Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp đại học ngành giáo dục tiểu học phần toán cao cấp phần 1 đh huế

Đại học huế Trung tâm Đo tạo từ xa TS Nguyễn Gia Định - pgs.ts Trần Lộc Hùng ts Nguyễn Vũ Tiến - ts.Nguyễn Văn Toản - ts.Tôn Thất Trí Hớng dẫn ôn thi tốt nghiệp đại học ngnh giáo dục tiểu học phần toán cao cấp (Tái lần thứ nhất) Nh xuất Giáo dục Lời nói đầu Chơng I: Quan hệ Tóm tắt lí thuyết Bi tập v lời giải Chơng II : ánh xạ 16 Tóm tắt lí thuyết 16 Bi tập v lời giải 22 Chơng III: Nhóm 34 Tóm tắt lí thuyết 34 Bi tập v lời giải 40 Chơng IV : Vnh -Trờng 50 Tóm tắt lí thuyết 50 Bi tập v lời giải 58 Chơng V: BIến cố ngẫu nhiên v xác suất 71 Tóm tắt lí thuyết 71 Bi tập v lời giải 74 Chơng VI: Biến ngẫu nhiên v phân phối xác suất 111 Tóm tắt lí thuyết 111 Bi tập v lời giải 113 Chơng VII : Thống kê toán học 125 Tóm tắt lí thuyết 125 Bi tập v lời giải 128 Lời nói đầu Hiện học viên Trung tâm Đo tạo Từ xa thuộc Đại học Huế (TTĐTTX), có số học phần toán, trông chờ hệ thống sách bi tập với lời giải chi tiết hớng dẫn giải để giúp họ hiểu bi tốt v từ giải đợc đề thi theo yêu cầu TTĐTTX Đặc biệt l học viên ngnh giáo dục tiểu học, với số lợng ngy cng đông, cần sách nh Hơn nữa, cha có ti liệu hớng dẫn ôn thi tốt nghiệp đại học ngnh giáo dục tiểu học phần toán cao cấp Trong tình hình với yêu cầu thiết nh thế, cố gắng hon thnh ti liệu phục vụ cho việc ôn thi tốt nghiệp v yêu cầu nói Đây l tuyển tập gồm bi tập đại số v xác suất thống kê dnh cho học viên TTĐTTX ngnh giáo dục tiểu học ôn tập để chuẩn bị thi tốt nghiệp Nội dung ti liệu ny đợc bố trí chơng, chơng gồm hai phần : tóm tắt lí thuyết v bi tập với lời giải chi tiết Đó l chơng quan hệ, ánh xạ, nhóm, vnh-trờng, biến cố ngẫu nhiên v xác suất, biến ngẫu nhiên v phân phối xác suất, thống kê toán học Ton nội dung bám sát chơng trình TTĐTTX v Bộ Giáo dục v Đo tạo toán cao cấp dnh cho ngnh giáo dục tiểu học Ti liệu ny dùng lm ti liệu tham khảo tốt cho sinh viên ngnh toán v giáo dục tiểu học trờng đại học v cao đẳng Các tác giả xin chân thnh cảm ơn TTĐTTX v Khoa Toán-Cơ-Tin học (Trờng Đại học Khoa học-Đại học Huế) giúp đỡ quý báu v tạo điều kiện thuận lợi cho việc xuất sách ny Các tác giả mong nhận đợc giáo đồng nghiệp v độc giả thiếu sót khó tránh khỏi sách Huế, tháng 04 năm 2002 Chơng I: Quan hệ Tóm tắt lí thuyết 1.1 Quan hệ hai 1.1.1 Định nghĩa Cho hai tập hợp X v Y Một quan hệ hai từ X đến Y l tập R tích Descartes X ì Y Ta nói phần tử x X có quan hệ R với phần tử y Y (x, y) R v viết l xRy Đặc biệt, R X2 ta nói R l quan hệ hai X 1.1.2 Định nghĩa Cho R l quan hệ hai tập hợp X Khi ta nói R có tính phản xạ x X, xRx ; R có tính đối xứng x, y X, xRy yRx ; R có tính phản đối xứng x, y X, xRy v yRx x = y ; R có tính bắc cầu, x, y, z X, xRy v yRz xRz 1.1.3 Thí dụ 1) Quan hệ (=) tập hợp X tuỳ ý có tính chất : phản xạ, đối xứng, phản đối xứng v bắc cầu 2) Quan hệ tập hợp N số tự nhiên có tính chất : phản xạ, phản đối xứng v bắc cầu 3) Quan hệ bao hm () tập hợp P(X) gồm tất tập X l quan hệ hai có tính chất : phản xạ, phản đối xứng v bắc cầu 4) Quan hệ đồng dạng () tập hợp tam giác có tính chất : phản xạ, đối xứng v bắc cầu 1.2 Quan hệ tơng đơng 1.2.1 Định nghĩa Quan hệ hai R tập hợp X đợc gọi l quan hệ tơng đơng X R có ba tính chất phản xạ, đối xứng v bắc cầu Chẳng hạn, quan hệ v quan hệ đồng dạng nh Thí dụ 1.1.3 l quan hệ tơng đơng 1.2.2 Định nghĩa Cho R l quan hệ tơng đơng tập hợp X v a X Tập hợp {x X | xRa} gọi l lớp tơng đơng a (theo quan hệ R), kí hiệu l a hay [a] hay C(a) Mỗi phần tử lớp tơng đơng gọi l đại biểu lớp tơng đơng 1.2.3 Mệnh đề Cho R l quan hệ tơng đơng tập hợp X Khi lớp tơng khác rỗng v hai lớp tơng đơng rời trùng 1.2.4 Định nghĩa Một phân hoạch tập hợp X l họ (Xi)i I gồm tập khác rỗng X cho X = Xi , Xi Xj = (i, j I, i j) iI 1.2.5 Mệnh đề Mỗi quan hệ tơng đơng tập hợp X xác định phân hoạch X lớp tơng đơng Điều ngợc lại Cụ thể lm phân hoạch (Xi)i I tập hợp X xác định quan hệ tơng đơng R X, cho Xi l lớp tơng đơng Quan hệ R đợc xác định : xRy có i I cho x, y Xi 1.2.6 Định