28 Bai Tich Phan Doi Bien

Về vấn đề làm bài tập: Đây là vấn đề rất quan trọng vì nó giúp ta vận dung được kiến thức, rèn luyên sự nhanh trí và kỹ năng làm bài. Học toán mà không làm bài tập thì sẽ không giỏi được. Nhưng để có nhiều thời gian làm bài tập, ta cần phải làm tốt vấn đề học thêm. Cần làm hết những bài tập trong sách giáo khoa, những bài thầy cô cho trên lớp. Phài làm hết bài tập ở nhà, không được lên trường rồi mới làm. Để học giỏi môn toán lớp 10 phải nắm vững lý thuyết thì mới làm bài tập, đối với các công thức toán khó thuộc ta có thể nghĩ ra những cách nhớ riêng dễ thuộc hơn như đặt ca dao, tục ngữ, làm thơ,…

GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ÁP ÁN 28 CÂU TÍCH PHÂN I BI N GV: Nguy n Thanh Tùng   iL  ie uO nT hi D H oc 01 BÀI s/  Ta I   f g ( x), n g ( x) g '( x)dx up 2tdt  (4 x  1)dx t t  2x2  x 1  t  2x2  x 1   2 2x2  x 1 2 x  x  t  2 i c n: x   t  x   t  1 2 x(4 x  1)(2 x  1) 2x2  x t 1 Khi I1   dx   (4 x  1)dx   2tdt 2  t  x  x   x  x  0 dx bo ok c om /g ro x (8 x  x  1)  I1   2  t3  t3  t  14  dt    t  2t   dt    t  3t  ln t     12 ln  2  t2 t2 3 1 1 fa w sin x  s inx dx  3cos x  w  I2   14  12 ln 3 w V y I1  ce i c n x:0   2  2tdt  3sin xdx  sin xdx   tdt t t   3cos x  t   3cos x   cos x  t    t :  (2 cos x  1) sin x dx    3cos x  I2   t 1 1 34 2  2t  34  2 V y I2     tdt   (2t  1)dt   t  27 t 91 9  3  27 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 e3  I3   dx  tdt  t t   ln x  t   ln x   x 2 ln x  t    2ln x dx x  ln x i c n x :1  e3 t :1  2   (t  1) t3  5 tdt   (4  t )dt   4t    V y I  Khi I   t 1 3  1  (e e x dx x t t  e x   t  e x   2tdt  e x dx x :  ln t :   1) e  x 2 dt 2tdt Khi I       t t t t 2  1 V y I4  1 01 ln  I4    H oc NH N XÉT   hi D Khi g p tích phân có d ng I   f g ( x), n g ( x) g '( x )dx (*) (tích phân ch a c n) ta ngh t i vi c đ t   ro up s/ Ta iL ie uO nT t  n g ( x ) Sau th c hi n b c c b n c a m t phép đ i bi n ch a c n ( l y th a, vi phân hai v đ i c n) ta s thu đ c m t tích phân d ng c b n Có th minh h a qua s đ :  om  /g I   f x 2n , ax  bx  c dx dx  cos tdt     t x  sin t v i t    ;    x :  t :  2  2   x  2cos t    2  sin 4t   2  I1   4sin t.2cos t.2 cos tdt   sin 2tdx 2  (1  cos 4t )dt   t    V y I1      0 w  I2   x2 1 dx x2 w w fa ce bo ok c I1   x  x dx    I   tan t  sin tdt   dx  cos t     3  t x v i t  0;    ;    x :1  t :  cos t  2    x   tan t        sin tdt sin t  cos t dt cos t    cos tdt   dt   dt   dt   cos tdt t t t cos cos cos  sin t 0 0 0 cos t cos t  2   1   1  sin t 3 d t tdt t        ln   V y I  ln   sin cos ln sin       sin t  sin t  2   sin t 0     Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 dx dx  I3    x  x  ( x  1)   dx  dt        cos t t x   tan t (v i t    ;  )   x :  t :   2  ( 1)    x  cos t  ln  6 3 3 V y I  ln Chú ý: Ngoài cách đ i bi n nh trên, I có th đ 2 dx I3   ( x  1)    x 1  ln x   ( x  1)  c tính b