Phương trình vi phân ngẫu nhiên

ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN Nguyen Th% Trưèng PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGAU NHIÊN KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP Hfi ĐAI H6C CHÍNH QUY Ngành: Tốn úng dnng Ngưòi hưóng dan khoa hoc: Th.s NGUYEN TRUNG DŨNG Hà N®i - 2013 LèI CÃM ƠN Lòi đau tiên cúa khóa lu¾n em xin gúi lòi cám ơn sâu sac tói thay giáo hưóng dan Th.S.Nguyen Trung Dũng Thay giao đe tài t¾n tình hưóng dan em q trình hồn thành khóa lu¾n Nhân d %p em xin gúi lòi cám ơn cúa tòi tồn b® thay giáo khoa Toán giáng day giúp đõ chúng em suot q trình hoc t¾p tai khoa Đong thòi, tơi xin cám ơn ban lóp K35 ngành Tốn úng dnng, khoa Tốn nhi¾t tình giúp đõ tơi quỏ trỡnh hoc tai lúp H nđi, ngy 17 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyen Th% Trưèng LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan: Khóa lu¾n tot nghi¾p ket cúa sn no lnc tn bán thân sn hưóng dan t¾n tình cúa thay giáo húng dan: Th.s Nguyen Trung Dng Nđi dung khúa luắn khơng trùng l¾p vói bat kì cơng trình nghiên cúu cơng bo Hà N®i, ngày 17 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyen Th% Trưèng Mnc lnc LèI NÓI ĐAU .4 Chương I Cơ sé lý thuyet I.1 Không gian Hilbert bien ngau nhiên .5 I.1.1 Bien ngau nhiên đơn gián I.1.2 Không gian bien ngau nhiên đơn gián I.1.3 Ví dn I.1.4 Khơng gian Hilbert q trình ngau nhiên 10 I.2 Tích phân ngau nhiên Ito 12 I.2.1 Tích phân ngau nhiên Itô cúa hàm đơn gián 12 ¸b I.2.2 Tích phân ngau nhiên Itơ danga f (s)dW (s) 13 ¸t I.2.3 Tích phân ngau nhiên Itô danga f (s)dW (s) 13 I.3 Vi phân ngau nhiên công thNc Itô .14 I.3.1 Vi phân ngau nhiên 14 I.3.2 Công thúc Itô 14 Chương II Phương trình vi phân ngau nhiên 16 II.1 M®t so giá thiet .16 II.2 SN ton tai nhat nghi¾m 18 II.3 Tính chat cúa nghi¾m phương trình vi phân ngau nhiên 21 II.4 Cơng thNc Ito nghi¾m xác .25 II.5 Xap xí phương trình vi phân ngau nhiên .30 KET LU¾N 35 Tài li¾u tham kháo 36 LèI NÓI ĐAU Phương trình vi phân ngau nhiên ngày tró nên quan khơng chí m®t lý thuyet tốn hoc mói mé mà có nhieu úng dnng lĩnh vnc cúa cúa cu®c song Vì v¾y vi¾c nghiên cúu lý thuyet cúa phương trình vi phân ngau nhiên đưoc nhieu ngưòi quan tâm Vói mong muon đưoc t¾p dưot cơng tác nghiên cúu khoa hoc húng thú tìm hieu ve lý thuyet phương trình vi phân ngau nhiên nên tơi chon đe tài : "Phương trình vi phân ngau nhiên." Vói đe tài khóa lu¾n trình bày phương trình vi phân ngau nhiên dang dX (t, ω) = f (t, X (t, ω))dt + g(t, X (t, ω))dW (t, ω), hay viet dưói dang tích phân ¸ t X (t, ω) = X (0, ω) + ¸ t f (s, X (s, ω))ds + g(s, X (s, ω))dW (s, ω) 0 Khóa lu¾n gom chương : Chương 1: Cơ sé lý thuyet Trong chương trình bày