nghĩa Cho X l tập hợp v R l quan hệ tơng đơng X Tập hợp lớp tơng đơng phân biệt X quan hệ R đợc gọi l tập hợp thơng X theo quan hệ tơng đơng R, kí hiệu l X/R 1.2.7 Thí dụ 1) Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4} v xét quan hệ hai R P(X) nh sau : A, B P(X) A R B |A| = |B| (Kí hiệu |A| để số phần tử A.) Dễ dng chứng minh đợc R l quan hệ tơng đơng P(X) Các lớp tơng đơng theo quan hệ R l : C0 = {} (tập X phần tử no) C1 = {{1}, {2}, {3}, {4}} (các tập X có phần tử) C2 = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}} (các tập X có hai phần tử) C3 = {{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}} (các tập X có ba phần tử) C4 = {{1, 2, 3, 4}} (tập X có bốn phần tử) Tập hợp thơng P(X) theo quan hệ R l P(X)/R = {C0, C1, C2, C3, C4} 2) Cho n l số nguyên lớn v xét quan hệ hai sau tập Z số nguyên v gọi l quan hệ đồng d môđulô n : x, y Z, x y (mod n) x y l bội số n Dễ dng chứng minh đợc (mod n) l quan hệ tơng đơng Z Với x Z, tồn hai số nguyên q v r cho x = qn + r với r < n v x r (mod n) Do lớp tơng đơng theo quan hệ ny l = {qn | q Z}, = {qn + | q Z}, , n = {qn + n | q Z} Tập hợp thơng Z theo quan hệ đồng d môdulô n l { , , , n } v thờng kí hiệu l Zn, phần tử Zn gọi l số nguyên môđulô n 1.3 Quan hệ thứ tự 1.3.1 Định nghĩa Quan hệ hai tập hợp X đợc gọi l quan hệ thứ tự X có tính chất phản xạ, phản đối xứng v bắc cầu Tập hợp X đợc trang bị quan hệ thứ tự đợc gọi l tập đợc thứ tự Nếu x y, ta nói x đứng trớc y Nếu x y v x y ta viết x < y Tập Y X đợc gọi l đợc thứ tự ton phần (hay đợc thứ tự tuyến tính) với x, y Y, ta có x y y x Trong trờng hợp ngợc lại ta nói Y đợc thứ tự phận 1.3.2 Thí dụ 1) Quan hệ thông thờng tập hợp số N, Z, Q, R l quan hệ thứ tự ton phần 2) Trên tập hợp N số tự nhiên, xét quan hệ hai chia hết (|) nh sau : x, y N, x 0, x | y k N, y = kx Quan hệ ny có hai tính chất : phản đối xứng v bắc cầu, nhng tính chất phản xạ (ta 0|0) Vì vậy, quan hệ chia hết l quan hệ thứ tự N Tuy nhiên, quan hệ chia hết lại l quan hệ thứ tự tập N* số tự nhiên khác không quan hệ chia hết thứ tự phận tập N* 3) Quan hệ bao hm () thứ tự phận tập P(X) gồm tập X 4) Cho X l tập hợp đợc thứ tự ton phần quan hệ Trên X n, ta định nghĩa quan hệ hai D nh sau : x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) X n xDy x = y i , x1 = y1 , , xi = yi , xi < yi Khi Xn đợc thứ tự ton phần quan hệ D Quan hệ ny đợc gọi l quan hệ thứ tự từ điển 1.3.3 Định nghĩa Cho X l tập hợp đợc thứ tự quan hệ thứ tự v A X Ta nói : Phần tử a X l phần tử tối đại X x X, a x x = a ; Phần tử b X l phần tử tối tiểu X x X, x b x = b ; Phần tử m X l phần tử lớn X x X, x m ; Phần tử n X l phần tử nhỏ X x X, n x ; Phần tử c X l phần tử chặn A x A, x c ; Phần tử d X l phần tử chặn dới A x A, d x ; Phần tử nhỏ tập hợp tất phần tử chặn A l cận A X, kí hiệu l sup A ; X Phần tử lớn tập hợp tất phần tử chặn dới A l cận dới A X, kí hiệu l inf A N 1.3.4 Chú ý Phần tử lớn hay nhỏ (nếu có) l Nếu có phần tử lớn l phần tử tối đại Tơng tự, có phần tử nhỏ l phần tử tối tiểu Cận A thuộc A v l phần tử lớn A Tơng tự, cận dới A thuộc A v l phần tử nhỏ A 1.3.5 Định nghĩa Cho tập hợp X đợc thứ tự quan hệ Ta nói X đợc thứ tự tốt quan hệ ny tập khác rỗng X có phần tử nhỏ 1.3.6 Thí dụ 1) Xét tập đợc thứ tự N* quan hệ chia hết (|) v A = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Tập A phần tử lớn nhất, nhng có phần tử nhỏ v l phần tử tối tiểu l 1, phần tử tối đại l 7, 8, 9, 10, 11, 12 Cận A N* l BCNN (1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) v cận dới A N* l 2) Xét tập đợc thứ tự P(X) quan hệ bao hm (), X l tập khác rỗng Phần tử lớn v nhỏ P(X) lần lợt l X v Các phần tử tối tiểu P(X) \ {} l tập {a} với a X Các phần tử tối đại P(X) \ {X} l tập X \ {a} với a X Cận v cận dới A = {A1, A2, , An} P(X) lần lợt l A1 A2 An v A1 A2 An 3) Tập hợp thứ tự (N, ) l tập thứ tự tốt Các tập hợp thứ tự (R, ), (Z, ) l tập thứ tự tốt Tập thứ tự (N* , |) l tập thứ tự tốt tập A = {2, 3, 5} phần tử nhỏ Bi tập v lời giải Xác định xem quan hệ R tập Z số nguyên có tính phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu không ? Với xRy v : a) x y ; b) xy ; c) x = y + hay x = y ; d) x l bội số y ; e) x v y âm không âm ; f) x = y2 ; g) x y2 Giải a) R có tính đối xứng b) R có tính đối xứng v bắc cầu c) R có tính đối xứng d) R có tính phản xạ v bắc cầu e) R có tính phản xạ, đối xứng v bắc cầu f) R có tính phản đối xứng g) R có tính phản đối xứng v bắc cầu Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Z Hãy liệt kê tất phần tử quan hệ R sau X v xét xem quan hệ R có tính chất no ? a) x, y X, xRy x + y l số chẵn b) x, y X, x 0, xRy x | y Giải a) R = {(0, 0), (0, 2), (0, 4), (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 0), (4, 2), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} Dễ dng chứng minh đợc R có tính chất : phản xạ, đối xứng v bắc cầu b) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (5, 0)} Dễ dng có đợc R có tính chất : phản đối xứng v bắc cầu Một quan hệ R tập X đợc gọi l quan hệ vòng quanh xRy v yRz kéo theo zRx Chứng minh quan hệ R l phản xạ v vòng quanh v R l quan hệ tơng đơng Giải () Ta có R l phản xạ x, y X, xRy xRy yRy yRx (do tính vòng quanh), tức l R có tính đối xứng x, y, z X, xRy yRz zRx xRz, tức l R có tính bắc cầu Vậy R l quan hệ tơng đơng () R l quan hệ tơng đơng nên R có tính phản xạ x, y, z X, xRy yRz xRz zRx, tức l R có tính vòng quanh Cho L0 l đờng thẳng cho trớc mặt phẳng R2 Một quan hệ R tập L tất đờng thẳng mặt phẳng R2 đợc xác định nh sau : L1, L2 L, L1 R L2 L1 L0 v L2 L0 Xác định xem R có l quan hệ tơng đơng hay không ? Giải R có tính đối xứng v bắc cầu, nhng R tính phản xạ Do R không l quan hệ tơng đơng Tuy nhiên, L l tập đờng thẳng mặt phẳng R2 cắt L0 R l quan hệ tơng đơng L Cho M l tập hợp khác rỗng v a M Trên X = P(M), ta định nghĩa quan hệ hai nh sau : R = {(A, B) X | A = B hay a A B} Chứng minh R l quan hệ tơng đơng X Hãy tập hợp thơng Giải Từ A = A, ta có (A, A) R hay R có tính phản xạ A, B X, (A, B) R A = B a A B B = A a B A (B, A) R, tức l R có tính đối xứng A, B, C X, (A, B) R (B, C) R (A = B a A B) (B = C a B C) (A = B B = C) (A = B a B C) (a A B B = C) (a A B a B C) A = C a A C (A, C) R, tức l R có tính bắc cầu Vậy R l quan hệ tơng đơng Với A X, a A (A, B) R A = B nghĩa l lớp tơng đơng A = {A} v a A (A, B) R a B nghĩa l lớp tơng đơng A = {B X | a B} Do tập thơng X theo R l X / R = {{A} | A M, a A} {{A X | a A}} Gọi X l tập hợp hm thực biến số thực Chứng tỏ quan hệ R sau l quan hệ tơng đơng X : a) x, y X, xRy C > 0, x(t) = y(t), t R, |t| < C b) x, y X, xRy lim t x (t ) y( t ) = , n N cho trớc tn Giải a) x X, x(t) = x(t), t R, nghĩa l R có tính phản xạ, x, y X, xRy C > 0, x(t) = y(t), t R |t| < C C > 0, y(t) = x(t), t R, |t| < C yRx, nghĩa l R có tính đối xứng x, y, z X, xRy yRz C1, C2 > 0, (x(t) = y(t), t R, |t| < C1) (y(t) = z(t) t R, |t| < C2) C = (C1, C2), x(t) = z(t), t R, |t| < C, nghĩa l R có tính bắc cầu Vậy R l quan hệ tơng đơng x (t ) x (t ) = hay xRx, nghĩa l R có tính phản xạ t tn x ( t ) y( t ) y(t ) x (t ) x, y X, xRy lim = lim = yRx, nghĩa l R có tính đối n t t t tn x ( t ) y( t ) y(t ) z(t ) x (t ) z(t ) xứng x, y, z X, xRy yRz lim = lim = lim n n t t t t t tn x ( t ) y( t ) y(t ) z(t ) = lim + lim = xRz, nghĩa l R có tính bắc cầu Vậy R l quan hệ n t t t tn tơng đơng b) x X, lim Xét quan hệ hai R N2 nh sau : (m1, n1), (m2, n2) N2, (m1, n1) R (m2, n2) m1 + n2 = m2 + n1 Chứng minh R l quan hệ tơng đơng N2 Hãy tập hợp thơng 3.1.4 Mệnh đề Cho G l nhóm Khi G tồn luật giản ớc, nghĩa l a, b, c G, ac = bc kéo theo a = b v ca = cb kéo theo a = b 3.1.5 Mệnh đề Cho G l tập hợp khác rỗng đợc trang bị phép nhân có tính kết hợp, cho a, b G phơng trình ax = b v ya = b có nghiệm G Khi G l nhóm 3.1.6 Định nghĩa Cho G l tập hợp khác rỗng Nếu G có phép toán G đợc gọi l nhóm Nếu nhóm G thoả mãn tính chất (G1) G gọi l nửa nhóm v thoả mãn thêm tính chất (G2) G gọi l vị nhóm 3.1.7 Thí dụ 1) Mỗi song ánh từ tập {1, 2, , n} vo nó, nh ta biết, đợc gọi l hoán vị bậc n hay phép n phần tử Gọi Sn l tập hợp tất hoán vị nh Nếu , Sn ánh xạ hợp thnh xác định công