Đại số tuyến tính - Trần Đức Anh danhsach08 bt dstt

Danh sách tập ĐSTT số cho K65, khoa Toán-Tin Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập Tháng 11/2015 Tuần ta thay đổi chút phần tập, bạn sử dụng kiến thức học để trả lời câu hỏi lý thuyết sau Ba câu hỏi lý thuyết Câu hỏi Cho (e1 , , en ) (ε1 , , εn ) hai sở Rn Hãy cho cơng thức tính ma trận chuyển sở Câu hỏi Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính có ma trận biểu diễn A cặp sở (α1 , , αn ) (β1 , , βm ) (điều nói dim V = n dim W = m, A ∈ Rm×n ) Giả sử (e1 , , en ) (ε1 , , εm ) cặp sở Làm để tính ma trận biểu diễn f cặp sở mới? Câu hỏi Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính có ma trận biểu diễn A cặp sở (α1 , , αn ) (β1 , , βm ) Đặt         x1 x1       x2    x2      n , Im(A) = A ·   :   ∈ R   . .       xn xn        x1 x1      x2    x      n Ker(A) =   ∈ R : A ·   =   . .       x xn n (a) Chứng minh dim Im(A) = rank(A) (b) Chỉ mối quan hệ Im(f ) Im(A)? Ker(f ) Ker(A)? Bài tập Bài tập Cho h ánh xạ tuyến tính từ R3 vào R2 mà ma trận biểu diễn cặp −1 sở (e1 , e2 , e3 ) (f1 , f2 ) A = −3 (a) Lấy R3 sở mới: e1 = e2 + e3 , e2 = e3 + e1 , e3 = e1 + e2 Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ h cặp sở (b) Tiếp tục ta chọn sở cho R2 gồm vector 1 f1 = (f1 + f2 ), f2 = (f1 − f2 ) 2 Tìm ma trận biểu diễn h cặp sở (e1 , e2 , e3 ) (f1 , f2 ) Bài tập Cho n số nguyên dương Với A ∈ M(n × n, R), ký hiệu Tr(A) tổng tất phần tử đường chéo A (a) Chứng minh ánh xạ Tr : M(n × n, R) → R ánh xạ tuyến tính (b) Chứng minh rằng: Với A, B ∈ M(n × n, R), ta có Tr(AB) = Tr(BA) (c) Từ câu (b), chứng minh không tồn hai ma trận A, B ∈ M(n × n, R) cho AB − BA = I với I ma trận đơn vị (d) Chứng minh rằng: Nếu C ma trận khả nghịch, A ∈ M(n × n, R) Tr(C −1 AC) = Tr(A) Từ vựng Ánh xạ Tr tập gọi Vết, bất biến đồng dạng tập ma trận vuông, nghĩa A, B hai ma trận đồng dạng Tr(A) = Tr(B) Bài tập Tìm sở ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính từ R4 vào R5 sau (a) (x, y, z, t) → (5x − y, x + y, z, t, x) (b) (x, y, z, t) → (x + y + 7z + t, 2z + t, x, y, y − x) (c) (x, y, z, t) → (−x + y + z + t, z − y, 17x + 13y, 16x + 5t, y − t) Bài tập (khó) Cho f : E → F g : E → G ánh xạ tuyến tính Chứng minh điều kiện cần để tồn ánh xạ tuyến tính h : F → G cho g = h ◦ f ker f ⊂ ker g Hỏi có phải điều kiện đủ khơng? Bài tập Cho f, g : V → W hai ánh xạ tuyến tính hai khơng gian vector hữu hạn chiều Chứng minh : |rank f − rank g| ≤ rank(f + g) ≤ rank f + rank g Bài tập (bất đẳng thức Sylvester) Cho f : E → F g : F → G ánh xạ tuyến tính khơng gian vector hữu hạn chiều Chứng minh rằng: (a) rank(gf ) ≤ min(rank f, rank g) (b) rank f + rank g ≤ rank(gf ) + dim F ... G ánh xạ tuyến tính Chứng minh điều kiện cần để tồn ánh xạ tuyến tính h : F → G cho g = h ◦ f ker f ⊂ ker g Hỏi có phải điều kiện đủ khơng? Bài tập Cho f, g : V → W hai ánh xạ tuyến tính hai... ) (f1 , f2 ) Bài tập Cho n số nguyên dương Với A ∈ M(n × n, R), ký hiệu Tr(A) tổng tất phần tử đường chéo A (a) Chứng minh ánh xạ Tr : M(n × n, R) → R ánh xạ tuyến tính (b) Chứng minh rằng: Với... trận vuông, nghĩa A, B hai ma trận đồng dạng Tr(A) = Tr(B) Bài tập Tìm sở ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính từ R4 vào R5 sau (a) (x, y, z, t) → (5x − y, x + y, z, t, x) (b) (x, y, z, t) → (x + y +