Bài 27 tích phân đổi biến dạng 1đa

http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1  ĐÁP ÁN  Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt    Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? 0 -1 A Nếu f hàm số chẵn  thìò f ( x)dx =ò f ( x)dx B Nếu ò f ( x)dx =ò f ( x)dx f hàm số chẵn đoạn [-1;1] -1 C Nếu ò f ( x)dx = f hàm số lẻ đoạn [-1;1] -1 D Nếu ò f ( x)dx = f hàm số chẵn đoạn [-1;1] -1 Hướng dẫn giải: 1 x Hàm số y = x3 - thỏa ò f ( x)dx =ò f ( x)dx ò f ( x)dx = , hàm lẻ -1 -1 [-1;1] Hàm số y = x - 1 thỏaò f ( x)dx = , làm hàm chẵn [-1;1] -1 3- x t dt f ( x) = f (- x) với Þ I = 8ò 2 1+ x (t + 1) x ẻ t t = - x ị dt = - dx suy Còn f hàm chẵn t = 1 1 -1 0 -1 òf ( x)dx = -òf ( x)(-1)dx = -òf ( x)d (- x) = -òf (- x)d (- x) = -ò f (t )dt =ò f (t )dt 0 Cho tích phân I = ò Câu 2 3 + x2 dx Nếu đổi biến số t = x2 t dt 2 t -1 t dt B I =ò t +1 t dt 2 t -1 A I = -ò C I = ò x2 +1 thì: x tdt D I =ò t +1 Hướng dẫn giải: Ta có I = ò + x2 dx = dx x2 +1 ò 2 x x + x2 ( ) TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               ì dx ïdt = x +1 ï x2 x2 +1 Đặt t = Þí x ï x2 +1 1 t Þ x2 +1 = ït = = + Þ x = x x t -1 t -1 ỵï ìx = Þ t = ïï t2 Suy Đổi cận: í I = ò t - dt ïx = Þ t = ïỵ p Cho I =òsin x cos xdx u = sin x Mệnh đề đúng? Câu A I =òu du B I = 2òu du 0 C I = -òu du D I = -òu du -1 Kim Liên – Hà Nội – Lần Hướng dẫn giải: Đặt u = sin x Û du = cos xdx Þ I =òu du p Câu Cho tích phân I =ò + 3cos x sin xdx Đặt u = 3cos x + Khi I bằng: A 2 òu du 31 2 B 2 òu du 30 C u D òu du Hướng dẫn giải: Đặt u = 3cos x + Þ 2udu = -3sin xdx Khi x = Þ u = 2; x = p Þ u = Khi I = Câu A ln 22 2 u du = u ò 31 -3 dx dx là: -8 x - x Giá trị tích phân I =ò B C - ln D ln Hướng dẫn giải: ïì x = -8 Þ t = Đặt t = - x Þ x = - t Þ dx = -2tdt Đổi cận í ùợ x = -3 ị t = TCHPHNIBINDNG1PN| http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               -3 3 dx -2tdt tdt dt t +1 Vậy I =ò dx =ò = = = ln = ln ò ò 2 t -1 t t -8 x - x 1- t 1- t 1- t ( ( ) ) dx Cho tích phân I =ò = a + b ln với a, b số nguyên Mệnh đề sau 3 + 2x +1 đúng? A a + b = B a - b = C a - b = D a + b = Chuyên Đại học Vinh – Lần Hướng dẫn giải: Câu t2 -1 Û dx = tdt Đặt x + = t Û x = tdt ỉ ÷÷ dt = t - 3ln t + I =ũ =ũỗỗ1 3+t ứ 3+t 1è ( ) = + 3ln Þ a = 2, b = Þ a + b = 3x - a a Biết ò dx = 3ln - , a, b số nguyên dương phân số tối b b x + 6x + giản Tính giá trị biểu thức T = ab A T = 10 B T = C T = 12 D T = 30 Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần Hướng dẫn giải: 1 3x - 3x - I =ò dx =ò dx x + 6x + ( x + 3) Câu Đặt x + = t Û x = t - Û dx = dt (t - 3) - I =ò t2 4 ỉ 10 ỉ 3t - 10 10 dt =ũ dx =ũỗỗ - ữữ dt = ỗỗ3ln t + ữữ = 3ln