Bài tập 152. Trong không gian vector thực R3 với cơ sở {e1, e2, e3}. Dạng song tuyến tính nào sau đây xác định một tích vô hướng?
(a) ϕ(x1e1 +x2e2+x3e3, y1e1+y2e2+y3e3) = x1y1+ 2x2y2 + 3x3y3.
(b) ϕ(x1e1+x2e2+x3e3, y1e1+y2e2+y3e3) = x1y1−x2y2+ 5x3y3.
(c) ϕ(x1e1 +x2e2+x3e3, y1e1+y2e2+y3e3) = 5x1y1+ 3x2y2+x3y3−2x1y2−4x2y3.
Bài tập 153. Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c, d ∈ R sao cho dạng song tuyến tính trên R2 sau ϕ((x1, x2),(y1, y2)) =ax1y1+bx1y2+cx2y1+dx2y2 là một tích vô hướng.
Bài tập 154. Cho V là một không gian vector Euclide hữu hạn chiều.
(a) Chứng minh rằng mọi hệ vector trực giao từng cặp mà không chứa vector ~0 là độc lập tuyến tính.
(b) NếuW là một không gian vector con củaV và W⊥ là phần bù trực giao của W trongV.
Chứng minh rằngV =W⊕W⊥.Ta gọi phân tích như này là phân tích trực giao (đối với tích vô hướng của V).
(c) Cho W1, W2 là hai không gian con củaV thỏa mãn dimW1 <dimW2. Chứng minh rằng tồn tại vector khác~0trong W2 trực giao với cả không gian W1.
Bài tập 155(Bất đẳng thức Bessel). ChoV là một không gian vector Euclide hữu hạn chiều và e1, . . . , ek là một hệ vector trực chuẩn. Chứng minh rằng với mọi v ∈ V, ta có bất đẳng thức sau
k
X
i=1
|hv, eii|2 ≤ kvk2.
Bình luận Bất đẳng thức này tuy không khó nhưng khi tổng quát lên cho không gian vô hạn chiều thì lại có ứng dụng đặc sắc trong giải tích Fourier. Các bạn có thể tham khảo [17], một cuốn sách rất hay.
Bài tập 156. Cho V1, V2 là các không gian con của một không gian vector Euclide hữu hạn chiều. Chứng minh rằng
Bài tập 157. ChoR3 là không gian vector Euclide với tích vô hướng chính tắc. Hãy xác định các không gian Ker(f)⊥ và Im(f)⊥ (chiều, cơ sở) của tự đồng cấu f có ma trận biểu diễn trong cơ sở chính tắc là (a) 1 −3 −3 6 −6 −4 3 −5 −3 , (b) 1 4 7 2 5 8 3 6 9 , (c) 1 2 1 2 −1 1 1 2 1 .
Bài tập 158. Trong không gian vector EuclideR3 được trang bị tích vô hướng chính tắc, hãy thực hiện quá trình trực chuẩn hóa Gram-Schmidt các cơ sở sau:
1. (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1).2. (-1,1,2), (3,-1,1), (1,0,-1). 2. (-1,1,2), (3,-1,1), (1,0,-1).
3. (1,2,0), (-2,0,1), (1,-1,1).
23 Ánh xạ tuyến tính trực giao
Cho f: V → W là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vector Euclide. f được gọi là ánh xạ tuyến tính trực giao nếu hf u, f vi = hu, vi với mọi u, v ∈ V. f được gọi là đẳng cự nếu
kf uk=kuk với mọi u∈V. Đối với ánh xạ tuyến tính, hai khái niệm trực giao và đẳng cự là như nhau. Kết quả này các bạn xem trong giáo trình hoặc tự chứng minh lấy.
Bài tập 159. Cho E và F là hai không gian vector Euclide hữu hạn chiều. Tìm điều kiện cần và đủ để có ánh xạ đẳng cự từ E vàoF.
Bài tập 160. Chof là một tự đồng cấu trực giao của không gian vector Euclide Rn. Chứng minh rằng trong một cơ sở trực chuẩn củaRn,ma trận biểu diễn của f có dạng
Mf =
cosa11 cosa12 . . . cosa1n
cosa21 cosa22 . . . cosa2n ..
.
cosan1 cosan2 . . . cosann
với aij ∈R với mọii và j.
24 Bài tập tổng hợp
Bài tập 161. Cho V là một không gian vector Euclide và v1, v2, . . . , vk là các vector nào đó của V. Đặt
Gr(v1, v2, . . . , vk) = det(hvi, vji)k×k.
Định thức này được gọi là định thức Gram (hoặc Gram-Schmidt) của hệ vector v1, . . . , vk.
(a) Chứng minh rằngGr(v1, . . . , vk)≥0.
