2.1 2.2 2.3 2.4 Không gian vector không gian vector 59 2.1.1 Định nghĩa 59 2.1.2 Hạng hệ hữu hạn vector Cơ sở chiều 62 2.1.3 Tọa độ vector sở Đổi sở 66 2.1.4 Định lý hạng ma trận 67 2.1.5 Không gian tổng không gian giao Tổng trực tiếp 69 Ánh xạ tuyến tính 71 2.2.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính 71 2.2.2 Ảnh nhân ánh xạ tuyến tính 74 2.2.3 Ánh xạ tuyến tính ngược 77 2.2.4 Ma trận biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính 78 2.2.5 Khơng gian nghiệm hệ phương trình 80 2.2.6 Ma trận ánh xạ tuyến tính đổi sở 83 Trị riêng vector riêng 85 2.3.1 Trị riêng vector riêng toán tử tuyến tính 85 2.3.2 Chéo hóa ma trận 87 Thực hành tính tốn Maple 93 Hình học khơng gian Euclide 3.1 3.2 59 95 Dạng tồn phương khơng gian vector 95 3.1.1 Dạng song tuyến tính đối xứng dạng toàn phương 95 3.1.2 Đưa dạng toàn phương dạng tắc 99 3.1.3 Luật quán tính 103 3.1.4 Dạng toàn phương xác định dấu 105 Không gian Euclide 107 3.2.1 Tích vơ hướng 107 3.2.2 Bất đẳng thức tích vơ hướng 109 3.2.3 Cơ sở trực chuẩn, trình trực chuẩn hóa GramSchmidt 110 3.2.4 Phân tích QR 114 3.3 Khơng gian trực giao hình chiếu 115 3.4 Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng 117 3.5 3.4.1 Toán tử tự liên hợp 117 3.4.2 Phổ toán tử tự liên hợp 122 Phân loại đường cong mặt cong bậc hai 124 3.5.1 Phương trình siêu mặt bậc hai 124 3.5.2 Phân loại đường cong mặt cong bậc hai 127 3.6 Thực hành tính tốn Maple 132 Tài liệu tham khảo 133 Lời nói đầu Bài giảng "Đại số tuyến tính hình học giải tích" viết theo đề cương chương trình Bộ mơn Tốn - Khoa Cơng nghệ Thông tin - Học viện Kỹ thuật Quân Tài liệu biên soạn dựa giáo trình Học viện kỹ thuật quân số giáo trình dành cho sinh viên trường đại học kỹ thuật nước Đây tài liệu cá nhân biên soạn giảng dạy cho lớp chương trình tiên tiến Việt-Nga (75 tiết), lớp học viên quân dân (60 tiết) Học viện Vì thời lượng học mơn đối tượng học viên (trừ lớp chương trình TTVN) giảm so với năm trước (chỉ 60 tiết) nên hầu hết kết đưa mà khơng có chứng minh, để hiểu sâu sắc vấn đề sinh viên cần tự đọc chứng minh sách giáo khoa cho môn học Đặc biệt nhấn mạnh học viên đọc giảng cần kèm theo hai tài liệu bắt buộc "đề cương chi tiết môn học" "đề cương chi tiết giảng" cấp phê duyệt công bố trang web Khoa Công nghệ Thông tin (http://fit.mta.edu.vn/subjectstat_DH.htm) Đối với mục (phần) hai đề cương xem phần đọc thêm học viên Phần tập sau sinh viên làm theo yêu cầu hướng dẫn "đề cương chi tiết" giảng (bài tập [4]) Vì giảng biên soạn Latex theo cấu trúc định sẵn gần giống với sách giáo khoa sách giáo khoa Để học tập đạt kết tốt sinh viên cần có tài liệu bắt buộc [3], [4] Trong tài liệu tính chất thường viết dạng mệnh đề, kết quan trọng phát biểu định lý Bên cạnh vấn đề môn học, giảng chúng tơi có đưa thêm kiến thức bổ trợ khác (ví dụ thực hành tính tốn số phần mềm Maple) Cuối cùng, q trình biên soạn khó tránh khỏi có