Danh sách BT bổ trợ thêm kiến thứcvề đồng cấu, hạt nhân, ảnh v.v.. Tháng 11/2015 Ghi chú: Do tôi dành quá nhiều sức lực cho việc soạn 8 đề kiểm tra, nên phần kiến thức liên quan tới ánh
Trang 1Danh sách BT bổ trợ thêm kiến thức
về đồng cấu, hạt nhân, ảnh v.v.
Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.
Tháng 11/2015
Ghi chú: Do tôi dành quá nhiều sức lực cho việc soạn 8 đề kiểm tra, nên phần kiến thức liên quan tới ánh
xạ tuyến tính (còn gọi là đồng cấu tuyến tính), hạt nhân, ảnh, tự đồng cấu v.v có phần hơi mỏng Tôi gửi các bạn thêm một vài bài tập thuộc dạng cơ bản, sẽ góp phần làm kiến thức của các bạn thêm chắc chắn Một trong những định lý quan trọng nhất ở chương này chính là định lý sau
Định lý 1 (Định lý đồng cấu không gian vector) Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính Khi đó ta có đẳng cấu sau
¯
f : V /Ker(f )−→ Im(f ),∼ trong đó ¯f là ánh xạ tuyến tính cảm sinh từ ánh xạ f
Bài tập 2 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính Giả sử {~v1, , ~vq} là hệ sinh của không gian vector V Chứng minh rằng {f (~v1), f (~v2), , f (~vq)} là hệ sinh của không gian ảnh Im(f ) Từ đó chứng minh bất đẳng thức chiều sau, với mọi không gian vector con U ⊂ V, ta đều có
dim f (U ) ≤ dim U
Điều đó nói rằng ánh xạ tuyến tính làm giảm chiều không gian vector
Bình luận Bài tập này giúp các bạn giải quyết bài toán tìm cơ sở của không gian ảnh, ví dụ bài tập 6, danh sách số 8 Nhờ bài tập này, bài toán tìm cơ sở của không gian ảnh quay lại công việc quen thuộc: sử dụng thuật toán tính hạng để tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại hoặc cơ sở của không gian vector con sinh bởi các vector đã cho v.v
Ích lợi thứ hai là nó cho phép các bạn chứng minh các bất đẳng thức chiều Để chứng minh bất đẳng thức chiều giữa hai không gian vector, cách làm là bạn chỉ ra một ánh xạ tuyến tính cụ thể giữa hai không gian vector Ví dụ: nếu f : V → W là đơn cấu, thì dim V ≤ dim W Ngược lại, nếu f : V → W là toàn cấu, thì dim V ≥ dim W
Bài tập 3 Cho f : V → V là tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f2 = f, ở đây f2 nghĩa là f ◦ f Chứng minh rằng
V = Im(f ) ⊕ Ker(f )
Lời giải Bạn có thể xem mệnh đề 5.2.5 trang 120[1], tuy nhiên ở đó có khái niệm chéo hóa bạn chưa biết, nhưng bạn có thể tự đọc vì khái niệm đó rất dễ
Bài tập 4 Cho f : V → V là tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f3 = f Chứng minh rằng
V = Ker(f ) ⊕ Ker(f − IdV) ⊕ Ker(f + IdV)
Lời giải Bạn có thể xem lời giải bài này ở đường dẫn sau https://thichthichiu.wordpress.com/2014/ 12/03/mot-bai-tap-ve-tu-dong-cau-cheo-hoa-duoc/
Tài liệu tham khảo
[1] Đỗ Đức Thái (chủ biên), Giáo trình Đại số tuyến tính và Hình học tuyến tính
1