Danh sách tập ĐSTT cuối cho K65 khoa Toán-Tin Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập Tháng 12/2015 Dạng toàn phương Bài tập Dưa dạng toàn phương sau dạng tắc chuẩn tắc Tính số quán tính dạng tồn phương (a) x21 + x22 + 3x23 + 4x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 R3 (b) x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 R4 Bài tập Tìm tất giá trị λ cho dạng toàn phương sau xác định dương (a) x21 + x22 + 5x23 + 2λx1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 (b) x21 + 4x22 + x23 + 2λx1 x2 + 10x1 x3 + 6x2 x3 Dãy sai phân tuyến tính cấp Bài tập Cho hai số phức s, p Xét dãy số {xn }n≥0 với x0 , x1 cho trước xn cho công thức truy hồi sau xn+2 = sxn+1 − pxn với n ≥ Mục tiêu ta tìm cơng thức tính phần tử dãy số này, ta làm theo bước sau xn với n ≥ Đặt A = Đặt Un = xn+1 −p s (a) Chứng minh Un+1 = AUn với n, từ suy Un = An U0 Như vậy, việc tìm cơng thức tính phần tử dãy {xn } quy việc tính lũy thừa An (b) Tính đa thức đặc trưng A (c) Cho s = 5, p = Tính giá trị riêng A Với giá trị riêng A, tìm sở khơng gian riêng tương ứng (d) Cấu tạo ma trận C có hai cột hai vector riêng mà bạn vừa tìm câu Tính D = C −1 AC Chứng minh Un = CDn C −1 U0 (e) Kết luận cơng thức tính phần tử dãy số xn trường hợp đặc biệt s = 5, p = Ma trận đối xứng thực Ma trận vng A ∈ Rn×n gọi ma trận đối xứng A = AT Ma trận độc đáo chỗ: Ma trận chéo hóa ma trận trực giao Tức tồn ma trận trực giao Q cho QT AQ ma trận đường chéo Ngoài ra, giá trị riêng ma trận đối xứng thực A số thực Ma trận vuông Q gọi trực giao ma trận hệ số thực QT Q = I Từ định nghĩa ma trận trực giao, bạn suy kết sau: Các cột ma trận trực giao lập thành sở trực chuẩn Rn Lưu ý: QT = Q−1 , nên QT AQ ma trận đồng dạng A Ưu điểm ma trận trực giao cho phép tính ma trận nghịch đảo đơn giản, cần lấy chuyển vị Vì ma trận trực giao hay sử dụng tính tốn số (nghĩa ngành Toán nghiên cứu thuật toán cho tốc độ tính tốn nhanh có thể) Bài tập (Bất đẳng thức Rayleigh) Cho A ∈ Rn×n ma trận đối xứng thực Cho λ1 λn lần n lượt giá trị riêng nhỏ √ lớn A Với vector x ∈ R mà ta coi ma trận cột cỡ n × 1, ký hiệu x = xT x, gọi độ dài vector x Chứng minh bất đẳng thức sau: λ1 x ≤ xT Ax ≤ λn x Gợi ý Đầu tiên bạn cần chứng minh rằng: Nếu Q trận trực giao Qx = x với vector cột x ∈ Rn Bài tập Cho A = (aij )1≤i,j≤n ∈ Rn×n ma trận đối xứng thực nửa xác định dương (tức xT Ax ≥ với vector cột x ∈ Rn ) Ký hiệu r số lớn giá trị riêng A Chứng minh bất đẳng thức sau |aij | ≤ r ≤ Tr(A) T r(A) vết ma trận A Định thức Gram Ghi chú: Định thức Gram cơng cụ để định nghĩa diện tích thể tích thấp chiều Ví dụ khơng gian chiều, bạn muốn định nghĩa diện tích tam giác phẳng chiều nào? Định thức Gram giúp bạn làm việc Và thế, nghiên cứu hình học phức tạp hơn, định thức Gram xuất cơng thức tích phân điều dễ hiểu Bài tập Cho V không gian vector Euclide v1 , v2 , , vk vector V Đặt Gr(v1 , v2 , , vk ) = det( vi , vj )k×k Định thức gọi định thức Gram (hoặc Gram-Schmidt) hệ vector v1 , , vk (a) Chứng minh Gr(v1 , , vk ) ≥ (b) Chứng minh : Nếu định thức Gram v1 , , vk khác hệ vector v1 , , vk độc lập tuyến tính Ý nghĩa hình học định thức Gram Định thức Gram hệ k vector bình phương thể tích k−chiều hình hộp định nghĩa k vector Các bạn thử với 1,2,3 vector để thấy điều Bài tập Chứng minh định thức Gram Gr(v1 , v2 , , vk ) không thay đổi sau q trình trực giao hóa Gram-Schmidt Tức là, e1 , e2 , , ek kết nhận từ việc áp dụng trình cho v1 , v2 , , vk Gr(v1 , , vk ) = Gr(e1 , , ek ) = e1 2 ek ... trực giao cho phép tính ma trận nghịch đảo đơn giản, cần lấy chuyển vị Vì ma trận trực giao hay sử dụng tính tốn số (nghĩa ngành Tốn nghiên cứu thuật tốn cho tốc độ tính tốn nhanh có thể) Bài tập... Gram (hoặc Gram-Schmidt) hệ vector v1 , , vk (a) Chứng minh Gr(v1 , , vk ) ≥ (b) Chứng minh : Nếu định thức Gram v1 , , vk khác hệ vector v1 , , vk độc lập tuyến tính Ý nghĩa hình... QT AQ ma trận đường chéo Ngoài ra, giá trị riêng ma trận đối xứng thực A số thực Ma trận vng Q gọi trực giao ma trận hệ số thực QT Q = I Từ định nghĩa ma trận trực giao, bạn suy kết sau: Các cột