sai sót hoan nghênh phát học viên để kịp thời sửa chữa Tháng năm 2014 Những kí hiệu K trường N tập hợp số tự nhiên Z tập hợp số nguyên Q R tập hợp số hữu tỉ tập hợp số thực C tập hợp số phức ∅ tập hợp rỗng deg bậc đa thức Mm×n (K) tập ma trận cỡ m × n K Mn (K) tập ma vuông cấp n K GLn (K) tập ma vuông cấp n khả nghịch AT ma trận chuyển vị ma trận A det(A) định thức ma trận A T race(A) vết ma trận A rank(A) hạng ma trận A ∼ tương đương đồng dạng hai ma trận span dim(V ) bao tuyến tính chiều không gian V Im(f ) không gian ảnh ánh xạ f Ker(f ) không gian nhân (hạch) ánh xạ f ⟨., ⟩ tích vơ hướng En khơng gian Euclide thực n chiều ⊥ trực giao ||.|| chuẩn (độ dài) 10 iii) Dạng III: r ∑ αi yi2 = 2pyr+1 , αi ̸= 0, i = 1; r, p > 0, ≤ r ≤ n − i=1 Chứng minh: Như ta biết, tồn sở trực chuẩn {e′1 , , e′n } gồm toàn vector riêng ứng với trị riêng λ1 , , λn A = (aij )n×n để dạng tồn phương q(x) có dạng tắc Giả sử C ma trận chuyển sở trực chuẩn {e1 , , en } thành {e′1 , , e′n }, với phép đổi biến x = Ct (giữ nguyên gốc O), siêu mặt có dạng n ∑ λi t2i +2 i=1 n ∑ di ti + e = (3.12) i=1 Trong trị riêng λ1 , , λn , giả sử có r giá trị khác 0, không sợ nhầm lẫn, ta ký hiệu giá trị khác λ1 , , λr , (3.12) viết lại dạng r ∑ λi t2i +2 i=1 r ∑ di ti + e = (3.13) i=1 Nếu ta tịnh tiến điểm gốc O sang I (vẫn sở {e′1 , , e′n }) sau    ti = zi − di , i = 1; r λi   ti = zj , j = r + 1; n sở (e′ ) gốc I mới, phương trình siêu mặt có dạng r ∑ λi zi2 + i=1 n ∑ c′ zi + d′ = 0, ≤ r ≤ n, λi ̸= (3.14) i=r+1 i) Nếu c′i = 0, i = r + 1; n d′ ̸= (3.14) có dạng I ii) Nếu c′i = 0, i = r + 1; n d′ = (3.14) có dạng II iii) Nếu r < n tồn c′i ̸= 0, i = r + 1; n, ví dụ c′r+1 ̸= Đặt n ∑ p= c′ i , g i j=r+1 ta đưa siêu mặt dạng r ∑ i=1 ( c′ i = , i = r + 1; n p n ∑ d′ λi zi + 2p gi zi + 2p i=r+1 125 ) =0 (3.15) gi thỏa mãn n ∑ gi2 = Tiếp tục xét phép đổi gốc từ I sang i=r+1 K sau   yi = zi , i = i = 1; r    n  ∑  d′   yr+1 = − gi zi − 2p i=r+1   n  ∑    gjk zk , j = r + 1; n   yj = k=r+1 gjk chọn cho ma trận phép đổi biến ma trận trực giao (để đảm bảo sở trực chuẩn) Khi siêu mặt có dạng r ∑ αi yi2 = 2pyr+1 , αi = −λi , r n (3.16) i=1 Đây dạng III Ta có điều phải chứng minh Sau ta đưa tên gọi số siêu mặt bậc hai: i) Siêu mặt có dạng I với r = n với αi > 0, i = 1; n, gọi siêu mặt Ellipsoid n − 1-chiều Phương trình viết lại dạng n ∑ x2 i a i=1 i =1 ii) Siêu mặt có dạng I với r = n với αi , i = 1; n, khác dấu gọi siêu mặt Hyperboloid viết lại dạng k ∑ x2 i a i=1 i n ∑ x2j − =1 a2j j=k+1 iii) Siêu mặt bậc hai có phương trình dạng II với r = n hệ số αi , i = 1; n, mang dấu khác gọi siêu mặt nón (thực) iv) Siêu mặt bậc hai có phương trình dạng III với r = n − hệ số αi , i = 1; n − 1, dấu gọi siêu mặt Paraboloid Elliptic, hệ số αi , i = 1; n − 1, có dấu khác gọi siêu mặt Paraboloid Hyperbolic v) Siêu mặt bậc hai có phương trình dạng I, II với r < n dạng III với r < n − gọi siêu