Các lớp cegrell của hàm m điều hóa dưới và phương trình Hessian trong các lớp cegrell (Luận văn thạc sĩ)

Các lớp cegrell của hàm m điều hóa dưới và phương trình Hessian trong các lớp cegrell (Luận văn thạc sĩ)Các lớp cegrell của hàm m điều hóa dưới và phương trình Hessian trong các lớp cegrell (Luận văn thạc sĩ)Các lớp cegrell của hàm m điều hóa dưới và phương trình Hessian trong các lớp cegrell (Luận văn thạc sĩ)Các lớp cegrell của hàm m điều hóa dưới và phương trình Hessian trong các lớp cegrell (Luận văn thạc sĩ)Các lớp cegrell của hàm m điều hóa dưới và phương trình Hessian trong các lớp cegrell (Luận văn thạc sĩ)Các lớp cegrell của hàm m điều hóa dưới và phương trình Hessian trong các lớp cegrell (Luận văn thạc sĩ)Các lớp cegrell của hàm m điều hóa dưới và phương trình Hessian trong các lớp cegrell (Luận văn thạc sĩ)Các lớp cegrell của hàm m điều hóa dưới và phương trình Hessian trong các lớp cegrell (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– PHÙNG THỊ KIM OANH CÁC LỚP CEGRELL CỦA HÀM m - ĐIỀU HỒ DƢỚI VÀ PHƢƠNG TRÌNH HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa cơng bố cơng trình Tác giả Phùng Thị Kim Oanh Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp tơi xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo, phận sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2016 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng 1: HÀM ĐIỀU HÒA DƢỚI VÀ m - ĐIỀU HÒA DƢỚI 1.1 Hàm điều hòa 1.2 Hàm đối xứng sơ cấp 1.3 Hàm m-điều hịa tốn tử Hessian 1.4 m - dung lượng tương đối 1.5 Hàm m - cực trị tương đối 10 Chƣơng 2: CÁC LỚP NĂNG LƢỢNG HỮU HẠN KIỂU CEGRELL 13 2.1 Các định nghĩa tính chất 13 2.2 Toán tử Hessian phức 21 2.3 Tích phân phần 25 2.4 Nguyên lý so sánh 26 Chƣơng 3: PHƢƠNG TRÌNH HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL 32 3.1 Các hàm lượng 32 3.2 Sự tồn nghiệm phương trình Hessian lớp Cegrell 37 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho WÌ Ā n miền bị chặn m số nguyên cho Ā m Ā n Xét phương trình m - Hesian phức có dạng (dd cj )m Ù b m - n = m b = dd c z (1.1) l dng Kăahler chun C n v µ độ đo Radon dương Phương trình m - Hessian phức nghiên cứu lần S.Y Li năm 2004 Ông sử dụng phương pháp liên tục để giải tốn Dirichlet khơng suy biến cho phương trình (1.1) miền m - giả lồi mạnh Một vấn đề suy biến tương tự nghiên cứu Blocki năm 2005 Ông giải phương trình với điều kiện biên liên tục trình bày bước lý thuyết vị phương trình Gần đây, Abdullaev Sadullaev quan tâm đến tập m - cực m - dung lượng hàm m - điều hòa Khi m trù mật Lp (w)( p > n / m ) , Dinew Kolodziej chứng minh với điều kiện biên liên tục cho, tốn Dirichlet phương trình (1.1) có nghiệm liên tục Theo hướng nghiên cứu chọn đề tài: “ Các lớp Cegrell hàm m - điều hoà Phương trình Hessian lớp Cegrell“ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu lớp lượng