ng cách s d ng k thu t vi phân nh sau: x   ( x  1)2   ( x  1)2  ( x  1)2   ln 3  d x   ( x  1)2  dx    x   ( x  1)  up s/ Ta 01  H oc 1  sin x  ln  sin x  hi D cos t cos tdt  1  d sin t      dt cos t  (1  sin t )(1  sin t )    sin t  sin t   nT cos t  uO  3dt  ie  I3    iL   ro NH N XÉT   ng pháp l ng giác hóa (hóa v l c ta s dùng ph om  /g Khi g p tích phân có d ng I   x n , ax  bx  c dx (2*) mà vi c đ t t  ax  bx  c không đem l i hi u qu , ng giác) b ng vi c bi n đ i ng ng đ đ a chúng v tích phân l ng w w w fa ce bo ok lo i k  u ; u  k ; u  k Sau đ i bi n v i t ng lo i t giác c b n i u có th minh h a qua s đ : ax2  bx  c v m t Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  I   f (e x )dx  e2 x  dx x e 1  I1   t t  e x  dt  e x dx ; i c n x   t  e x   t  e3 3 e e e  t e2 x  x t2 1  1 1  Khi I1   x x e dx   dt     dt  1   dt    ( 1) ( 1) ( 1) 1 e e  t t  t  t t  t  t  t    e e e e3 e3 1    1   dt   t  ln t   ln t   e3  e   ln(e  e  1) e t 1 t  e   e2 x dx ex 1 ln 2  t3 t2  23 t2 1 e dx   2tdt  2  t  t  dt      t ex 1  1 1 ln +) Khi đó: I  x hi D ex  ln 2 x nT +) 2tdt  e x dx t t  e   t  e 1   x x : ln  ln t :1  e  t  x uO I2  H oc ln  01 V y I1  e3  e   ln(e2  e  1) 23 ln x e  2e x  e x I3   dx  (1  e x ) iL Ta s/  ie +) V y I  dt x :  ln t :  27 27 ln x ln x 27 29 e (e2 x  2e x  1) e (1  e x )2 dx dt +) Khi đó: I      ln t   ln dx   x x 3 10  (1  e ) 2t 0  (1  e ) up t t  (1  e x )3  dt  3(1  e x )2 e x dx  e x (1  e x ) dx  c NH N XÉT  fa i d u tích phân ch ch a hàm m d ng I   f (e x )dx (3*) ta dùng ph ng pháp đ i bi n b ng cách đ t  w w N ud ce bo ok 29 +) V y I  ln 10 om /g ro +) w “linh ho t” t  e x ; t  e kx ho c m t c m ch a e x nh : t  ae x  b ; t  n ae x  b ; t  (ae x  b) m …Sau đ a tích phân v d ng c b n i u có th minh h a qua s đ : Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01   I   f (ln x) f (ln u ) dx ho c d i d ng t ng quát I   u ' dx x u  dx  dt  t t   ln x   x :1  e t :  x ln x  t  e ln x  I1   dx x (2  ln x ) 3 t2 2 1    I1   dt     dt   ln t      ln t  t 2  t 2t H oc 01 V y I1    ln e  3ln x ln x dx  I2   x nT hi D 3dx   dx 2tdt  x  x  tdt t t   3ln x  t   3ln x   x :1  e t :1   2 ln x  t  ln x  t    3 2 116 2  t5 t3  t2 1 ( ) I t tdt t t dt           3 9 135  1 1 116 V y I2  135 3 x ln  3 x 3 x 6dx  I    2x dx t t  ln c n t :  ln  dt   dx  :  9 x 3 x  x2  (3  x)  x  0 /g  ln t2 ln 2 tdt   12 12 c ln 12 bo ok V y I3  ln om  I3  ro up s/ Ta iL ie uO  w i d u tích phân ch ch a hàm logarit có d ng I    f (ln x) dx (4*) ta dùng ph x ng pháp đ i bi n b ng w N ud fa ce NH N XÉT w cách đ t “linh ho t” t  ln x ho c m t c m ch a ln x nh : t  a  b ln x ; t  n a  b ln m x ; t  (a  b ln m x) m …Sau đ a tích phân v d ng c b n i u có th minh h a qua s đ : Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01   f (tan x) f (cot x) dx ho c d i d ng I   dx 2 cos x  sin x I      6 tan x tan x tan x dx Bi