Thus I never bothered about whether whatwould come out would be suitable for this or that, but just tried to understand - and it always turned out that understanding was all that mattere
Trang 1Bài tập Đại số tuyến tính cho sinh viên năm thứ nhất
ducanh@hnue.edu.vn Ngày 18 tháng 3 năm 2014
The question you raise "how can such a formulation lead to computations" doesn’t bother
me in the least! Throughout my whole life as a mathematician, the possibility of makingexplicit, elegant computations has always come out by itself, as a byproduct of a thoroughconceptual understanding of what was going on Thus I never bothered about whether whatwould come out would be suitable for this or that, but just tried to understand - and it always
turned out that understanding was all that mattered.Alexander Grothendieck (in a letter to Ronnie Brown, 12.04.1983)
6 Các bài tập ít nhiều mang tính lý thuyết 7
11 Ma trận chuyển cơ sở, ma trận của tự đồng cấu 11
12 Chứng minh phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 12
13 Một số bài tập làm quen với ánh xạ tuyến tính 14
14 Không gian vector đối ngẫu - Ánh xạ tuyến tính đối ngẫu 16
15 Tính chất, cách tính định thức 17
Trang 216 Bài tập về Định thức 18
21 Định lý Cayley-Hamilton Đa thức tối tiểu 24
22 Dạng song tuyến tính Tính chất cơ bản của không gian vector Euclide 25
Bài tập 2 Cho E là một tập vô hạn và D là tập hữu hạn Khi đó E và E ∪ D có cùng bản
số Một câu hỏi : nếu thay D bằng tập đếm được vô hạn, thì bài toán còn đúng không?Bài tập 3 Chứng minh các tập sau là tập đếm được : Z, Q, N × N
Bài tập 4 Một số α ∈ C được gọi là một số đại số nếu nó là nghiệm của một đa thức khôngđồng nhất 0, với hệ số là các số hữu tỷ Chứng minh rằng tập các số đại số là tập đếm được.Bài tập 5 Cho a < b là hai số thực Khi đó chứng minh các tập sau tương đương với nhau:(a, b), [a, b], (a, b], R, R+
Bình luận Tất cả các bài tập này lấy từ [2, 13] Trong cuốn của Hewitt/Stromberg thì hầuhết có lời giải
Nếu các bạn biết Tiên Đề Chọn, Nguyên lý tối đại Hausdorff, Bổ đề Zorn thì các bạn có thểchứng minh được các kết quả rất khó sau đây Chứng minh các kết quả này đều có trong [2].Kết quả 2.1 Cho X và Y là hai tập hợp Khi đó hoặc ]X ≤ ]Y hoặc ]Y ≤ ]X
Kết quả 2.2 Giả sử X và Y là hai tập hợp có cùng bản số và là các tập vô hạn thỏa mãn
X ∩ Y = ∅ Khi đó X ∪ Y có cùng bản số với X
Trang 3Kết quả 2.3 Giả sử X là một tập vô hạn Khi đó tích Descartes X × X có cùng bản số vớiX.
Bài tập 9 (i) Tồn tại hay không song ánh từ N → Z?
(ii) Cho 0 < n ∈ N cố định Tồn tại hay không song ánh từ N → N × {1, 2, , n}?
(iii) Tồn tại hay không song ánh từ N → N × N?
(iv) Tồn tại hay không song ánh từ N → Q?
Bài tập 10 Cho X là một tập hợp và f : X → P(X) là một ánh xạ từ X vào tập lũy thừacủa X Chứng minh rằng f không thể là toàn ánh
Bài tập 11 Xét các tập M cùng với quan hệ ∼ sau Xác định xem quan hệ nào là tươngđương và khi đó chỉ ra các lớp tương đương của nó
(i) M = R, a ∼ b ⇐⇒ |a| = |b|
(ii) M = R, a ∼ b ⇐⇒ |a − b| < 1
(iii) M = Z, a ∼ b ⇐⇒ a − b p với p là số nguyên cố định cho trước.