thức (i) = ((i)) (1 i n) l song ánh từ tập {1, 2, , n} vo nó, tức l , Sn Dễ dng kiểm chứng Sn với phép toán hợp thnh ánh xạ lập thnh nhóm, gọi l nhóm đối xứng bậc n Phần tử đơn vị Sn l ánh xạ đồng {1, 2, , n} Phần tử nghịch đảo Sn l ánh xạ ngợc Nhóm Sn l aben v n = n = 2) Tập hợp Z số nguyên với phép cộng thông thờng l nhóm aben với phần tử trung ho l 0, phần tử đối x l x, với x Z Tơng tự, tập hợp Q số hữu tỉ, tập hợp R số thực, tập hợp C số phức với phép cộng thông thờng l nhóm aben Trái lại tập hợp N số tự nhiên với phép cộng thông thờng không l nhóm m l vị nhóm aben Q \ {0}, R \ {0} l nhóm aben với phép nhân thông thờng Tập hợp Q+ (tơng ứng R+) số hữu tỉ (tơng ứng thực) dơng l nhóm aben với phép nhân thông thờng Tập hợp S1 = {z C | |z| = 1} lập thnh nhóm aben phép nhân số phức 3) Nh ta biết, quan hệ hai Z nh sau (đồng d môđulô n) l quan hệ tơng đơng: x, y Z, x y x y l bội n Kí hiệu Zn l tập hợp thơng Z quan hệ , Zn = { 1, 2, , n } Ta trang bị cho Zn phép cộng nh sau : x, y Z, x + y = x + y Định nghĩa ny không phụ thuộc vo cách chọn phần tử đại biểu lớp tơng đơng Zn với phép cộng ny lập thnh nhóm aben 3.2 Nhóm 3.2.1 Định nghĩa Cho G l nhóm v H l tập G Ta nói H đóng phép toán G x, y H, xy H Khi H có phép toán thu hẹp từ phép toán G v H với phép toán cảm sinh ny lập thnh nhóm H đợc gọi l nhóm G Nh với nhóm G, có nhóm l {1} v G, gọi l nhóm tầm thờng G 3.2.2 Mệnh đề Cho G l nhóm v H l tập khác rỗng G Khi điều sau tơng đơng : 1) H l nhóm G 2) x, y H, xy H, x1 H 3) x, y H, xy1 H 3.2.3 Thí dụ 1) Mỗi nhóm cộng sau l nhóm nhóm đứng sau : Z Q R C 2) Mỗi nhóm nhân sau l nhóm (các) nhóm đứng sau : Q+ Q \ {0} R \ {0} C \ {0}, Q+ R+, S1 C \ {0} 3) Cho G l nhóm v a G Nếu G l nhóm nhân ta kí hiệu n = an = a a a (n lần) n > a a a ( n lần) n < Khi tập hợp {na | n Z} l nhóm G 3.2.4 Mệnh đề Giao họ khác rỗng nhóm nhóm G l nhóm G 3.2.5 Định nghĩa Cho G l nhóm v X l tập G Xét họ nhóm G chứa X Họ ny khác rỗng, G l phần tử Gọi l giao tất nhóm họ l nhóm nhỏ G chứa X Nó đợc gọi l nhóm G sinh X Khi G = , ta nói X l tập sinh G Nếu G l nhóm v a G ta viết thay v gọi l nhóm cyclic sinh phần tử a Cấp nhóm cyclic gọi l cấp phần tử a, kí hiệu ord(a) Ta có = {an | n Z} Nếu G = ta nói G l nhóm cyclic 3.3 Nhóm chuẩn tắc v nhóm thơng 3.3.1 Định nghĩa Cho G l nhóm v H l nhóm G Xét quan hệ hai Rt G nh sau: x, y G, xRty x1y H Đây l quan hệ tơng đơng G Lớp tơng đơng x G l tập hợp {y G | x y H} = {xh | h H}, kí hiệu l xH v đợc gọi l lớp kề trái x theo H Tơng tự, ta có quan hệ tơng đơng Rp: x, y G, xRpy yx1 H Lớp tơng đơng x G l tập hợp {y G | yx1 H} = {hx | h H}, kí hiệu l Hx v đợc gọi l lớp kề phải x theo H Với x G, lớp kề trái xH v lớp kề phải Hx không thiết trùng Nhng G l nhóm aben xH = Hx Nếu G l nhóm hữu hạn H l nhóm hữu hạn v Rt phân hoạch G thnh số hữu hạn lớp kề trái xH, x G Số ny đợc gọi l số nhóm H G v số lớp kề phải Hx, x G, kí hiệu l [G : H] 3.3.2 Định lí (Lagrange) Nếu G l nhóm hữu hạn v H l nhóm G ta có : |G| = [G : H] |H| Từ suy nhóm nhóm hữu hạn G có cấp l ớc số cấp nhóm G 3.3.3 Định nghĩa Nhóm H nhóm G đợc gọi l nhóm chuẩn tắc G, kí hiệu H  G x G, xH = Hx Nh H l nhóm G H  G x G, h H, xhx1 H Khi đó, tập hợp {xH | x G} đợc kí hiệu l G / H v ta có phép toán G / H l (1)G / H ì G / H G / H : (xH, yH) xyH 3.3.4 Mệnh đề v Định nghĩa G / H với phép toán (1) lập thnh nhóm Nhóm ny gọi l nhóm thơng G theo nhóm chuẩn tắc H 3.4 Đồng cấu nhóm 3.4.1 Định nghĩa Cho G v G l nhóm với phép toán viết theo phép nhân Một ánh xạ f : G G đợc gọi l đồng cấu nhóm x, y G, f(x, y) = f(x)f(y) 3.4.2 Hệ Cho f : G G l đồng cấu nhóm Khi 1) f chuyển đơn vị G thnh đơn vị G, nghĩa l f(1G) = 1G 2) f chuyển nghịch đảo phần tử x G thnh nghịch đảo phần tử f(x) G, nghĩa l f(x1) = f(x)1 3.4.3 Định nghĩa Một đồng cấu nhóm đồng thời l đơn ánh (tơng ứng ton ánh, song ánh) đợc gọi l đơn cấu (tơng ứng ton cấu, đẳng cấu) nhóm 3.4.4 Mệnh đề 1) Nếu f : G G v f : G G l đồng cấu nhóm f D f : G G l đồng cấu nhóm 2) Nếu f : G G l đẳng cấu nhóm ánh xạ ngợc f1 : G G l đẳng cấu nhóm Nếu có đẳng cấu nhóm f : G