n đ i I1    I1   dx  dx 2 2    cos x sin x cos x (1 tan x ) cos2 x 0  1 t dt   3    t 1  t3 t 1      t  ln  t 1  3 +) V y I1      dt   t 1  3    t :  3   t 1 1  1    dt  t  t    01 t i c n x:0  10  ln(2  3) 27  10  ln  27  hi D  I1  3 dx ; cos x H oc t t  tan x  dt  +) dx  x :  t :  cos x 1 1  t 3 7t   6(t  1)  t       I2   dt    t   dt  t   dt      t    dt   t  2t  t  2t   (t  1)(t  3)  t  t 1  0 0 0 ie t t  tan x  dt  up s/ Ta iL +) uO  I2   nT tan x  tan x   dx 0 cos x(tan x  tan x  3) dx sin x  sin x  3cos2 x /g ro  t2  5    2t  ln t   ln t     ln  ln V y I   ln  ln 2 0  om   dx dx         sin x  sin x.sin  x   sin x  sin x  cos x  6 6    bo ok c  I3    w  d    cot x  cot x    2 ln  cot x    4   sin x  cos x   2  sin x  2dx  cot x  3  ln V y I  ln 2 1  tan x dx dx dx dx    sin x.cos x  tan x.cos x  tan x cos x cos x  tan x cos x w  I4   w  fa ce  2   2dx   +) t t  tan x  dt    dx x :  t :1  cos x 3  1 t2 t2  1  dt     t  dt   ln t     ln +) Khi I   t t  1  1  V y I   ln Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NH N XÉT H oc 01 Khi hàm d i d u tích phân có th bi n đ i v d ng mà d i m u s có thành ph n cos x ho c sin x mà ph n l i có th bi u di n theo tan x ( ng v i tr ng h p cos x ) ho c theo cot x ( ng v i tr ng h p sin x )   f (tan x) f (cot x) Ngh a tích phân có d ng: I   dx (5*1) ho c I   dx (5*2) ta dùng ph ng pháp đ i cos x sin x   bi n b ng cách đ t t  tan x ho c t  cot x i u có th minh h a qua s đ : kg ( x)  f  g ( x)  g '( x) dx gx  hi D  uO ie   0  x cos x dx x sin x  cos x  I /g    t :1   1  4  2       1 dx     ln x    ln   1    1  , suy : I1   ln   x       bo ok 2   1 4  om t t  x sin x  cos x  dt  x cos xdx x :  c Tính I     x cos x dx  x 04  I   I x sin x  cos x ro   dx   iL x sin x  ( x  1) cos x ( x sin x  cos x )  x cos x x cos x   dx   dx   1  dx x sin x  cos x x sin x  cos x x sin x  cos x  0 Ta I1    s/   up  nT I  ( x  x )e x ( x  x) e x xe x ( x  1)e x ( x  x )e x dx dx dx    0 0 xe x  0 xe x  dx x  e x x x e x t t  xe   dt  (1  x )e x dx ; i c n x   t  x   t  e  1 1 fa  I2   ce w +) e 1 e 1 w w e 1 t 1  1 +) Khi I   dt   1   dt   t  ln t   e  ln(e  1) V y I  e  ln(e  1) t t 1  e e e e x (1  x ln x )   ln x x   ( x  1) ln x  ln x    I3   dx   dx    x  dx   xdx  I (*)  x ln x  x ln x  x ln x  1 1 e +)  xdx  x2 e e2   (1) 2 Thay (1), (2) vào (*), suy I  e  ln x d (1  x ln x)  ln  x ln x  ln(e  1) (2) dx   1  x ln x 1  x ln x e +) I   e e2   ln(e  1) Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 e e e 2  x ln x ( x  x ln x)   x 1 x    I4   dx   dx   1   dx 2 ln ln ln x x x x  x x x  x x    1 1  1   e  ln x   e e d     x   x x   1    x  ln  ln x   e  ln(e  1) dx   dx   1 x  1 1 1  ln x   ln x x x   V y I  e  ln(e  1) e 01 NH N XÉT kg ( x)  f  g ( x )  g '( x ) dx (6*) mà d i m u s m t hàm g ( x ) t g ( x)  có th bi u di n thành t ng c a hai thành ph n Trong : +) Thành ph n th nh t