Danh sách tập ĐSTT số 11 cho K65 khoa Toán-Tin Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập Tháng 12/2015 Thuật ngữ cần biết (1) Tập giá trị riêng tự đồng cấu f hay ma trận vuông A gọi phổ f (hoặc phổ A) (2) Cho λ giá trị riêng ma trận vuông A Bội đại số λ số mũ nhân tử x − λ phân tích đa thức đặc trưng det(A − xI) thành tích nhân tử tuyến tính Bội hình học λ chiều Ker(A − λI) Bài tập tính tốn Bàitập Tìm vector riêng ma trận sau giá trị riêng −1 −5 3 , (b) 5 −7 3 (a) −3 −1 −2 −9 Lưu ý Tìm vector riêng có nghĩa tìm sở không gian riêng ứng với giá trị riêng Bài tập Tính giá trị riêng ma trận sau, tính bội đại số bội hình học giá trị riêng này, từ xác định xem cácma trận hệ số phức sau có chéo hóa khơng? 1 1 −1 −1 −5 −3 1 −1 −1 (a) −3 −1 , (b) −2 −2 , (c) 1 −1 −1 −3 −2 −1 −1 Trong trường hợp ma trận A chéo hóa được, tìm ma trận khả nghịch C cho C −1 AC ma trận chéo Xem cách tính C tập Bài tập lý thuyết Bài tập Giả sử A ma trận vng cấp n chéo hóa được, giả sử C ma trận vuông mà cột lập thành sở Cn (hoặc Rn ) cột vector riêng A Chứng minh C −1 AC ma trận đường chéo mà phần tử chéo giá trị riêng A Bài tập Giả sử p > bội đại số giá trị riêng λ0 ma trận vuông A cấp n Gọi r hạng A − λ0 I Chứng minh ≤ n − r ≤ p Bài tập Chứng minh vector khác O tự đồng cấu vector riêng tự đồng cấu k · Id với k vơ hướng Bài tập Cho A ma trận vng lũy linh Hỏi A có giá trị riêng nào? Đa thức đặc trưng A có cơng thức gì? Bài tập Giả sử A B hai ma trận vng cấp, có hệ số C, giao hoán với Giả sử A có tất giá trị riêng phân biệt Chứng minh vector riêng A vector riêng B tồn sở gồm vector riêng A B Bài tập Cho tự đẳng cấu ϕ không gian vector V Chứng minh λ giá trị riêng ϕ λ−1 giá trị riêng ϕ−1 Bài tập Chứng minh tổng giao không gian bất biến không gian bất biến Bài tập 10 Giả sử ϕ tự đồng cấu không gian vector V Giả sử U = U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Us tổng trực tiếp không gian bất biến ϕ Chứng minh ϕ(U ) = ϕ(U1 ) ⊕ ⊕ ϕ(Us ) Bài tập 11 Cho ϕ tự đồng cấu Cn có n giá trị riêng phân biệt Tìm số khơng gian bất biến ϕ Bài tập 12 Cho A, B ∈ Cn×n Chứng minh hai ma trận AB BA có tập giá trị riêng Khó hơn, chứng minh hai ma trận có giá trị riêng tính bội (hay nói cách khác có đa thức đặc trưng) Bài tập 13 Nghiên cứu mối quan hệ giá trị riêng ma trận A2 ma trận A Một kiểu tập Hình học xạ ảnh Bài tập 14 Tìm tất không gian bất biến ma trận sau −16 −20 16 20 −1 −5 −6 ... riêng phân biệt Tìm số khơng gian bất biến ϕ Bài tập 12 Cho A, B ∈ Cn×n Chứng minh hai ma trận AB BA có tập giá trị riêng Khó hơn, chứng minh hai ma trận có giá trị riêng tính bội (hay nói cách... riêng nào? Đa thức đặc trưng A có cơng thức gì? Bài tập Giả sử A B hai ma trận vuông cấp, có hệ số C, giao hốn với Giả sử A có tất giá trị riêng phân biệt Chứng minh vector riêng A vector riêng