1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Bài tập toán cao cấp tập 1 đại số tuyến tính và hình học giải tích nguyễn thủy thanh

277 394 1

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 277
Dung lượng 1,33 MB

Nội dung

˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA ˆ P BAI ´ CAO CA ˆ´P TOAN Tˆa.p Da.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh v`a H`ınh ho.c gia’i t´ıch ’ N DAI HOC QUO ` XUA ˆ´T BA ˆ´C GIA HA ` NO ˆI NHA H` a Nˆ o.i – 2006 Mu.c lu.c `au oi dˆ L` o.i n´ Sˆ o´ ph´ u.c - i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´ 1.1 D u.c 1.2 Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c ˜e n h`ınh ho.c Mˆod un v`a acgumen 1.3 Biˆe’u diˆ ˜e n sˆo´ ph´ 1.4 Biˆe’u diˆ u.c du.´o.i da.ng lu.o ng gi´ac - a th´ D u.c v` a h` am h˜ u.u ty’ - a th´ 2.1 D u.c - a th´ 2.1.1 D u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´ u.c C - a th´ 2.1.2 D u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu c R 2.2 Phˆan th´ u.c h˜ u.u ty’ - i.nh th´ Ma trˆ a.n D u.c 3.1 Ma trˆa.n - i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n 3.1.1 D 3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n 3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi ma trˆa.n - inh th´ 3.2 D u.c 3.2.1 Nghi.ch thˆe´ - i.nh th´ 3.2.2 D u.c 3.2.3 T´ınh chˆa´t cu’a di.nh th´ u.c ma trˆa.n 6 13 23 44 44 45 46 55 66 67 67 69 71 72 85 85 85 88 MU C LU C 3.3 3.4 3.2.4 Phu.o.ng ph´ap t´ınh di.nh th´ u.c Ha.ng cu’a ma trˆa.n - i.nh ngh˜ıa 3.3.1 D 3.3.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ha.ng cu’a ma trˆa.n Ma trˆa.n nghi.ch da’o - i.nh ngh˜ıa 3.4.1 D 3.4.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o e´n t´ınh Hˆ e phu.o.ng tr`ınh tuyˆ 4.1 Hˆe n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’n c´o di.nh th´ u.c 4.1.1 Phu.o.ng ph´ap ma trˆa.n 4.1.2 Phu.o.ng ph´ap Cramer 4.1.3 Phu.o.ng ph´ap Gauss 4.2 Hˆe t` uy y ´ c´ac phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh `an nhˆa´t 4.3 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆ kh´ac 89 109 109 109 118 118 119 132 132 133 134 134 143 165 n Khˆ ong gian Euclide R - i.nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆ `eu v`a mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m co 5.1 D `e vecto ba’n vˆ - ˆo’i co so’ 5.2 Co so’ D 5.3 Khˆong gian vecto Euclid Co so’ tru c chuˆa’n 5.4 Ph´ep biˆe´n d ˆo’i tuyˆe´n t´ınh - inh ngh˜ıa 5.4.1 D 5.4.2 Ma trˆa.n cu’a ph´ep bdtt 5.4.3 C´ac ph´ep to´an 5.4.4 Vecto riˆeng v`a gi´a tri riˆeng Da.ng to` an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng d ˆ e’ v` a m˘ a.t bˆ a.c hai 6.1 Da.ng to`an phu.o.ng 6.1.1 Phu.o.ng ph´ap Lagrange 6.1.2 Phu.o.ng ph´ap Jacobi 177 177 188 201 213 213 213 215 216 o.ng nhˆ a.n da.ng du.` 236 236 237 241 MU C LU C 6.2 6.1.3 Phu.o.ng ph´ap biˆe´n dˆo’i tru c giao 244 - u.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.t D `e da.ng ch´ınh t˘´ac 263 bˆa.c hai vˆ `au L` o.i n´ oi dˆ Gi´ao tr`ınh B` tˆ a.p to´ an cao cˆ a´p n`ay du.o c biˆen soa.n theo Chu.o.ng tr`ınh To´ an cao cˆ a´p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu nhiˆen cu’a Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i v`a d˜a du.o c Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i thˆong qua v`a ban h`anh Mu.c d´ıch cu’a gi´ao tr`ınh l`a gi´ up d˜o sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu nhiˆen n˘a´m v˜ u.ng v`a vˆa.n du.ng du.