Chuyên đề Nguyên Hàm – Tích Phân – Ứng dụng – Bài tập có lời giải

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Gọi S  t  diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng y  x  1 x  2 , y  , x  , x  t (t  0) Tìm lim S  t  t  A  ln  B ln  C  ln D ln  Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: *Tìm a, b, c cho  x  1 x  2  a bx  c  x  ( x  2)2   a  x     bx  c  x  1   ax2  4ax  4a  bx2  bx  cx  c a  b  a       a  b  x   4a  b  c  x  4a  c  4a  b  c   b  1  4a  c  c  3   *Vì  0;t  , y   x  1 x    nên ta có: t  t   1 x3  Diện tích hình phẳng: S  t     d x     0  x   x  22 dx     x  1 x      t  1    x 1      dx   ln   x   x    x  2   x2 x20 0  t  ln t 1 1   ln  t2 t2  t 1   t 1    lim ln   lim *Vì lim  0   t  t  t  t  t    t2 1  t 1   ln    ln  Nên lim S  t   lim  ln t  t  2  t2 t2 Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay Sưu tầm https://blogtoanhoc.com t   Diện tích hình phẳng: S  t      dx     x  1 x    Cho t  100 ta bấm máy  100      dx  0,193   x  1 x  2    Dùng máy tính kiểm tra kết ta đƣợc đáp án B  Câu 2:  sin x (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tích phân I   dx J   dx  tan x cosx  sin x 0   với    0;  , khẳng định sai  4  cos x dx cosx  sin x A I   B I  J  ln sin   cos C I  ln  tan  D I  J   Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 1 cos    nên A  tan   sin  cos   sin  cos   d  cos x  sin x  cos x  sin x I J  dx   ln cos x  sin x cos x  sin x cos x  sin x 0    ln cos   sin  B  I  J   dx  x 0   D Câu 3: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f  x   x   4t  8t  dt Gọi m, M lần lƣợt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số f  x  đoạn  0;6 Tính M  m A 18 B 12 C 16 D Hướng dẫn giải f  x  x   4t  8t  dt   t  4t  x  x  x  , với x  f   x   x  4; f   x    x   1;6 f    3; f    1; f    15 Suy M  15, m  1 Suy M  m  16 Sưu tầm https://blogtoanhoc.com Đáp án: C Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử  x 1  x  số nguyên dƣơng Tính 2a  b bằng: A 2017 B 2018 2017 1  x  dx  a a C 2019 1  x   b b  C với a, b D 2020 Hướng dẫn giải Ta có:  x 1  x  2017 dx    x   11  x  2017  dx   1  x  2017  1  x  2018  1  x  dx   2018 2018 1  x   2019 2019 C Vậy a  2019, b  2018  2a  b  2020 Chọn D Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e 3 x F     ln Tập nghiệm S phƣơng trình 3F  x   ln  x3  3  là: A S  2 B S  2; 2 C S  1; 2 D S  2;1 Hướng dẫn giải Ta có: F  x    dx  ex  x     dx  x  ln  e  3  C x x  e 3  e 3     1 Do F     ln nên C  Vậy F  x   x  ln  e x  3 3 Do đó: 3F  x   ln  e x  3   x  Chọn A Câu 6: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho f ( x), g ( x) hàm số liên tục đoạn  2;  thỏa mãn  6 3 f ( x)dx  3;  f ( x)dx  7;  g ( x)dx  Hãy tìm mệnh đề KHƠNG B  [3 f ( x)  4]dx  A  [3g ( x)  f ( x)]dx  C ln e6 ln e6  [2f ( x) 1]dx  16 D  [4 f ( x)  g ( x)]dx  16 Hướng dẫn giải Sưu tầm https://blogtoanhoc.com  6 f ( x)dx   f ( x)dx   f( x)dx  10 6 3 Ta có:  [3g ( x)  f ( x)]dx  3 g ( x)dx   f ( x)dx  15   nên A 3 2  [3 f ( x)  4]dx  3 f( x)dx  4 dx    nên B ln e6 6 2 2  [2f ( x) 1]dx   [2f ( x) 1]dx  2 f( x)dx 1 dx  20   16 nên C ln e6  6 3 [4f ( x)  g ( x)]dx   [4f ( x)  g ( x)]dx   f( x)dx   g ( x)dx  28  10  18 Nên D sai Chọn đáp án D Câu 7: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả 2x 3 2x  e (2 x  5x  x  4)dx  (ax  bx  cx  d )e  C Khi a  b  c  d A -2 B C sử D Hướng dẫn giải Chọn B Ta  (ax có e 2x (2 x3  x  x  4)dx  (ax3  bx  cx  d )e2 x  C nên  bx  cx  d )e x  C  '  (3ax  2bx  c)e x  2e x (ax  bx  cx  d )   2ax3  (3a  2b) x  (2b  2c) x  c  2d  e x  (2 x3  x  x  4)e2 x  2a  a  3a  2b  b     Do  Vậy a  b  c  d   2b  2c  2 c  2 c  2d  d  Câu 8: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho biết  f ( x)dx  15 Tính giá 1 P   [f (5  3x)  7]dx A P  15 B P  37 C P  27 Hướng dẫn giải Sưu tầm https://blogtoanhoc.com D P  19 trị t   3x  dx   Để tỉnh ta P dt x 0t 5 x   t  1 đặt nên 5  dt 1 P   [f (t )  7]( )   [f (t )  7]dt    f (t ) dt   dt  3 1  1 1  1 1  15  7.(6)  19 3 chọn đáp án D Câu 9: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f  x   a sin x  b cos x thỏa mãn   f '    2  adx  Tính tổng a  b bằng: 2 a b A B C D Hướng dẫn giải Chọn C f '  x   2a cos x  2b sin x   f '    2  2a  2  a  2 b b a  adx   dx   b 1   b  Vậy a  b    ln Câu 10: (TRẦN HƢNG ĐẠO – NB) Biết rằng:    x  2e  a  dx  ln  b ln  c ln Trong 1  x a, b, c số nguyên Khi S  a  b  c bằng: A B C Hướng dẫn giải Chọn C   0  x  2ex   dx  0 xdx  ln ln ln Tính  xdx  ln Tính  2e x x ln 1  ln  2e dx 1 x ln 2 dx Sưu tầm https://blogtoanhoc.com D dt Đổi cận : x  ln  t  5, x   t  t 1 ln 5 dt  1 d x   0 2ex  3 t t 1 3  t 1  t dt   ln t 1  ln t   ln  ln  ln  ln  ln  ln Đặt t  2e x   dt  2e x dx  dx  ln    x  2e   dx  ln  ln  ln  a  2, b  1, c  1 1  x Vậy a  b  c  Câu 11: (LẠNG GIANG SỐ 1) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị  C  hàm số  x  x  3 hai tiếp tuyến  C  xuất phát từ M  3; 2  13 11 A B C D 3 3 y Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y   2x  4  x  Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm Khi đó, y0   x0  x0  3 y  x0   x0  Phƣơng trình tiếp tuyến  C  điểm có tọa độ  x0 ; y0  y   x0   x  x0    x0  x0  3 Vì tiếp tuyến qua điểm M  3; 2  nên  x0   y   x  1 x0  x0  3     x0   y  3x  11 2   x0    x0   Diện tích hình phẳng cần tìm S  1    x  x  3    x  1 dx   1    x  x  3   3x  11  dx   x   cos x dx  a  b ln , với Câu 12: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân a , b số thực Tính 16a  8b A B C Hướng dẫn giải Chọn A Sưu tầm https://blogtoanhoc.com D u  x du  dx   Đặt  Ta có  dx d v  v  tan x   cos x     1    1  1 I  x tan x   tan xdx   ln cos x   ln   ln  a  , b   2 8 8 0 Do đó, 16a  8b  Câu 13: (LẠNG GIANG SỐ 1) Giả sử f  x  dx   A 12  f  z  dz  Tổng B  C f  t  dt   f  t dt D Hướng dẫn giải Chọn C Ta có  f  x  dx    f  t  dt  ;  5 f  z  dz    f  t  dt  0 5 3   f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt  ln  Câu 14: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân A e2 x1  a dx  e  Tính tích a.b x e b B C D 12 Hướng dẫn giải Chọn B ln  e2 x 1  dx  ex  e x 1 ln  e x ln  ln e x 1dx  ln  e x dx  ln  e x 1d  x  1  ln  e d x  x 1    2e  e     1  e   a  1, b   ab  2   Câu 15: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Biết   l số nguyên Tính a  b  c  d Sưu tầm