Đại số tuyến tính - Trần Đức Anh danhsach03 bt dstt

Danh sách tập ĐSTT số cho K65, khoa Toán-Tin Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập Tháng 9/2015 Ghi chú: tập đánh dấu khó, bỏ qua cho lần Sau hoàn thành khác bạn quay lại làm tập khó Các khái niệm Đại số tuyến tính Hệ vector độc lập tuyến tính Bài tập Chứng minh vector sau độc lập tuyến tính R (a) (1,1,1) (0,1,-1) (b) (-1,1,0) (0,1,2) (c) (0,1,1), (0,2,1) (1,5,3) Bài tập Viết vector X thành tổ hợp tuyến tính hai vector A B Viết tọa độ tương ứng X A B (a) X = (1, 0), A = (1, 1), B = (0, 1) (b) X = (2, 1), A = (1, −1), B = (1, 1) (c) X = (1, 1), A = (2, 1), B = (−1, 0) Bài tập Cho k vector v1 , , vk Rn với ≤ k ≤ n Giả sử vector có dạng sau: vi vector có i − tọa độ tọa độ thứ i khác với ≤ i ≤ k Chứng minh k vector độc lập tuyến tính Ghi chú: Các vector có dạng tập gọi hệ vector bậc thang vector dạng bậc thang Bài tập (câu a khơng khó, câu b,c khó) Xét không gian vector C[1, 2] hàm số thực liên tục đoạn [1, 2], hệ vector sau độc lập tuyến tính? (a) (t − 1)2 , (t − 2)2 , (t − 3)2 (b) 1, et , e−t (c) sin x, sin 2x, , sin kx với k số nguyên dương Hạng hệ vector Bài tập (Thừa nhận tập 9,sử dụng tập để giải tập này) Cho V K−không gian vector {v1 , , vk } ⊂ V hệ hữu hạn vector Giả sử λ2 , λ3 , , λk ∈ K vơ hướng Khi chứng minh rank{v1 , v2 , , vk } = rank{v1 , v2 + λ2 v1 , , vk + λk v1 } Bài tập Trong không gian vector thực R4 , tìm hạng hệ vector sau (a) (1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 3, 0, 1) (b) (1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 3), (1, 2, 0, 2), (1, 2, 1, 2), (3, 1, 3, 1) Gợi ý Dùng tập để giải tập tính hạng cách chuyển hệ vector dạng bậc thang tập Bài tập (câu a dễ, câu b khó) Trong C[0, 1], khơng gian hàm số thực liên tục đoạn [0, 1], tìm hạng hệ vector sau (a) t2 − 2t, t2 − 3t, t2 − 4t, t2 − 5t (b) sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x Bài tập Giả sử α1 , , αn β1 , , βm hai hệ vector không gian vector V Chứng minh hạng hệ vector α1 , , αn , β1 , , βm không vượt tổng hạng hai hệ vector α1 , , αn β1 , , βm Gợi ý Có hai cách làm: áp dụng tập 9, hai cần dùng định nghĩa hạng Bàn cách tìm hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ hữu hạn vector Bài tập (bài tập phát biểu lại lý thuyết lớp, nên không chữa nữa) Cho V K-không gian vector X ⊂ V hệ hữu hạn vector (a) Chứng minh tồn hệ độc lập tuyến tính tối đại X (b) Chứng minh : hệ X mà độc lập tuyến tính nằm hệ tuyến tính độc lập tối đại Nghĩa ta bổ sung thêm vector X để hệ cho trở thành hệ độc lập tuyến tính tối đại (c) Giả sử Y ⊂ V hệ vector hữu hạn khác Ký hiệu rank(Y ) hạng Y Giả sử vector X tổ hợp tuyến tính vector Y Khi chứng minh rank(X) ≤ rank(Y ) Hệ : Nếu vector X biểu thị thành tổ hợp tuyến tính vector Y ngược lại, rank(X) = rank(Y ) Bài tập 10 Coi R3 không gian vector thực với phép cộng phép nhân thơng thường Tìm hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ sau: (a) (1, 1, 1), (2, 11, 20), (1, 2, 3), (3, 1, −1), (6, 9, 12) (b) (1, 2, 3), (2, 3, 1), (4, 1, 0), (5, 5, 5), (1, 2, 7) ... tuyến tính tối đại X (b) Chứng minh : hệ X mà độc lập tuyến tính nằm hệ tuyến tính độc lập tối đại Nghĩa ta bổ sung thêm vector X để hệ cho trở thành hệ độc lập tuyến tính tối đại (c) Giả sử... lập tuyến tính tối đại hệ hữu hạn vector Bài tập (bài tập phát biểu lại lý thuyết lớp, nên không chữa nữa) Cho V K-không gian vector X ⊂ V hệ hữu hạn vector (a) Chứng minh tồn hệ độc lập tuyến tính. .. Ký hiệu rank(Y ) hạng Y Giả sử vector X tổ hợp tuyến tính vector Y Khi chứng minh rank(X) ≤ rank(Y ) Hệ : Nếu vector X biểu thị thành tổ hợp tuyến tính vector Y ngược lại, rank(X) = rank(Y ) Bài