Bài 29 nguyên hàm tích phân từng phần

http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan            NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN  TỪNG PHẦN  Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt  A KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương pháp a) Nguyên hàm phần Cho hai hàm số u v liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] Khi đó: òudv = uv -òvdu (*) Để tính ngun hàm ò f ( x) dx phần ta làm sau: Bước Chọn u, v cho f ( x) dx = udv (chú ý dv = v ' ( x) dx ) Sau tính v =òdv du = u '.dx Bước Thay vào cơng thức (*) tính òvdu b) Tích phân phần Cho hai hàm số u v liên tục [a; b] có đạo hàm liên tục [a; b] b b b Khi đó: òudv = uv -òvdu a a a b Để tính tích phân òudv phần ta làm sau: a Bước Chọn u, v cho f ( x) dx = udv (chú ý dv = v ' ( x) dx ) Sau tính v =òdv du = u '.dx b Bước Thay vào cơng thức (*) tính òvdu a Một số dạng thường dùng phương pháp nguyên hàm, tích phân phần Dấu hiệu Cách đặt ésin x ù ú dx , P ( x) đa thức I =òP ( x) ê êëcos x úû ìu = P ( x) ïï ésin x ù í ú dx ïdv = ê êëcos x úû ïỵ I =òP ( x) e ax +b dx , P ( x) đa thức ìïu = P ( x) í ïỵdv = e ax +b dx I =òP ( x) ln (mx + n) dx , P ( x) đa ìïu = ln (mx + n) í ïỵdv = P ( x) dx thức NGUN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – BÀI TẬP |       http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan          ì ésin x ù ú ïïu = êê í ëcos x úû ï x ỵïdv = e dx ésin x ù x ú e dx I =òê êëcos x úû òf (x) ln éëg (x)ùûdx ìu = ln ég x ù ï ë ( )û í ïỵdv = f ( x) dx ésin ax ù ê ú òf (x) êêcos ax úúdx a êëe ax úû ìu = f ( x) ï ï ésin ax ù ï ê ú í ïdv = êcos ax ú dx ê ú ï êëe ax úû ïỵ b a b ì ésin ax ù ú ïïu = êê úû cos ax í ë ï ïỵdv = e ax dx Ưu tiên đặt u theo quy tắc '' log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ '' Tức hàm số dấu tích phân hợp hàm số ta đặt u theo thứ tự ưu tiên trên, lại đặt dv ésin ax ù òeax êêcos ax úúdx a ë û b B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Để tính òx ln (2 + x) dx theo phương pháp tính ngun hàm phần, ta đặt: ìïu = x ìïu = ln (2 + x) A í B í ïỵdv = xdx ïỵdv = ln (2 + x) dx Câu ìïu = ln (2 + x) D í ỵïdv = dx Để tính òx cos x dx theo phương pháp tính nguyên hàm phần, ta đặt: ìïu = x A í ïỵdv = x cos xdx Câu ìïu = x ln (2 + x) C í ỵïdv = dx ìïu = x B í ïỵdv = cos xdx ìïu = cos x C í ïỵdv = x dx ìïu = x cos x D í ïỵdv = dx Tìm ngun hàm hàm số f ( x) = x.e x A ò f ( x) dx = x + e x + + C B ò f ( x) dx = ( x + 1) e x + C C ò f ( x) dx = ( x - 1) e x + C D ò f ( x) dx = x + e x + C ( ) Chuyên Lam Sơn – Lần Câu ( Biết F ( x) = ax + bx + c e x nguyên hàm hàm số f ( x) = x e x Tính ) a, b c A a = 1, b = 2, c = -2 B a = 2, b = 1, c = -2 C a = -2, b = 2, c = D a = 1, b = -2, c = Kim Liên – Hà Nội – Lần NGUN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – BÀI TẬP |       http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan          Câu Tính F ( x) =òx sin xdx bằng: A F ( x) = sin