Bài tập 12 Show that if F and G are subsets of a set E then
(F ⊂ G ⇔ F ∪ G = G) and (F ⊂ G ⇔ {F ∪ G = E)
Trang 4Bài tập 13 Let f : X → Y and g : Y → Z be mappings Let A be a subset of X and Csubset of Z Prove that
(a) g(f (A)) = (g ◦ f )(A) and
(b) (g ◦ f )−1(C) = f−1(g−1(C))
Bài tập 14 Let E and F be sets If A ⊂ E and B ⊂ F, then show that A × B ⊂ E × F.Bài tập 15 If A is a set of n elements and B a set of m elements, what is the number ofelements of A × B? What is the number of elements of the power set P(A)?
Bài tập 16 Let A be a subset of a set E We define the so-called characteristic function f
of A in E as follows: f takes values in {0, 1} ⊂ N such that f (x) =
(
0 if x 6∈ A
1 if x ∈ A Provethat the following functions are characteristic functions of some sets which we will determinelater:
Bài tập 18 Is it true that P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)? And P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B)?
Bài tập 19 Let X −→ Yf −→ X be mappings between sets such that g ◦ f = Id, where Idg
is the identity mapping Prove that f is injective and g surjective
Bài tập 20 Cho X là một tập hợp Chứng minh rằng: Tập hợp Bij(X) các song ánh từ Xvào chính nó cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập thành một nhóm Chứng minh rằngnhóm này không giao hoán nếu X có lớn hơn hoặc bằng 3 phần tử
Bài tập 21 Cho G là một nhóm và H ⊂ G là một tập con Chứng minh rằng H là nhómcon của G khi và chỉ khi luật hợp thành của G cảm sinh một luật hợp thành trong H và Hcùng với luật hợp thành này tạo thành một nhóm
Bài tập 22 Cho G là một nhóm và H là một tập con của G Chứng minh rằng H là mộtnhóm con của G nếu H thỏa mãn hai điều sau:
(i) H 6= ∅
(ii) a, b ∈ H =⇒ ab−1 ∈ H
Bài tập 23 Cho G là một nhóm cùng với các nhóm con H1, H2 ⊂ G Chứng minh rằng
H1∪ H2 là một nhóm con của G khi và chỉ khi hoặc H1 ⊂ H2 hoặc H2 ⊂ H1
Bài tập 24 Cho G là một nhóm và i : G → G là ánh xạ nghịch đảo (tức là i(g) = g−1 vớimọi g ∈ G) Chứng minh các điều sau
(i) i là song ánh
(ii) Cho A là một tập con của G Nếu i(A) ⊂ A, thì ta có i(A) = A Tập A như vậy đượcgọi là đối xứng
Trang 5(iii) Với mỗi tập A ⊂ G, các tập A ∩ i(A) và A ∪ i(A) là đối xứng.
Bài tập 25 Cho G là một nhóm thỏa mãn a2 = 1 với mọi a ∈ G Chứng minh rằng G lànhóm abel
Bài tập 26 Cho G là một nhóm abel hữu hạn Chứng minh rằng Y
1 Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho na = 0 với mọi a ∈ K
2 Chọn số n nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn (i), chứng minh rằng n là số nguyên tố Số
n này được gọi là đặc số của trường K
Bài tập 30 Chứng minh rằng Q(√2) := {a+b√
Trang 6Khái niệm không gian vector
Trong mục này, ký hiệu K là một trường, và V là một K−không gian vector Ký hiệu 0,1 làphần tử trung lập và đơn vị của K như ở trên Ký hiệu ~O là vector không trong V
Bài tập 32 Cho ~x là một vector trong V Chứng minh rằng 0.~v = ~O
Bài tập 33 Cho c là một vô hướng khác 0 và ~x là một vector trong V Khi đó chứng minhrằng: Nếu c.~x = ~O thì ~x = ~O
Bài tập 34 Cho ~x là một vector của V và −~x là phần tử đối của ~x trong nhóm abel (V, +).Chứng minh rằng (−1).~x = −~x
Bài tập 35 Chứng minh tập số phức C là một R−không gian vector, và là một Q−khônggian vector Tổng quát hơn, nếu K là trường con của trường L thì L là một K−không gianvector
Bài tập 36 Bài tập II.4, trang 31, giáo trình giản lược của [3]
Bình luận Đa số các bài tập này lấy ở [4] và nhiều bài là định lý, bổ đề có chứng minhtrong [3, 13]
Bài tập 39 ([4]) Cho (a, b) và (c, d) là hai vector trong mặt phẳng Chứng minh rằng nếu
ad − bc = 0 thì hai vector phụ thuộc tuyến tính Nếu ad − bc 6= 0 thì hai vector này độc lậptuyến tính
Bài tập 40 ([3]+[4]) Xét trong không gian vector C[a, b] các hàm số thực liên tục trên đoạn[a, b], hệ vector nào sau đây độc lập tuyến tính?
