Bài tập ĐSTT cho K63, tuần Giảng viên : TTC Mail: ducanh@hnue.edu.vn Tháng 9/2013 Tập hợp, ánh xạ Bài tập Cho A, B, C tập tập X Chứng minh đẳng thức sau: (i) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), (ii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), (iii) A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C), (iv) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C) Bài tập Cho f : X → Y ánh xạ hai tập hợp Cho A, B ⊂ X C, D ⊂ Y Chứng minh (i) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B), (ii) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B), (iii) f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D), (iv) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D) Trong (ii) đẳng thức có xảy không? f g Bài tập Cho X −→ Y −→ X ánh xạ tập hợp thỏa mãn g ◦ f = Id Chứng minh f đơn ánh g toàn ánh Bài tập (i) Tồn hay không song ánh từ N → Z? (ii) Cho < n ∈ N cố định Tồn hay không song ánh từ N → N × {1, 2, , n}? (iii) Tồn hay không song ánh từ N → N × N? (iv) Tồn hay khơng song ánh từ N → Q? Bài tập Cho X tập hợp f : X → P(X) ánh xạ từ X vào tập lũy thừa X Chứng minh f khơng thể tồn ánh Bài tập Xét tập M với quan hệ ∼ sau Xác định xem quan hệ tương đương lớp tương đương (i) M = R, a ∼ b ⇐⇒ |a| = |b| (ii) M = R, a ∼ b ⇐⇒ |a − b| < (iii) M = Z, a ∼ b ⇐⇒ a − b p với p số nguyên cố định cho trước Nhóm Bài tập Cho X tập hợp Chứng minh rằng: Tập hợp Bij(X) song ánh từ X vào với phép hợp thành ánh xạ lập thành nhóm Chứng minh nhóm khơng giao hốn X có lớn phần tử Bài tập Cho G nhóm H ⊂ G tập Chứng minh H nhóm G luật hợp thành G cảm sinh luật hợp thành H H với luật hợp thành tạo thành nhóm Bài tập Cho G nhóm H tập G Chứng minh H nhóm H thỏa mãn hai điều sau: (i) H = ∅ (ii) a, b ∈ H =⇒ ab−1 ∈ H Bài tập 10 Cho G nhóm với nhóm H1 , H2 ⊂ G Chứng minh H1 ∪ H2 nhóm G H1 ⊂ H2 H2 ⊂ H1 Bài tập 11 Cho G nhóm i : G → G ánh xạ nghịch đảo (tức i(g) = g −1 với g ∈ G) Chứng minh điều sau (i) i song ánh (ii) Cho A tập G Nếu i(A) ⊂ A, ta có i(A) = A Tập A gọi đối xứng (iii) Với tập A ⊂ G, tập A ∩ i(A) A ∪ i(A) đối xứng Bài tập 12 Cho G nhóm thỏa mãn a2 = với a ∈ G Chứng minh G nhóm abel g = Bài tập 13 Cho G nhóm abel hữu hạn Chứng minh g∈G Bài tập 14 Cho G nhóm hữu hạn có n phần tử Chứng minh với g ∈ G, ta có g n = Bài tập 15 Cho G nhóm Trên tập lũy thừa P(G), ta xét luật hợp thành sau (A, B) → A · B = {a · b ∈ G; a ∈ A, b ∈ B} Chứng minh luật hợp thành có tính kết hợp có phần tử trung lập P(G) với luật có nhóm khơng? Nếu khơng với phần tử A P(G) có phần tử nghịch đảo? Trường Bài tập 16 Cho K trường hữu hạn Với n ∈ N a ∈ K, ký hiệu na = a + a + + a tổng n lần a Chứng minh tồn số nguyên dương n cho na = với a ∈ K Chọn số n nguyên dương nhỏ thỏa mãn (i), chứng minh n số nguyên tố Số n gọi đặc số trường K √ √ √ Bài tập 17 Chứng minh Q( 2) trường ∈ Q( 2) ... + + a tổng n lần a Chứng minh tồn số nguyên dương n cho na = với a ∈ K Chọn số n nguyên dương nhỏ thỏa mãn (i), chứng minh n số nguyên tố Số n gọi đặc số trường K √ √ √ Bài tập 17 Chứng minh... xét luật hợp thành sau (A, B) → A · B = {a · b ∈ G; a ∈ A, b ∈ B} Chứng minh luật hợp thành có tính kết hợp có phần tử trung lập P(G) với luật có nhóm khơng? Nếu khơng với phần tử A P(G) có phần