Đại số tuyến tính sẽ cung cấp cho các bạn cách định nghĩa những khái niệm đó, và nó sẽ luôn song hành cùng với bạn, chừng nào bạn còn học Toán.. a Chứng minh rằng định nghĩa của ánh xạ h
Trang 1Danh sách bài tập ĐSTT số 10 cho K65 khoa Toán-Tin
Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.
Tháng 12/2015
Vài lời về hoán vị (phục vụ tự học)
Cho σ : {1, 2, , n} → {1, 2, , n} là một song ánh Khi đó σ được gọi là hoán vị hoặc phép thế bậc
n Tập các hoán vị bậc n được ký hiệu là Sn Dấu của σ, theo như nhiều giáo trình, được định nghĩa bởi công thức sau
1≤i<j≤n
σ(j) − σ(i)
j − i .
Do σ là hoán vị, nên đại lượng sgn(σ) luôn nhận giá trị là ±1
Bài tập 1 (a) Dựa vào định nghĩa trên về dấu của một hoán vị, chứng minh tính chất nhân tính sau của dấu: Cho σ và τ là hai hoán vị bậc n, khi đó ta có
sgn(σ ◦ τ ) = sgn(σ)sgn(τ )
(b) Cho (i j) là một phép chuyển trí, dùng định nghĩa trên về dấu của hoán vị, chứng minh rằng
sgn(i j) = −1
(c) Cho i1, i2, , ik là k số phân biệt trong tập hợp {1, 2, , n} Ký hiệu (i1 i2 ik) là xích độ dài k (trong giáo trình gọi là vòng xích) Chứng minh rằng
(i1 i2 ik) = (i1 i2)(i2 i3) (ik−1 ik),
từ đó suy ra
sgn(i1 i2 ik) = (−1)k−1
Ý nghĩa hình học của định thức
Bài tập 2 (a) Tính định thức của ma trận 1 1
0 1
Tính diện tích của hình bình hành trong R2 dựng bởi hai vector cột của ma trận này: ~v1 = (1, 0) và ~v2 = (1, 1) So sánh hai đại lượng vừa tính
(b) Tính định thức của ma trận1 a
0 b
và tính diện tích của hình bình hành trong R2 dựng bởi hai vector cột của ma trận này: ~v1 = (1, 0) và ~v2 = (a, b) So sánh hai đại lượng vừa tính
(c) Dựa vào tính toán của hai câu trên, ta có thể đoán như sau: định thức của ma trận vuông cấp n
là thể tích có dấu n chiều của hình hộp dựng bởi n vector cột (hoặc n vector hàng) của ma trận Điều đó cũng giải thích vì sao người ta không định nghĩa định thức của ma trận hình chữ nhật
cỡ m × n với m 6= n vì thể tích này sẽ bằng 0 hoặc không có nghĩa Tuy nhiên, người ta có thể
Trang 2Bình luận thêm Việc định nghĩa các đại lượng như thể tích hay diện tích là công việc rất quan trọng, vì nó liên quan tới đo lường Đại số tuyến tính sẽ cung cấp cho các bạn cách định nghĩa những khái niệm đó, và nó sẽ luôn song hành cùng với bạn, chừng nào bạn còn học Toán
Giải trọn vẹn bài tập 7 Danh sách 8
Bài tập 3 Cho f : E → F và g : E → G là các ánh xạ tuyến tính thỏa mãn Ker(f ) ⊂ Ker(g) Xét ánh xạ h : Im(f ) → G định nghĩa như sau: Nếu ~v ∈ Im(f ) thì ~v = f (~u), khi đó đặt h(~v) = g(~u) (a) Chứng minh rằng định nghĩa của ánh xạ h không phụ thuộc vào việc chọn vector ~u Nghĩa là nếu
~v = f (~u) = f ( ~w) thì g(~u) = g( ~w) Từ đó chứng minh ánh xạ h là ánh xạ tuyến tính
(b) Áp dụng bài tập 1 Danh sách số 9, suy ra sự tồn tại của ánh xạ mở rộng H : F → G sao cho hạn chế H|Im(f ) = h Khi đó ta có g = H ◦ f
Hệ phương trình tuyến tính
Về hệ phương trình tuyến tính, các bạn cần đọc hiểu chứng minh định lý Kronecker-Capelli về tiêu chuẩn tồn tại nghiệm, định lý Cramer về công thức nghiệm, phương pháp Gauss-Jordan giải hệ phương trình tuyến tính (dùng biến đổi sơ cấp để chuyển ma trận về tam giác trên) Công thức nghiệm trong định lý Cramer ít có tính thực tiễn vì khối lượng tính toán tương đối lớn, nhưng