t t ø t ø3 è 3 èt x3 1 ln Tính a Biết ò dx = a +1 x +1 A a = B a = C a = Câu D a = - Kim Liên – Hà Nội – Lần Hướng dẫn giải: Đặt x + = t Û x = t - 1Û xdx = dt t - dt ỉ I =ò = ũỗỗ1 - ữữ dt = t - ln t 2 1è tø t ( ) 1 = - ln Þ a = 2 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               x7 dx bằng: Tích phân ò (1 + x ) Câu (t - 1)3 A ò dt 21 t (t - 1)3 B ò dt 21 t (t - 1)3 C ò dt t (t - 1)3 D ò dt 21 t Hướng dẫn giải: Đặt t = + x Þ dt = xdx Vậy I = Câu 10 Tích phân I = ò A ln B x( x + 1) dx ln C ln D Hướng dẫn giải: Đặt t = x Þ dt = xdx Vậy I = e Câu 11 Tích phân I =ò A -2 (t - 1)3 1 dt = = ò 21 t 128 ln ổ1 t ỗỗ - ÷÷dt = ln ò è t t +1ø 8ln x + dx bằng: x 13 Hướng dẫn giải: C ln - B Đặt t = 8ln x + Þ tdt = dx Đổi cận: x D ln - ìï x = ị t = ùợ x = e Þ t = 3 13 t3 13 Vậy I = òt dt = = 41 12 Câu 12 Tích phân I =òx x3 + 5dx có giá trị là: A 10 10 10 10 63 75 65 65 B C D 9 9 Hướng dẫn giải: Ta có t = x3 + Þ dt = x dx Khi x = t = ; x = t = Vậy I =òx x3 + 5dx =ò t +1 dt 1 (t ) 10 65 = ò(t ) dt = = t t = 3 35 +1 9 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               Câu 13 Tích phân I =òx x + 1dx có giá trị là: A -1 2 -1 B 3 Hướng dẫn giải: C 2 -1 Đặt t = x + Þ t = x + Þ x = t - Þ dx = Vậy I = òt dt = D -1 D 28 D 16 - 11 tdt x t3 2 -1 = 31 Câu 14 Tích phân I =òx x + 1dx có giá trị là: -1 A - 28 B - 28 C 28 Hướng dẫn giải: Đặt t = x + Þ t = x + Þ dx = 3t dt ỉt7 t Vậy I =ò3t t - dt = ỗỗ - ÷÷ = - 28 è7 4ø ( ) x dx Câu 15 Giá trị tích phân I = 2ò là: ( x + 1) x + A 16 - 10 16 - 11 B Hướng dẫn giải: C 16 - 10 Đặt t = x + Þ t = x + Þ 2tdt = dx t - 1) ổ 1ử 2tdt = 2ũỗỗt - ữữ Ta cú I = ò( 2 t3 1 ( è ỉt3 16 - 11 dt = ỗỗ - 2t - ữữ = tø tø1 è3 Câu 16 Giá trị tích phân I =òx5 - x3 dx A 168 ) 167 Hướng dẫn giải: B Đặt t = - x3 Þ dt = -3x dx Þ dx = C 166 D 165 - dt , ta có: 3x2 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               11 11 ỉt7 t8 I = òt (1 - t )dt = ò t - t dt = ỗỗ - ữữ = 30 30 ố ø 168 ( ) 2x2 + x - Câu 17 Giá trị tích phân I =ò dx x +1 54 53 52 A B C 5 Hướng dẫn giải: D 51 x + = t Þ x = t - Þ dx = 2tdt Đặt I =ò ( ) ( 2 t2 -1 + t2 -1 -1 t ) ( 2tdt = 2ò 2t - 3t dt ) ỉ 4t 128 54 = ỗỗ - 2t ữữ = - - 16 + = 5 è ø1 Câu 18 Giá trị tích phân ò(2 x + 1) dx : A 30 B 60 Hướng dẫn giải: C 30 D 60 du 13 u6 = (3 - 1) = 60 Do đó: ò(2 x + 1) dx = òu du = 21 12 1�n I =ò + cos x A p2 B p2 Hướng dẫn giải: C p2 D p2 p p p - t ) sin t sin t = Đặt x = p - t Þ dx = - dt Þ I =ò( p dt dt - I ò 2 + cos t + cos t p p ỉp p sin t d (cos t ) p2 ỗ ữ dt I p p Þ I = pò = = + ị = ũ ỗ ữ 2 ố4 4ứ + cos t + cos t p sin x Câu 28 Giá trị tích phân I =ò dx là: + 3cos x A ln ln Hướng dẫn giải: B C ln Đặt t = + 3cos x Þ dt = -3sin xdx Þ dx = D ln ln t 1 41 - dt Þ I = ò dt = = ln 3sin x 31t 3 Câu 29 Giá trị tích phân I = 2ò6 - cos3 x sin x.cos5 xdx là: A 21 91 12 91 Hướng dẫn giải: B C 21 19 D 12 19 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               Đặt t = - cos x Û t = - cos x Þ 6t dt = 3cos x sin xdx Þ cos x sin xdx = 2t dt æ t t 13 12 Þ I = 2òt - t dt = ỗỗ - ữữ = è 13 ø 91 ( ) p sin xdx (sin x+ cos x) Câu 30 Giá trị tích phân I = ò A Hướng dẫn giải: B p Đặt: x = C là: D - u Þ dx = - du ổp p sin ỗ - u ÷ du cos xdx è2 ø Þ I =ò = ò ỉp ỉp ứ é (sin x + cos x) ờsin ỗỗ - u ữữ + cos ỗỗ - u ữữ ỳ ờở ố ø è2 ø úû p p p Þ I =ò sin x+ cos x (sin x + cos x) dx =ò ỉ pư tan ỗ ỗ x - ữữ p dx 4ứ ố =ò = =1 pư 2ỉ cos ç ç x - ÷÷ 4ø è p 2 dx (sin x + cos x) p Câu 31 Giá trị tích phân I =ò A Hướng dẫn giải: B sin x dx là: sin x + cos x C D p I =ò sin x 3 dx Đặt t = - sin 2 x Þ dt = - sin xdx Þ sin xdx = - dt 3 - sin 2 x 4 ỉ ÷÷ dt = ị I =ũỗỗt = 3 tứ 1è 10 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               p sin 2007 x dx là: Câu 32 Giá trị tích phân I =ò 2007 x + cos 2007 x sin A I = p B I = p C I = 3p D I = 5p Hướng dẫn giải: Đặt x = p - t Þ dx = - dt ổp p sin 2007 ỗỗ - t ÷÷ cos 2007 t è2 ø I = -ò dx =ò 2007 dx ư t + cos 2007 t 2007 æ p 2007 æ p p sin sin ỗỗ - t ữữ + cos ỗỗ - t ÷÷ è2 ø è2 ø p Þ I =òdx = p ÞI = p p Câu 33 Tích phân I =òsin x tan xdx có giá trị bằng: A ln - B ln - Hướng dẫn giải: p I =òsin x C ln - sin x (1 - cos x) sin x 1- u2 dx =ò dx Đặt t = cos x Þ I = -ò du = ln - cos x cos x u ln ln 2 3 p Câu 34 Giá trị tích phân I = ò A D ln - Hướng dẫn giải: B e2 x dx ex - là: C 10 D 20 æ t ö 20 Đặt t = e x - Û t = e x - Þ e x dx = 2tdt Þ I = 2ò t + dt = ỗỗ + t ÷÷ = è3 ø1 ( ) ln Câu 35 Giá trị tích phân I = ò e x - 1dx là: 11 A 4-p B 4-p C 5-p D 5-p TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               Hướng dẫn giải: Đặt t = e x - Þ t = e x - Þ 2tdt = e x dx Þ dx = 2tdt 2tdt = ex t +1 1 ỉ 2t 4-p Þ I =ũ dt = 2ũỗỗ1 - ữữdt = t +1ø t +1 0è ln Câu 36 Giá trị tích phân I = ò A ex ( ) ex +1 B 2 - -1 Hướng dẫn giải: dx là: C D 2 - -2 tdt 12 = -2 = -1 t 2 t Đặt t = e x + Û t = e x + 1Û 2tdt = e x dx Þ I = 2ò e x dx ln Câu 37 Giá trị tích phân: I = ò ln A ln - B ln - Hướng dẫn giải: là: ex - + ex - C ln - D ln - Đặt t = e x - Þ e x = t + Þ e x dx = 2tdt 1 1 æ (t + 2)tdt 2t + ö d (t + t + 1) ÷÷ dt = 2ò(t - 1)dt + 2ũ I = 2ũ = 2ũỗỗt - + t + t +1ø t + t +1 t + t +1 0è 0 ( = t - 2t ) ( + ln t + t + ) e Câu 38 Cho tích phân I =ò 2 òt dt 31 e A I = B I = = ln - 1 + 3ln x dx Đặt t = + 3ln x Khẳng định sau đúng? x 22 òtdt 31 C I = 22 òt dt 31 Hướng dẫn giải: Đặt t = + 3ln x Û ln x = 2e òtdt 31 Chuyên Trần Phú – Lần D I = t2 -1 dx Û = tdt x 2 22 I =òt tdt = òt dt 31 12 e Câu 39 Bài tốn tính tích phân I =ò ln x + ln x dx học sinh giải theo ba bước sau: x TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               I Đặt ẩn phụ t = ln x + , suy dt = e II I =ò 1 dx đổi cận: x ìï x = Þ t = ùợ x = e ị t = 2 ln x + ln x dx =ò t (t - 1) dt x 2 æ III I =ò t (t - 1) dt = ỗỗ t - ữữ = + t ø1 è Học sinh giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Bài giải B Sai từ Bước I C Sai từ Bước II Hướng dẫn giải: 2 Bước III sai Phép tính I =ò 1 u C I =ò du A I =òu du B I = -òu du ỉ2 3ư ( + 1) t (t - 1) dt = ỗ t t ÷ = 15 è5 ø1 - ln x dx Đặt u = - ln x Khi I bằng: 2x e Câu 40 Cho tích phân: I =ò D Sai từ Bước III 1 D I = -òu du Hướng dẫn giải: Đặt u = - ln x Þ u = - ln x Þ dx = -2udu Đổi cận: x ìï x = ị u = ùợ x = e Þ u = 0 Khi I = -òu du Câu 41 Cho hàm số f liên tục  thỏa f ( x) + f (- x) = + cos x , với x Ỵ  Giá p trị tích phân I = ò f ( x)dx là: -p A B –2 Hướng dẫn giải: C p D –7 p 2 Ta có I = ò f ( x)dx = ò f ( x)dx +ò f ( x)dx (1) - p - p p p 2 p 0 Tính I1 = ò f ( x)dx Đặt x = -t Þ dx = - dt  I1 =ò f (-t )dt =ò f (- x)dx - Thay vào (1), ta được: TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        13 http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               p p p p 2 2 0 0 I =ò[ f (- x) + f ( x)] dx =ò (1 + cos x) = 2òcos x dx = 2òcos xdx = Câu 42 Giả sử F nguyên hàm hàm số y = sin x khoảng (0; +¥) Khi x sin 3x dx có giá trị bằng: x ò ù A é ëF (6) - F (3)û B F (6) - F (3) ù C é ëF (2) - F (1)û D F (2) - F (1) Hướng dẫn giải: Đặt t = 3x Þ dt = 3dx 2 sin 3x sin 3x sin t dx = dx = ò x ò 3x ò t dt = F (6) - F (3) 1 Câu 43 Cho hàm số f ( x) có nguyên hàm  Mệnh đề đúng? 1 a A ò f ( x) dx =ò f (1 - x) dx 0 p p 0 a B ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx -a C ò f (sin x) dx = pò f (sin x) dx D ò f ( x) dx = 12 òf (x) dx 20 Hướng dẫn giải: ìï x = Þ t = Đặt t = - x Þ dt = - dx Đổi cận í ïỵ x = Þ t = 1 0 Suy ò f ( x) dx = -ò f (1 - t ) dt = -ò f (1 - x) dx =ò f (1 - x) dx 1 Câu 44 Cho hàm số f ( x) có nguyên hàm  Xét mệnh đề: p 0 II ò I òsin x f (sin x) dx =ò f ( x) dx x e 2 1a III òx f x dx = òxf ( x) dx 20 Các mệnh đề là: A Chỉ I B Chỉ II Hướng dẫn giải: a ( ) dx =ò f (x) dx e x f ex ( ) C Chỉ III p p 2 0 D Cả I, II III 14 Xét I Ta có òsin x f (sin x) dx = 2òsin x f (sin x).cos xdx TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               ìx = Þ t = ï Đặt t = sin x Þ dt = cos xdx Đổi cận í p ïx = Þ t = ỵ p Khi 2òsin x f (sin x).cos xdx = 2òt f (t ) dt = 2òx f ( x) dx Do I 0 Xét II Đặt t = e kết luận II Xét III Đặt t = x kết luận