Nhận xét Hai không gian vector con U, W ở trong tình huống như trên sẽ được nói như sau: W là phần bù tuyến tính của U trong V.. Bài tập cũng nêu ra cách để xác định ra một phần bù tuyến
Trang 1Danh sách bài tập ĐSTT số 6 cho K65, khoa Toán-Tin
Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.
Tháng 10/2015
Bài tập chuẩn bị
Bài tập 1 Cho ~e1, ~e2, , ~en là cơ sở của không gian vector V Cho 1 ≤ k ≤ n là số nguyên nào đó Đặt U = span{~e1, , ~ek} và W = span{~ek+1, , ~en} Chứng minh rằng V = U ⊕ W
Nhận xét Hai không gian vector con U, W ở trong tình huống như trên sẽ được nói như sau: W là phần bù tuyến tính của U trong V Bài tập cũng nêu ra cách để xác định ra một phần bù tuyến tính của một không gian vector con cho trước: đầu tiên lấy một cơ sở của không gian vector con U, sau đó
bổ sung trở thành cơ sở của V, phần bổ sung đó sinh ra W là phần bù tuyến tính của U trong V Bài tập 2 Cho ∅ 6= X, Y ⊂ V là các hệ vector của không gian vector V hữu hạn chiều Chứng minh rằng: Nếu mỗi vector của X đều là tổ hợp tuyến tính của các vector của Y và ngược lại, mỗi vector của Y đều là tổ hợp tuyến tính của các vector của X, thì ta có
span(X) = span(Y )
Bài tập tính toán
Bài tập 3 Xét không gian vector con sau của R3
V = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1+ 2x2+ 3x3 = 0}
Chứng minh rằng
R3 = V ⊕ span{(1, 2, 3)}
Bài tập 4 Xét tập hợp
V = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1+ x2+ x3+ x4 = x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4 = 0}
Chứng minh rằng V là không gian vector con của R4 và
R4 = V ⊕ span{(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4)}
Bài tập 5 Xét không gian vector con sau trong R3
U = span{(1, 2, 3), (−2, 3, 1), (4, 1, 5)}
Xác định một cơ sở của U Bổ sung cơ sở đó thành một cơ sở của R3
Bài tập 6 Xét không gian vector con sau trong R4
V = {(x, y, z, t) ∈ R4 : 3x − 2y + z + 2t = 0}
Tìm một cơ sở của V, và bổ sung cơ sở đó thành cơ sở của R4
1
Trang 2Bài tập 7 Cho U là không gian con của R4 sinh bởi
(1, 1, 0, −1), (1, 2, 3, 0), (2, 3, 3, −1),
và V sinh bởi
(1, 2, 2, −2), (2, 3, 2, −3), (1, 3, 4, −3)
Tính dim(U ∩ V ) Tìm một cơ sở của U ∩ V
Bài tập 8 Tìm một cơ sở của không gian vector con V trong bài tập 4
Bài tập 9 Xét hai hệ vector sau trong R3
X = {(1, 1, 1), (1, 2, 3)}
và
Y = {(1, 0, 1), (−1, 2, −3).}
Tìm một vector ~u ∈ R3 sao cho X ∪ {~u} và Y ∪ {~u} đều là cơ sở của V
Nhận xét Có một cách là ta mò ra vector ~u Tuy nhiên tôi khuyến khích bạn nghĩ tổng quát hơn, càng có tính thuật toán thì càng tốt
Bài tập lý thuyết
Ghi chú : Tôi không có dự định chữa những bài tập trong phần này, vì thời gian không cho phép Tuy nhiên tôi vẫn viết ra để dành cho bạn nào cảm thấy thiếu bài tập để làm Có bài tập 13 đáng chú ý,
vì nó cung cấp một tiêu chuẩn cho tổng trực tiếp, khác với tiêu chuẩn khá phức tạp trong giáo trình Bài tập 10 Cho U, V và W là ba không gian vector con của không gian vector nào đó Hỏi rằng có thể có đẳng thức sau không
W ∩ (U + V ) = (W ∩ U ) + (W ∩ V )?
Bài tập 11 Cho tổng trực tiếp V = V1⊕ V2⊕ ⊕ Vr và cho Si là một cơ sở của Vi với 1 ≤ i ≤ r Chứng minh rằng Si đôi một không giao nhau và ∪ri=1Si là một cơ sở của V
Bài tập 12 Cho U1 ⊂ U2 ⊂ U3 ⊂ ⊂ Un là một dãy các không gian vector con của không gian vector hữu hạn chiều V Chứng minh rằng ta có thể tìm được phần bù Wi của Ui trong V với mọi i thỏa mãn W1 ⊃ W2 ⊃ ⊃ Wn
Bài tập 13 Cho Ui với 1 ≤ i ≤ n là các không gian vector con hữu hạn chiều của không gian vector V thỏa mãn V =Pn
i=1Ui Chứng minh rằng tổng này là tổng trực tiếp khi và chỉ khi dim V =
Pn
i=1dim Ui
Bài tập 14 Cho U, V, W là ba không gian vector con hữu hạn chiều của không gian vector nào đó Hỏi công thức sau có đúng không
dim(U +V +W ) = dim U +dim V +dim W −dim(U ∩V )−dim(V ∩W )−dim(V ∩W )+dim(U ∩V ∩W )? Bài tập 15 Cho U là không gian vector con của không gian vector hữu hạn chiều V và số nguyên dương r Tìm điều kiện về chiều để tồn tại các phần bù U1, U2, , Ur của U trong V sao cho Pr
i=1Ui
là tổng trực tiếp
Bài tập 16 Cho U và V là hai không gian vector con của không gian vector W hữu hạn chiều nào
đó Tìm điều kiện về chiều để U và V có chung một phần bù tuyến tính trong W
Nhận xét Bài tập này chỉ là phát biểu lại của một bài tập ở danh sách trước đó
2