(b) Chứng minh rằng : Nếu định thức Gram củav1, . . . , vk khác 0 thì hệ vectorv1, . . . , vk độc lập tuyến tính.
Ý nghĩa hình học của định thức Gram Định thức Gram của hệk vector chính là bình phương thể tíchk−chiều của hình hộp định nghĩa bởi k vector đó. Các bạn hãy thử với 1,2,3 vector để thấy điều đó.
Bài tập 162. Chứng minh rằng định thức Gram Gr(v1, v2, . . . , vk) không thay đổi sau quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt. Tức là, nếue1, e2, . . . , ek là kết quả nhận được từ việc áp dụng quá trình này cho v1, v2, . . . , vk thì
Gr(v1, . . . , vk) = Gr(e1, . . . , ek) =ke1k2. . .kekk2.
Bài tập 163. Chứng minh bất đẳng thức
0≤Gr(v1, . . . , vk)≤ kv1k2. . .kvkk2.
Bài tập 164. Chứng minh bất đẳng thức
Gr(u1, . . . , ur, v1, . . . , vs)≤Gr(u1, . . . , ur)Gr(v1, . . . , vs).
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài tập 165. Cho V là một không gian vector Euclide hữu hạn chiều. Chứng minh rằng mỗi phiếm hàm tuyến tínhf ∈V∗ đều có dạngf(·) =hv,·i với v là một vector nào đó.
Bài tập 166. Tìm dạng chính tắc của ma trận trực giaoA dưới đây và tìm ma trận trực giao
Qsao cho QTAQ là dạng chính tắc của A.
(a)A= 2 3 2 3 −1 3 2 3 −1 3 2 3 −1 3 2 3 2 3 , (b)A= 1 2 1 2 −1 2 √ 2 1 2 1 2 1 2 √ 2 1 2 √ 2 −1 2 √ 2 0 .
Bài tập 167. Giả sử(e1, e2)là cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng và tự đồng cấuϕcó ma trận
A =
1 2
1 −1
trong cơ sở gồm f1 = e1 và f2 = e1+e2. Tìm ma trận của tự đồng cấu liên hợp ϕ∗ trong cùng cơ sở (f1, f2).
Bài tập 168. Chứng minh rằng nếu U là không gian vector con bất biến với tự đồng cấu ϕ
thì U⊥ là không gian con bất biến đối với tự đồng cấu liên hợp ϕ∗.
Những bài tập sau bàn về biến đổi đối xứng. Phép biến đổi tuyến tính ϕ: V → V của không gian vector Euclide V được gọi là biến đổi đối xứng (hay biến đổi tự liên hợp) nếu
ϕ=ϕ∗, tức là
hϕu, vi=hu, ϕvi
với mọiu, v ∈V.
Bài tập 169. Chứng minh rằng ma trận biểu diễn A của phép biến đổi đối xứng trong mọi cơ sở trực chuẩn là ma trận đối xứng, tức làAT =A.
Bài tập 170. Chứng minh không gian con riêng ứng với giá trị riêng khác nhau của một phép biến đổi đối xứng là trực giao với nhau.
Bài tập 171. Mọi giá trị riêng của phép biến đổi đối xứng của một không gian vector Euclide hữu hạn chiều đều là giá trị riêng thực. Nói cách khác, mọi giá trị riêng của ma trận đối xứng thực đều là số thực.
Bài tập 172. Giả sử ϕ là một biến đổi đối xứng của không gian vector Euclide V hữu hạn chiều. Chứng minh rằng: Nếu U là một không gian con bất biến của ϕthì U⊥ cũng vậy.
Bài tập 173. Chứng minh rằng phép biến đổi tuyến tính ϕ của không gian vector Euclide hữu hạn chiều V là đối xứng khi và chỉ tồn tại một cơ sở trực chuẩn của V gồm toàn các vector riêng củaϕ.
Tóm lại, biến đổi đối xứng, hay ma trận đối xứng thực chéo hóa được, và không những vậy, ta có thể chéo hóa ma trận đối xứng thực bằng ma trận trực giao. Tức là, nếu A là ma trận đối xứng thực, khi đó tồn tại ma trận trực giaoQ sao choQTAQ là ma trận chéo. Khi đó, ta nói một cách ngắn gọn :A tương đương trực giao với ma trận chéo.
Bây giờ ta đủ kiến thức để chứng minh hai định lý khó sau (tuy nhiên, phải sử dụng kiến thức về không gian unita, và may mắn là những gì các bạn làm được với không gian Euclide thì nó gần như chạy tương tự cho không gian unita).
