Danh sách tập ĐSTT số cho K65, khoa Toán-Tin Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập Tháng 11/2015 Bài tập (Bài dùng để gợi ý giải tập số Danh sách 8) Cho V, W hai không gian vector trường số thực Cho U ⊂ V không gian vector Cho f : U → W ánh xạ tuyến tính Chứng minh tồn ánh xạ tuyến tính g : V → W cho g|U = f Ký hiệu g|U nghĩa ánh xạ hạn chế g lên tập U Bài tập Định thức Bài tập Tính hợp thành phép sau viết phép thu thành tích xích rời rạc tính dấu chúng (a) 5 3 (b) 5 2 (c) (1, 2)(2, 3) (n − 1, n) Bài tập Cho a1 , a2 , , an dãy số thực đôi phân biệt Một cặp số (i, j) với ≤ i < j ≤ n gọi nghịch dãy số > aj Biết số nghịch dãy a1 , a2 , , an k Tìm số nghịch dãy an , an−1 , , a1 Bài tập Cho A ∈ Rn×n Chứng minh det A = dòng (hoặc cột) A độc lập tuyến tính Bài tập x a a a x a (a) · · · · a a a x a2 a1 x (c) a1 a2 · · a1 a2 Tính định thức sau a cos(a1 − b1 ) cos(a1 − b2 ) cos(a1 − bn ) a cos(a2 − b1 ) cos(a2 − b2 ) cos(a2 − bn ) · , (b) · · · , · · · · x cos(an − b1 ) cos(an − b2 ) cos(an − bn ) a3 an a3 an x3 an · a3 xn Bài tập Tính định thức Vandermonde a1 a2 an−1 an n−1 an−1 a2n−1 an−1 ann−1 Bài tập Tính cos ϕ1 cos 2ϕ1 cos(n − 1)ϕ1 cos ϕ2 cos 2ϕ2 cos(n − 1)ϕ2 cos ϕn cos 2ϕn cos(n − 1)ϕn Gợi ý Bài tập khó, bạn khơng biết khái niệm đa thức Chebyshev a+b b a a+b b a a + b Bài tập Tính 0 0 a+b a Gợi ý Nếu bạn biết khái niệm dãy sai phân, bạn giải dễ dàng Nếu bạn khơng biết cố gắng đốn cơng thức dùng quy nạp Bài tập chưa chữa, tơi chưa nghĩ :D Bài tập Tính det(|i − j|)n×n Bài tập 10 Cho A = (aij ) ma trận vuông cấp n với hệ số thực thỏa mãn aij = − δij , với δij ký hiệu Kronecker, nghĩa δij = i = j δij = i = j Tính det A Bài tập 11 Tính định thức sau n 1+x 1 1 x+1 n 1−x 1 x + n (b) (a) 1 1+y 1 1−y x + Tính chất, cách tính định thức Ghi chú: Phần viết chủ yếu để giúp bạn học tốt lý thuyết, viết có hết giáo trình ĐSTT Trong mục này, nhắc lại cách sơ lược nét cần ý định thức Các bạn nên tham khảo [1] để có chứng minh đầy đủ để hiểu xác khái niệm khó Cho A ma trận vuông cấp n với hệ số trường R Khi ta gắn với A số gọi định thức A, ký hiệu det A Nếu ký hiệu v1 , v2 , , vector cột A, (như vi ∈ Rn với i) ta viết det A = det(v1 , v2 , , ) Tóm lại ta coi det ánh xạ det : Rn × × Rn → R n lần Lưu ý : ta hoàn toàn coi det ánh xạ vector hàng A Tính chất : det ánh xạ đa tuyến tính Nghĩa det(av1 + bv1 , v2 , , ) = a det(v1 , v2 , , ) + b det(v1 , v2 , , ) với v1 , v1 , v2 , ∈ Rn a, b ∈ R Nói cách khác, cố định n − biến, det ánh xạ tuyến tính với biến lại Ở tơi viết tính chất cho biến tiện, chuyện xảy với biến khác Tính chất : Tính chất thay phiên Nếu vi = vj với i = j det(v1 , v2 , , vi , , vj , , ) = Tính chất : Tính chất phản đối xứng Tức đổi chỗ hai vector (hay đổi chỗ hai dòng ma trận) định thức đổi dấu Cụ thể det(v1 , v2 , , vi , , vj , , ) = − det(v1 , v2 , , vj , , vi , , ) với v1 , v2 , , ∈ Rn i = j Để tính định thức, ta có vài cách Các bạn tham