(a) (t − 1)2, (t − 2)2, (t − 3)2
(b) 1, et, e−t
Trang 7(c) sin x, sin 2x, , sin kx với k là số nguyên dương.
(d) (giả thiết thêm [a, b] ⊂ R+) t, 1/t
(b) sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x
Bài tập 43 ([3]) Giả sử α1, , αn và β1, , βm là hai hệ vector của một không gian vector
V nào đó Chứng minh rằng hạng của hệ vector
α1, , αn, β1, , βmkhông vượt quá tổng hạng của hai hệ vector α1, , αn và β1, , βm
Bài tập II.28-II.34 [3]
Bình luận Để cho dễ suy nghĩ, ta quan tâm chủ yếu các không gian vector hữu hạn chiều.Không gian vector vô hạn chiều cũng quan trọng, nhưng ta sẽ nghiên cứu sâu hơn về nó ởnhững môn học khác như giải tích hàm
Câu hỏi 7.1 Làm thế nào để tìm được hạng của một hệ vector và kiểm tra được tính độclập tuyến tính của một hệ vector trong một không gian vector hữu hạn chiều?
Câu hỏi 7.2 Cho V là một không gian vector, và E là một tập con của V Có những tiêuchuẩn nào để kiểm tra E có phải là không gian vector con của V ? Ta quan tâm tới nhữngtiêu chuẩn ngắn gọn và dễ sử dụng (dùng định nghĩa sẽ tương đối dài dòng!)
Câu hỏi 7.3 Làm thế nào để tìm được một cơ sở của không gian vector thương?
Câu hỏi 7.4 Cho V là một không gian vector và X là một tập con của nó Có mối liên hệnào giữa hạng của hệ vector X với chiều của không gian con sinh bởi X (còn gọi là bao tuyếntính của X)?
Trang 8(c) Giả sử Y ⊂ V là một hệ vector hữu hạn khác Ký hiệu rank(Y ) là hạng của Y Giả sửmỗi vector của X đều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong Y Khi đó chứng minhrank(X) ≤ rank(Y ).
Hệ quả : Nếu mỗi vector của X đều có thể biểu thị thành tổ hợp tuyến tính của các vectortrong Y và ngược lại, thì rank(X) = rank(Y )
Bình luận Thật ra bài tập trên chỉ là phát biểu lại các kết quả đã được chứng minh trongGiáo trình Đại số tuyến tính mà cô Thảo dạy, nhưng tôi ghi chép lại thành bài tập để các bạn
dễ dàng ôn tập
Áp dụng bài tập trên, ta có thể giải quyết bài tập "Tìm hạng của một hệ vector cho trước"bằng cách biến đổi hệ vector trở thành hệ vector khác dễ xử lý hơn, nhưng hạng không thayđổi
Bài tập 45 Cho V là K−không gian vector và {x1, , xk} ⊂ V là một hệ hữu hạn cácvector nào đó Giả sử λ2, λ3, , λk∈ K là các vô hướng nào đó Khi đó chứng minh
rank{x1, , xk} = rank{x1, x2+ λ2x1, , xk+ λkx1}