mặt trụ (Elliptic, Hyeperbolic, Parabolic ) Cũng phải ý siêu mặt suy biến thành điểm, tập rỗng (còn gọi siêu mặt ảo) 126 3.5.2 Phân loại đường cong mặt cong bậc hai Đường cong bậc hai mặt phẳng Trong trường hợp không gian Euclide n = chiều ta có đường cong bậc hai mặt phẳng Euclide, n = ta có mặt cong bậc hai không gian Euclide Chúng ta hiểu mặt phẳng không gian Euclide không gian tọa độ thực có trang bị tích vô hướng, vector đồng với điểm, vector đồng với gốc O Chúng ta thường sử dụng hệ truc tọa độ trực chuẩn Descartes (đã quen thuộc bậc học dưới) để mô tả trường hợp hai ba chiều Trên khơng gian xây dựng khái niệm khoảng cách, góc nói trước Đường bậc hai tổng quát mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Descartes Oxy có dạng a11 x2 + 2a12 xy + a22 y + a1 x + a2 y + c = (3.17) hệ số a11 , a12 , a22 không đồng thời Ma trận dạng toàn phương A = AT đưa dạng chéo biển bổi trực giao, nghĩa tồn ma trận C cho ( C T AC = λ1 ) λ2 C ma trận trực giao Vì C cấp hai nên có hai dạng ví dụ đưa chéo hóa trực giao, ta chọn ( ) cosφ − sin φ C= sin φ cosφ xét phép đổi biến ( x y ) ( = cos φ − sin φ sin φ cos φ )( x ′ ) y′ Ta đưa dạng tồn phương dạng tắc λ1 x′2 + λ2 y ′2 Phép đổi biến thực chất quay hệ tọa độ ban đầu góc φ đường bậc hai có dạng λ1 x′2 + 2λ2 y ′2 + a′1 x′ + a′2 y ′ + c = 127 (3.18) Tiếp tục sử dụng phép tịnh tiến gốc ta đưa loại sau 1) Ellipse (hoặc đường tròn) x2 y + =1 a2 b2 2) Hyperbola x2 y − =1 a2 b 3) Ellipse ảo x2 y + = −1 a2 b2 4) Cặp đường thẳng ảo cắt (tại điểm thực) x2 y + =0 a2 b2 5) Cặp đường thẳng cắt x2 y − =0 a2 b 6) Parabola x2 = 2py 7) Cặp đường thẳng song song x2 =1 a2 8) Cặp đường thẳng ảo song song x2 = −1 a2 9) Cặp đường thẳng trùng x2 =0 a2 Các đường bậc hai Ellipse, Hyperbola, Parabola đường Conic học bậc học phổ thông 128 Hình 3.3: Các đường Conic Mặt cong bậc hai không gian Trong không gian hệ tọa độ trực chuẩn Decartes Oxyz mặt bậc hai tổng quát tập điểm thỏa mãn phương trình đại số a11 x2 + 2a12 xy + 2a13 xz + a22 y + 2a23 yz + a33 z + 2a1 x + 2a2 y + 2a3 z + c = (3.19) Xét dạng toàn phương với ma trận A = (aij )3×3 , A = AT Tồn ma trận chuyển sở C để  λ1    C T AC =  λ2  0 λ3 Ma trận C ma trận trực giao, chọn C cho det(C) = 1, ví dụ   cos φ − sin φ   C =  sin φ cos φ  Phép đổi biến     x′ x      y  = C  y′     z′ z phép quay hệ trục tọa độ góc φ Mặt cong có dạng λ1 x′2 + λ2 y ′2 + λ3 z ′2 + 2a’1 x′ + 2a′2 y ′ + 2a′3 z ′ + c = (3.20) Tịnh tiến gốc tọa độ cần ta đưa mặt bậc hai dạng sau 1) Ellipsoid (cầu) x2 y z + + =1 a2 b2 c2 129 2) Ellipsoid ảo x2 y z + + = −1 a2 b2 c2 3) Nón ảo x2 y z + + =0 a2 b2 c2 4) Hyperboloid tầng x2 y z + − =1 a2 b2 c Hình 3.4: Mặt Elipsoid Hyperboloid 1, tầng 5) Hyperboloid tầng x2 y z + − = −1 a2 b2 c 6) Nón Elliptic x2 y z + − =0 a2 b2 c 7) Paraboloid Elliptic x2 y + = 2z a2 b2 8) Paraboloid Hyperbolic (yên ngựa) x2 y − = 2z a2 b2 9) Trụ Elliptic x2 y + =1 