sẽ có ích trong những bài toán thuần túy lý thuyết Vậy nên các bạn cần tránh suy nghĩ là công thức
ý ít có ứng dụng
Bài tập 4 Giải các hệ phương trình sau
(a)
x1+ 3x2+ 4x3 = 1
x1− 2x2+ x3 = 2
x1+ x2+ 2x3 = 3
, (b)
x1− x2+ 5x3 = 0
x1+ x2− 3x3 = 1 2x1− 3x2+ x3 = 6
Bài tập 5 Tìm số chiều của không gian nghiệm của các hệ phương trình sau
(a)
x1+ 2x2+ 2x3+ x4− x5 = 0
x1+ x2+ x3− 3x4+ 2x5 = 0
2x1− x2+ x3+ 2x4− 3x5 = 0
, (b)
3x1+ 2x2+ 3x4− x5 = 0
x1− x2+ 2x3− x4 = 0
−3x2+ x3+ x4+ 2x5 = 0
x1− x3+ 4x4− 3x5 = 0
Bài tập 6 Tìm một nghiệm riêng, một hệ nghiệm cơ bản và hệ nghiệm tổng quát của các hệ phương trình sau
(a)
x1+ 2x2+ 2x3+ x4− x5 = 1
x1+ x2+ x3− 3x4+ 2x5 = 1
2x1− x2+ x3+ 2x4− 3x5 = 2
, (b)
3x1+ 2x2+ 3x4− x5 = 3
x1− x2+ 2x3− x4 = 0
−3x2+ x3+ x4+ 2x5 = −2
x1− x3+ 4x4− 3x5 = 4
Bài tập 7 Cho hệ n phương trình
ax1+ bx2+ bx3+ + bxn = 0
cx1+ ax2 + bx3+ + bxn = 0
cx1+ cx2+ cx3+ + axn = 0
Tìm điều kiện cần và đủ của a, b và c để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường
Bài tập 8 Cho hệ phương trình Ax = b với A là ma trận vuông cấp n với hệ số hữu tỷ và b là một vector thuộc Rn mà các tọa độ đều là số hữu tỷ Giả sử Ax = b có nghiệm x ∈ Rn Chứng minh hệ phương trình này có nghiệm hữu tỷ (nghĩa là nghiệm mà các tọa độ đều là số hữu tỷ)
Trang 3Bài tập 9 Xét hệ phương trình tuyến tính sau
a11x1+ a12x2+ + a1nxn = b1
am1x1+ am2x2+ + amnxn = bm
với aij, bi ∈ R với mọi i, j Tìm điều kiện về hạng của ma trận
A = (aij)m×n để hệ phương trình có nghiệm với mọi bi ∈ R
Bài tập 10 Chứng minh rằng hệ phương trình sau luôn có nghiệm
x1+ 2x2+ 2x3 + +2xn = b1
2x1+ x2+ 2x3 + +2xn = b2
2x1+ 2x2+ +2xn−1 +xn = bn
với mọi b1, b2, , bn∈ R
Bài tập 11 Cho ma trận vuông khả nghịch A có hệ số là các số nguyên Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ma trận nghịch đảo của A cũng là ma trận gồm các hệ số nguyên là det A = ±1 Bài tập 12 Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b, trong đó A ∈ Zn×n (tức là A là ma trận vuông cấp n với hệ số trong Z) Chứng minh rằng nếu với mọi b ∈ Zn hệ phương trình tương ứng đều có nghiệm nguyên thì định thức của A bằng ±1
Gợi ý Bạn có thể tham khảo lời giải trong sách Bài tập ĐSTT của Lê Tuấn Hoa, bài tập 17.15, trang 115
Bổ sung thêm về ánh xạ tuyến tính và tự đồng cấu tuyến tính
Ghi chú: Mục đích là muốn các bạn biết các sự kiện cơ bản
Bài tập 13 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính Giả sử {~v1, , ~vq} là hệ sinh của không gian vector V Chứng minh rằng {f (~v1), f (~v2), , f (~vq)} là hệ sinh của không gian ảnh Im(f ) Từ đó chứng minh bất đẳng thức chiều sau, với mọi không gian vector con U ⊂ V, ta đều có
dim f (U ) ≤ dim U
Điều đó nói rằng ánh xạ tuyến tính làm giảm chiều không gian vector
Bài tập 14 Cho f ∈ End(V ) (tức là f : V → V là một tự đồng cấu) với V là không gian vector hữu hạn chiều Chứng minh rằng ba khẳng định sau là tương đương
(a) f là đơn cấu
(b) f là toàn cấu
(c) f là đẳng cấu
Bài tập 15 Chứng minh rằng khẳng định trong bài tập 14 không còn đúng nữa khi V có chiều vô hạn Hãy tìm một ví dụ về ánh xạ tuyến tính là đơn cấu nhưng không là toàn cấu, và một ví dụ ánh
xạ tuyến tính là toàn cấu nhưng không phải là đơn cấu