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an cao cˆa´p Mu.c tiˆeu n`ay quyˆe´t di.nh to`an bˆo cˆa´u tr´ uc cu’a gi´ao tr`ınh Trong `au tiˆen ch´ mˆo˜ i mu.c, dˆ y thuyˆe´t ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a´t nh˜ u.ng co so’ l´ `an thiˆe´t Tiˆe´p d´o, phˆ `an C´ v`a liˆe.t kˆe nh˜ u ng cˆong th´ u c cˆ ac v´ı du ch´ ung tˆoi quan tˆam d˘a.c biˆe.t t´o.i viˆe.c gia’i c´ac b`ai to´an mˆa˜ u b˘a`ng c´ach `an B` vˆa.n du.ng c´ac kiˆe´n th´ u.c l´ y thuyˆe´t d˜a tr`ınh b`ay Sau c` ung, l`a phˆ ’ `e tˆ a.p O dˆay, c´ac b`ai tˆa.p du o c gˆo.p th`anh t` u ng nh´om theo t` u ng chu’ dˆ `an vˆ `e dˆo kh´o v`a mˆ˜o i nh´om dˆ `eu u tu t˘ang dˆ v`a du.o c s˘´ap xˆe´p theo th´ `e phu.o.ng ph´ap gia’i Ch´ c´o nh˜ u.ng chı’ dˆa˜ n vˆ ung tˆoi hy vo.ng r˘a`ng viˆe.c `an C´ l`am quen v´o i l`o i gia’i chi tiˆe´t phˆ ac v´ı du s˜e gi´ up ngu.`o.i ho.c n˘a´m du.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an co ba’n Gi´ao tr`ınh B` tˆ a.p n`ay c´o thˆe’ su’ du.ng du.´o.i su hu.´o.ng dˆ˜a n cu’a `eu c´o d´ap sˆo´, mˆo.t gi´ao viˆen ho˘a.c tu m`ınh nghiˆen c´ u.u v`ı c´ac b`ai tˆa.p dˆ `an C´ sˆo´ c´o chı’ dˆa˜ n v`a tru ´o c gia’i c´ac b`ai tˆa.p n`ay d˜a c´o phˆ ac v´ı du `e m˘a.t phu.o.ng ph´ap gia’i to´an tr`ınh b`ay nh˜ u.ng chı’ dˆa˜ n vˆ `ay gi´ao: TS Lˆe D`ınh T´ac gia’ gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca’m o.n c´ac thˆ ˜e n Minh Tuˆa´n d˜a do.c k˜ Ph` ung v`a PGS TS Nguyˆ y ba’n tha’o v`a d´ong y thuyˆe´t h`am biˆe´n ph´ u.c Co so’ l´ `eu y `e cˆa´u tr´ g´op nhiˆ ´ kiˆe´n qu´ y b´au vˆ uc v`a nˆo.i dung v`a d˜a g´op y ´ cho t´ac `e nh˜ gia’ vˆ u ng thiˆe´u s´ot cu’a ba’n tha’o gi´ao tr`ınh `an dˆ `au, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho’i sai s´ot Ch´ M´o.i xuˆa´t ba’n lˆ ung tˆoi rˆa´t chˆan th`anh mong du.o c ba.n do.c vui l`ong chı’ ba’o cho nh˜ u.ng thiˆe´u s´ot cu’a cuˆo´n s´ach dˆe’ gi´ao tr`ınh ng`ay du.o c ho`an thiˆe.n ho.n H` a Nˆ o.i, M` ua thu 2004 T´ ac gia’ Chu.o.ng Sˆ o´ ph´ u.c 1.1 1.2 1.3 1.4 1.1 - i.nh ngh˜ıa sˆ D o´ ph´ u.c o´ cu’a sˆ o´ ph´ u.c Da.ng d a.i sˆ ˜ a acgumen 13 Biˆ e’u diˆ e n h`ınh ho.c Mˆ od un v` ˜ o.i da.ng lu.o ng gi´ ac 23 Biˆ e’u diˆ e n sˆ o´ ph´ u.c du.´ - i.nh ngh˜ıa sˆ D o´ ph´ u.c u tu (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o c go.i l`a mˆo.t sˆo´ Mˆo˜ i c˘a.p sˆo´ thu c c´o th´ ph´ u.c nˆe´u trˆen tˆa.p ho p c´ac c˘a.p d´o quan hˆe b˘`ang nhau, ph´ep cˆo.ng v`a ph´ep nhˆan du.o c du.a v`ao theo c´ac di.nh ngh˜ıa sau dˆay: (I) Quan hˆe b˘a`ng  a = a , (a1, b1) = (a2, b2 ) ⇐⇒ b1 = b2 (II) Ph´ep cˆo.ng - inh ngh˜ıa sˆo´ ph´ 1.1 D u.c def (a1 , b1) + (a2, b2 ) = (a1 + a2, b1 + b2 ).1 (III) Ph´ep nhˆan def (a1, b1 )(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1 b2 + a2b1 ) Tˆa.p ho p sˆo´ ph´ u.c du.o c k´ y hiˆe.u l`a C Ph´ep cˆo.ng (II) v`a ph´ep nhˆan (III) C c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an, kˆe´t ho p, liˆen hˆe v´o.i bo’.i `an tu’ = (0, 0) dˆ `eu c´o phˆ `an tu’ nghi.ch da’o luˆa.t phˆan bˆo´ v`a mo.i phˆ `an Tˆa.p ho p C lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng (go.i l`a tru.`o.ng sˆo´ ph´ u.c) v´o.i phˆ ´ du.ng quy `an tu’ n vi l`a c˘a.p (1; 0) Ap tu’ khˆong l`a c˘a.p (0; 0) v`a phˆ t˘´ac (III) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0) Nˆe´u k´ y hiˆe.u i = (0, 1) th`ı i2 = −1 Dˆo´i v´o.i c´ac c˘a.p da.ng d˘a.c biˆe.t (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v`a (III) ta c´o (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) `e m˘a.t da.i sˆo´ c´ac c˘a.p da.ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe.t T` u d´o vˆ v´o.i sˆo´ thu c R: v`ı ch´ ung du.o c cˆo.ng v`a nhˆan nhu nh˜ u.ng sˆo´ thu c Do `ong nhˆa´t c´ac c˘a.p da.ng (a; 0) v´o.i sˆo´ thu c a: vˆa.y ta c´o thˆe’ dˆ (a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R D˘a.c biˆe.t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ Dˆo´i v´o.i sˆo´ ph´ u.c z = (a, b): `an thu c a = Re z, sˆo´ thu c b go.i l`a phˆ `an 1+ Sˆo´ thu c a du.o c go.i l`a phˆ a’o v`a k´ y hiˆe.u l`a b = Im z 2+ Sˆo´ ph´ u.c z u.c z = (a, −b) go.i l`a sˆo´ ph´ u.c liˆen ho p v´o.i sˆo´ ph´ ´t cu’a t` def l` a c´ ach viˆe´t t˘ a u tiˆe´ng Anh definition (di.nh ngh˜ıa) u.c Chu.o.ng Sˆo´ ph´ 1.2 Da.ng da.i sˆ o´ cu’a sˆ o´ ph´ u.c `eu c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng Mo.i sˆo´ ph´ u.c z = (a; b) ∈ C dˆ z = a + ib (1.1) Thˆa.t vˆa.y, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib u (1.1) Biˆe’u th´ u.c (1.1) go.i l`a da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c z = (a, b) T` v`a di.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´ u.c liˆen ho p ta c´o z = a − ib u.c du.o c thu c Du.´o.i da.ng da.i sˆo´ c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa.p ho p sˆo´ ph´ hiˆe.n theo c´ac quy t˘´ac sau Gia’ su’ z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 Khi d´o (I) Ph´ep cˆo.ng: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2 ) (II) Ph´ep nhˆan: z1z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + a2b1 ) (III) Ph´ep chia: z2 a1 a2 + b1b2 a1b2 − a2 b1 = +i · 2 z1 a1 + b1 a1 + b21 ´ V´I DU CAC V´ı du 1+ T´ınh in T` u d´o ch´ u.ng minh r˘`ang a) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0; b) i · i2 · · · i99 · i100 = −1 2+ T`ım sˆo´ nguyˆen n nˆe´u: a) (1 + i)n = (1 − i)n ; 1−i n 1+i n + √ = b) √ 2 Gia’i 1+ Ta c´o i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v`a `au l˘a.p la.i Ta kh´ai qu´at h´oa Gia’ su’ n ∈ Z v`a gi´a tri l˜ uy th` u.a b˘a´t dˆ n = 4k + r, r ∈ Z, r Khi d´o in = i4k+r = i4k · ir = (i4 )k ir = ir 1.2 Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c (v`ı i4 = i) T` u d´o, theo kˆe´t qua’ trˆen ta c´o in =       i nˆe´u n = 4k, nˆe´u n = 4k + 1, (1.2)   −1 nˆe´u n = 4k + 2,     −i nˆe´u n = 4k + ˜e d`ang suy a) v`a b) T` u (1.2) dˆ u.c (1 + i)n = (1 − i)n suy u hˆe th´ 2+ a) T` 1+i 1−i n = 1+i 1+i n = i nˆen = in = ⇒ n = 4k, k ∈ Z Nhu.ng 1−i 1−i 1+i n 1−i n 1+i b) T` u d˘a’ng th´ u.c √ + √ = suy r˘`ang 1−i 2 v`a d´o in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z n = −1 V´ı du Ch´ u.ng minh r˘a`ng nˆe´u n l`a bˆo.i cu’a th`ı √ √ −1 − i n −1 + i n + =2 2 v`a nˆe´u n khˆong chia hˆe´t cho th`ı √ −1 + i n √ −1 − i + n = −1 Gia’i 1+ Nˆe´u n = 3m th`ı √ √ −1 − i 3 m −1 + i 3 m + S= √ √ √ √ −1 + 3i + − 3i m −1 − 3i + + 3i = + 8 m m = + = m 262 an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to`   y2  x1 = √ y1 +  14 14 ⇒ ϕ(·) = 12y12 − 2y22 ) (DS   y1 − √ y2  x2 = 14 14 √ 30 2x21 − 5x1x2 + 3x22 √   x1 = y1 + y2  3√ ⇒ ϕ(·) = 7y12 − 2y22 ) (DS  y1 + y2 x2 = − 3 31 ϕ(x1, x2) = 4x1 x2  1  x1 = √ y1 − √ y2 2 2 (DS 1  ⇒ ϕ(y1, y2 ) = 2y1 − 2y2 ) x2 = √ y1 + √ y2  2 2 32 3x1 + 6x1x2 + 3x2  1 x1 = √ y1 − √ y2,  2 ⇒ ϕ(·) = 6y12) (DS 1  x2 = √ y1 + √ y2  2 2 33 6x1 + 5x2 + 7x3 − 4x1 x2 + 4x1 x3  2  x1 = y1 − y2 + y3,    3   2 (DS x2 = − y1 + y2 + y3 , ⇒ ϕ(·) = 9y12 + 6y22 + 3y32 ) 3     2  x3 = y1 + y2 − y3  3 √ 34 2x21 + x22 + 3x23 − 2x2x3 (DS x1 = y1, x2 = √ y2 + ϕ(·) = 2y12 + 5y22 − y32) y3 , x = − y2 + √ y3 ; 3 35 2x21 + 5x22 + 2x23 − 4x1 x2 − 2x1 x3 + 4x2x3 1 (DS x1 = √ y1 + √ y2 + √ y3 , x2 = − √ y2 + √ y3, 6 1 x3 = √ y1 − √ y2 − √ y3; ϕ(·) = y12 + 7y22 + y32) - u.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.t bˆa.c hai vˆ `e 6.2 D ´ da.ng ch´ınh t˘ac 263 6.2 - u.a phu.o.ng tr`ınh tˆ D o’ng qu´ at cu’a `e da.ng o.ng bˆ a.c hai v` a m˘ a.t bˆ a.c hai vˆ du.