https://blogtoanhoc.com sin x  x  x3 dx  3 a  3  c  d với a, b, c, d b A a  b  c  d  28 B a  b  c  d  16 C a  b  c  d  14 D a  b  c  d  22 Hướng dẫn giải Chọn A I   3   sin x 1 x  x dx       x  x3 sin x 1 x  x 6    dx     x  x3 sin xdx     x    t  Đặt t   x  dt  dx Đổi cận  x    t     3  I       t  t sin  t  dt       Suy I    2 x  sin x  dx  I    t  t sin tdt       x     3   x  x3 sin xdx sin xdx 3 (+)  sin x 3x (–)  cos x 6x (+)  sin x (–)  cos x x    sin x  3  2   27 3 Suy ra: a  27, b  3, c  2, d  Vậy a  b  c  d  28 I    x3 sin x  3x cos x  x sin x  6sin x  3  3    Câu 16: (NGƠ GIA TỰ - VP) Có giá trị a đoạn  ; 2  thỏa mãn 4  a sin x 0  3cos x dx  A B C Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t   3cos x  t   3cos x  2tdt  3sin xdx Đổi cận: + Với x   t  Sưu tầm https://blogtoanhoc.com D + Với x  a  t   cos a  A a Khi  a  2 sin x 2 2 dx   dt  t    A    A    3cos a   cos a  3 A 3  3cos x A  k  k   Do Bình luận: Khi cho a  k      a   ; 2     k  2    k    4 k  4     tích phân khơng xác định mẫu thức khơng xác định (trong bị âm) Vậy đáp án phải l B, nghĩa l chấp nhận a   Câu 17: (NGƠ GIA TỰ - VP) Diện tích miền phẳng giới hạn đƣờng: y  2x , y   x  v y 1 l : 1 47  1 3 A S  B S  C S  D S  ln 2 ln 50 ln Hướng dẫn giải Chọn A Xét phƣơng trình ho nh độ giao điểm đƣờng Ta có:  2x   x   x   2x   x   x    x  2  2x    x2  1 Diện tích cần tìm là: S     1 dx     x   1 dx    x   2x     ln 0   ln 2 1 x a Câu 18: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Có số a   0; 20  cho  sin x sin xdx  A 20 B 19 Sưu tầm https://blogtoanhoc.com C D 10 Hướng dẫn giải Chọn D a a a 2 Ta có  sin x sin xdx  2 sin x cos xdx  2 sin xd  sin x   sin x 0a  sin a  7 0 Do 0 sin a   sin a   a    k 2  20    k  10 k  2 n 1 Câu 19: (THTT – 477) Giá trị lim n  A 1  1 e x   k 2 a   0; 20  Vì nên có 10 giá trị k dx n B C e D Hướng dẫn giải Chọn D n 1 Ta có: I   1 e x dx n Đặt t   e x  dt  e x dx Đổi cận: Khi x  n  t   en ; x  n   t   en1 1 en1  Khi đó: I  1 en dt  t  t  1 1 en1  1 en 1 en1  en  1  d t  ln t   ln t   ln     1 en  e n 1  t 1 t  n Mà  en  e n 1 1   1 1 e   n  n   , Do đó, lim I   ln  n  e e 1  e   e  Câu 20: (THTT – 477) Nếu  sin n x cos xdx  A n 64 B C D Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t  sin x  dt  cos xdx Đổi cận: x   t  0; x  t n 1 1    Khi đó: I   t dt  n 1 n 1   1 Suy   2 n 1  t  64 n   n 1 có nghiệm n  (tính đơn điệu) 64 n 1 Sưu tầm https://blogtoanhoc.com nên Câu 21: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d ,  a, b, c  , a   có đồ thị  C  Biết đồ thị  C  tiếp xúc với đƣờng thẳng đồ thị hàm số y  f   x  cho hình vẽ dƣới đây: y  điểm có ho nh độ âm Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị  C  trục hoành A S  B S  27 C 21 D Hướng dẫn giải Chọn B Từ đồ thị suy f   x   x  f  x    f   x  dx    3x2  3 dx  x3  3x  C  C  tiếp xúc với đƣờng thẳng f   x0    3x02    x0  1 y  điểm có ho nh độ x0 âm nên Do Suy f  1   C    C  : y  x  x   x  2 x 1 Xét phƣơng trình x  x      x Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2  3x   dx  27 Câu 22: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho y  f  x  hàm số chẵn, có đạo h m đoạn 6;6 Biết  