x - x cos x + C B F ( x) = x sin x - cos x + C C F ( x) = sin x + x cos x + C D F ( x) = x sin x + cos x + C Tính òx ln xdx Chọn kết đúng: Câu x ln x - ln x + + C C x 2 ln x + ln x + + C A ( ) ( ) Câu x ln x - ln x + + C D x 2 ln x + ln x + + C B ( ) ( ) Tính F ( x) =òx sin x cos xdx Chọn kết đúng: x A F ( x) = sin x + cos x + C x C F ( x) = cos x - sin x + C -1 x sin x - cos x + C x D F ( x) = sin x - cos x + C B F ( x) = x Câu Tính F ( x) =òxe dx Chọn kết x x A F ( x) = 3( x - 3)e + C C F ( x) = B F ( x) = ( x + 3)e + C x - 3x e +C D F ( x) = x + 3x e +C x Tính F ( x) =ò dx Chọn kết cos x A F ( x) = - x cot x + ln | cos x | +C B F ( x) = - x tan x + ln | cos x | +C Câu C F ( x) = - x cot x - ln | cos x | +C D F ( x) = x tan x + ln | cos x | +C Câu 10 Tính F ( x) =òx cos xdx Chọn kết A F ( x) = x sin x - x cos x + 2sin x + C B F ( x) = ( x - 2) sin x + x cos x + C C F ( x) = x sin x - x cos x + sin x + C D F ( x) = (2 x + x ) cos x - x sin x + C Câu 11 Tính F ( x) =òx sin xdx Chọn kết (2 x cos x - sin x) + C C F ( x) = - (2 x cos x - sin x) + C A F ( x) = B F ( x) = - (2 x cos x + sin x) + C D F ( x) = (2 x cos x + sin x) + C + ln( x + 1) Câu 12 Tính ò dx Khẳng định sau sai? x2 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – BÀI TẬP |       http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan          A - + ln( x + 1) x + ln +C x x +1 B x -1 + ln( x + 1) + ln +C x x +1 C - x +1 (1 + ln( x +1)) + ln | x | +C x D - + ln( x + 1) - ln x + + ln x + C x Câu 13 Tính F ( x) =ò(2 x - 1)e1- x dx = e1- x ( Ax + B ) + C Giá trị biểu thức A + B bằng: A –3 B C D Câu 14 Tính F ( x) =òe x cos xdx = e x ( A cos x + B sin x) + C Giá trị biểu thức A + B bằng: A –2 B –1 ( C ) D Câu 15 Tính F ( x) =òln x + + x dx Chọn kết ( ) A F ( x) = ln x + + x - x + x + C ( ) C F ( x) = x ln x + + x - + x + C B F ( x) = 1 + x2 ( +C ) D F ( x) = x ln x + + x + + x + C Câu 16 Hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x) = x 3e x đồ thị hàm số f ( x) qua gốc tọa độ O Chọn kết 1 A f ( x) = x e x + e x - 2 2 1 C f ( x) = x e x - e x - 2 2 x2 x2 xe - e + 2 2 1 D f ( x) = x e x + e x + 2 B f ( x) = Câu 17 Tính F ( x) =ò x - 1dx bằng: 1 x x - + ln x + x - + C 2 1 C F ( x) = x x - - ln x - x - + C 2 A F ( x) = 1 x x - - ln x + x - + C 2 1 D F ( x) = x x - + ln x - x - + C 2 B F ( x) = Câu 18 Tính òx3e x dx = e x (ax + bx + cx + d ) + C Giá trị a + b + c + d : A –9 B –2 C D 10 Câu 19 Tính F ( x) =òx ln( x + 3)dx = A( x + 3) ln( x + 3) + Bx + C Giá trị biểu thức A + B bằng: A –1 B C D Câu 20 Tính òx3 ln xdx = x ( A ln x + B ) + C Giá trị A + B bằng: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – BÀI TẬP |       http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan          A B –1 Câu 21 Tính F ( x) =òx ln C D -1 1+ x dx Chọn kết đúng: 1- x x2 - 1 + x A F ( x) = ln + x +C 1- x C F ( x) = x2 +1 + x B F ( x) = ln + x +C 1- x x2 +1 + x ln - x +C 1- x D F ( x) = x2 - 1 + x ln - x +C 1- x Câu 22 Hàm số f ( x) = ( x - 1) e x có nguyên hàm F ( x) kết sau đây, biết nguyên hàm x = ? A F ( x) = ( x - 1) e x B F ( x) = ( x - 2) e x C F ( x) = ( x + 1) e x + D F ( x) = ( x - 2) e x + ln ln x Câu 23 Tính nguyên hàm I =ò ( ) dx kết sau đây? x A I = ln x.ln (ln x) + C B I = ln x.ln (ln x) + ln x + C C I = ln x.ln (ln x) - ln x + C D I = ln (ln x) + ln x + C Câu 24 Tính ngun hàm I =òsin x.e x dx , ta được: A I = x e sin x - e x cos x + C ( ) B I = C I = e x sin x + C Câu 25 x e sin x + e x cos x + C ( ) D I = e x cos x + C Một nguyên hàm f ( x) = x ln x kết sau đây, biết nguyên hàm triệt tiêu x = ? 1 A F ( x) = x ln x - x + 1 C F ( x) = x ln x + x + 2 ( ) ( ) B F ( x) = x ln x + x + D Một kết khác e Câu 26 Ta có tích phân I = 4òx (1 + ln x) dx = a.e + b , với a, b số nguyên Tính M = ab + (a + b) A M = -5 B M = -2 C M = D M = -6 Sở GD–ĐT Hải Dương NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – BÀI TẬP |       http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan          e Câu 27 Cho tích phân I =òx ln xdx Mệnh đề sau đúng? e A I = e 2 x ln x +òx ln xdx 1 C I = x ln x -òx ln xdx 1 e e e e e B I = x ln x - 2òx ln xdx D I = e 2 x ln x -òx ln xdx 1 Chuyên Đại học Vinh – Lần Câu 28 Biết I =òe x +1 dx = a e , với a, b số thực thỏa mãn a - b = Tính tổng b S = a +b A S = 10 B S = ( C S = D S = Chuyên Phan Bội Châu – Lần ) Câu 29 Biết òe x x + e x dx = a.e + b.e + c , với a, b, c số hữu tỉ Tính S = a + b + c A S = B S = -4 C S = -2 D S = Chuyên Thái Bình – Lần Câu 30 Tính tích phân I =òln tdt Chọn khẳng định sai? A I = ln - B I = ln e C I = ln - log10 a ln x 1 Câu 31 Biết I =ò dx = - ln Giá trị a bằng: 2 x A B ln C ( D I = ln 4e D ) Câu 32 Kết tích phân I =òln x - x dx viết dạng I = a ln - b với a, b A –1 số nguyên Khi a - b nhận giá trị sau đây? B C e Câu 33 Khẳng định sau kết òx ln xdx = A ab = 64 B ab = 46 D 3e a + ? b C a - b = 12 D a - b = ( Câu 34 Kết tích phân I =òx ln + x dx viết dạng I = a ln + b ln + c với ) a, b, c số hữu tỉ Hỏi tổng a + b + c bao nhiêu? NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – BÀI TẬP |       http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan          A B C D e k Câu 35 Cho I =òln dx Xác định k để I < e - x A k < e + B k < e C k > e + D k < e - Câu 36 Tính tích phân I =òx x dx A I = ln - ln 2 B I = ln - ln C I = ln + ln 2 D I = ln + ln Câu 37 Kết tích phân I =ò(2 x + 3) e x dx viết dạng I = ae + b với a, b Î  Khẳng định sau đúng? A a - b = B a + b3 = 28 a Câu 38 Tích phân ò( x - 1) e x dx = A B C ab = D a + 2b = - e2 Giá trị a > bằng: C D p Câu 39 Tính tích phân I =òx sin xdx A I = B I = p C I = D I = p Câu 40 Cho tích phân I =òsin x.esin x dx Một học sinh giải sau: ìx = Þ t = ï Bước 1: Đặt t = sin x Þ dt = cos xdx Đổi cận í Þ I = 2òtet dt p ïx = Þ t = î 1 1 ìïu = t ìïdu = dt t t t t Þ te dt = te e dt = e e =1 Bước 2: Chọn í Suy í ò ò ïỵdv = et dt ïỵv = et 0 0 Bước 3: I = 2òtet dt = Hỏi giải hay sai? Nếu sai sai đâu? A Bài giải sai từ Bước B Bài giải sai từ Bước C Bài giải sai từ Bước D Bài giải hoàn tồn NGUN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – BÀI TẬP |       http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan          p p p 0 Câu 41 Cho I =òe x cos xdx, J =òe x sin xdx K =òe x cos xdx Khẳng định khẳng định sau? (I) I + J = ep (II) I - J = K A Chỉ (I) B Chỉ (II) ep - C Chỉ (III) (III) K = D Cả (II) (III) Câu 42 Tích phân I =òxe - x dx có giá trị bằng: -2 B 3e - A - e + C - e - D -2e + p ỉ pư Câu 43 Tích phân òx cos ỗ x + ữ dx cú giỏ tr bng: è 4ø A (p - 2) 2 p - 2) B - ( C (p + 2) 2 p + 2) D - ( b Câu 44 Cho hai số thực a b thỏa mãn a < b òx sin xdx = p , đồng thời a cos a = a b b cos b = -p Tích phân òcos xdx có giá trị bằng: a A 145 12 B p C -p D Câu 45 Cho hai hàm số liên tục f g có nguyên hàm F G đoạn [1; 2] Biết F (1) = , F (2) = , G (1) = 67 , G (2) = ò f ( x)G ( x)dx = Tích phân 12 òF ( x) g ( x)dx có giá trị bằng: A 11 12 B - 145 12 C - 11 12 D 145 12 e Câu 46 Tích phân ò(2 x - 5) ln xdx bằng: e e A - ( x - x) ln x -ò( x - 5)dx e e C ( x - x) ln x -ò( x - 5)dx 1 e e B ( x - x) ln x +ò( x - 5)dx e e D ( x - 5) ln x -ò( x - x)dx NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – BÀI TẬP |       http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan          p Câu 47 Giá trị tích phân I =ò ln(sin x)dx là: p sin x A - ln + + p B ln + - b a 0 p C - ln - - p D - ln + - p Câu 48 Biết ò6dx = òxe x dx = a Khi biểu thức b + a + 3a + 2a có giá trị bằng: A B C D p Câu 49 Cho p m -òx cos xdx = Khi 9m - bằng: A B 30 C –3 D –30 p Câu 50 Cho tích phân I =òx (sin x + 2m) dx = + p Giá trị tham số m là: A B C ĐÁP ÁN 1  2  3  B  B      4  5  6  C 7  8  9  10 11 12 13 14 15  16  17  18  19 20 C  D  A  B  D  A  D  B              D     C  A  A  C  C            B  B  B        B  A      21  22  23  24  25  26  27  28 29 30 31 32 33 34 35  36  37  38  39 40 A  D  C  A  D  C  D  A  D  D  A  C  A  A  B  A  D  A  C  D                                          41  42  43  44  45  46  47  48 49 50 D  C  D  D  A  C  D  D  B  C  NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – BÀI TẬP |       ... Hỏi giải hay sai? Nếu sai sai đâu? A Bài giải sai từ Bước B Bài giải sai từ Bước C Bài giải sai từ Bước D Bài giải hồn tồn NGUN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – BÀI TẬP |       http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan         ... D a - b = ( Câu 34 Kết tích phân I =òx ln + x dx viết dạng I = a ln + b ln + c với ) a, b, c số hữu tỉ Hỏi tổng a + b + c bao nhiêu? NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – BÀI TẬP |       http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan         ... GD–ĐT Hải Dương NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – BÀI TẬP |       http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan          e Câu 27 Cho tích phân I =òx ln xdx Mệnh