Áp dụng bài tập này, ta sẽ giải quyết bài tập tìm hạng của một hệ vector bằng cách viếtcác vector dưới dạng "vector hàng" và ta thu được một ma trận Ta áp dụng các phép biếnđổi trên sao cho ma trận của ta trở thành ma trận "tam giác trên" Từ đó ta sẽ tính đượchạng của hệ đã cho
Bình luận Bài tập 46 sau đây tương đối khó Như tôi đã nói ở lớp, bạn nào làm được thì
có thể viết ra và gửi tôi lời giải, tôi sẽ đọc và kiểm tra tính đúng đắn Nếu làm tốt thì bạn đóxứng đáng 10 điểm thi giữa kỳ
Bài tập 46 Dựa trên việc tính hạng của hệ vector như tôi đã nói ở trên lớp, hãy đề xuấtthuật toán tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ hữu hạn vector bất kỳ, vàchứng minh thuật toán của bạn là đúng
Bài tập 47 Cho V là một K-không gian vector và X ⊂ V là một hệ hữu hạn các vector Kýhiệu span(X) là không gian vector con của V sinh bởi tập X Chứng minh rằng
dimKspan(X) = rank(X)
Bài tập 48 Cho U, V1, V2 là các không gian vector con của V Chứng minh rằng
(U ∩ V1) + (U ∩ V2) ⊂ U ∩ (V1 + V2)
Tìm ví dụ để bao hàm thức xảy ra thực sự (nghĩa là vế trái là tập con thực sự của vế phải)
Trang 9Bài tập 49 Cho U là một không gian vector con của V Chứng minh rằng tồn tại khônggian con W của V sao cho V = U ⊕ W Hỏi rằng W có duy nhất không?
Bài tập 50 (Định lý đánh tráo Steinitz) Mọi cơ sở của một không gian vector V hữu hạnsinh có số vector như nhau Số này được gọi là chiều của V
Bài tập 51 Trong các hệ sau đây, hệ nào lập thành một cơ sở của R3?
Tìm một cơ sở của V và chiều của V Mở rộng cơ sở đã tìm được thành cơ sở của R4
Bài tập 53 Cho V là không gian vector con của R[t], không gian các đa thức với hệ số thực,sinh bởi các đa thức sau:
Bài tập 54 Tìm một cơ sở và số chiều của không gian vector con V của Rn gồm các vector
Tính dim(U ∩ V ) Khó hơn, tìm một cơ sở của U ∩ V và của R4/(U ∩ V )
Bài tập 56 Cho U là không gian con sinh bởi
(1, 3, −2, 2, 3), (1, 4, −3, 4, 2), (2, 3, −1, −2, 9),
và V sinh bởi
(1, 3, 0, 2, 1), (1, 5, −6, 6, 3), (2, 5, 3, 2, 1)
Tìm một cơ sở của U + V, U ∩ V và R5/(U ∩ V )
Bài tập 57 Cho tổng trực tiếp V = V1 ⊕ V2⊕ ⊕ Vr và cho Si là một cơ sở của Vi với
1 ≤ i ≤ r Chứng minh rằng Si đôi một không giao nhau và ∪r
i=1Si là một cơ sở của V
Trang 10Gợi ý Trước tiên hãy làm bài toán trong trường hợp r = 2.
Bài tập 58 (Một bài trong đề thi Cao học quốc tế 2010, ĐHSPHN) Cho V là một R−khônggian vector không tầm thường (tức là chiều ≥ 1) Chứng minh rằng V không thể là hợp hữuhạn các không gian vector con thực sự của chính nó
Bài tập 59 Chứng minh rằng dimQR = ∞.