f  x  dx  1 A I  11  f  2 x  dx  Tính I   f  x  dx 1 B I  C I  Hướng dẫn giải Sưu tầm https://blogtoanhoc.com D I  14 Chọn D a Vì f  x  hàm số chẵn nên  a  2 1 f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx  f  2 x  dx   f  x  dx  3 Xét tích phân K   f  x  dx  Đặt u  x  du  2dx  dx  du Đổi cận: x   u  2; x   u  K 6 1 f  u  du   f  x  dx    f  x  dx   22 22 6 1 1 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    14 Câu 23: (SỞ GD HÀ NỘI) Biết A T   3e 13 x dx  a b e  e  c  a, b, c  B T  C T  10  Tính T  a  b c  D T  Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t   3x  t   3x  2tdt  3dx Đổi cận: + x   t  + x 1 t    3e 13 x    dx 2 tet dt 2 tet   et dt  tet  et 1 2 1   2e  e  e  e  2e 2 a  10   T  10 nên câu C b  c  Câu 24: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  Gọi D diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị  C  : y  f  x  , trục ho nh, hai đƣờng thẳng x  a , x  b (nhƣ hình vẽ dƣới đây) Sưu tầm https://blogtoanhoc.com Giả sử S D diện tích hình phẳng D Chọn công thức phƣơng án A, B, C, D cho dƣới đây? b a 0 b a A S D   f  x  dx   f  x  dx b a B S D    f  x  dx   f  x  dx C S D   f  x  dx   f  x  dx b a D S D    f  x  dx   f  x  dx Hướng dẫn giải Chọn B + Nhìn đồ thị ta thấy:  Đồ thị (C) cắt trục hoành O  0;0   Trên đoạn  a;  , đồ thị (C) dƣới trục hoành nên f  x    f  x   Trên đoạn  0;b  , đồ thị  C  trục hoành nên f  x   f  x  b b b a a a + Do đó: S D   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx Câu 25: (CHUYÊN HÙNG VƢƠNG – GL) Biết I   số nguyên Tính S  a  b A S  B S  11 x  1 dx   a ln  b ln , với a , b x C S  Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: I   x  1 x  1 x  1 dx   dx   dx x x x Sưu tầm https://blogtoanhoc.com D S  3 2  5  2x 2x  22  x 1  x  2 1 dx   dx   dx   dx x x x x 2 5 3      x  dx      dx   5ln x  x    x  3ln x  2 x x   a   a  b  11  8ln  3ln    b  3 Câu 26: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Biết I   x ln  x  1 dx  a ln  c, a, b, c số b b nguyên dƣơng v phân số tối giản Tính S  a  b  c c A S  60 B S  70 C S  72 D S  68 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có I   x ln  x  1 dx  du  dx   u  ln  x  1  2x 1 Đặt    dv  xdx v  x   x ln  x  1 x2 I   x ln  x  1 dx   dx 2 x  0 4 x   x2  1 63  8ln      dx  16ln     x  ln x    ln  4  x  1   4 0 0 a  63 a 63   ln  c  ln   b   S  70 b c   Câu 27: (PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN) Cho hình phẳng  H  giới hạn đƣờng y  x  y  k ,0  k  Tìm k để diện tích hình phẳng  H  gấp hai lần diện tích hình phẳng đƣợc kẻ sọc hình vẽ bên A k  B k   1 C k  D k   Hướng dẫn giải Sưu tầm https://blogtoanhoc.com Chọn D Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu tốn trở thành: Diện tích hình phẳng giới hạn y   x , y  k , x  diện tích hình phẳng giới hạn : y   x2 , y  x2 1, y  k , x  1 k  1  x  k dx  1 k   k   x dx    k  x 1 k  1dx  1  k   k  1 1  k   k 1 1   1  k   1  k   k  1  k   k  1  k   k  1  k   k  1  k   3 3  1  k   k   3  1 k    k   Câu 28: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị y  f ( x) cắt trục Ox ba điểm có ho nh độ a  b  c nhƣ hình vẽ Mệnh đề n o dƣới l đúng? A f (c)  