Bài tập 174 (Định lý tam giác trên đồng thời[21]). Giả sử A1, A2, . . . , Ak là các ma trận vuông phức cùng cấp, giao hoán với nhau. Chứng minh rằng tồn tại ma trận unita U thỏa mãn U∗AiU là các ma trận tam giác trên.
Bài tập 175 (Định lý Schur[20]). Chứng minh rằng mọi ma trận vuông phức A đều tương đương unita với ma trận tam giác trên. Nghĩa là: tồn tại ma trận unita U sao cho U∗AU là ma trận tam giác trên.
25 Dạng toàn phương
Trong mục này ta quan tâm trước tiên là các dạng toàn phương thực. Về thuật ngữ: Toàn phương đơn giản là toàn bình phương, có lẽ là một cách chơi chữ. Tiếng Anh là quadratic form (dạng bậc hai).
Mỗi dạng toàn phương thực trênRn có dạngH =Pn
i,j=1aijxixj vớiaij =aji.Tóm lại mỗi dạng toàn phương thực đều có dạngxTAx với A là một ma trận đối xứng thực.
Như vậy, có thể nói là nghiên cứu dạng toàn phương thực tương đương với ma trận đối xứng thực. Mà ma trận đối xứng thực thì chúng ta biết rất nhiều tính chất của nó.
Một điều nữa, trong mục này có thể có nhiều thuật ngữ lạ với các bạn, vậy nên tôi đề nghị các bạn tra [13] về các thuật ngữ này: ví dụ H-trực giao (H là dạng toàn phương), dạng cực của dạng toàn phương, hạch, chỉ số quán tính, chỉ số, ký số v.v.
Bài tập 176. Tìm dạng chuẩn tắc của các dạng toàn phương sau đây trên trường số thực. Viết rõ phép biến đổi tuyến tính đưa dạng toàn phương về dạng chuẩn tắc. Từ đó cho biết các chỉ số quán tính và hạng của dạng toàn phương.
(a) x2 1+x2 2+ 3x2 3+ 4x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3. (b) x1x2+x1x3+x1x4 +x2x3+x2x4+x3x4. (c) 2x2 1+ 18x2 2+ 8x2 3−12x1x2+ 8x1x3−27x2x3.
Bài tập 177. Tìm biến đổi tuyến tính không suy biến đưa dạng toàn phương H về dạng toàn phươngK. (a) H = 2x21+ 9x22+ 3x23+ 8x1x2−4x1x3−10x2x3, K = 2y2 1 + 3y2 2+ 6y2 3 −4y1y2−4y1y3+ 8y2y3. (b) H = 3x2 1+ 10x2 2 + 25x2 3−12x1x2−18x1x3+ 40x2x3, K = 5y12+ 6y22+ 12y1y2.
Bài tập 178. Cho dạng toàn phương
H =f12+f22+. . .+fp2−fp+12 −. . .−fp+q2 ,
trong đófi là các dạng tuyến tính thực đối với các biến x1, x2, . . . , xn. Chứng minh rằng chỉ số quán tính dương của H không vượt quá pvà chỉ số quán tính âm không vượt quá q.
Bài tập 179. Chứng minh rằng nếu có thể đưa mỗi dạng toàn phương H và K về dạng kia bằng một phép biến đổi tuyến tính (không nhất thiết khả nghịch) thì các dạng này tương đương nhau.
Bài tập 180. Tìm hạng và ký số của dạng toàn phương thựcH nếu nó tương đương với −H
bởi một phép biến đổi tuyến tính thực không suy biến.
Bài tập 181. Tìm số lớp tương đương của các dạng toàn phương thựcn ẩn có ký số bằngs
đã cho.
Bài tập 182. Tìm tất cả các giá trị của tham số λ để cho dạng toàn phương sau đây xác định dương (a) x21+x22+ 5x23+ 2λx1x2−2x1x3+ 4x2x3. (b) x2 1+ 4x2 2+x2 3+ 2λx1x2+ 10x1x3+ 6x2x3. 26 Nâng cao
Bài tập 183. Ma trận unita có chéo hóa được không?
Bài tập 184. Chứng minh rằng mọi ma trận chuẩn tắc đều chéo hóa được và chéo hóa bởi các trận unita. Ở đây, ma trận vuông phức A được gọi là chuẩn tắc nếu AA∗ = A∗A, với
A∗ = ¯AT,chuyển vị của liên hợp của A.
Bài tập 185. Cho A là một ma trận đối xứng thực cấp n. Giả sử λ1 và λn là giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất củaA. Chứng minh rằng
λ1kxk2 ≤xTAx≤λnkxk2
với mọix∈Rn, và k · k là chuẩn Euclide thông thường.
Bình luận Đây là bất đẳng thức Rayleigh, có nhiều ứng dụng trong đại số tuyến tính số. Các bạn có thể tham khảo [14].