a2 b2 130 Hình 3.5: Nón Elliptic, Paraboloid Elliptic, Paraboloid Hyperbolic Hình 3.6: Các mặt trụ 10) Trụ Elliptic ảo x2 y + = −1 a2 b2 11)Trụ Parabolic y = 2px 12) Trụ Hyperbolic x2 y − =1 a2 b2 13) Cặp mặt phẳng ảo liên hợp x2 y + =0 a2 b2 14) Cặp mặt phẳng cắt x2 y − =0 a2 b2 15) Cặp mặt phẳng thực song song x2 =1 a2 131 16) Cặp mặt phẳng ảo song song x2 = −1 a2 17) Cặp mặt phẳng trùng x2 =0 a2 3.6 Thực hành tính tốn Maple Như chương trước làm việc môi trường linalg - Để tính tích vơ hướng hai vector u, v ta dùng lệnh dotprod(u, v); dotprod(u, v, orthogonal); - Tìm sở trực giao khơng gian vector sinh họ vector lệnh GramSchmidt({v1, v2, }); Ví dụ 93 > v1 := vector([1, 2, 3]); v1 := [1 3] > v2 := vector([−1, 0, −2]); v1 := [−1 − 2] > v3 := vector([2, 1, −3]); v3 := [2 − 3] > dotprod(v1, v2); −7 > GramSchmidt(v1, v2, v3); { [ ] [ ]} 1 20 10 [1, 2, 3] , − , 1, − , , − 2 7 Để vẽ đồ thị đường cong mặt cong Maple ta cần dùng gói lệnh plots - Vẽ đồ hàm số y = f (x) ta dùng lệnh có cú pháp > plot(f (x), x = a b, y = c d,title=’tiêu đề’); Ví dụ 94 Vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 2x 132 > restart; > with(plots); > plot(x3 − ∗ x, x = −2 3, y = −5 10, title =′ Hambacba′ ); Ta có kết Hình 3.7 Hình 3.7: Đồ thị hàm bậc ba - Vẽ đồ thị hàm ẩn f (x, y) = dùng cú pháp lệnh > implicitplot(f (x, y) = 0, x = a b, y = c d); 2 Ví dụ 95 Vẽ đồ thị ellipse x4 + y9 = (Hình 3.8) > implicitplot((1/4) ∗ x2 + (1/9) ∗ y = 1, x = −2 2, y = −3 3, title =′ Ellipse′ ); Hình 3.8: Ellipse - Để vẽ mặt cong bậc hai ta dùng lệnh implicitplot3d Ví dụ 96 Vẽ mặt yên ngựa x2 − y2 133 = 2z (Hình 3.9) Hình 3.9: Paraboloid Hyperbolic Ma Ma Ma Ma trận trận trận trận Bảng 3.1: Bảng trị riêng vector riêng ma trận đặc biệt Trị riêng λ Vector riêng e đối xứng A = AT ∀λ ∈ R eTi ej = trực giao AT = A−1 ∀|λ| = ei T ej = phản đối xứng thực AT = −A ∀λ ảo ei T ej = Ma Ma Ma Ma Ma Ma Ma trận trận trận trận trận trận trận Hermite (phức) A = A xác định dương xT Ax > đồng dạng B = M −1 AM chiếu P = P = P T hạng tức A = uv T nghịch đảo A−1 dịch chuyển A + cE T ∀λ ∈ R ∀λ > λA = λB λ = 1; λ = v T u; 0, , 1/λA λA + c 134 ei T ej = ei T ej = eA = M eB K.gian sinh cột; KerP u; Toàn k.gian u⊥ Giữ nguyên vector riêng A Giữ nguyên vector riêng A Tài liệu tham khảo [1] Lê Tuấn Hoa Đại số tuyến tính qua ví dụ tập // NXB ĐHQGHN 2005 406T [2] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) Tốn cao cấp Tập Đại số tuyến tính hình học giải tích // NXB GD 1997 [3] Nguyễn Xuân Viên Đại số tuyến tính // NXB Học viện KTQS 2014 252T [4] Nguyễn Xuân Viên (Chủ biên) Bài tập đại số tuyến tính hình học giải tích // NXB QĐND 2010 251T [5] A R G Heesterman Matrices and Their Roots: A Textbook of Matrix Algebra // WS 1990 444p [6] G Hadley Linear Algebra // Addison-Wesley Publishing Company, INC 1961 290p [7] S Lang Linear Algebra Third Edition // Springer 2004 296p [8] D Serre Matrices: Theory and Applications // Springer 2002 219p [9] G Strang Introduction to Linear Algebra, 4th, Wellesley-Cambridge Press 2009 574p c Maplesoft, a division of [10] Maple Getting Started Guide Copyright ⃝ Waterloo Maple Inc 2005 [11] ẽ.