Danh sách bài tập ĐSTT số 7 cho K65, khoa Toán-TinGiảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.. Từ vựng Các ma tr
Trang 1Danh sách bài tập ĐSTT số 7 cho K65, khoa Toán-Tin
Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.
Tháng 10/2015
Bài tập 1 Cho ma trận A = 0 1
0 0
, B =
0 1 0
0 0 1
0 0 0
và C =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
Tính các
ma trận sau A2, B2, B3, C2, C3, và C4
Từ vựng Các ma trận vuông A thỏa mãn tồn tại số nguyên dương n sao cho An = 0 (ma trận 0) được gọi là ma trận lũy linh
Bài tập 2 Tính ma trận nghịch đảo của ma trận sau
4 −7 5
1 −1 −2
3 −5 3
Ghi chú Nếu bạn chưa được học cách tính ma trận nghịch đảo, thì bạn có thể bỏ qua bài tập này Tuy nhiên, tốt hơn cả là bạn nên dành thời gian đọc giáo trình cách tính ma trận nghịch đảo, vì nó rất dễ và cần thiết cho việc tính toán khác sau này, như ma trận đồng dạng,
ma trận chuyển cơ sở v.v
Bài tập 3 Tìm tất cả các ma trận giao hoán với ma trận sau
2 3 0
0 2 3
0 0 2
Bài tập 4 Xác định tất cả các ma trận A ∈ M(2 × 2, R) thỏa mãn A giao hoán với mọi ma trận B ∈ M(2 × 2, R) Ma trận A giao hoán với ma trận B nghĩa là AB = BA
Câu hỏi nâng cao Trong bài tập trên ta xét ma trận vuông cấp 2, vậy với ma trận vuông cấp bất kỳ thì bài toán sẽ như thế nào?
Bài tập 5 Xét các ma trận A =
2 3 4 5
1 3 5 7
3 3 3 1
, B =
2 3
3 5
7 −8
3 3
và C =
1 2 3 4 5
2 3 5 7 11
1 1 2 3 6
Với mỗi ma trận, tính hạng của hệ các vector cột và hạng của hệ các vector hàng Từ đó rút
ra nhận xét
1
Trang 2Bài tập 6 Cho các ánh xạ sau từ R4 vào chính nó Ánh xạ nào là tuyến tính? Nếu ánh xạ
là tuyến tính thì chỉ ra ma trận biểu diễn của nó trong cơ sở chính tắc
(a) (x, y, z, t) 7→ (xy, y − x, z, t)
(b) (x, y, z, t) 7→ (y, y − x, z, t)
(c) (x, y, z, t) 7→ (x + 1, y + z, z − t, z + t)
(d) (x, y, z, t) 7→ (x + y, y + z, z + t, t + x)
Ghi chú Có thể bạn chưa học khái niệm ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính, bạn chỉ cần kiểm tra xem ánh xạ nào là ánh xạ tuyến tính mà thôi
Nâng cao về ma trận
Bài tập 7 Tính các lũy thừa ma trận saucos ϕ − sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
n
, λ 1
0 λ
n
, 1 1
−1 1
n
Bài tập 8 Nếu A là ma trận vuông lũy linh thì I + A là ma trận khả nghịch Ở đây I là ma trận đơn vị cùng cấp tương ứng
Bài tập lý thuyết không chữa, nhưng quan trọng sau này
Bài tập 9 Cho U là không gian vector con của V và v1, , vn∈ V Ký hiệu [v] là lớp thương đại diện bởi vector v trong không gian vector thương V /U
(a) Chứng minh rằng nếu các vector [v1], [v2], , [vn] độc lập tuyến tính trong V /U thì
v1, v2, , vn độc lập tuyến tính trong V
(b) Tìm điều kiện cần và đủ về v1, v2, , vn để các vector [v1], , [vn] độc lập tuyến tính trong V /U
(c) Giả sử u1, u2, , uk là cơ sở của U Bổ sung thêm wk+1, , wm thành cơ sở của V (như vậy điều đó cho biết dim V = m) Chứng minh rằng các lớp thương [wk+1], , [wm] là cơ
sở của V /U
Một câu hỏi đã nêu ra ở một số lớp
Câu hỏi 10 Ta đã làm một số bài tập như sau: Cho V là một không gian vector con của
Rn được định nghĩa bởi một (hệ) phương trình tuyến tính, sau đó tìm một hệ sinh (hoặc cơ sở) của không gian vector V đó Bây giờ ta đặt vấn đề ngược lại: Cho V là một không gian vector con của Rn sinh bởi một số vector cho trước tọa độ, vậy làm thế nào để tìm được (hệ) phương trình tuyến tính định nghĩa V ? Tiêu chí đặt ra cho công việc là: số phương trình phải
là ít nhất có thể
2