Bài tập 186. Chứng minh rằng: Ma trận thực đối xứng A là xác định dương khi và chỉ khi
A có thể viết dưới dạng A=CTC với C là ma trận không suy biến.
Bài tập 187. Chứng minh rằng: Nếu A là ma trận thực đối xứng, xác định dương, thì tồn tại ma trận xác định dương D sao cho A=D2.
Bình luận Ma trận D là căn bậc hai của A và có thể chứng minh được rằng Dlà ma trận duy nhất thỏa mãn các tính chất trong bài tập trên. Tuy nhiên, để chứng minh điều đó, ta cần một ít lý thuyết C∗−đại số, ví dụ tham khảo [12] hoặc [18].
Bài tập 188. Giả sử U là ma trận Gram của một cơ sở nào đó của không gian và A là ma trận của tự đồng cấu tuyến tính ϕ trong cơ sở đó. Tìm ma trận biểu diễn biến đổi liên hợp
ϕ∗ trong cùng cơ sở nói trên, biết rằng:
U = 3 1 −2 1 1 −1 −2 −1 2 , A= 1 2 0 2 0 3 0 1 3 .
Bài tập 189. Chứng minh rằng mọi giá trị riêng của một ma trận thực A đều thuộc đoạn
[a, b] khi và chỉ khi dạng toàn phương với ma trận A−λI xác định dương với mọiλ < a và xác định âm với mọiλ > b.
Bài tập 190. Giả sử Avà B là hai ma trận thực đối xứng. Chứng minh rằng nếu các giá trị riêng của A thuộc [a, b]và các giá trị riêng của B thuộc[c, d] thì các giá trị riêng của A+B
thuộc đoạn[a+c, b+d].
Bài tập sau lấy từ bài giảng của GS C. Mehl ở trường thu Việt-Đức, tổ chức tại viện Toán 2009[16].
Bài tập 191. Ma trận vuông A được gọi làma trận Hessenberg, nếu mọi hệ số ở dưới đường chéo dưới thứ nhất đều bằng 0, tức là nếu A= (aij)n×n thìaij = 0với mọi i > j+ 1. Ma trận HessenbergA được gọi là không thu gọn nếu ai+1,i 6= 0 với mọii= 1, . . . , n−1.
Cho A ∈ M(n×n,C) là ma trận Hessenberg không thu gọn, 1 ≤k ≤ n−1 và~0 6=x ∈ S = span{e1, . . . , ek}. Ở đâye1, . . . , en là cơ sở chính tắc của Cn.
(a) Chứng minh rằng: Mọi không gian conA−bất biến chứaxcó chiều ít nhất bằngn−k+ 1.
(b) Chứng minh rằng: NếuU là không gian con bất biến của Aliên kết vớin−k giá trị riêng có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất thìS ∩ U ={~0}.
(c) Chứng minh rằng A là ma trận cyclic, tức là nếu λ là một giá trị riêng của A thì trong phân tích Jordan củaA, có nhiều nhất một khối Jordan ứng với giá trị riêng này.
Bài tập 192 (Tích Hadamard). Cho A = (aij) và B = (bij) là hai ma trận vuông cấp
n với hệ số thực hoặc phức. Khi đó ta định nghĩa tích Hadamard của hai ma trận này là
A◦B = (aijbij).
(a) Chứng minh rằng: NếuAvà B là hai ma trận thực nửa xác định dương (tức là xTAx ≥0
với mọix∈Rn) thì A◦B cũng vậy.
(b) Chứng minh rằng: Nếu A và B là các ma trận thực xác định dương thìA◦B cũng vậy. (c) (Định lý tích Schur) Chứng minh rằng: Nếu A và B là các ma trận thực nửa xác định
Bình luận Những bài tập lạ lạ như thế này có tương đối nhiều trong lý thuyết ma trận và thường là những bài khó. Các bạn có thể tham khảo cuốn [15], một cuốn sách trình bày rất nhiều kết quả như thế. Về tích Hadamard, các bạn có thể xem [23]. Trong cuốn của Horn/Johnson cũng có các kết quả về tích Hadamard.
Bài tập 193 (Phân tích cực của ma trận [24]). (a) Chứng minh rằng mọi ma trận vuông thực A đều có thể phân tích dưới dạng A = V P với V là ma trận trực giao, P là ma trận đối xứng thực có tất cả các giá trị riêng không âm. Chứng minh rằng phân tích này là duy nhất. Ngoài raA cũng có thể phân tích duy nhất dưới dạngA=P V với P và
V thỏa mãn điều kiện như ở trên.
(b) Chứng minh rằng mọi ma trận vuông phức A đều có thể phân tích dưới dạng A = U P