G ta nói G đẳng cấu với G, kí hiệu G G Quan hệ đẳng cấu l quan hệ tơng đơng 3.4.5 Mệnh đề Cho f : G G l đồng cấu nhóm H l nhóm G v H l nhóm G Khi f(H) l nhóm G v f1(H) l nhóm G Đặc biệt, H  G f1(H)  G 3.4.6 Định nghĩa Cho đồng cấu nhóm f : G G Khi f(G) l nhóm G, gọi l ảnh f, kí hiệu Imf ; f1(1G) l nhóm chuẩn tắc G, gọi l hạt nhân f, kí hiệu Kerf 3.4.7 Mệnh đề Cho f : G G l đồng cấu nhóm Khi f l ton cấu v Imf = G v l đơn cấu v Kerf = {1G} 3.4.8 Mệnh đề Cho f : G G l đồng cấu nhóm Khi ánh xạ f : G / Kerf G cho f (xKerf) = f(x) l đơn cấu nhóm Từ suy : f : G / Kerf Imf l đẳng cấu nhóm 3.4.9 Thí dụ 1) Xét phép tơng ứng f : Z6 Z2 ì Z3 : x(mod 6) (x(mod 2), x(mod 3)) x(mod 6) = y(mod 6) x y (mod 6) x y (mod 2) v x y (mod 3) x(mod 2) = y(mod 2) v x(mod 3) = y(mod 3) (x(mod 2), x(mod 3)) = (y(mod 2), y(mod 3)) Do f l đơn ánh Vì |Z6| = |Z2 ì Z3| = nên f l song ánh Ngoi ra, f(x(mod 6) + y(mod 6)) = f((x + y) (mod 6)) = ((x + y) (mod 2), (x + y) (mod 3)) = (x(mod 2), x(mod 3)) + (y(mod 2), y(mod 3)) = f(x(mod 6)) + f(y(mod 6)) Vậy f l đẳng cấu nhóm 2) Xét nhóm nhân C* số phức khác 0, nhóm nhân R+ số thực dơng v ánh xạ f : C* R+ : z |z | Khi f l ton ánh v f(zz) = |zz| = |z||z| = f(z)f(z) Ngoi ra, Kerf = {z C* | |z| = 1} = S1 Do ta có đẳng cấu nhóm C* / S1 R+ Bi tập v lời giải Cho G l nửa nhóm khác rỗng Chứng minh điều sau tơng đơng: a) G l nhóm b) Với a, b G, phơng trình ax = b v ya = b có nghiệm c) Trong G tồn đơn vị trái e v đơn vị trái đó, phần tử G có nghịch đảo trái Giải a) b) Rõ rng x = a1b v y = ba1 theo thứ tự l nghiệm phơng trình ax = b v ya = b b) c) Vì G nên tồn a G Gọi e l nghiệm phơng trình ya = a Với b G, gọi c l nghiệm phơng trình ax = b Khi eb = e(ac) = (ea)c = ac = b Vậy e l đơn vị trái G Nghiệm phơng trình ya = e cho nghịch đảo trái a c) a) Giả sử G có đơn vị trái e v với a G có nghịch đảo trái a Gọi a l nghịch đảo trái a Vì aa = e(aa) = (aa)(aa) = a(aa)a = a(ea) = aa = e nên a l nghịch đảo phải a Mặt khác, ta có ae = a(aa) = (aa)a = ea = a Vậy e l đơn vị phải Do G l nhóm Trên tập hợp Q số hữu tỉ, xét phép toán * xác định nh sau: a, b Q, a * b = a + b + ab a) Q phép toán * có phải l nhóm không ? Tại sao? b) Chứng minh Q \ {1} phép toán * tạo thnh nhóm Giải a) a, b, c Q (a * b) * c = (a + b + ac) * c = a + b + ab + c + ac + bc + abc = a + b + c + bc + ab + ac + abc = a * (b + c + bc) = a * (b * c),hay phép toán * có tính kết hợp a Q, a * = * a = a, hay l phần tử đơn vị Q phép toán * Do Q với phép toán * l vị nhóm, nhng l nhóm, phần tử a = phần tử nghịch đảo b) Từ a + b + ab + = (a + 1) (b + 1), ta có a, b Q \ {1}, a * b hay a * b Q \ {1} Do Q \ {1} l vị nhóm với phép toán * Ngoi ra, a Q \ {1}, a có phần nghịch đảo l a Q \ {1} Vậy Q \ {1} với phép toán * l nhóm 1+ a Chứng minh tập hợp G = {(a, b) | a, b R, b 0} phép toán kí hiệu l phép nhân (a, b), (a, b), (a, b)(a, b) = (ab + a, bb) l nhóm v H = {(a, 1) | a R} l nhóm G Giải (a, b), (a, b), (a, b) G, ((a, b), (a, b), (a, b) = (ab + a, bb) (a, b) = (abb + ab + a, bbb) = (a, b) (ab + a, bb) = (a, b) ((a, b) (a, b)) hay phép toán nhân có tính kết hợp (a, b) G, (a, b) (0, 1) = (0, 1) (a, b) = (a, b) hay (0, 1) l phần tử đơn vị G (a, a a b) G, (a, b) ( , ) = ( , ) (a, b) = (0, 1) hay (a, b) có phần tử nghịch đảo l b b b b a ( , ) Vậy G l nhóm b b H (0, 1) H (a, 1), (a, 1) H, (a, 1) (a, 1)1 = (a, 1) ( a , ) = (a a, 1 1) H Vậy H l nhóm G Cho G = R* ì R (với R l tập hợp số thực v R* = R \ {0}) v * l phép toán G xác định : (x, y) * (x, y) = (xx, xy + y ) x a) Chứng minh (G, *) l nhóm b) Chứng tỏ với k R, tập hợp Hk = {(x, k (x )) | x R*} x l nhóm giao hoán G c) Hãy xác định tâm Z(G) G Giải a) (x, y), (x, y), (x, y) G, ((x, y) (x, y)) (x, y) = (xx, xy+ = (xxx xxy + y ) (x, y) x xy y + ) x xx = (x (xx), x (x y + y y y )+ ) = (x, y) (xx, x y + ) x x x x = (x, y) ((x, y) (x, y)) (x, y) G, (x, y) (1, 0) = (x, y) = (1, 0) (x, y) (x, y) G, (x, y) ( 1 , y) (1, 0) = ( , y) (x, y) x x Vậy G l nhóm ) Hk nên Hk 1 (x, k(x )), (y, k(y )) Hk, x y b) (1, 0) = (1, k(1 (x, k(x =( 1 1 )) (y, k(y ))1 = (x, k(x )) ( , k( y)) = x y x y y x x y , k( ) Hk y y x (x, k(x 1 )) (y, k(y )) = (xy, k(xy )) x y xy = (y, k(y 1 )) (x, k(x )) y x Vậy Hk l nhóm giao hoán G c) Z(G) = {(x, y)(x, y) (a, b) = (a, b) (x, y), (a, b) G} = {(x, y) (xa, xb + = {(x, y) b(x y b ) = (ax, ay + ), (a, b) G} a x 1 ) = y(a ), (a, b) G} x a = 0, y = 0} x = {(1, 0), (1, 0)} = {(x, y) x Trên tập hợp G = [0, 1) = {x R0 x < 1}, xét phép toán nh sau : x, y G, x y = x + y [x + y] [x + y] l phần nguyên x + y a) Chứng minh (G, ) l nhóm abel b) Chứng minh ánh xạ f : G C* xác định f(x) = cos2x + isin2x, l đồng cấu nhóm, C* l nhóm nhân số phức khác Giải a) Trớc hết ta có x R, n Z, [x + n] = [x] + n x, y G, (x y) = x + y [x + y] = y + x [y + x] = y x x, y, z G, (x y) z = x y + z [x y + z ] = x + y [x + y] + z [x + y + z [x + y]] = x + y + z [x + y] [x + y + z] + [x + y] = x + y + z [x + y + z] = x + y + z [y + z] [x + y + z] + [y + z] = x + y + z [y + z] [x + y + z [y + z]] = x + y z [x + y z] = x (y z) x G, [x] = nên x = x + [x + 0] = x x G, x = = 0, x x G v x (1 x) = Vậy (G, ) l nhóm aben b) x, y G, f(x y) = cos2(x y) + isin2(x y) = cos(2x + 2y 2(x + y)) + isin(2x + 2y 2(x + y)) = cos(2x + 2y) + isin(2x + 2y) = (cos2x + isin2x) (cos2y + isin2y) = f(x)f(y) Vậy f l đồng cấu nhóm Trên tập hợp G = Z ì Z ì Z, Z l lập số nguyên, xét phép toán đợc xác định nh sau : (k1, k2, k3) (l1, l2, l3) = (k1 + (1) k3 l1, k2 + l2, k3 + l3), ki, li Z, i = 1, 2, Chứng minh : a) G l nhóm b) Nhóm cyclic A sinh (1, 0, 0) chuẩn tắc G c) G/A Z[i], Z[i] = {a + bia, b Z, i2 = 1} Giải a) Kiểm tra dễ dng phép nhân G có tính kết hợp, G có phần tử đơn vị l (0, 0, 0) v phần tử nghịch đảo (k1, k2, k3) l ((1) k3 + k1, k2, k3) Do G l nhóm b) (1, 0, 0)n = (n, 0, 0) với n l số nguyên Do A = {(n, 0, 0)n Z} Ta có (k1, k2, k3) (1, 0, 0) ((1) k3 + k1, k2, k3) = ((1) k3 , 0, 0) Do A  G c) Xét ánh xạ : G Z[i] cho ((k1, k2, k3)) = k2 + k3i l ton cấu v ker = A Do G/A Z[i] Xét nhóm Q số hữu tỉ với phép cộng thông thờng Chứng minh : a) Q không l nhóm cyclic ; b) Q/Z có đẳng cấu với Q không ? Giải m m v n l số nguyên nguyên tố n m Q nên tồn số nguyên k cho = k , điều ny dẫn đến vô lý l n = km n a) Giả sử Q l nhóm cyclic sinh b) Mỗi phần tử Q/Z có cấp hữu hạn, phần tử khác không Q có cấp vô hạn Do Q/Z đẳng cấu với Q Cho Q l nhóm số hữu tỉ với phép cộng Chứng minh ánh xạ f : Q Q l đồng cấu nhóm v tồn số a Q cho f(x) = ax, x Q Giải Nếu f : Q Q xác định f(x) = ax với a Q f l đồng cấu nhóm Thật vậy, x, y Q, f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y) Đảo lại, f : Q Q l đồng cấu nhóm đặt a = f(1), ta có a = f(1) = f(n 1 a ) = nf( ) hay f( ) = với số nguyên dơng n Khi x Q, n n n n x= m m 1 a m , m Z, n l số nguyên dơng, ta có f(x) = f( ) = f(m ) = mf( ) = m =a n n n n n n = ax Rõ rng a cho f(x) = ax, x Q Cho S3 l tập hợp hoán vị tập hợp {1, 2, 3} với phép nhân l tích hai hoán vị Hãy lập bảng nhân S3, chứng tỏ S3 l nhóm, nhóm ny có l nhóm cyclic không? Tìm tất nhóm nhóm S3 Giải Mỗi phần tử S3 l hoán vị {1, 2, 3}, tức l song ánh {1, 2, 3} {1, 2, 3} Phép toán nhân S3 l phép hợp thnh ánh xạ Các phần tử S3 l : k h k h = , ( ) = (1 ) , k h k h = , ( ) = ( 3) , 1 k h k h = , ( ) = (1 ) 3 Vì phép hợp thnh có tính kết hợp nên phép toán S3 có tính kết hợp S3 có phần tử đơn vị l (1) Căn vo bảng nhân sau đây, ta thấy phần tử S3 khả nghịch Cụ thể : (1)1 = (1), (1 2)1 = (1 2), (1 3)1 = (1 3) (2 3)1 = (2 3), (1 3)1 = (1 2), (1 2)1 = (1 3) Vậy S3 l nhóm Nhóm ny không l nhóm cyclic, phần tử no bậc ( = S3) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 3) (1 2) (1) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 3) (1 2) (1 2) (1 2) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 3) (1 3) (1 3) (1 3) (1) (1 2) (1 2) (2 3) (2 3) (2 3) (1 2) (1 3) (1) (1 3) (1 2) (1 3) (1 3) (1 3) (2 3) (1 2) (1 2) (1) (1 2) (1 2) (2 3) (1 2) (1 3) (1) (1 3) Đặt X = {(1 2), (1 3), (2 3)} v Y = {(1 3), (1 2)} Căn vo bảng nhân ta thấy nhóm H S3 chứa phần tử X phần tử X v phần tử Y H = S3 Vậy nhóm S3 l : {(1)}, {(1), (1 2)}, {(1), (1 