Danh sách tập ĐSTT số 12 cho K65 khoa Toán-Tin Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập Tháng 12/2015 Bổ sung thêm giá trị riêng Bài tập Chứng minh định thức ma trận vng A tích tất giá trị riêng tính bội Các giá trị riêng tính bội có nghĩa ta liệt kê tất giá trị riêng dù trùng Ngồi kết ra, ta có kết sau: Vết ma trận vuông A tổng giá trị riêng tính bội Tơi cách chứng minh sơ cấp, nên không làm thành tập cho bạn Qua hai kết này, bạn thấy vai trò đáng kể giá trị riêng Tính dạng chuẩn Jordan nào? Như biết, lý thuyết đại số tuyến tính tự đồng cấu quy ma trận sở cố định Ví dụ định thức tự đồng cấu định nghĩa định thức ma trận biểu diễn sở Lý thuyết dạng chuẩn Jordan tự đồng cấu Tôi bàn ngơn ngữ ma trận, mơi trường đó, bạn thấy dễ hiểu Trước tiên ta định nghĩa gọi tổng trực tiếp hai ma trận vng Cho A ∈ Rn×n B ∈ Rm×m Khi ta định nghĩa ma trận vng A ⊕ B ∈ R(n+m)×(n+m) sau A⊕B = On×m ma trận cấp n × m Tiếp Js,λ , cấp s ứng với giá trị riêng λ sau λ 1 λ 0 Js,λ = A Om×n On×m , B theo, ta định nghĩa khối Jordan sơ cấp, ký hiệu λ 0 0 0 λ Tức Js,λ ma trận vuông cấp s có giá trị đường chéo λ số đường chéo đường chéo chính, vị trí khác hết Lý thuyết dạng chuẩn Jordan nói ma trận vng A, mà đa thức đặc trưng có đủ nghiệm, đồng dạng với ma trận có dạng tổng trực tiếp khối Jordan sơ cấp Ma trận sau gọi ma trận dạng chuẩn Jordan ma trận A Thứ tự khối Jordan sơ cấp dạng chuẩn Jordan không quan trọng, dù có tráo nào, ma trận đồng dạng với nhau, điều nằm chứng minh lý thuyết Jordan Ký hiệu J ma trận dạng chuẩn Jordan A, điều nói tồn ma trận C khả nghịch cho A = C −1 JC hay J = CAC −1 Điều gợi cho ta hai cơng việc: Một tính J, hai tính C Tuy nhiên, tính C khó, nhiệm vụ cao dành lại cho chủ nhân tương lai đất nước, tức bạn Trong tờ giấy này, cho bạn cách tính J • Bước 1: Tính đa thức đặc trưng A Xác định tất giá trị riêng A • Bước 2: Với giá trị riêng λ, ta tính số khối Jordan sơ cấp Js,λ xuất dạng chuẩn Jordan A theo công thức sau: rank(A − λI)s−1 − 2rank(A − λI)s + rank(A − λI)s+1 Lưu ý rank(A − λI)s hạng ma trận (A − λI)s ) Ta tính tất s có (ví dụ khối Jordan sơ cấp với cấp s lớn cỡ ma trận A xuất dạng chuẩn Jordan ma trận A) Bàitập Tìmdạng chuẩn −15 (a) 1 −5 , (b) −2 −6 −1 Jordan cácma trận sau −3 −3 −6 13 , (c) 4 −7 8 −4 −7 Một hệ lý thuyết dạng chuẩn Jordan là: Hai ma trận A B đồng dạng với chúng có dạng chuẩn Jordan Dựa vào đó, bạn giải tập sau Bài tập A = 2 Các ma trận sau có −5 −10 B = 6 −3 đồng dạng với không? 20 −34 32 −51 20 −32 Bài tập A= 1 Các ma trận sau có −15 −5 , B = −2 −4 −1 đồng dạng với không? −3 −13 −70 119 −6 13 , C = −4 −19 34 −4 −4 −20 35 T Bài tập (khó, bạn tạm bỏ qua) Chứng minh Js,λ ma trận chuyển vị Js,λ đồng dạng với Từ chứng minh A ma trận vng (hệ số phức) A đồng dạng với AT Dạng song tuyến tính Tính chất không gian vector Euclide Bài tập Trong không gian vector thực R3 với sở {e1 , e2 , e3 } Dạng song tuyến tính sau xác định tích vơ hướng? (a) ϕ(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ) = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 (b) ϕ(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ) = x1 y1 − x2 y2 + 5x3 y3 (c) ϕ(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ) = 5x1 y1 + 3x2 y2 + x3 y3 − 2x1 y2 − 4x2 y3 Bài tập Tìm điều kiện cần đủ a, b, c, d ∈ R cho dạng song tuyến tính R2 sau ϕ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ax1 y1 + bx1 y2 + cx2 y1 + dx2 y2 tích vơ hướng Bài tập Cho V không gian vector Euclide hữu hạn chiều (a) Chứng minh hệ vector trực giao cặp mà không chứa vector độc lập tuyến tính (b) Nếu W không gian vector V W ⊥ phần bù trực giao W V Chứng minh V = W ⊕ W ⊥ Ta gọi phân tích phân tích trực giao (đối với tích vơ hướng V ) (c) Cho W1 , W2 hai không gian V thỏa mãn dim W1 < dim W2 Chứng minh tồn vector khác W2 trực giao với không gian W1 Bài tập (Bài thi cuối kỳ K63K) Cho (V, ·, · ) không gian vector Euclide u, u hữu hạn chiều Với vector u ∈ V, đặt u = (a) Cho u, v hai vector V Chứng minh đẳng thức sau u+v 2 = u + v + u, v (b) Chứng minh u v hai vector vng góc V ta có u + v Kết định lý Pythagore = u + v (c) Chứng minh định lý Pythagore cho k vector đôi trực giao với k ∈ N (d) Cho u1 , u2 , , uk vector đôi trực giao V Chứng minh ui = với ≤ i ≤ k vector độc lập tuyến tính (e) Cho e1 , e2 , , ek vector trực chuẩn V cho u vector V Chứng minh k u− u, ei ei ⊥ ej i=1 với ≤ j ≤ k Từ suy bất đẳng thức Bessel sau k u u, ei ≥ i=1 (f) Cho f : V → V ánh xạ bảo tồn tích vơ hướng ·, · V, nghĩa f (u), f (v) = u, v với u, v ∈ V Chứng minh f ánh xạ tuyến tính nữa, f tự đẳng cấu V Bình luận Bất đẳng thức Bessel thật nói điều đơn giản: Đó độ dài hình chiếu vng góc vector lên phẳng khơng lớn độ dài vector Đây bất đẳng thức bình thường hình học phổ thơng, phiên dịch dạng đại số tuyến tính, ứng dụng giải tích điều hòa chẳng hạn ... trận vng (hệ số phức) A đồng dạng với AT Dạng song tuyến tính Tính chất không gian vector Euclide Bài tập Trong không gian vector thực R3 với sở {e1 , e2 , e3 } Dạng song tuyến tính sau xác... hai cơng việc: Một tính J, hai tính C Tuy nhiên, tính C khó, nhiệm vụ cao dành lại cho chủ nhân tương lai đất nước, tức bạn Trong tờ giấy này, cho bạn cách tính J • Bước 1: Tính đa thức đặc trưng... khơng lớn độ dài vector Đây bất đẳng thức bình thường hình học phổ thơng, phiên dịch dạng đại số tuyến tính, ứng dụng giải tích điều hòa chẳng hạn