Đại số tuyến tính - Trần Đức Anh danhsach06 bt dstt

Danh sách tập ĐSTT số cho K65, khoa Toán-Tin Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập Tháng 10/2015 Bài tập chuẩn bị Bài tập Cho e1 , e2 , , en sở không gian vector V Cho ≤ k ≤ n số nguyên Đặt U = span{e1 , , ek } W = span{ek+1 , , en } Chứng minh V = U ⊕ W Nhận xét Hai không gian vector U, W tình nói sau: W phần bù tuyến tính U V Bài tập nêu cách để xác định phần bù tuyến tính không gian vector cho trước: lấy sở khơng gian vector U, sau bổ sung trở thành sở V, phần bổ sung sinh W phần bù tuyến tính U V Bài tập Cho ∅ = X, Y ⊂ V hệ vector không gian vector V hữu hạn chiều Chứng minh rằng: Nếu vector X tổ hợp tuyến tính vector Y ngược lại, vector Y tổ hợp tuyến tính vector X, ta có span(X) = span(Y ) Bài tập tính tốn Bài tập Xét khơng gian vector sau R3 V = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + 2x2 + 3x3 = 0} Chứng minh R3 = V ⊕ span{(1, 2, 3)} Bài tập Xét tập hợp V = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + x2 + x3 + x4 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0} Chứng minh V không gian vector R4 R4 = V ⊕ span{(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4)} Bài tập Xét không gian vector sau R3 U = span{(1, 2, 3), (−2, 3, 1), (4, 1, 5)} Xác định sở U Bổ sung sở thành sở R3 Bài tập Xét không gian vector sau R4 V = {(x, y, z, t) ∈ R4 : 3x − 2y + z + 2t = 0} Tìm sở V, bổ sung sở thành sở R4 Bài tập Cho U không gian R4 sinh (1, 1, 0, −1), (1, 2, 3, 0), (2, 3, 3, −1), V sinh (1, 2, 2, −2), (2, 3, 2, −3), (1, 3, 4, −3) Tính dim(U ∩ V ) Tìm sở U ∩ V Bài tập Tìm sở không gian vector V tập Bài tập Xét hai hệ vector sau R3 X = {(1, 1, 1), (1, 2, 3)} Y = {(1, 0, 1), (−1, 2, −3).} Tìm vector u ∈ R3 cho X ∪ {u} Y ∪ {u} sở V Nhận xét Có cách ta mò vector u Tuy nhiên tơi khuyến khích bạn nghĩ tổng qt hơn, có tính thuật tốn tốt Bài tập lý thuyết Ghi : Tơi khơng có dự định chữa tập phần này, thời gian không cho phép Tuy nhiên viết để dành cho bạn cảm thấy thiếu tập để làm Có tập 13 đáng ý, cung cấp tiêu chuẩn cho tổng trực tiếp, khác với tiêu chuẩn phức tạp giáo trình Bài tập 10 Cho U, V W ba không gian vector không gian vector Hỏi có đẳng thức sau khơng W ∩ (U + V ) = (W ∩ U ) + (W ∩ V )? Bài tập 11 Cho tổng trực tiếp V = V1 ⊕ V2 ⊕ ⊕ Vr cho Si sở Vi với ≤ i ≤ r Chứng minh Si đôi không giao ∪ri=1 Si sở V Bài tập 12 Cho U1 ⊂ U2 ⊂ U3 ⊂ ⊂ Un dãy không gian vector không gian vector hữu hạn chiều V Chứng minh ta tìm phần bù Wi Ui V với i thỏa mãn W1 ⊃ W2 ⊃ ⊃ Wn Bài tập 13 Cho Ui với ≤ i ≤ n không gian vector hữu hạn chiều không gian vector V thỏa mãn V = ni=1 Ui Chứng minh tổng tổng trực tiếp dim V = n i=1 dim Ui Bài tập 14 Cho U, V, W ba không gian vector hữu hạn chiều không gian vector Hỏi cơng thức sau có khơng dim(U +V +W ) = dim U +dim V +dim W −dim(U ∩V )−dim(V ∩W )−dim(V ∩W )+dim(U ∩V ∩W )? Bài tập 15 Cho U không gian vector không gian vector hữu hạn chiều V số nguyên dương r Tìm điều kiện chiều để tồn phần bù U1 , U2 , , Ur U V cho ri=1 Ui tổng trực tiếp Bài tập 16 Cho U V hai không gian vector khơng gian vector W hữu hạn chiều Tìm điều kiện chiều để U V có chung phần bù tuyến tính W Nhận xét Bài tập phát biểu lại tập danh sách trước ... gian vector W hữu hạn chiều Tìm điều kiện chiều để U V có chung phần bù tuyến tính W Nhận xét Bài tập phát biểu lại tập danh sách trước ... ∪ {u} sở V Nhận xét Có cách ta mò vector u Tuy nhiên tơi khuyến khích bạn nghĩ tổng qt hơn, có tính thuật tốn tốt Bài tập lý thuyết Ghi : Tơi khơng có dự định chữa tập phần này, thời gian không... )−dim(V ∩W )+dim(U ∩V ∩W )? Bài tập 15 Cho U không gian vector không gian vector hữu hạn chiều V số nguyên dương r Tìm điều kiện chiều để tồn phần bù U1 , U2 , , Ur U V cho ri=1 Ui tổng trực