Bài tập 60 Chứng minh rằng không gian vector C([0, 1]) các hàm liên tục trên [0, 1] là mộtR-không gian vector vô hạn chiều
Bài tập 61 (Ma trận đường chéo trội) Trong Rn xét hệ vector v1 = (v11, , v1n), ,
9 −6 −5 −3
Bài tập 63 Xác định tất cả các ma trận A ∈ M(2 × 2, R) thỏa mãn A giao hoán với mọi
ma trận B ∈ M(2 × 2, R) Tổng quát hóa bài toán với A ∈ M(n × n, R)
Bài tập 64 Tính các lũy thừa saucos ϕ − sin ϕ
Trang 11Bài tập 65 Tìm tất cả các ma trận giao hoán với ma trận sau
Tr(AB) = Tr(BA)
Một hệ quả đáng chú ý : nếu A và B là hai ma trận vuông đồng dạng, tức là tồn tại một matrận C khả nghịch sao cho A = C−1BC, thì A và B có cùng vết Điều đó giải thích cụm từ
"bất biến đồng dạng"
Bài tập sau giải thích một phần ý nghĩa của khái niệm vết
Bài tập 67 Chứng tỏ rằng không tồn tại ma trận A và B vuông cùng cấp với hệ số thựcthỏa mãn AB − BA = I với I là ma trận đơn vị cùng cấp
Bài tập 68 Ma trận A ∈ M(n × n, R) nào thỏa mãn
Bình luận Ma trận lũy linh sẽ đóng vai trò quan trọng trong chương 5, cấu trúc của một
tự đồng cầu, là chương khó nhất Vì thế làm quen với những ma trận này từ sớm sẽ có lợihơn cho các bạn khi đọc chương 5
Bài tập 71 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau
Giả sử V là một không gian vector n chiều Giả sử (α) = (α1, , αn) là một cơ sở có thứ tự(1)
của V, và (β) = (β1, , βn) là một cơ sở khác Khi đó ký hiệu Cα,β là ma trận chuyển cơ sở
từ (α) sang (β), nghĩa là nếu Cα,β = (cij)n×n thì với mọi 1 ≤ j ≤ n, ta có
Trang 12Một cách lạm dụng ký hiệu, ta có thể viết biểu thức trên dưới dạng ma trận như sau
(β1 β2 βn) = (α1 α2 αn)Cα,β
hay ngắn gọn hơn
(β) = (α)Cα,β.Nói là lạm dụng đơn giản là vì đây không hẳn là phép nhân ma trận thông thường như lýthuyết đã nói, ở đây có hai loại ma trận : một là nhận giá trị vector (ví dụ ma trận (α)), hai
là nhận giá trị vô hướng (tức là ma trận thông thường theo như giáo trình định nghĩa) Tuynhiên nhờ, cách viết này ta sẽ chứng minh được một số kết quả một cách dễ dàng hơn và cáchlàm đó hoàn toàn tương đương khi ta thao tác trên các hệ số của ma trận Tuy nhiên, cáchlàm sau thì rất cồng kềnh
Tiếp tục, giả sử ϕ là một tự đồng cấu của V Khi đó ký hiệu Mϕ,α ∈ M(n × n, K) là matrận biểu diễn ϕ trong cơ sở (α), nghĩa là : Nếu Mϕ,α = (aij)n×n thì
là kết luận của bài toán Nghĩa là các bạn phải chứng minh ma trận này khả nghịch vànghịch đảo của nó là như trên
(d) Cho ϕ, ψ ∈ End(V ) và (α) là một cơ sở của V Chứng minh rằng Mϕ+ψ,α= Mϕ,α+ Mψ,α
và Mϕψ,α= Mϕ,αMψ,α
Phần này tôi đã trình bày cho lớp A,B và D, còn lớp C tôi chưa vì lúc ý tôi không nghĩ ra lànên trình bày phần này Có một sự thật là thường càng giảng các lớp sau thì bài giảng củatôi càng tốt hơn Mong các bạn lớp C thông cảm
Trong phần này, ta sẽ mô tả cách chứng minh phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Việc
mô tả này sẽ được biểu đạt bởi các bài tập
(2) Chữ t nghĩa là ma trận chuyển vị Như tôi đã nói ở trên lớp (trừ lớp D, do tôi quên) : tọa độ vector cần thiết được viết dưới dạng cột.