khái ni¾m ket q ve khơng gian Hilbert bien ngau nhiên, trình ngau nhiên ; tích phân ngau nhiên Itơ cơng thúc vi phân ngau nhiên Itơ Chương 2: Phương trình vi phân ngau nhiên Trình bày ve sn ton tai nhat nghi¾m ; tính chat nghi¾m cúa phương trình vi phân ngau nhiên; cơng thúc Itơ nghi¾m xác Tuy có nhieu co gang thòi gian có han nên van đe khóa lu¾n van chưa đưoc trình bày sâu sac khó tránh khói có nhung sai sót Em mong đưoc sn góp ý xây dnng cúa thay ban e khúa luắn hon thiắn hn H Nđi, Ngy 17 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyen Th% Trưèng Chương I Cơ sé lý thuyet I.1 I.1.1 Không gian Hilbert bien ngau nhiên Bien ngau nhiên đơn gián Cho (Ω, A, P) m®t khơng gian xác suat Vói A A v IA l mđt hm oc xác đinh bói IA(ω) = neu ω ∈ A neu trái lai Khi đó, IA(ω) m®t bien ngau nhiên Ta có E(IA) = P(A) Khi to hop tuyen tính cúa huu han hàm chí tiêu đưoc goi bien ngau nhiên đơn gián Neu X bien ngau nhiên đơn gián X có dang n X (ω) = ∑ i=1 n ciIAi (ω) E(X ) = ciP(Ai) ∑ i=1 I.1.2 Khơng gian bien ngau nhiên đơn gián Kí hi¾u SRV = {X : X bien ngau nhiên đơn gián đ%nh nghĩa (Ω, A, P)} Ta có tong cúa hai bien ngau nhiên đơn gián tích cúa m®t so vói bien ngau nhiên đơn gián m®t bien ngau nhiên đơn gián ta có the de dàng chúng ưoc SRV m®t véctơ Chúng bien ngau nhiên Cho X,Y ∈ S minh , tađse đ%nh nghĩakhơng tích vơgian hưóng RV chuan SRV sau : Tích vơ hưéng Tích vơ hưóng (X,Y ) đưoc đ%nh nghĩa SRV (X,Y ) = E(X,Y ) vói X,Y ∈ SRV Chú ý rang X,Y ∈ SRV (X,Y ) = E(XY ) =E Chuan n n ∑ ∑ ci IAi d j IB j j=1 i=1 ∑ ci d j.P(Ai ∩ B j = ∑ " X "= (X, X ) n n ) j=1 i=1 = (E | X | 2) Nói chung, khơng gian tích vơ hưóng cúa bien ngau nhiên đơn gián khơng đay đú Tuy nhiên, có the đưoc bo sung đe tao thành khơng gian Hilbert HRV , ó SRV trù m¾t HRV Giá sú rang {Xn}∞ m®t dãy bien ngau nhiên HRV cho vói moi ε > cho trưóc ton tai m®t so ngun N cho : Vì HRV " Xn − Xm "RV < ε vói m, n > N không gian đay đú, ton tai bien ngau nhiên X ∈ HRV cho " Xn − Xm "RV → n → ∞ Ngoài ra, SRV ⊂ HRV trù m¾t HRV , vói moi ε > cho trưóc ton tai bien ngau nhiên đơn gián Y ∈ SRV cho " X −Y "< ε Chú ý Trong không gian Hilbert HRV tích vơ hưóng đưoc đ%nh nghĩa (X ,Y ) = E(XY ) chuan không gian " X "RV = (E | X |2 )2 t¾p hop hàm đơn gián SRV trù m¾t HRV I.1.3 Ví dn Ví dn I.1 Khơng gian Hilbert L2[0, 1] Xét khơng gian xác suat (Ω, A, P) khụng gian mau l hop cỏc iem thuđc [0, 1], nghĩa Ω = {x : ≤ x ≤ 1} Không gian bien co A σ − đai so cúa t¾p khống có dang (a, b] ⊂ [0, 1] Đ® đo xác suat P đ® đo Lebesgue ó P(A) = b − a neu A = [a, b] ∈ A Đ¾t SRV t¾p tat cá hàm đơn gián đ%nh nghĩa A Neu X ∈ SRV bien ngau nhiên X có dang n X (x) = Ai ∈ A vói moi i ∑ ciIAi (x) i=1 IAi (x) = neu ∈ Ai