ẹ ởồờủớọợõ ấúủ ớởốũốữồủờợộ óồợỡồũốố ố ởốớồộớợộ ởóồỏỷ //ẩỗọ úờ 1979 511c [12] ẩởỹốớ .., ẽợỗớờ í. ớởốũốữồủờ óồợỡồũố // ẩỗọ úờ 1999 223ủ [13] ẩởỹốớ .., ẽợỗớờ í. ậốớồộớ ởóồỏ // ẩỗọ úờ 1999 294c 135 [14] ễ.é ớũỡừồ ềồợố èũốử // ẩỗọ úờ 1966 576đ [15] È Ì Ãåëüơàíä Ëåêưèè ïỵ ëèíåéíỵé àëãåáðå // ẩỗọ úờ 1974 271c [16] èởỹửồõ .ẩ ẻủớợõỷ ởốớồộớợộ àëãåáðû, Ì., Íàóêà 1970 400đ 136 Index Biến đổi sơ cấp, 40 Hạng ma trận, 39 Biểu đồ Venn, 15 Hệ Cramer, 49 Bất biến, 85 Hệ phương trình tuyến tính, 48 Hệ sinh, 64 Cauchy-Bunhia-Schwartz, 109 Hệ nhất, 48, 80 Chiều, 62 Hợp, 15 Chuẩn, 109 Chéo hóa, 87, 119 Khai triển Taylor, 27 Chéo hóa trực giao, 116 Không gian Euclide, 95, 107 Công thức Cramer, 50 Không gian hữu hạn chiều, 65 Công thức De Morgan, 16 Không gian nghiệm, 60, 80 Công thức Moivre, 24 Không gian tổng giao, 69 Công thức Viet, 28 Không gian vector, 59 Cơ sở, 62 Không gian vector con, 61 Cơ sở tắc, 66 Lagrange, 101 Cơ sở trực chuẩn, 110 Logic, 11 Dạng tắc, 99 Lược đồ Horner, 28 Dạng cực, 95 Lực lượng, 19, 20 Dạng song tuyến tính, 95 Ma trận, 30 Dạng toàn phương, 95 Ma trận chuyển vị, 33 Ma trận tắc, 79 Giao, 15 Ma trận hình thang, 40 Gram-Schmidt, 110 Ma trận khả nghịch, 41 Hermite, 117 Ma trận suy biến, 36 Hessian, 107 Ma trận trực giao, 34, 112 Hiệu, 15 Ma trận tương đương, 84 Hiệu đối xứng, 15 Ma trận đường chéo, 34 Hình chiếu, 116 Ma trận đối xứng, 34 Hạng hệ hữu hạn vector, 62 Ma trận đồng dạng, 84 137 Maple, 53, 93 Trị riêng, 85 Minkowski, 109 Trực giao, 98, 110 Tích Descartes, 17 Nghiệm riêng, 52 Tích vơ hướng, 107 Nghiệm tổng quát, 52 Tập hợp, 14 Nhân, 74, 98 Tổ hợp tuyến tính, 62 Nhóm, 21 Tổng trực tiếp, 71 Nhóm Abel, 22, 60 UCLN, 26 Phân tích LU , 45 Phân tích LU P , 45 Vector, 31, 59 Phân tích QR, 114 Vector riêng, 85 Phép chia Euclide, 25 Vành, 21 Phương trình vi phân, 60 Vành giao hốn, 22 Phương trình đặc trưng, 86, 119 Vành đa thức, 25 Phần bù, 16 Vô hướng, 59 Phổ, 87, 121 Xác định dương, 105 Phụ thuộc tuyến tính, 62 Xác định âm, 105 Pythagore, 110 Ánh xạ, 19 Quan hệ hai ngôi, 17 Ánh xạ ngược, 20 Quan hệ thứ tự, 17 Ánh xạ tuyến tính, 59, 71 Quan hệ tương đương, 17 Ánh xạ tuyến tính ngược, 77 Quy tắc đổi dấu Descartes, 29 Quán tính, 103, 104 Đa thức đặc trưng, 86 Đơn cấu, 75, 78 Siêu mặt bậc hai, 124 Đơn ánh, 19 Song ánh, 19, 20 Đẳng cấu, 78, 138 Sylvester, 104 Đẳng hướng, 98 Số phức, 23 Định lý Bezout, 27 Toàn cấu, 78 Định lý Cronecker-Capelli, 51, 81 Toàn cấu, 75 Định lý Laplace, 38 Toàn ánh, 19, 20 Định lý Sylvester, 106 Tốn tử tuyến tính, 71 Định thức, 34 Tốn tử tự liên hợp, 116 Đồng dư, 18 Trường, 21 Độ dài, 109 138 Độc lập tuyến tính, 62 Độc lập tuyến tính tối đại, 63 Ảnh, 74 139