Trang 13Trong giáo trình mà cô Thảo giới thiệu, có một phần giới thiệu cách tìm ma trận nghịchđảo như sau : Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A cho trước (với điều kiện A là matrận khả nghịch) thì ta viết ma trận A và ma trận đơn vị cạnh nhau, sau đó ta thực hiện cácphép biến đổi sơ cấp trên hàng đồng thời của cả hai ma trận, sao cho ma trận A trở thành
ma trận đơn vị Khi đó, ma trận I chuyển thành ma trận A−1 Ta có thể tham khảo [6] vềchứng minh trọn vẹn cho chuyện này hoặc trang 132-133[7]
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng gồm các phép toán sau đây :
(1) Nhân một hàng với một vô hướng khác không
(2) Đổi chỗ hai hàng
(3) Cộng một hàng với λ lần của một hàng khác
Bài tập 73 Giả sử A là ma trận vuông cấp n
(1) Giả sử λ 6= 0 là vô hướng nào đó Ký hiệu ma trận Ei
λ là ma trận chéo gồm các phần tửnhư sau ajj = 1 nếu j 6= i và aii = λ Chứng minh rằng ma trận tích Ei
λA chính là matrận thu được từ A bằng cách nhân dòng i với λ và giữ nguyên các dòng khác
(2) Giả sử i 6= j Ký hiệu Eij = (akl)n×n là ma trận xác định như sau : akk= 1 nếu k 6= i và
EkEk−1 E1 Ta có EkEk−1 E1A = I nên EkEk−1 E1 = A−1 Đây chính là đpcm.Nhận xét 12.1 Nếu thay vì ta viết ma trận I ở bên cạnh ma trận A, thì ta viết ma trận
B nào đó Ta vẫn thực hiện việc biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận A và chuyển Athành ma trận đơn vị Khi đó ma trận B trở thành ma trận A−1B Như vậy, ta thu được mộtcách tính ma trận A−1B nhờ việc hiểu chứng minh
Tóm lại, nếu các bạn không biết cách chứng minh, các bạn sẽ không thể sáng tạo cáchlàm mới
Trang 1413 Một số bài tập làm quen với ánh xạ tuyến tính
Có lẽ định lý quan trọng nhất trong phần này là định lý sau
Định lý 13.1 (về đồng cấu các không gian vector) Giả sử f : V → W là một đồng cấu khônggian vector Khi đó, ánh xạ ¯f : V /Kerf → W xác định bởi ¯f ([~v]) = f (~v), là một đơn cấu Nócảm sinh đẳng cấu ¯f : V /Kerf → Im f.∼
Các bạn nên tự chứng minh hoặc đọc hiểu chứng minh định lý này
Bài tập 75 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính
(a) Chứng minh rằng dim V = dim Kerf + dim Im f Lưu ý: đẳng thức này đúng kể cả khichiều của V là vô hạn
(b) Giả sử U là không gian vector con hữu hạn chiều của V Chứng minh rằng dim U ≥dim f (U ) Tức là ánh xạ tuyến tính làm giảm chiều không gian
Bài tập 76 Cho f ∈ End(V ) với V là không gian vector hữu hạn chiều Chứng minh rằng
ba khẳng định sau là tương đương
(a) f là đơn cấu
(b) f là toàn cấu
(c) f là đẳng cấu
Bài tập 77 Chứng minh rằng khẳng định trong bài tập 76 không còn đúng nữa khi V cóchiều vô hạn Hãy tìm một ví dụ về ánh xạ tuyến tính là đơn cấu nhưng không là toàn cấu,
và một ví dụ ánh xạ tuyến tính là toàn cấu nhưng không phải là đơn cấu
Bài tập 78 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vector hữu hạn chiều.Giả sử f có ma trận biểu diễn A trong cặp cơ sở nào đó Chứng minh rằng rankf = rankA.Bài tập 79 Giả sử f ∈ Hom(V, W ) với V và W là hai không gian vector hữu hạn chiều Giả
sử (α) = (α1, , αn) là một cơ sở của V và (β) = (β1, , βm) là một cơ sở của W Ký hiệu
Mf,α,β ∈ M(m × n, K) là ma trận biểu diễn f trong cặp cơ sở (α) và (β) Giả sử (α0) và (β0)
là một cặp cơ sở khác Chứng minh rằng
Mf,α 0 ,β 0 = Cβ,β 0Mf,α,βCα,α 0.Bài tập 80 Ma trận của tự đồng cấu trong cơ sở (α1, , αn) thay đổi như thế nào nếu(a) nếu ta đổi chỗ hai vector αi và αj?