f (a)  f (b) B f (c)  f (b)  f (a) C f (a)  f (b)  f (c) D f (b)  f (a)  f (c) Hướng dẫn giải Chọn A Đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a; b  b; c  , lại có f ( x) nguyên hàm f ( x) Sưu tầm https://blogtoanhoc.com  y  f ( x ) y   Do diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng:  là: x  a  x  b b S1   a b f ( x)dx    f ( x)dx   f  x  a  f  a   f b  b a Vì S1   f  a   f  b  1  y  f ( x ) y   Tƣơng tự: diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng:  là: x  b   x  c c c b b S2   f ( x)dx   f ( x)dx  f  x  b  f  c   f  b  c S2   f  c   f  b    Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có: S1  S  f  a   f  b   f  c   f  b   f  a   f  c    Từ (1), (2) (3) ta chọn đáp án A (có thể so sánh f  a  với f  b  dựa vào dấu f ( x) đoạn  a; b  so sánh f  b  với f  c  dựa vào dấu f ( x) đoạn b; c  ) Câu 29: Cho tam giác ABC có diện tích quay xung quanh cạnh AC Tính thể tích V khối tròn xoay đƣợc tạo thành A.V B.V C.V Hướng dẫn giải Đáp án A SABC AB BC Chọn hệ trục vuông góc Oxy CA choO 0;0 , A 1;0 , B 0; với O Phƣơng trình đƣờng thẳng AB y l trung điểm AC x , thể tích khối tròn xoay quay ABO quanh trục AC (trùng Ox ) tính Sưu tầm https://blogtoanhoc.com D.V V x Vậy thể tích cần tìm V dx 2V 2x 1.cos x dx 2x Câu 30: Trong số dƣới đây, số ghi giá trị A B C D Hướng dẫn giải Chọn A 2 2x cos x dx 2x Ta có: 2x cos x 2x dx 2x cos x 2x dx Đặt x t ta có x 2x cos x x t 2 dx 0, x t cos t t 2 t d t dx cos t t 2 dt dt cos x 2x dx Thay vào (1) có 2x cos x dx 2x 2x cos x 2x 2 dx cos x 2x dx 2 2x cos x 1 Vậy x 2 dx 2x cosx dx 2x cos x dx sin x 2 2 Câu 31: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho f , g hai hàm liên tục 1;3 thỏa:   f  x   3g  x   dx  10 A  2 f  x   g  x  dx  Tính B C Hướng dẫn giải Chọn C Sưu tầm https://blogtoanhoc.com   f  x   g  x  dx D 3 3   f  x   3g  x  dx  10   f  x  dx  3 g  x  dx  10  Ta có 1 3 1  Tƣơng tự   f  x   g  x   dx   2 f  x  dx   g  x  dx  3 u  3v  10 u    Xét hệ phƣơng trình  , u   f  x  dx , v   g  x  dx 2u  v  v  1 3 1   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx     Khi Câu 32: (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Thể tích V khối tròn xoay đƣợc sinh quay hình phẳng giới hạn đƣờng tròn (C) : x2  ( y  3)2  xung quanh trục ho nh l B V  6 A V  6 C V  3 D V  6 Hướng dẫn giải ChọnD x2  ( y  3)2   y    x2   V       x2 1       x2    dx  12   x dx 1    x   t  Đặt x  sin t  dx  cos t.dt Với   x  11  t       V  12     sin t cos tdt  12  cos  2 tdt  6 Câu 33: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho  E  có phƣơng trình x2  y2  1,  a, b   v đƣờng tròn  C  : x  y  Để diện tích elip  E  gấp lần a b diện tích hình tròn  C  A ab  B ab  7 C ab  Hướng dẫn giải Chọn D x2 a  y2 b  1,  a, b    y  b 2 a x a b a2  x dx b Diện tích  E  S E     a2  x dx a a0 a a    Đặt x  a sin t , t    ;   dx  a cos tdt  2 Sưu tầm https://blogtoanhoc.com D ab  49 Đổi cận: x   t  0; x  a  t  a  a b S E   a2 cos2 tdt  2ab  1+cos2t  dt   ab a0 Mà ta có S C   π.R  7π Theo giả thiết ta có S E  7.SC    ab  49  ab  49 Câu 34: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Giả sử tích phân  x.ln  