neu ngưoc lai Đ¾t HRV khơng gian đú cúa SRV Khơng gian Hilbert HRV bao gom, ví dn tat cá bien ngau nhiên liên tnc [0, 1] Th¾t vắy, cho f : [0, 1] R l mđt hàm liên tnc Đ¾t xi = n vói i = 1, 2, , n đ%nh nghĩa (i−1) n fn(x) = ∑ f (xi) In,i(x) i=1 Ix,i(x) = neu neu i−1 n ≤x≤ i n ngưo lai c ∞ Ta có the chí rang dãy bien ngau nhiên đơn gián { fn}n=1 dãy Cauchy HRV Hơn nua, " f − fn "RV → n → ∞ Vì v¾y, f giói han cúa dãy bien ngau nhiên đơn gián không gian HRV f ∈ HRV Chú ý rang neu X (x) = x X có phân phoi đeu [0, 1], nghĩa X ∼ U [0, 1] Không gian Hilbert ví dn khơng gian đay đú L2[0, 1], nghĩa HRV = L2[0, 1] hàm f đo đưoc Lebesgue [0, 1]sao = cho ¸ | ( f (x)) dx < ∞ | Đ¾c bi¾t, nhieu hàm se can bo sung đe HRV đay đú có the khơng liên tnc Do đó, ta phái sú dnng tích phân Lebesgue tích phân Rieman cúa hàm khơng ton tai Tuy nhiên, neu ton tai tích phân Rieman tích phân Lebesgue ton tai hai tích phân bang Hơn nua, hàm liên tnc bình phương tích trù m¾t L2[0, 1] Chú ý rang, vói X,Y ∈ HRV (X,Y ) = ¸ ¸ X (x).Y (x)dx " X "2R = V | X (x) |2 dx Ví dn I.2 Ví dn ve s? h®i tn không gian Hilbert HRV = L2[0, 1] Giá sú HRV đưoc đ%nh nghĩa∞như ví dn I.1 Cho Y ∼ U [0, 1] dãy bien ngau nhiên {Xn đưoc đ%nh nghĩa } Xn(x) = ≤ Y (x) ≤ Y (x) Khi đó, neu " Xn − Xm "RV → neu ngưoc lai m, n → ∞ Trong ví dn ta xác đinh E(X (t)) E(X 2(t)) Ta can ý rang E(X dE(X (t)) (t)) ƒ= + E(X (t)) dt Khi ta se giái phương trình vi phân ngau nhiên sau: Đ¾t n Yn = (X (t)) vói n = 0, 1, 2, , Áp dnng công thúc Itơ ta đưoc phương trình vi phân ngau nhiên sau n n−1 n−2 n−2 X 3 (t) + 2n dYn(t) dt dW (t) (n − n) (t) 18 = X (t) + X vói Yn(0) = ; n = 0, Thay X 3n−(t) = Yn X 3n−(t) = Yn Ta đưoc − − 18 (t) dYn(t) = (t) n Yn−2(t) + 2nYn−2(t) Cuoi ta đ¾t dt + Yn−1(t ) dW (t) n = 0, n Zn(t) = E(Yn(t)) = E(X (t) ) ta có đưoc dZn(t ) dt (n = 18 −n)Zn−2(t)+2nZn−1(t); n = 0, vói Zn(0) = 1; Z0(t) = Khi ta có vói n = 1, 2, n = đưoc ket sau Z1(t) = E(X (t) ) = 2t + 3) = Z2(t) = E(X (t) 4t2 + Z3(t) = E(X (t)) = 8t3 + 38 37 t+1 19 t2 t+1 + Z6(t) = E(X (t)2) = 64t6 + 656 t + 2660 t + 49145 t + 665 t + 41 t+1 243 Đ¾c bi¾t E(X (1)) = 28.0 E(X 2(1)) = 869.0206 Ví dn II.4.4 Xét phương trình vi phân ngau nhiên dX (t) = −α X (t) dt +σ dW (t) , so Đ¾t X (0) = X0, α, σ, X0 hang F(t, X ) = eαt X (t) Theo công thúc Itơ ta có d(eαt X (t)) = [α eαt X (t) −α eαt X (t)] dt + σ eαt dW (t) Do e αt ¸ t e X (t) −X (0) = V¾y nghi¾m cúa phương trình αt σ dW (t) t X (t) = X (0) e−αt + e−αt ¸ eαsσ dW (s) Ví dn II.4.5 Xét phương trình vi phân ngau nhiên dang sau dX (t) = f (t) X (t) dt +g(t) X (t) dW (t); X0 hang so X (0) = X0 Khi nghi¾m xác cúa phương trình có dang X (t) = X0 exp ¸ t ( f (s) − g (t)) ds + g(s) dW (s) t ¸ Đ¾t F(t, X ) = ln(X (t)) Áp dnng cơng thú Itơ ta có : 12 dt + g(t) dW (t) d(ln(X (t))) (t)) f (t) − g = Do : ln(X (t)) − ln(X0 ) = ¸ t ( f (s) g(s) dW (s) g (t)) ds + − t l nghiắm cỳa bi toỏn II.5 Xap xí phương trình vi phân ngau nhiên Xét phương trình vi phân ngau nhiên dX (t, ω) = f (t, X (t, ω))dt + g(t, X (t, ω))dW (t, ω) Áp dnng cơng thúc Ơle đe xap xí phương trình vi phân ngau nhiên ta có Xi+1(ω) = X i(ω)+ f (ti, Xi (ω))∆t +g(ti, Xi (ω))∆Wi (ω) X (0, ω) vói X0(ω) = vói i = 0, 1, 2, , N −1 Xi(ω) ≈ X (ti, ω) , ti = i∆t ,N∆t = T , ∆Wi (ω) = (W (ti+1, ω) −W (ti, ω)) ∼ N(0, ∆t) Đau tiên, ta đ%nh Xˆ(ti ) = Xi vói moi t ∈ [0, T ], i = 0, N, nghĩa ¸ t ¸ t g(ti, Xi)dW (s) ˆ X (t) = Xi + f (ti, Xi)ds + ti ti Vào khống thú i Xˆ(t) nghi¾m cúa phương trình vi phân sau dXˆ(t) = f (ti , Xi ) dt + g(ti , Xi ) dW (t ), ti ≤ t ≤ ti+1 Xˆ(ti ) = Xi , i = 0, N − 1, X (t) thóa mãn phương trình vi phân ngau nhiên dX (t) = f (t, X (t)) dt + g(t, X (t)) dW (t) vói ti ≤ t ≤ ti+1 , i = 0, N − 1, vói sai so ε(ti ) = X (t) − Xˆ(t) Khi đó, sai so ε thóa mãn phương trình vi phân ngau nhiên dε(t) = ( f (t, X ) − f (ti, Xi)) dt + (g(t, X ) − g(ti , Xi) dW (t) ε(ti ) = X (ti ) − Xˆ(ti ) vói ti ≤ t ≤ ti+1 , i = 0, N − Áp dnng công thúc Itơ cho ε 2(t) ta có d(ε (t)) = 2(X (t)−Xˆ(t))( f (t, X (t))− f (ti , Xi )dt +(g(t, X (t)) −g(ti , Xi ))2 dt +2(X (t) − Xˆ(t))(g(t, X (t)) − g(ti , Xi ))dW (t), vói ti ≤ t ≤ ti+1 Do đó, E(ε2(ti+1)) thóa mãn E(ε2(ti+1)) = E(ε2(ti)) + ¸ (g(t, X (t)) − g(ti , Xi))2 dt E ti+1 ti ¸t i+1 +E ti ¸t i+1 +E ti 2(X (t) − Xˆ(t))( f (t, X (t)) − f (ti , Xi )) dt 2(X (t) − Xˆ(t))(g(t, X (t)) − g(ti , Xi )) dW (t) Áp dnng bat thúc | 2ab | ≤ a2 + b2 tính chat cúa tích phân ngau nhiên ta có E(ε2(ti+1)) ≤ E(ε2(ti)) + ¸ ti+1 ti E(X (t) − Xˆ(t))2 dt ¸t i+1 + E( f (t, X (t)) − f (ti, Xi))2 dt ti ¸t i+1 E(g(t, X (t)) − g(t , X ))2 dt i i + ti mà | f (t, X (t))− f (ti, Xi)2 ≤ | f (t, X (t))− f (ti, X (ti)) |2 | +2 | f (ti, X (ti))− f (ti, Xi) |2 ≤ 2k | t − ti | +2k | X (t) −X (ti)2 | +2k | X (ti) − 2Xi | Tương tn cho g áp dnng tính chat (C6) ta có ¸t i+1 E(ε2(ti+1)) ≤ E(ε2(ti)) + ti +4k(1 + c) ¸ ti+1 E(X (t) − Xˆ(t))2 dt (t − ti ) dt + 4k ti ¸ ti+1 E(ε2(ti)) dt ti Theo đ%nh lý (II.3.2) E | X (t) −X | ≤ c | t − ti Do đó, (ti) E(ε2(ti+1)) ≤ E(ε2(ti))(1 + 4k∆t) + 2k(1 + c) (∆(t))2 + ¸t i+1 E(ε2(s))ds ti Áp dnng bat thúc Bellman-Gronwall vói b(t) = E(ε2(ti)(1 + 4k∆t) + 2k(1 + c)(∆(t))2 Khi đó, E(ε2(ti+1)) ≤ E(ε2(ti))(1 + 4k∆t) + 2k(1 + c)(∆t)2 ¸t i+1 + ti e(ti+1 − t)[E(ε (ti )(1 + 4k∆t) + 2k(1 + c)(∆(t))2]dt ∆t = e [E(ε2(ti)(1 + 4k∆t) + 2k(1 + c)(∆(t))2] Đ¾t ∆t ∆t = E(ε2(ti)), R = e (1 + 4k∆t), S = e 2k(1 + c)(∆t)2 Khi ta có ai+1 ≤ Rai + S, i = 0, N − Tù bat thúc ta thu đưoc aN RN − , a0 = ≤ S E(ε R− Vì v¾y, (0)) = e∆t 2k(1 + c)(∆t)2 eN ∆t e4k N ∆t E(ε2(tN )) ≤ e∆t − + e∆t 4k ∆t (1 + c) e(1+4k)T ≤ ∆t Đieu vói moi điem ti sai so cúa phương pháp Euler (1+4k) T E | X (ti) − Xi | cˆ ∆t , i = 0, N , cˆ (1 + c) e ≤ = Đ¾t X˜ (t) = − t) Xi+1(t − ti ) X1 (ti+1 , i = 0, N t ≤t≤ t i ∆t i+1 + ∆t N {Xi}i=0 xap xí Euler cúa (II.2) tai điem {ti}N Hàm X˜ xap xí tuyen tính liên tnc cúa nghi¾m X (t) sai so " X − X˜ (t) "SP = N−1 ¸ ti+1 ∑ i=0 ti E | X (t) − X˜ (t) | i=0 (t) dt N−1 ¸ ti+1 ≤4 ∑ i=0 ti E | X (t) −X (ti) |2 +E | X (ti) −X (ti+1) | (∆t)2 N−1 ¸ ti+1 +4 ∑ i=0 E | X (ti) − Xi |2 ti ti+1 −t (∆t)2 t − ti dt dt N−1 ¸ ti+1 +4 ∑ E | X (ti+1) − Xi+1 |2 (∆t) i=0 N−1 ¸ ≤ ∑ i=0 c(t − ti ) ti ti+1 ti t − t1 dt cˆ(t − ti )2 cˆ(ti+1 − t)2 c(t − ti ) + ∆t + + ∆t N−1 ≤ ∑ (5c + 4cˆ) i=0 (∆t)2 ≤ c˜2 = (10c + 8cˆ)T c˜2 ∆t ∆t dt KET LU¾N Tính thnc tien mói mé cúa phương trình vi phân ngau nhiên thu hút nhieu đc giỏ Khúa luắn ó trỡnh by ve nhung tính chat noi b¾t cúa phương trình vi phân ngau nhiên sn ton tai nhat nghi¾m, tính chat nghi¾m cúa phương trình vi phân ngau nhiên, cơng thúc Itơ nghi¾m xác Tuy nhiên đieu ki¾n ve thòi gian khn kho cúa khóa lu¾n có han nên khóa lu¾n chí mói xét đưoc nhung tính chat cúa nghi¾m đoi vói lóp phương trình vi phân ngau nhiên thuan nhat Em mong rang vói sn chí báo cúa thay sn góp ý cúa ban nhung lóp phương trình vi phân ngau nhiên tong quát se đưoc xét đen Tài li¾u tham kháo [1] E.Allen, Modeling with Itô Stochatic Infferential Equations, Springer, 2007 [2] I.I Gihman.A.V Skorohod, Stochatic Differential Equations , Springer - Verlag ,1995 [3] A.D Ventxel, Giáo trình lý thuyet trình ngau nhiên, Bán d%ch Nguyen Viet Phú , Nguyen Duy Tien [4] Tran Trong Nguyên , Cơ só tính tốn tài , Bài giáng chun đe, khoa Tốn trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i ,2003 [5] Tran Hùng Thao , Tốn hoc tài , Nxb.Khoa hoc Kĩ thu¾t , 2004 [6] Tran Hùng Thao, Tích phân ngau nhiên phương trình vi phân ngau nhiên , Nxb Khoa hoc Kĩ thu¾t ,2000 [7] Đào Huu Ho , Xác suat thong kê , Nxb Đai hoc Quoc gia Hà N®i, 1999 ... chương trình bày khái ni¾m ket ve không gian Hilbert bien ngau nhiên, q trình ngau nhiên ; tích phân ngau nhiên Itô công thúc vi phân ngau nhiên Itô Chương 2: Phương trình vi phân ngau nhiên Trình. .. ∂t Khi F có vi phân ngau nhiên : dF(t, X (t)) f˜(t, X (t))dt + g˜(t, X (t))dW (t) = Chương II Phương trình vi phân ngau nhiên II.1 M®t so giá thiet Xét phương trình vi phân ngau nhiên Itơ đoan... nghi¾m phương trình vi phân ngau nhiên 21 II.4 Cơng thNc Ito nghi¾m xác .25 II.5 Xap xí phương trình vi phân ngau nhiên .30 KET LU¾N 35 Tài li¾u tham kháo 36 LèI NĨI ĐAU Phương