3)},{(1), (2 3)}, {(1), (1 3), (1 2)}, S3 10 Trong nhóm nhân C* số phức khác không, xác định nhóm cyclic sinh phần tử x C*, a) x = 2 + i; 2 b) x = cos 4 + i sin 7 Giải a) x = x5 = 2 2 + + i , x2 = i, x3 = i , x4 = 1, 2 2 2 i , x6 = i, 2 x7 = 2 i , x8 = 2 Vậy < x > = {1, x, x2, x3, x4, x5, x6, x7} b) x = cos x3 = cos 4 + isin , 7 x2 = cos 8 + isin , 7 12 12 2 + isin + isin , x = cos , 7 7 6 10 10 + isin , x6 = cos + isin , x = 7 7 Vậy < x > = {1, x, x2, x3, x4, x5, x6} x5 = cos 11 Cho G l nhóm v H l nhóm G cho [G : H] = Chứng minh H  G Giải G có hai lớp kề l xH v H, x H Khi đó, với g G = H xH, với a H, ta có gag1 H g H v g H nghĩa l g = xh với h H gag1 = xhah1x1 H Do H  G 12 Cho G l nhóm v H l nhóm chuẩn tắc G cho H Z(G) Chứng minh G/H l nhóm cyclic G l nhóm abel Giải Giả sử G/H = < aH > (a G) x, y G, m, n Z cho xH = (aH)m = amH, yH = (aH)n = anH Khi x = amu v y = anv, với u, v H (nên thuộc Z(G)) xy = amuanv = amanuv = am + nvu = anamvu = anvamu = yx Vậy G l nhóm abel 13 Cho G l nhóm, với x, y G, kí hiệu [x, y] = x1y1xy Gọi [G, G] l nhóm G sinh tập {[x, y]x, y G} Chứng minh : a) [G, G]  G v [G, G] l nhóm nhỏ cho G/[G, G] l aben ; b) [xy, z] = y1[x, z] y [y, z], x, y, z G ; c) Nếu [G, G] Z(G), tâm G, với a G ánh xạ f : G G xác định f(x) = [x, a] l đồng cấu Tìm Ker(f) Giải a) x G, a [G, G], ta có x1ax = (x1axa1)a = [x, a1]a [G, G] Vậy [G, G]  G x, y G, x1y1xy [G, G] (x [G, G])1(y [G, G])1x[G, G] y [G, G] = [G, G] x [G, G] y [G, G] = y [G, G] x [G, G] G/[G, G] l nhóm aben Với H  G, G/H l aben x, y G : xyH = yxH x, y G : x y xy H [G, G] H b) [xy, z] = (xy)1z1xyz = y1x1z1xyz = y1(x1z1xz) y (y1 z1 yz) = y1[x, z] y [y, z] c) Nếu [G, G] Z(G) ta có [xy, a] = y1[x, a] y [y, a] = [x, a] y1y [y, a] = [x, a] [y, a] hay f(xy) = f(x) f(y), x, y G Vậy f l đồng cấu nhóm Kerf = {x G[x, a] = 1} = {x Gxa = ax} 14 Cho G l nhóm Chứng minh : a) Nếu N l nhóm chuẩn tắc G v H l nhóm G H N l nhóm chuẩn tắc H, HN l nhóm G v H/(H N) HN/N b) Nếu N, M l nhóm chuẩn tắc G v N M M/N l nhóm chuẩn tắc G/N v G/M (G/N) / (M/N) Giải a) Dễ dng có đợc H N  H Xét ánh xạ : H HN/N cho (h) = h + N l ton cấu v ker = H N Do H/(H N) HN/N b) Xét ánh xạ : G/N G/M cho (x + N) = x + M l ton cấu v ker = M/N Do (G/N)/(M/N) G/M 15 Cho G l nhóm cho có số nguyên n > thoả mãn (xy)n = xnyn, x, y G Gọi G(n) = {xnx G} v G(n) = {x G | xn = 1} Chứng minh : a) G(n)  G v G(n)  G b) G/G(n) G(n) Giải a) = 1n v 1n = nên G(n) v G(n), nghĩa l G(n) v G(n) xn, yn G(n), xn(yn)1 = xn(y1)n = (xy1)n G(n) x, y G(n), xn = yn = 1, nên (xy1)n = xn(yn)1 = hay xy1 G(n) Ngoi ra, y G, x G yxny1 = (yxy1)n G(n) ; z G(n), (yzy1)n = yzny1 = yy1 = hay yzy1 G(n) Vậy G(n) v G(n) l nhóm chuẩn tắc G b) Xét ánh xạ f : G G(n) cho f(x) = xn Rõ rng f l ton cấu Kerf = {x Gxn = 1} = G(n) Do đó, ta có G/Kerf Imf hay G/G(n) G(n) 16 Cho G l nhóm, Cg : G G l ánh xạ với g G xác định Cg(x) = gxg1 Kí hiệu Aut(G) = {f : G Gf l đẳng cấu} Inn(G) = {Cgg G} Chứng tỏ : a) Cg l tự đẳng cấu, Aut(G) l nhóm với phép toán hợp thnh v Inn(G) l nhóm chuẩn tắc Aut(G) b) Z(G) = {a Gax = xa, x G} l nhóm chuẩn tắc G (gọi l tâm nhóm G) v G/Z(G) Inn(G) Giải a) Với y G, tồn x = g1yg cho Cg(x) = y, nên Cg l song ánh Ngoi ra, Cg(xx) = gxxg1 = gxg1.gxg1 = Cg(x)Cg(x) Do Cg l tự đẳng cấu G Aut(G) l nhóm với phép toán hợp thnh, đơn vị l ánh xạ đồng idG, nghịch đảo f Aut(G) l ánh xạ ngợc f1 Với f Aut(G), với g G : (f1Cgf)(x) = f1(gf(x)g1) = (f1(g))x(f1(g))1 = C f (g ) ( x ) với x G nên f1Cgf = C f (g ) Inn(G) Do Inn(G)  Aut(G) b) Dễ dng có đợc Z(G) l nhóm chuẩn tắc G Xét ánh xạ : G Inn(G) xác định (g) = Cg l ton ánh v Cgg = CgCg nên l ton cấu Ngoi ra, Cg = idG v g Z(G) nên Z(G) = kerf Vì G/Z(G) Inn(G) 17 Cho G l nhóm Chứng minh M v N l hai nhóm chuẩn tắc G v G = MN G/(M N) G/M ì G/N Giải Xét ánh xạ f : G G/M ì G/N, x (xM, xN) x, y G, f(xy) = (xyM xyN) = (xM yM, xN yN) = (xM, xN)(yM, yN) = f(x) f(y) Vậy f l đồng cấu nhóm (aM, bN) G/M ì G/N, a = uv, b = zt, u, z M, v, t N (vì G = MN) Đặt x = zv M  G, u1z M, t1v N, ta có ( ) 1 1 xM = aM a x = v u zv = v u z v M xN = bN b x = t 1z zv = t 1v N Tức l x = zv G cho f(x) = (xM, xN) Do f l ton cấu nhóm Kerf = {x Gf(x) = (xM, xN) = (M, N)} = {x Gx M x N} = M N Vậy G/Kerf Imf hay G/(M N) G/M ì G/N [...]