` ´ ch´ınh t˘ ac 1◦ X´et phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai a11x2 + 2a12xy + a22y + 2a13x + 2a23y + a33 = (6.20) `au tiˆen Tˆo’ng cu’a ba sˆo´ ha.ng dˆ ϕ(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y (6.21) l`a da.ng to`an phu.o.ng cu’a c´ac biˆe´n x v`a y v`a du.o c go.i l`a da.ng to` an phu o ng u ´ ng v´ o i phu o ng tr`ınh (6.20) Ma trˆa.n cu’a da.ng to`an phu o ng n`ay c´o da.ng A= a11 a12 a12 a22 1+ Nˆe´u detA > th`ı (6.20) l`a phu.o.ng tr`ınh cu’a du.`o.ng da.ng eliptic 2+ Nˆe´u detA < th`ı (6.20) l`a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng da.ng hypecbolic 3+ Nˆe´u detA = th`ı (6.20) l`a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng da.ng parabolic Trong tru.`o.ng ho p detA = th`ı (6.20) x´ac di.nh du.`o.ng c´o tˆam diˆe’m Nˆe´u detA = th`ı (6.20) l`a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng khˆong c´o tˆam diˆe’m Hu.´o.ng cu’a c´ac vecto riˆeng tru c giao cu’a ma trˆa.n da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng u ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh (6.20) go.i l`a hu.´ o.ng ch´ınh cu’a du.`o.ng x´ac di.nh bo’.i phu.o.ng tr`ınh (6.20) `on ta.i hˆe to.a dˆo Dˆec´ac vuˆong g´oc m`a u.ng minh r˘`ang tˆ Ngu.`o.i ta ch´ d´o phu o ng tr`ınh tˆo’ng qu´at (6.20) cu’a du.`o.ng bˆa.c hai c´o da.ng ch´ınh t˘´ac Dˆe’ t`ım hˆe to.a dˆo d´o ta tiˆe´n h`anh nhu sau 264 an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` ´.ng 1+ T`ım ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao du.a da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng u `e da.ng ch´ınh t˘´ac v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho vˆ + Du a theo ph´ep biˆe´n dˆo’i n`ay ta t`ım c´ac hu.´o.ng ch´ınh cu’a du.`o.ng, t´ u.c l`a t`ım c´ac vecto riˆeng tru c chuˆa’n E1 v`a E2 cu’a ma trˆa.n da.ng to`an phu.o.ng (6.21) 3+ T`ım phu.o.ng tr`ınh cu’a du.`o.ng d˜a cho hˆe to.a dˆo OE1 E2 4+ Trong phu.o.ng tr`ınh thu du.o c ta bˆo’ sung dˆe’ thu du.o c b`ınh `oi t`ım c´ac to.a dˆo cu’a diˆe’m O l`a gˆo´c cu’a hˆe to.a dˆo cˆ `an phu.o.ng du’ rˆ t`ım Trong hˆe to.a dˆo t`ım du o c O E1 E2 phu o ng tr`ınh cu’a du `o ng d˜a cho c´o da.ng ch´ınh t˘´ac 2◦ X´et phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a m˘a.t bˆa.c hai a11x2 + a22y + a33z + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + bx + by + ez + f = 0, (6.22) d´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t hˆe sˆo´ aij = 0, i = 1, 3, j = 1, `au cu’a phu.o.ng tr`ınh Tˆo’ng cu’a s´au sˆo´ ha.ng dˆ ϕ(x, y, z) = a11x2 + a12y + a33z + 2a12 xy + 2a13xz + 2a23yz (6.23) an phu.o.ng l`a da.ng to`an phu.o.ng ba biˆe´n x, y, z v`a du.o c go.i l`a da.ng to` tu.o.ng u ´.ng v´ o.i phu.o.ng tr`ınh (6.22) Ma trˆa.n cu’a da.ng l`a   a11 a12 a13   A = a12 a22 a23 a13 a23 a33 `on ta.i ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao du.a Trong mu.c tru.´o.c d˜a ch´ u.ng to’ tˆ `e da.ng ch´ınh t˘´ac Do vˆa.y viˆe.c kha’o s´at v`a da.ng to`an phu.o.ng (6.23) vˆ du ng m˘a.t bˆa.c hai x´ac di.nh bo’.i phu.o.ng tr`ınh (6.22) du.o c tiˆe´n h`anh tu.o.ng tu nhu 1◦ ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ ´ V´I DU CAC V´ı du Du.a phu.o.ng tr`ınh √ 17x2 + 12xy + 8y + 20 5x + 20 = `e da.ng ch´ınh t˘´ac v`a du ng du.