khảo [2], có tóm tắt cách làm, tiết kiệm thời gian tra cứu Tuy nhiên, ta ghi lại vài cách sơ lược Cách : Dùng định nghĩa Cách dài dòng, khơng có tính thực tế, tập lý thuyết dùng nhiều Cách : Dùng biến đổi sơ cấp chuyển ma trận tam giác Biến đổi sơ cấp biến đổi có dạng v1 → v1 + a2 v2 + + an với ∈ R Khi định thức det(v1 + a2 v2 + + an , v2 , v3 , , ) = det(v1 , v2 , , ) Các bạn tự chứng minh kiện cách áp dụng tính chất thay phiên Như biến đổi sơ cấp không làm thay đổi định thức, ta biết ta hoàn tồn dùng biến đổi sơ cấp để chuyển ma trận dạng tam giác Khi đó, định thức ma trận tam giác tích phần tử đường chéo Cách : Dùng khai triển Laplace Tức khai triển định thức theo dòng hay theo cột (một nhiều) Đây cách làm phổ biến Một số cách khác, mẹo mực Ví dụ : dựa vào tính chất det(AB) = det(A) det(B), ta tính định thức ma trận phân tích thành tích, biết ma trận hạng tử nhân tích Những tập kiểu có nhiều [2] tồn khó Một cách khác dùng khai triển Laplace để chuyển định thức dạng truy hồi Thuật ngữ khó hiểu chút, ta mơ tả tập Một số tập nâng cao Mục thêm vào để bạn có thêm danh sách tập thú vị để luyện tập với kiến thức mà bạn biết Bài tập 12 Giả sử A ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 = I, với I ma trận đơn vị Chứng minh rank(A + I) + rank(A − I) = n Bài tập 13 Cho ma trận vng A có hệ số số nguyên Tìm điều kiện cần đủ để A khả nghịch A−1 gồm hệ số số nguyên Bài tập 14 Giả sử ma trận A = (aij ) ∈ Rn×n cho trước phần tử aij với i = j Chứng minh ta điền vào đường chéo phần tử để ma trận A không suy biến Bài tập 15 (Định lý đẳng cấu Noether) Cho E1 E2 không gian không gian vector E Chứng tỏ khơng gian (E1 + E2 )/E2 đẳng cấu với không gian E1 /(E1 ∩ E2 ) Bài tập 16 Cho A B hai ma trận vng giao hốn với B ma trận lũy linh Chứng minh det(A + B) = det A Bình luận Đây thi cuối kỳ mơn ĐHSPHN Có hai lời giải : [3], hai sử dụng định lý tam giác đồng thời(1) Tham khảo [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính [2] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập [3] Nguyễn Dỗn Tuấn, Phan Huy Phú, Bài tập Đại số tuyến tính [4] Simultaneous triangularization, http://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_matrix# Simultaneous_triangularisability (1) Ta giới thiệu sau: tiếng Anh Simultaneous triangularization, xem [4] ... Tham khảo [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính [2] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập [3] Nguyễn Doãn Tuấn, Phan Huy Phú, Bài tập Đại số tuyến tính [4] Simultaneous triangularization,... ánh xạ tuyến tính với biến lại Ở tơi viết tính chất cho biến tiện, chuyện xảy với biến khác Tính chất : Tính chất thay phiên Nếu vi = vj với i = j det(v1 , v2 , , vi , , vj , , ) = Tính. .. rank(A + I) + rank(A − I) = n Bài tập 13 Cho ma trận vng A có hệ số số nguyên Tìm điều kiện cần đủ để A khả nghịch A−1 gồm hệ số số nguyên Bài tập 14 Giả sử ma trận A = (aij ) ∈ Rn×n cho trước