(b) nếu ta viết các vector cơ sở theo thứ tự ngược lại (αn, , α1)?
Bài tập sau giúp ta hợp lệ hóa các chứng minh ở mục đầu tiên
Bài tập 81 Giả sử (α) = (α1, α2, , αn) là một hệ vector trong K−không gian vector V Giả
sử A, B ∈ M(n × m, K) với m là số nguyên dương bất kỳ Chứng minh rằng : Nếu (α) là hệđộc lập tuyến tính và (α)A = (α)B thì A = B Ở đây, (α)A = (Pn
i=1ai1αi Pn
i=1aimαi),với A = (aij)n×m, như đã nói ở trên lớp
Bài tập 82 Các ánh xạ từ K4 vào chính nó nào sau đây là ánh xạ tuyến tính? Khi đó tìm
ma trận của ánh xạ tuyến tính đó trong cơ sở chính tắc
Trang 15Bài tập 85 Cho f, g : V → W là hai ánh xạ giữa hai không gian vector hữu hạn chiều.Chứng minh rằng :
|rank f − rank g| ≤ rank(f + g) ≤ rank f + rank g
Bài tập 86 (bất đẳng thức Sylvester) Cho f : E → F và g : F → G là các ánh xạ tuyến tínhgiữa các không gian vector hữu hạn chiều Chứng minh rằng:
(a) rank(gf ) ≤ min(rank f, rank g) và
(b) rank f + rank g ≤ rank(gf ) + dim F
Nhận xét 13.2 Bất đẳng thức Sylvester thường được viết dưới dạng ma trận như sau Giả
sử A, B ∈ M(n × n, K) Khi đó ta có bất đẳng thức sau
rank A + rank B ≤ rank(AB) + n
Bài tập 87 (bất đẳng thức Frobenius) Cho A, B, C ∈ M(n × n, K) Chứng minh rằng
rank(AB) + rank(BC) ≤ rank B + rank(ABC)
Bài tập 88 Cho V và W là hai không gian vector hữu hạn chiều Hỏi chiều của Hom(V, W )bằng bao nhiêu? Tìm một cơ sở của Hom(V, W )
Bài tập 89 Tự đồng cấu ϕ ∈ End(R3) có ma trận
trong cơ sở gồm các vector α1 = (8, −6, 7), α2 = (−16, 7, −13), α3 = (9, −3, 7) Tìm ma trận
ϕ trong cơ sở gồm các vector β1 = (1, −2, 1), β2 = (3, −1, 2), β3 = (2, 1, 2)
Trang 16Bài tập 91 Cho ϕ ∈ End(V ) là phép chiếu, tức là ϕ2 = ϕ Chứng minh rằng
(a) Chứng minh rằng vết của f không phụ thuộc vào ma trận biểu diễn
(b) Chứng minh rằng Tr(f ) = Tr(f∗) với f∗ là ánh xạ đối ngẫu của f
Bài tập 93 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vector hữu hạn chiều.Chứng minh rằng:
(a) f là đơn cấu khi và chỉ khi f∗ là toàn cấu
(b) f là toàn cấu khi và chỉ khi f∗ là đơn cấu
(c) f là đẳng cấu khi và chỉ khi f∗ là đẳng cấu
Bình luận Tôi nghĩ là kết quả vẫn đúng khi V và W có chiều vô hạn, nhưng tôi chưa nghĩcẩn thận chuyện ý Một hệ quả của bài tập này là bài tập sau
Bài tập 94 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vector hữu hạn chiều.Chứng minh rằng
rank f = rank(f∗)
Bình luận Bài tập trên cho ta một chứng minh của đẳng thức
rank(A) = rank(AT)với A ∈ M(n × m, K) bất kỳ Vì sao?
Bài tập 95 Cho V là một không gian vector hữu hạn chiều và f1, , fn là một cơ sở của
V∗ Chứng minh rằng tồn tại một cơ sở (e1, , en) của V sao cho (f1, , fn) là cơ sở đốingẫu của (e1, , en)