`o.ng x´ac di.nh bo’.i phu.o.ng tr`ınh d´o vˆ Gia’i 1+ Da.ng to`an phu.o.ng ϕ(x, y) = 17x2 + 12xy + 8y ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho c´o ma trˆa.n tu.o.ng u A= 17 N´o c´o c´ac sˆo´ d˘a.c tru.ng l`a λ1 = 20, λ2 = Ta t`ım to.a dˆo c´ac vecto riˆeng cu’a A b˘a`ng c´ach gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh (17 − λi )ξ1 + 6ξ2 = 0, 6ξ1 + (8 − λi )ξ2 = `an lu.o t v´o.i λ1 = 20 v`a λ2 = lˆ V´o.i λ1 = 20 ta c´o −3ξ1 + 6ξ2 = 6ξ1 − 12ξ2 = ⇒ ξ1 = 2ξ2 ´.ng v´o.i λ1 = 20 c´o da.ng Do d´o vecto riˆeng u u(2α, α), α∈R v`a sau chuˆa’n h´oa ta du.o c E1 = √ , √ 5 265 an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 266 V´o.i λ2 = ta c´o 12ξ1 + 6ξ2 = 0, 6ξ1 + 3ξ2 = → ξ2 = −2ξ1 ´.ng v´o.i λ2 = c´o da.ng Do d´o vecto riˆeng tu.o.ng u v(β, −2β) v`a sau chuˆa’n h´oa ta thu du.o c vecto riˆeng chuˆa’n cu’a ma trˆa.n A: E2 = −√ ,√ 5 `e co so’ m´o.i (ma trˆa.n cu’a ph´ep biˆe´n T` u d´o thu du.o c ma trˆa.n chuyˆe’n vˆ dˆo’i tru c giao) c´o da.ng   √ −√  5  T =   √ √ 5 `an t`ım c´o da.ng v`a vˆa.y ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao cˆ   x = √ x − √ y ,  5  y = √ x + √ y   5 (6.24) `e da.ng ch´ınh t˘´ac N´o du.a da.ng to`an phu.o.ng ϕ vˆ 2 ϕ1 = 20x + 5y 2+ C´ac vecto co so’ E1 v`a E2 thu du.o c t` u c´ac vecto co so’ e1 , e2 u.c b˘`ang ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao du.o c cho bo’.i cˆong th´   E1 = √ e1 + √ e2,   5 (6.25)  E2 = − √ e1 + √ e2.  5 ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ 267 3+ Thay (6.24) v`ao phu.o.ng tr`ınh d˜a cho ta thu du.o c phu.o.ng tr`ınh cu’a du.`o.ng hˆe to.a dˆo OE1 E2 : 2 20x + 5y + 40x − 20y + 20 = v`a t` u d´o (x + 1)2 (y − 2)2 + =1 (6.26) −→ 4+ Thu c hiˆe.n ph´ep d`o.i hˆe to.a dˆo OE1 E2 theo vecto OO = −E1 +2E2 ta thu du.o c hˆe to.a dˆo O E1 E2 v`a hˆe d´o phu.o.ng tr`ınh (6.26) c´o da.ng x y + = 1 (6.27) Nhu vˆa.y phu.o.ng tr`ınh d˜a cho x´ac di.nh elip (h`ınh 6.1) H`ınh 6.1 T` u l`o.i gia’i v`a h`ınh v˜e tr`ınh b`ay suy c´ach du ng elip (6.27) `au tiˆen du ng hˆe to.a dˆo OE1 E2 (thay cho E1 v`a E2 c´o thˆe’ hˆe O E1 E2 Dˆ −→ −→ du ng c´ac vecto OM1 = 2e1 + e2, OM2 = −e1 + 2e2); tiˆe´p dˆe´n thu c −→ hiˆe.n ph´ep ti.nh tiˆe´n song song hˆe d´o mˆo.t vecto OO = −e1 + 2e2 dˆe´n O Sau c` ung l`a du ng elip (6.27) an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 268 V´ı du Du.a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng cong x2 − 2xy + y − 10x − 6y + 25 = `e da.ng ch´ınh t˘´ac v`a du ng du.`o.ng cong d´o vˆ ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho Gia’i Da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng u ϕ(x, y) = x2 − 2xy + y c´o ma trˆa.n l`a A= −1 −1 Lˆa.p phu.o.ng tr`ınh d˘a.c tru.ng − λ −1 = hay l`a λ2 − 2λ = −1 − λ T` u d´o λ1 = 2, λ2 = Ta t`ım to.a dˆo cu’a c´ac vecto riˆeng cu’a A b˘a`ng c´ach gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh (1 − λi )ξ1 − ξ2 = 0, −ξ1 + (1 − λi )ξ2 = `an lu.o t v´o.i λ1 = v`a λ2 = lˆ V´o.i λ1 = ta c´o −ξ1 − ξ2 = 0, −ξ1 − ξ2 = ⇒ ξ1 = −ξ2 ´.ng v´o.i λ1 = du.o c x´ac di.nh bo’.i vecto v`a d´o hu.´o.ng ch´ınh tu.o.ng u riˆeng u = (α, −α), α∈R ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ 269 v`a sau chuˆa’n h´oa ta c´o 1 E1 = √ , − √ 2 Tu.o.ng tu v´o.i λ2 = ta c´o ξ1 − ξ2 = 0, −ξ1 + ξ2 = ⇒ ξ1 = ξ2 v`a hu.´o.ng ch´ınh u ´.ng v´o.i λ2 = x´ac di.nh bo’.i vecto riˆeng v(β, β), β∈R v`a chuˆa’n h´oa ta du.o c 1 E2 = √ , √ 2 u co so’ e1, e2 dˆe´n co so’ tru c chuˆa’n E1 , E2, Nhu vˆa.y ta d˜a chuyˆe’n t` d´o E1 = √ e1 − E2 = √ e1 + bo’.i ma trˆa.n chuyˆe’n √ e2, √ e2   1 √ √  2   T =  √ −√ 2 ´.ng v`a ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao tu.o.ng u  1 √ √ x = x + y,   2 (6.28) 1  y = − √ x + √ y  2 Dˆe’ t`ım da.ng cu’a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng d˜a cho hˆe to.a dˆo OE1 E2 ta thay (6.28) v`ao phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at d˜a cho v`a thu du.o c 16 2x − √ x − √ y + 25 = 2 (6.29) an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 270 hay l`a x −√ 2 √ √ =4 y − Sau ep ti.nh tiˆe´n song song c´ac tru.c to.a dˆo dˆe´n gˆo´c m´o.i O = √ ph´√ , , phu.o.ng tr`ınh (6.29) hˆe to.a dˆo O XY c´o da.ng ch´ınh 2 √ t˘a´c X = 2Y Su s˘a´p xˆe´p cu’a parabon du.o c chı’ trˆen h`ınh 6.2 ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ H`ınh 6.2 V´ı du Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a m˘a.t bˆa.c hai √ √ 9x2 + 20y + 20z − 40yz − 36x − 2y + 2z + = `e da.ng ch´ınh t˘´ac v`a du ng m˘a.t d´o vˆ Gia’i Da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng u ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho c´o da.ng ϕ(x, y, z) = 9x2 + 20y + 20z − 40yz v´o.i ma trˆa.n  0   A = 0 20 −20 −20 20  Ma trˆa.n n`ay c´o ba sˆo´ d˘a.c tru.ng l`a λ1 = 9, λ2 = 40, λ3 = Do d´o da.ng ch´ınh t˘´ac cu’a da.ng to`an phu.o.ng ϕ(·) l`a 2 ϕ1 (·) = 9x + 40y `an t`ım ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao du.a da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng Ta cˆ `e da.ng ch´ınh t˘´ac To.a dˆo cu’a c´ac vecto u ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho vˆ 271 an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 272 u hˆe phu.o.ng tr`ınh riˆeng du.o c t`ım t` (9 − λi )ξ1 + · ξ2 + · ξ3 = 0, · ξ1 + (20 − λi )ξ2 − 20ξ3 = 0, · ξ1 − 20ξ2 + (20 − λi )ξ3 = v´o.i λ1 = 9, λ2 = 40, λ3 = a) V´o.i λ1 = ta c´o · ξ1 + · ξ2 + · ξ3 = 0, · ξ1 + 11ξ2 − 20ξ3 = 0, · ξ1 − 20ξ2 + 11ξ3 = ´.ng v´o.i λ1 = l`a T` u d´o thu du.o c vecto riˆeng u u(α, 0, 0), α ∈ R, α = v`a sau chuˆa’n h´oa ta du.o c E1 = (1, 0, 0) b) V´o.i λ2 = 40 ta c´o 31ξ1 + · ξ2 + · ξ3 = 0, · ξ1 − 20ξ2 − 20ξ3 = 0, · ξ1 − 20ξ2 − 20ξ3 = ´.ng v´o.i λ2 = 40: v`a t` u d´o thu du.o c vecto riˆeng u v(0, β, −β), β ∈ R, β = v`a sau chuˆa’n h´oa ta du.o c −1 E2 = 0, √ , √ 2 ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ 273 ´.ng l`a c) V´o.i λ3 = ta c´o vecto riˆeng tu.o.ng u w(0, γ, γ), γ ∈ R, γ = v`a sau chuˆa’n h´oa ta c´o 1 E3 = 0, √ , √ 2 Ma trˆa.n chuyˆe’n t` u co so’ e1, e2, e3 dˆe´n co so’ tru c chuˆa’n E1 , E2 , E3 c´o da.ng   0    0 √1 √  T = 2     √ −√ 2 Nhu vˆa.y ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao du.a da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng `e da.ng ch´ınh t˘´ac c´o da.ng u ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho vˆ   x =x,     1 y = √ y +√ z, (6.30) 2   1  z = − √ y + √ z   2 Ph´ep biˆe´n dˆo’i n`ay biˆe´n c´ac vecto co so’ e1 , e2, e3 th`anh   E1 = e1,     1 E2 = √ e2 − √ e3, 2   1  E3 = √ e2 + √ e3   2 (6.31) Dˆe’ t`ım phu.o.ng tr`ınh cu’a du.`o.ng d˜a cho hˆe to.a dˆo m´o.i OE1 E2 E3 ta thˆe´ (6.30) v`ao phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at d˜a cho v`a thu du.o c 2 9x + 40y − 36x − 8y + = an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 274 hay l`a (x − 2)2 (y − 0, 1)2 + = 3, 0, 81 Tiˆe´p theo ta thu c hiˆe.n ph´ep ti.nh tiˆe´n song song hˆe to.a dˆo OE1 E2 E3 −→ mˆo.t vecto OO = 2E1 + 0, 1E2 v`a thu du.o c hˆe O E1 E2 E3 , hˆe d´o phu.o.ng tr`ınh d˜a cho c´o da.ng x y + = 1, a2 b a= 3, 6, b = 0, Phu.o.ng tr`ınh n`ay (v`a d´o phu.o.ng tr`ınh d˜a cho) x´ac di.nh m˘a.t tru eliptic v´o.i du.`o.ng sinh E3 Du ng m˘a.t tru eliptic: c` ung v´o.i hˆe to.a dˆo Oe1 e2e3 ta du ng hˆe to.a dˆo O E1 E2 E3 , d´o thay cho viˆe.c du ng c´ac vecto (6.31) ta c´o thˆe’ du ng c´ac vecto −→ OM1 = e1, −→ OM2 = e2 − e3, −→ OM3 = e2 + e3 Su s˘´ap xˆe´p cu’a m˘a.t d˜a cho du.o c chı’ r˜o trˆen h`ınh 6.3 H`ınh 6.3 ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ ` TA ˆP BAI `e da.ng ch´ınh Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a c´ac du.