hữu hạn hàm m - điều hòa tổng quát hóa lớp Cegrell hàm đa điều hòa Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình Hessian phức suy biến (dd cj )m Ù b n - m = m, µ độ đo Radon dương suy biến Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Nghiên cứu số tính chất hàm điều hoà dưới, hàm m - điều hồ tốn tử Hessian, m - dung lượng tương đối hàm m - cực trị tương đối + Nghiên cứu trình bày kết gần L.H Chinh số tính chất lớp lượng U.Cegrell hàm m - điều hồ tồn nghiệm phương trình Hessian lớp kiểu Cegrell Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 49 trang, có phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm điều hồ dưới, hàm m - điều hồ tốn tử Hessian, m - dung lượng tương đối hàm m - cực trị tương đối Chương 2: Trình bày số kết lớp Cegrell hàm m điều hoà Chương 3: Trình bày kết tồn nghiệm phương trình Hessian lớp Cegrell Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn Chƣơng HÀM ĐIỀU HÒA DƢỚI VÀ m - ĐIỀU HÒA DƢỚI 1.1 Hàm điều hòa dƣới Định nghĩa 1.1.1 Giả sử W tập mở Ā Hàm u : W® éêë- ¥ , + ¥ ) gọi điều hòa W nửa liên tục trên W thỏa mãn bất đẳng thức trung bình W, nghĩa với w Ỵ W tồn d > cho với Ā r Ā d ta có u( w) Ā 2p ị 2p u( w + re it )dt Kí hiệu tập hợp hàm điều hòa W SH (W) Mệnh đề 1.1.2 Giả sử W tập mở Ā , u, v Ỵ SH (W) Khi đó: (i ) m ax(u , v ) hàm điều hòa W (ii ) Tập hàm điều hòa W nón lồi, nghĩa u, v Ỵ SH (W) a , b > a u + b v thuộc SH (W) Định lý 1.1.3 Giả sử W miền bị chặn Ā , u Ỵ SH (W) Khi đó: (i ) Nếu u đạt cực đại toàn thể điểm W u số W (ii ) Nếu lim sup u (z ) Ā " V ẻ ả W thỡ u trờn W zđ V Định lý 1.1.4 Giả sử W tập mở Ā u hàm nửa liên tục trên W Khi mệnh đề sau tương đương (i ) u hàm điều hòa W (ii ) Với w Ỵ W, tồn d > cho D(w, d > 0) Ì W với Ā r < d, Ā t < 2p ta có u ( w + re ) Ā 2p it { ò 2p d2 - r u ( w + de i q )d q 2 d - 2drcos(q - t ) + r } D(w, d > 0) = z Ỵ W: z - w Ā d đĩa đóng tâm w bán kính d Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn (iii ) Với miền D compact tương đối W h hàm điều hòa trên D, liên tục D thỏa mãn lim sup(u - h )(z ) (V ẻ ả D ) zđ V ta có u Ā h D Định lý 1.1.5 Giả sử { u n } dãy giảm hàm điều hòa tập mở W Ā u = lim un Khi u hàm iu hũa di trờn W nđ Ơ Chng minh u tiên ta chứng minh u nửa liên tục trên W Với a Ỵ R, tập {z Ỵ W: u (z ) < a } = Ơ U{z ẻ W: u n (z ) < e} n Do tập mở Vậy u nửa liên tục trên W Do u n thỏa mãn bất đẳng thức trung bình nên dùng định lý hội tụ đơn điệu suy u thỏa mãn bất đẳng thức trung bình W Do u hàm điều hòa W W Hệ 1.1.6 Giả sử u hàm điều hòa miền WÌ Ā cho u khơng đồng - ¥ W Khi tập { E = z Ỵ W; u (z ) = - ¥ } có độ đo Lebesgue Tập E Ì Ā mà có hàm điều hịa dưới, khơng đồng - ¥ , nhận giá trị - ¥ gọi tập cực Sau trường hợp Ā n , tập gọi tập đa cực Đó tập kỳ dị lớp hàm điều hòa dưới( tương ứng đa điều hòa dưới) 1.2 Hàm đối xứng sơ cấp Cho Sk , k = 1, , n l = (l , , l n ) Ỵ R n , hàm k - đối xứng sơ cấp với S k (l ) = å 1Ā i1 < i2 < < ik Ā n l i l i l i Đặt S 0(l ) = k S k (l ) = k > n k < Ta có đồng thức Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n å (l + t ) (l n + t ) = S k (l ) t n - k , t Ỵ ¡ k= Kí hiệu Gk bao đóng thành phần liên thơng tập hợp {S k (l ) > 0} chứa (1, ,1) Ta có { Gk = l Ỵ R n / S k (l + t , , l n + t ) ³ 0, " t > 0} Từ S m (l + t , , l n + t ) = m å ( ) S (l )t n- k m- k k m- k ,t Ỵ ¡ suy k= Gk := {l Î R n / S j (l ) ³ 0, " Ā j Ā k} Ký hiệu H không gian vectơ ¡ gồm ma trận Hermitian k phức cấp n ´ n Với A Ỵ H , ký hiệu l (A ) = (l , , l n ) giá trị riêng A Đặt S%k (A ) = S k (l (A )) Từ đẳngthức n det (A + tI ) = å S%k (A )t n - k , t Ỵ ¡ k= suy hàm S%k tổng tất định thức bậc k , S%k (A ) = å AI I Do đó, S%k đa thức bậc k H I =k mà hyperbolic ma trận đồng I Như [3], % = {A Ỵ H / S%(A + tI ) ³ 0, " t ³ Ta có ta địnhnghĩa G k k 1/ k % = {A Î H / l (A ) Î G } nún li v hm Sỵk G k k % lừm G k 1.3 Hàm m-điều hịa dƣới tốn tử Hessian Ký hiệu b dạng Kahler chuẩn C n W miền m - siêu lồi bị chặn Ā n , tức tồn hàm m - điều hòa liên tục f : W® ¡ - cho {f < c} Ð W, với c < Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn Ta kết hợp (1,1) - dạng thực a C n với ma trận Hermitian [a jk ] a = i p å a jk dz j Ù dz k Khi ú dng Kăahler chớnh tc b c kết j ,k hợp với ma trận đồng I Ta có ( )a n k k Ù b n - k = S±k (A )b n Định nghĩa 1.3.1 C ho a (1,1) - dạng thực W Ta nói a m dương điểm cho trước P Ỵ W điểm ta có: a j Ùb n - j ³ 0, " j = 1, , k a gọi k - dương k - dương điểm thuộc W Cho T dòng song bậc (n - k , n - k )(k Ā m ) Khi T gọi m - dương a Ù Ù a k ÙT ³ , với (1,1) - dạng m - dương a , , a k Định ngha 1.3.2 Hm u : Wđ Ă ẩ {- Ơ } gọi m - điều hòa hà m điều hịa ddcu Ù a Ù a m - Ù b n - m ³ 0, với (1,1) - dạng m - dương a 1, , a m - Lớp tất hàm m - điều hòa W ký hiệu SH m (W) Mệnh đề 1.3.3 [3] i ) Nếu u C tr n u m - điều hịa dd cu m - dương điểm thuộc W ii ) Nếu u, v Ỵ SH m (W) l u + mv Î SH m (W), " l , m > iii ) Nếu u m - điều hòa W u å c m - điều hịa We = {x Ỵ W/ d(x , ¶ W) > e} iv ) Nếu (ul ) Ì SH m (W) bị chặn địa phương (sup u l )* Ỵ SH m (W) t r o n g đ ó v å qui nửa liên tục v v ) PSH = Pn Ì Ì P1 = SH Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn ... Cegrell h? ?m m - điều hoà Phương trình Hessian lớp Cegrell? ?? M? ??c đích nhi? ?m vụ nghiên cứu 2.1 M? ??c đích nghiên cứu M? ??c đích luận văn nghiên cứu lớp lượng hữu hạn h? ?m m - điều hòa tổng quát hóa lớp Cegrell. .. - điều hồ tốn tử Hessian, m - dung lượng tương đối h? ?m m - cực trị tương đối Chương 2: Trình bày số kết lớp Cegrell h? ?m m điều hoà Chương 3: Trình bày kết tồn nghi? ?m phương trình Hessian lớp Cegrell. .. cục luận văn Chƣơng 1: H? ?M ĐIỀU HÒA DƢỚI VÀ m - ĐIỀU HÒA DƢỚI 1.1 H? ?m điều hòa 1.2 H? ?m đối xứng sơ cấp 1.3 H? ?m m- điều hịa tốn tử Hessian 1.4 m - dung