... Số các phần tử của B dạng X 0 1 1 1 1 X X l 23 = 8 Số các phần tử của B dạng X X 0 1 1 1 1 X l 23 = 8 Số các phần tử của B dạng X X X 0 1 1 1 1 l 23 = 8 Vậy số phần tử của B l 16 + 4 8 = 48 Các phần tử của A B l 0 0 0 1 1 1 1 1, 0 0 0 1 1 1 1 0, 0 0 0 0 1 1 1 1, 1 0 0 0 1 1 1 1, 1 1 1 1 0 0 0 0, 1 1 1 1 0 0 0 1, 0 1 1 1 1 0 0 0, 1 1 1 1 1 0 0 0 Vậy số cần tìm l |A B| = |A| + |B| |A B| = 10 7 + 48... các phần tử của A dạng 1 0 0 0 X X X X l 24 = 16 Số các phần tử của A dạng X 1 0 0 0 X X X l 24 = 16 Số các phần tử của A dạng X X 1 0 0 0 X X l 24 = 16 Số các phần tử của A dạng X X X 1 0 0 0 X l 24 2 = 14 Số các phần tử của A dạng X X X X 1 0 0 0 l 24 3 = 13 Vậy số phần tử của A l 32 + 3 16 + 14 + 13 = 10 7 Số các phần tử của B dạng 1 1 1 1 X X X X l 24 = 16 Số các phần tử của B dạng 0 1 1 1 1 X... các phần tử của A dạng X X X X 1 0 0 0 0 0 l 24 Vậy số phần tử của A l 25 + 5 24 = 11 2 Tơng tự số phần tử của B l 11 2 Các phần tử của A B l 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1, 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 Vậy số cần tìm l |A B| = |A| + |B| |A B| = 11 2 + 11 2 2 = 222 b) Gọi A l tập hợp các xâu nhị phân có độ di bằng 8 v có 3 số 0 liền nhau v B l tập hợp các xâu nhị phân có độ di bằng 8 v có 4 số 1 liền nhau Số các phần. .. (z1, n1), (z2, n2) Z ì N*, (z1, n1) R (z2, n2) z1n2 = z2n1 Chứng minh rằng R l một quan hệ tơng đơng trên Z ì N* Hãy chỉ ra tập hợp thơng Giải Rõ rng R có tính phản xạ (z1, n1), (z2, n2) Z ì N*, (z1, n1) R (z2, n2) z1n2 = z2n1 z2n1 = z1n2 (z2, n2) R (z1, n1), nghĩa l R có tính đối xứng (z1, n1), (z2, n2), (z3, n3) Z ì N*, (z1, n1) R (z2, n2) (z2, n2) R (z3, n3) z1n2 = z2n1 z2n3 = z3n2 z1n2z2n3...Giải Rõ rng R có tính phản xạ (m1, n1), (m2, n2) N2, (m1, n1) R (m2, n2) m1 + n2 = m2 + n1 m2 + n1 = m1 + n2 (m2, n2) R (m1, n1), nghĩa l R có tính đối xứng (m1, n1), (m2, n2), (m3, n3) N2, (m1, n1) R (m2, n2) (m2, n2) R (m3, n3) m1 + n2 = m2 + n1 m2 + n3 = m3 + n2 m1 + n2 + m2 + n3 = m2 + n1 + m3 + n2 m1 + n3 = m3 + n1 (m1, n1) R (m3, n3), nghĩa l R có tính bắc cầu Vậy R... l f1: R R cho bởi f1(x) = ln(x + b) y = e x e x e2x 2yex + 1 = 0 ex = y + 2 x = ln(y + x 2 + 1 ) y2 1 y 2 1 ) (vì x 0 nên không chọn ex = y y 2 1 ) Do đó f l một song ánh v ánh xạ ngợc của nó l f1 : [1, ) [0, +) cho bởi f1(x) = ln(x + x 2 1 ) x y = c) 1+ x x 0 y x = 1 y v y 0, y 1 x y = 1+ x x 0 y x = 1+ y y 0, y 1 Do đó f l một song ánh v ánh xạ ngợc của nó l f1... tối tiểu l 2, 7, 11 , không có phần tử lớn nhất cũng nh nhỏ nhất Đối với quan hệ bao hm trên P(X) \ {} Phần tử tối đại duy nhất cũng nh phần tử lớn nhất l X, các phần tử tối tiểu l các tập con có một phần tử của X, không có phần tử nhỏ nhất 13 Xét quan hệ chia hết trên tập hợp N* v các tập con A = {4, 8, 12 }, B = {2, 3, 4, 5} a) Tìm các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất của A v B b) Tìm các phần tử tối đại, ... ánh xạ đợc xác định khi x 2 3x + 2 > 0, tức l khi 1 < x < 1 hay x +1 x > 2 c) ánh xạ đợc xác định khi x 0 v sin x 0, tức l khi 4k22 x (2k + 1) 22 với k N > 0, tức l khi 2k < < (2k + 1) với k Z Nếu k = x x 1 1 1 1 0 thì 0 < < 1 nên x > 1 Nếu k > 0 thì 2k < < 2k + 1 Do đó với k = 1, ... 23 = Số phần tử B dạng X X 1 1 X l 23 = Số phần tử B dạng X X X 1 1 l 23 = Vậy số phần tử B l 16 + = 48 Các phần tử A B l 0 1 1 1, 0 1 1 0, 0 0 1 1, 0 1 1, 1 1 0 0, 1 1 0 1, 1 1 0 0, 1 1 0 Vậy... (1 3) (1 3) (1 3) (1 3) (1) (1 2) (1 2) (2 3) (2 3) (2 3) (1 2) (1 3) (1) (1 3) (1 2) (1 3) (1 3) (1 3) (2 3) (1 2) (1 2) (1) (1 2) (1 2) (2 3) (1 2) (1 3) (1) (1 3) Đặt X = { (1 2), (1 3), (2... 2), (1 2 )1 = (1 3) Vậy S3 l nhóm Nhóm ny không l nhóm cyclic, phần tử no bậc ( = S3) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 3) (1 2) (1) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 3) (1 2) (1 2) (1 2) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1