`o.ng bˆa.c hai vˆ t˘´ac v`a nhˆa.n da.ng ch´ ung 3x2 − 2xy + 3y + 2x − 4y + = 32 16 x + y = 1) (DS Du.`o.ng elip, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac 3 2 x + 2xy − y − 6x + 4y − = √ √ (DS Du.`o.ng hypecbˆon, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac 2y − 2x = 1) x2 − 2xy + y + 4x − 6y + = √ (DS Du.`o.ng parabˆon, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac 2y − 2x = 0) 2x2 − 4xy − y + = x2 y2 (DS Du `o ng hypecbˆon, phu o ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac − = 1) ( 8/3)2 5x2 + 4xy + 5y − = (DS Du.`o.ng elip, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac x2 y2 √ + √ = 1) (3/ 7)2 ( 3)2 11x2 + 24xy + 4y − 15 = x2 y2 (DS Du.`o.ng hypecbˆon, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac √ − √ = 1) ( 3/2)2 ( 3)2 2x2 + 4xy + 5y − 24 = x2 y2 (DS Du.`o.ng elip, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac √ + = 1) ( 24)2 x2 − 8xy + 7y − 36 = x2 y2 (DS Du.`o.ng hypecbˆon, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac − = 1) `e da.ng ch´ınh Du a phu o ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a c´ac m˘a.t bˆa.c hai vˆ t˘a´c v`a nhˆa.n da.ng ch´ ung 275 276 an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 6x2 − 2y + 6z + 4xz + 8x − 4y − 8z + = `ang; (DS Du.`o.ng paraboloid mˆo.t tˆ x2 ( 5/4)2 + y2 ( 5/8)2 z2 − ( 5/2)2 10 4x2 + 3y + 2z + 4xy − 4yz + 4x − 2y − 4z − = x2 y2 = 1) (DS M˘a.t tru eliptic; √ + ( 2)2 11 x2 + 2y − 3z + 2x + 8y + 18z − 54 = x2 y2 Z + − = 1) 36 18 12 12 2x2 + y − 4xy − 4yz = `ang; (DS Hypecboloid 1-tˆ x2 y2 +z = ) (DS M˘a.t n´on, 13 2x2 + 2y + 3z + 4xy + 2xz + 2yz − 4x + 6y − 2z + = √ (DS M˘a.t parabˆoloid eliptic, 2x + 5y − 2z = 0) 14 2x2 + 2y + 3z − 2xz − 2yz − 16 = x2 y2 z2 (DS M˘a.t elipxoid, + √ + = 1) (2 2)2 = 1) [...]... Chu.o.ng 1 Sˆo´ ph´ 10 2+ Nˆe´u n = 3m + 1 th`ı √ √ 1 + i 3 3 m 1 + i 3 + S= 2 2 √ √ 1 + i 3 1 − i 3 + = 1 = 2 2 √ 1 − i 3 2 3 m √ 1 i 3 2 ung c´o S = 1 Tu.o.ng tu nˆe´u n = 3m + 2 ta c˜ V´ı du 3 T´ınh biˆe’u th´ u.c 1+ i σ = 1+ 2 1+ i 1+ 2 1+ i 1+ 2 2 22 1+ i ··· 1 + 2 2n 1+ i Gia’i Nhˆan v`a chia biˆe’u th´ u.c d˜a cho v´o.i 1 − ta c´o 2 1 σ= 1 + i 2n 2 1+ i 1 2 2 1 + i 2n +1 2 · 1+ i 1 2 1 = `an... |z1 | + |z2|; (ii) |z1 − z2| |z1| + |z2|; (iii) |z1 + z2| |z1 | − |z2 |; (iv) z1 − z2 | |z1| − |z2 Gia’i (i) Ta c´o |z1 + z2|2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1|2 + |z2|2 + 2Re(z1z 2 ) V`ı −|z1z2 | Re(z1 z 2) |z1 + z2|2 |z1z2| nˆen |z1|2 + |z2|2 + 2|z1 ||z2| = (|z1| + |z2|)2 ⇒ |z1 + z2| |z1| + |z2 | (ii) V`ı |z2 | = | − z2| nˆen |z1 − z2 | = |z1 + (−z2)| ≤ |z1| + | − z2| = |z1 | + |z2| ´ du.ng (ii) cho z1... dˆ |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2) Gia’i th´ıch y ´ ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a hˆe th´ u.c d˜a ch´ u.ng minh Gia’i Gia’ su’ z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 Khi d´o z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2), z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2 ), |z1 + z2|2 = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2)2 , |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 T` u d´o thu du.o c |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(x 21 + y1 )2 + 2(x22 + y22 ) = 2(|z1 |2... (1. 11) du.o c go.i l`a da.ng m˜ u cu’a sˆ o´ ph´ u.c C˜ ung nhu dˆo´i v´o.i da.ng lu.o ng gi´ac ta c´o: 1/ nˆe´u z1 = r1 ei 1 , z2 = r2 eiϕ2 th`ı z1z2 = r1 r2 ei( 1+ ϕ2 ) , r1 z1/z2 = ei( 1 −ϕ2 ) , r2 (1. 