có d ng k g ( x) (là b i s c a g ( x ) th ng k  0; 1; 2; x; x  )  hi D H oc Khi g p d ng tích phân có d ng I   bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT +) Thành ph n th hai đ c c u t o b i tích hai hàm C th m t hàm bi u di n theo g ( x ) m t hàm đ o hàm c a g ( x ) ngh a có d ng : f ( g ( x)).g '( x) (th ng f ( g ( x)) m t h ng s ) Khi ta tách d ng tích phân thành tích phân ng v i m i thành ph n c u t o t Trong tích phân th nh t đ a v d ng c b n (th ng có b ng nguyên hàm) tính tích phân th hai đ c tính b ng cách đ i bi n s t  g ( x) ho c s d ng ph ng pháp vi phân (n u bi u th c d i d u tích phân đ n gi n) i u có th minh h a qua s đ : w w w fa ce CHÚ Ý: +) Trong d ng có th không xu t hi n thành ph n k g ( x) ( đ c hi u k  ) +) D u hi u hay s d ng d ng tích phân m u s g ( x ) đ c c u t o b i h n h p nhi u hàm khác tên g i (không tên hàm) đ c liên h thông qua phép toán c ng ho c tr Ví nh g ( x )  x  3sin x đ c c u t o b i t ng hai hàm đa th c l ng giác ; g ( x)   xe x đ c c u t o b i hi u gi a hàm đa th c ( đa th c b c h ng s 1) hàm (đa th c, m )…  f ( g ( x)).g '( x) +) ôi toán ch a nhìn th y đ c d ng  th ng b n c n g ( x)  th c hi n phép chia c t m u cho m t l ng thích h p +) N u bi u th c d i d u tích phân đ n gi n, b n có th b qua b c đ i bi n b ng k thu t vi phân Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  I       f (sin x)cos xdx ho c d ng I   f (cos x)sin xdx I   sin m x.cos n xdx   I1   (cos x  1) cos xdx   0 Ta bi n đ i I1   cos5 xdx   cos xdx  A  B    1 2  +) Tính B   cos xdx   (1  cos x)dx   x  sin x   20 2 0 +) Tính A   cos xdx ( t t  sin x  dt  cos xdx x :    t :  01 m  0; n  )  H oc   t5  Khi : A   cos x cos xdx   (1  sin x) cos xdx   (1  t ) dt   (t  2t  1) dt    t  t   5  15 0 0  V y I1   15 2 2 nT hi D uO  (2sin x  3) cos x dx 2sin x  iL ie  I2   i c n x   t  0; x  s/ Ta t t  sin x  dt  cos xdx ; +)   t 1 2t    +) Khi I   dt   1   dt   t  ln 2t     ln 2t  2t   0 ro up   sin x sin x 2sin x cos x sin x cos x dx   dx   dx   dx 2  4sin x  cos x  4sin x  (1  2sin x) 2(sin x  2sin x  1) (sin x  1)2 0 0  t t  sin x   dt  cos xdx ; i c n x   t  ; x   t  2 bo ok c  I3   +)  om  /g +) V y I   ln fa w  ce 1 t 1 1   +) Khi I   dt      dt   ln t      ln V y I    ln t t t  t 1 2  1 w w (sin x  cos4 x) sin x dx sin x  cos6 x  I4    cos x  cos x   4  sin x  cos x   sin x    cos x 4 sin xdx +) Ta có:  Suy I    3cos x sin x  cos x   sin 2 x    cos x   3cos x  4 dt  +) t t  cos x  dt  4sin xdx  sin xdx   ; i c n x   t  x   t  1 4 1 1  t  dt    11 4  Khi I          dt   t  ln 3t     ln V y I   ln   3t   1  3(3t  5)  23 9  1 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 NH N XÉT 1) Khi g p tích phân có d ng tích c a cos x m t hàm ch a sin x hay đ c bi u di n theo hình th c   I   f (sin x ).cos xdx (7*1) (ho c tích c a sin x m t hàm ch a cos x có d ng I   f (cos x).sin xdx (7*2) )    ta s tính theo