x  1 b tối giản Lúc c A b  c  6057 B b  c  6059 2017 b dx  a  ln Với phân c số C b  c  6058 D b  c  6056 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có I   x.ln  x  1 2017 dx  2017  x.ln  x  1 dx  du  dx u  ln  x  1  2x 1  Đặt  dv  xdx v  x   1   x2    x2  Do  x.ln  x  1 dx   ln  x  1            dx   0    2x 1  1  x2  x  3  ln     ln  0  I   x.ln  x  1 2017 3  6051 dx  2017  ln   ln 8  Khi b  c  6059 Câu 35: (NGƠ QUYỀN – HP) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng 2my  x2 , mx  y ,  m   Tìm giá trị m để S  A m  B m  C m  D m  2 Hướng dẫn giải Sưu tầm https://blogtoanhoc.com Chọn A Ta có 2my  x  y  mx  x  (do m  ) 2m  y  2mx  y  y  2mx   y   mx   Xét phƣơng trình ho nh độ giao điểm 2my  x2 mx  y ta có x  x  2mx  x  2m 2mx  x  8m3 x    2m  x  2m 2m Khi S   x  2mx dx  2m x 2m   x x 2m 3 Để S   2m 2m    2m x   2mx  dx  4m  4m   m2   m  (do m  ) Câu 36: (CHUYÊN KHTN L4) Gọi  H  phần giao hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích  H  hai khối A V H  2a  C V H   B V H  a3 3a  D V H    a3 Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Ta gọi trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ Khi phần giao  H  vật thể có đáy l phần tƣ hình tròn tâm O bán kính a , thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox 2 hình vng có diện tích S  x   a  x Thể tích khối  H  a a 0 2  S  x  dx    a  x dx  Sưu tầm https://blogtoanhoc.com 2a Câu 37: (CHUYÊN KHTN L4) Với số nguyên a, b thỏa mãn   x  1 ln xdx  a   ln b Tính tổng P  a  b A P  27 B P  28 C P  60 D P  61 Hướng dẫn giải Chọn C  u  ln x Đặt  ta có  dv   x  1 dx  du  dx x  v  x  x  2 2   x  1 ln xdx   x  x  ln x    x  x  1 dx x  x2  3   ln    x  1 dx  ln    x  12  ln      4   ln 64 2    P  a  b  4  64  60 Câu 38: (CHUYÊN VINH – L2)Trong Công viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh đƣợc trồng lo i hoa v đƣợc tạo thành đƣờng cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, đƣợc tạo thành từ đƣờng Lemmiscate có phƣơng trình hệ tọa độ Oxy y 16 y  x  25  x  nhƣ hình vẽ bên Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tƣơng ứng với chiều dài mét 125 125 250 125 m  m2  m2  A S  B S  C S  D S      m2  3 Hướng dẫn giải Chọn D Sưu tầm https://blogtoanhoc.com x Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tƣơng ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tƣ thứ hệ trục tọa độ Oxy Từ giả thuyết tốn, ta có y   x  x Góc phần tƣ thứ y  x 25  x ; x   0;5 Nên S( I )  125 125 x 25  x dx  S  (m )  40 12 Câu 39: (CHUYÊN VINH – L2)Gọi V thể tích khối tròn y xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đƣờng y  x , y  x  quanh trục Ox Đƣờng M thẳng x  a   a   cắt đồ thị hàm y  x M a (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối tròn xoay tạo O K thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V  2V1 Khi A a  B a  2 C a  D a  H x Hướng dẫn giải Chọn D Ta có x   x  Khi V    xdx  8  Ta có M a; a  Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy:  Hình nón  N1  có đỉnh O , chiều cao h1  OK  a , bán kính đáy R  MK  a ;  Hình nón  N2  thứ có đỉnh H , chiều cao h2  HK   a , bán kính đáy R  MK  a 1 Khi V1   R h   R h   a 