12) (1. 13) 2/ nˆe´u z = reiϕ th`ı z n = rn einϕ , √ √ ϕ+2kπ n z = n rei n , (1. 14) k = 0, n − 1 ´ V´I DU CAC ˜e n c´ac sˆo´ ph´ V´ı du 1 Biˆe’u diˆ u c sau dˆay du.´o.i da.ng lu.o ng gi´ac √ √ 1) 1. .. diˆe’m z1, z2 v`a z3 n˘a`m trˆen du.`o.ng tr`on do.n vi Ta t`ım dˆo d`ai cu’a c´ac ca.nh tam gi´ac 1+ T`ım dˆo d`ai |z1 − z2| Ta c´o |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 = x 21 + y12 + x22 + y22 − (2x1 x2 + 2y1 y2) = 2(x 21 + y12) + 2(x22 + y22 ) − [(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2] = 2|z1 |2 + 2|z2 |2 − 2|z1 + z2 |2 Nhu.ng z1 + z2 = −z3 v`a |z1 + z2| = |z3| Do d´o |z1 − z2|2 = 2|z1 |2 + 2|z2|2 − |z3|2 = 2 · 1 +... 2i) 3 z 1 V´ı du 6 Gia’ su’ z = a + ib, z = 1 Ch´ l`a u.ng minh r˘`ang w = z +1 `an a’o khi v`a chı’ khi a2 + b2 = 1 sˆo´ thuˆ Gia’i Ta c´o w= (a − 1) + ib a2 + b2 − 1 2b = +i · 2 2 (a + 1) + ib (a + 1) + b (a + 1) 2 + b2 `an a’o khi v`a chı’ khi T` u d´o suy r˘`ang w thuˆ a2 + b2 − 1 = 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 1 (a + 1) 2 + b2 ` TA ˆP BAI T´ınh (1 + i)8 − 1 · 1 (1 − i)8 + 1 (DS 15 ) 17 2 (1 + 2i)3 + (1 − 2i)3... 1) Gia’i phu.o.ng tr`ınh 1+ Chia hai vˆe´ cu’a phu.o.ng tr`ınh cho (x − 1) n ta du.o c x +1 x 1 n =1 √ 2kπ x +1 2kπ n = 1 = cos + i sin = εk , x 1 n n k = 0, 1, , n − 1 ˜e n sˆo´ ph´ 1. 4 Biˆe’u diˆ u.c du.´o.i da.ng lu.o ng gi´ac T` u d´o suy r˘a`ng x + 1 = εk (x − 1) ⇒ x(εk − 1) = 1 + εk Khi k = 0 ⇒ ε0 = 1 Do d´o v´o.i k = 0 phu.o.ng tr`ınh vˆo nghiˆe.m V´o.i k = 1, n − 1 ta c´o (εk + 1) (εk − 1) ... b2 = 4, (1. 3) 2ab = −3 (1. 4) 3 T` u (1. 4) ta c´o b = − Thˆe´ v`ao (1. 3) ta thu du.o c 2a 4u2 − 16 u − 9 = 0, u = a2 √ 8 + 10 18 9 8 + 10 0 = = = , u1 = 4 4 4 2 ⇐⇒ √ 8 − 10 1 8 − 10 0 u2 = = =− · 4 4 2 V`ı a ∈ R nˆen u 0⇒u= 9 v`a do vˆa.y 2 3 1 a = ±√ ⇒ b = ∓√ · 2 2 T` u d´o ta thu du.o c 1 3 w1,2 = ± √ − √ i 2 2 ˜e n sˆo´ ph´ V´ı du 5 Biˆe’u diˆ u.c √ √ 5 + 12 i − 5 − 12 i √ z=√ 5 + 12 i + 5 − 12 i √ √ `eu... = (z1 + z2 ) − z2 v`a thu du.o c (iii) Ap |z1| |z1 + z2 | + |z2| → |z1 + z2| |z1| − |z2| u.c Chu.o.ng 1 Sˆo´ ph´ 16 (iv) |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| ≥ |z1| − | − z2 | = |z1| − |z2| Nhˆ a.n x´et C´ac bˆa´t d˘a’ng th´ u.c (iii) v`a (iv) c`on c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng (iii)∗ |z1 + z2 | |z1| − |z2| ; (iv)∗ |z1 − z2 | |z1| − |z2| Thˆa.t vˆa.y ta c´o |z1 + z2| |z1| − |z2| v`a |z1 + z2| |z2| − |z1 | C´ac... Ta cˆ 1+ i 2 2n +1 = 1+ i 2 2 2n i = 2 2n n i2 1 = 2n = 2n · 2 2 Do d´o 1 1 2 1 − 2n n 1+ i 2 2 2 × σ= = 1+ i 1 i 1+ i 1 2 1 = 1 − 2n (1 + i) 2 √ ˜e n sˆo´ ph´ V´ı du 4 Biˆe’u diˆ u.c 4 − 3i du.´o.i da.ng da.i sˆo´ `an t`ım sˆo´ ph´ Gia’i Theo di.nh ngh˜ıa ta cˆ u.c w sao cho w2 = 4 − 3i Nˆe´u w = a + bi, a, b ∈ R th`ı 1 4 − 3i = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi 1. 2 Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c 11 T` u ... 89 10 9 10 9 10 9 11 8 11 8 11 9 13 2 13 2 13 3 13 4 13 4 14 3 16 5 n Khˆ ong gian Euclide R - i.nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆ `eu v`a mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m co 5 .1 D `e vecto ... cho v´o.i − ta c´o 1 σ= + i 2n 1+ i 1 2 + i 2n +1 · 1+ i 1 1 = `an t´ınh Ta cˆ 1+ i 2n +1 = 1+ i 2 2n i = 2n n i2 = 2n = 2n · 2 Do d´o 1 − 2n n 1+ i 2 × σ= = 1+ i 1 i 1+ i 1 = − 2n (1 + i) √ ˜e n sˆo´... (a1, b1) = (a2, b2 ) ⇐⇒ b1 = b2 (II) Ph´ep cˆo.ng - inh ngh˜ıa sˆo´ ph´ 1. 1 D u.c def (a1 , b1) + (a2, b2 ) = (a1 + a2, b1 + b2 ) .1 (III) Ph´ep nhˆan def (a1, b1 )(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1

Ngày đăng: 06/12/2015, 17:25

TỪ KHÓA LIÊN QUAN