ph ng pháp đ i bi n t  sin x (ho c t  cos x ng v i I   f (cos x).sin xdx ) C th : 2) Khi g p tích phân mà hàm d H oc 01  i d u tích phân có c u trúc c a tích gi a sin x cos x hay tích phân có d ng  hi D I   sin m x.cos n xdx (7*) ta s quan tâm t i tính ch n, l gi a s m c a sin x cos x C th :  w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT ++) N u m, n khác tính ch n, l ( m ch n, n l ho c m l , n ch n) ta s đ i bi n theo hàm mang m ch n Ngh a n u m  2k (m c a hàm sin x mang m ch n có hình th c sin k x ) ta đ t t  sin x , n u n  2k (m c a hàm cos x mang m ch n có hình th c cos k x ) ta đ t t  cos x ++) N u m, n tính ch n, l ( m , n ch n ho c m , n l ) ta có hai tr ng h p: Tr ng h p 1: m, n l , ta nên đ i bi n theo hàm có s m l n h n N u m  n (b c c a sin x l n h n b c c a cos x ) ta đ t t  sin x N u m  n (b c c a sin x nh h n b c c a cos x ) ta đ t t  cos x N u m  n bi n đ i sin m x.cos m x  m sin m x sau đ t t  cos x Tr ng h p 2: m, n ch n, ta s “linh ho t” s d ng m t cách sau: Cách 1: Dùng công th c l ng giác đ bi n đ i bi u th c d i d u tích phân v d ng c b n có b ng nguyên hàm th ng hay s d ng công th c h b c Cách 2: Chuy n v d ng (5*1) ho c (5*2) đ đ t t  tan x ho c cot x CHÚ Ý: +) D ng (7*1) (7*2) m t ph n m r ng c a d ng (7*) +) Khi sin x ho c cos x không xu t hi n ta hi u s m c a mang s ch n (s ) +) N u bi u th c d i d u tích phân đ n gi n, b n có th b qua b c đ i bi n b ng k thu t vi phân Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  I   f (sin x  cos x,sin x cos x).(cos x  sin x)dx    sin  x   4   I1   dx sin x  2(1  sin x  cos x)     dt  (cos x  sin x )dx   sin  x   dx   x :  t :1  t t  sin x  cos x    sin x  t    I2    43 dt 43   V y I1  (t  1) t 1 4 01  dt  t   2(1  t )  (cos x  sin x )(cos x  sin x) cos x dx dx      sin x cos x   sin x  cos x hi D  H oc  I1   uO nT sin x  cos x  t   t t   sin x  cos x  t   sin x  cos x   x :  t :  (cos x  sin x )dx  2tdt 1  t3  t t  (t  1) 26  2tdt  2 dt  2  t  2t   dt    t  3t  ln t     I2    12 ln  2t t2 t2 3 0 0 0 iL ie I ta g p công đo n đ t t  sin x  cos x u   t  s/  Ta CHÚ Ý : Vi c đ t t   sin x  cos x  dt  (cos x  sin x)dx t t  sin x  cos x   ; sin x  t  +) Khi I   1 dt dt   3t  2(t  1) 2t  3t   fa w w    2t   t  dt  ln ce  om /g i c n x   t  x  c bo ok +) ro up  tan x cos x  sin x  I3   dx   dx  x  x x  x  x 3(1 tan ) 4sin 3(sin cos ) 2sin 0   t  2(t  2)  (2t  1) dt (t  2)(2t  1) 65 2t  1 65 V y I  ln  ln t 2 NH N XÉT (8*)  w Khi g p tích phân có d ng I   f (sin x  cos x,sin x cos x ).(cos x  sin x)dx (8*) Khi ta s gi i toán  toán b ng cách đ i bi n t  sin x  cos x tích phân v d ng tích phân c b n C th ta có s đ gi i: Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 N CÁC B N Ã QUAN TÂM ! iL ie uO nT hi D H oc 01 C M w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta GV: Nguy n Thanh Tùng Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01