III x Câu 45 Cho hàm số y = f ( x) lẻ liên tục đoạn [-2; 2] Trong đẳng thức sau, đẳng thức ln đúng? 2 A ò f ( x)dx = -2 -2 0 C ò f ( x)dx = 2ò f ( x)dx -2 B ò f ( x)dx = 2ò f ( x)dx D ò f ( x)dx = -2ò f ( x)dx -2 -2 Hướng dẫn giải: Đặt t = - x Þ dt = - dx -2 -2 2 -2 Vậy ò f ( x)dx = -ò f (-t )dt =ò f (t )dt = -ò f (t )dt = -ò f ( x)dx -2 2 -2 Þ 2ò f ( x)dx = Ûò f ( x)dx = -2 -2 b Câu 46 Cho hàm số f liên tục  hai số thực a < b Nếu ò f ( x) dx = a tích phân a b2 ò f (2 x) dx có giá trị bằng: a A a B 2a C a D 4a Hướng dẫn giải: Đặt t = x Þ dt = 2dx b2 Vậy ò f (2 x) dx = a 1b2 1b a f x dx = f (t ) dt = 2 ò ò ) ( 2a2 2a Câu 47 Cho hàm số f(x) liên tục  f ( x) + f (- x) = cos x với xỴ  Giá trị p 15 tích phân I = ò f ( x)dx là: -p TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               A -2 3p 16 Hướng dẫn giải: C ln - B p - D ln - p p p 2 Đặt x = -t Þ ò f ( x)dx = ò f (-t )(- dt ) = ò f (-t )dt = ò f (- x)dx -p p - p p p 2 p -p p - p Þ 2ò f ( x)dx = ò[ f ( x) + f (- x)] dx = òcos xdx Þ I = -p - 3p 16 Câu 48 Giả sử hàm số f liên tục đoạn [0; 2] thỏa mãn ò f ( x) dx = Giá trị tích phân p ò f (2sin x) cos xdx là: A –6 B C –3 Hướng dẫn giải: Đặt t = 2sin x Þ dt = cos xdx p 2 f (t ) 12 f 2sin x cos xdx dt = = ò ( ò òf (t) dt = ) 20 0 m Câu 49 Cho m số thực dương tha ũ ổ 3ử ỗ0; ữữ B m ẻ ỗ ố 2ứ (1 + x ) ổ 7ử ỗ3; ữữ A m ẻ ỗ è 2ø x dx = D 3 Mệnh no sau õy l ỳng? 16 ổ3 ỗ ;3ữữ C m ẻ ỗ ố2 ứ ổ7 ỗ ;5 ữữ D m ẻ ỗ ố2 ứ Sở GD–ĐT Hải Dương Hướng dẫn giải: ( m d 1+ x 1 Ta có I =ò dx = ò =- 3 2 + x2 + x2 1+ x m x ( Mà I = ( ) 1 Þ- 16 + m2 ( ) + ) ( ) = Û + m2 16 ( ) m ) 1 =- + m2 ( ) + = Û + m = Û m = ±1 Do m số thực dương nên m = e + m ln t Câu 50 Cho số thực m thỏa mãn ò dt = Các giá trị tìm m thỏa mãn điều kiện t sau đây? TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        16 http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               A -5 £ m £ B m ³ -1 C -6 < m < -4 D m < -2 Chuyên Lam Sơn – Lần Hướng dẫn giải: e e e e e æ1 e + m ln t ln t ö ln t ç ÷ = + = + = + dt m dt dt m dt ln t m ò t ũỗố t ũt ũt ũln td (ln t) ữ t ø 1 1 e ln t m = ln t + m = 1+ 2 e I = Û1 + m = Û m = -2 17 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        ...x Û = tdt x 2 22 I =òt tdt = òt dt 31 12 e Câu 39 Bài tốn tính tích phân I =ò ln x + ln x dx học sinh giải theo ba bước sau: x TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan         ... 1 = - ln Þ a = 2 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               x7 dx bằng: Tích phân ò (1 + x ) Câu (t... = t t = 3 35 +1 9 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan               Câu 13 Tích phân I =òx x + 1dx có giá