3 Theo đề V  2V1  8   a  a  Câu 40: (CHUYÊN VINH – L2)Gọi  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x2  4x  , trục tung trục ho nh Xác định k để đƣờng thẳng  d  qua điểm A  0;  có hệ số góc k chia  H  thành hai phần có diện tích A k  4 B k  8 C k  6 Hướng dẫn giải Chọn C Sưu tầm https://blogtoanhoc.com D k  2 Phƣơng trình ho nh độ giao điểm đồ thị hàm số y  x2  x  trục hoành là: x2  x    x  Diện tích hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số: y  x2  x  , trục tung trục  x3  hoành là: S   x  x  dx    x  x   dx    x  x   3 0 0 2 2 Phƣơng trình đƣờng thẳng  d  qua điểm A  0;4  y có hệ số góc k có dạng: y  kx   4  Gọi B l giao điểm  d  trục ho nh Khi B  ;0   k  Đƣờng thẳng  d  chia  H  thành hai phần có diện tích B  OI SOAB  S x O B1 I d 4  0 2  k  2  k    k  6 1  4 k    S OA.OB   OAB   2 k  Câu 41: (CHUYÊN 6  TUYÊN QUANG –L1) Tính tích phân 4 x  x  dx  a  b  c  Với a , b , c l số nguyên Khi x 1   biểu thức a  b2  c4 có giá trị A 20 B 241 C 196 D 48 Hướng dẫn giải Chọn B 6 2 Ta có  4 x  x  dx  x4  Tính I  4 6 2  dx  4 x 6 2 6 2   x 1   4   dx  4 x 1   6 2  dx   2  2  Tính J  6 2  x 1 dx  x4  6 2  1 x dx  x2  x 1 Sưu tầm https://blogtoanhoc.com 6 2  1 x2 dx 1  x  2 x  1 6 2  x2  dx  I  J x4  x   t  1   Đặt t  x   dt  1   dx Khi  6 x  x  t  x   2 Khi J  dt t2    Đặt t  tan u  dt  1  tan u  du Khi t   u     t   u    Suy J   6 2 Vậy   1  tan u   24 du  du  u    2 1  tan u  a  b  16 4 x  x  dx  16  16      x 1 c    Vậy a  b2  c4  241 Câu 42: (CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu  S1  ,  S  có bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm  S1  thuộc  S  ngược lại Tính thể tích phần chung V hai khối cầu tạo (S1 ) ( S2 ) A V   R3 B V   R3 C V  5 R3 12 Hướng dẫn giải D V  2 R y (C ) : x  y  R Chọn C Gắn hệ trục Oxy hình vẽ Khối cầu S  O, R  chứa đường tròn lớn O R R  C  : x2  y  R2 Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính R V  2  R  R  x3  5 R3 R  x dx  2  R x    R 12  2  Câu 43: `(CHU VĂN AN – HN) Cho hàm số y  x4  3x2  m có đồ thị  Cm  với m tham số thực Giả sử  Cm  cắt trục Ox bốn điểm phân biệt hình vẽ : Sưu tầm https://blogtoanhoc.com x y  Cm  S3 O S1 x S2 Gọi S1 , S2 S3 diện tích miền gạch chéo cho hình vẽ Tìm m để S1  S2  S3 5 A m   B m   C m  D m  Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử x  b nghiệm dương lớn phương trình x  3x  m  Khi ta có b  3b  m  (1) Nếu xảy S1  S2  S3 b x   3x  m dx   b5 b4  b3  mb    b  m  (2)  b   5 Từ (1) (2), trừ vế theo vế ta 4 b  2b2   b2  (do b  0) 5 Thay trở ngược vào (1) ta m  Sưu tầm https://blogtoanhoc.com ... 41: (CHUYÊN 6  TUYÊN QUANG –L1) Tính tích phân 4 x  x  dx  a  b  c  Với a , b , c l số nguyên Khi x 1   biểu thức a  b2  c4 có giá trị A 20 B 241 C 196 D 48 Hướng dẫn giải. .. (c) Hướng dẫn giải Chọn A Đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a; b  b; c  , lại có f ( x) nguyên hàm f ( x) Sưu tầm https://blogtoanhoc.com  y  f ( x ) y   Do diện tích hình phẳng... F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e 3 x F     ln Tập nghiệm S phƣơng trình 3F  x   ln  x3  3  là: A S  2 B S  2; 2 C S  1; 2 D S  2;1 Hướng dẫn giải Ta có: F 